vetores cartesianos

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Vetores e Equilíbrio de

uma Partícula

Prof. Eng. André Soares

Disciplina: Elementos de Mecânica e Resistência

dos Materiais

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Vetores Cartesianos• Componentes Retangulares de um VetorConsidere um vetor A localizado no espaço como ilustrado na

 figura abaixo (no sistema x, y, z).

Com duas aplicações sucessivas da lei do paralelogramo podemos

decompô-lo em componentes, como:

 z A A A '  y x A A A '

 z y x A A A A

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Vetores Cartesianos• Vetor UnitárioVetor que especifica a direção do vetor A, tem esse nome porque

apresenta intensidade 1 (vetor unitário).

 A

 Au A (Adimensional)

Logo:

 A Au A

Intensidade Direção e Sentido

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Vetores Cartesianos• Representação de um Vetor CartesianoComo as três componentes de A atuam nas direções positivas i, j,

k, podemos escrever sob a forma de vetor cartesiano como:

k  A j Ai A A  z y x

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Vetores Cartesianos• Intensidade de um Vetor Cartesiano

22' A A A

  Através de relações

trigonométrica temos:

Onde: 22

' y x A A A

222

 z y x A A A A

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Vetores Cartesianos• Direção de um Vetor CartesianoOutro modo fácil de obter os cossenos diretores de A é criar um

vetor unitário na direção de A.

Por comparação com a equação anterior vemos que as

componentes de uA (i, j, K) representam os cossenos diretores de A, isto é:

k jiAuA A A

 A A

 A A

 A

 Z  y X 

k jiuA      coscoscos

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Vetores Cartesianos

Como a intensidade do vetor é igual à raiz quadrada positiva da

soma dos quadrados da intensidade de seus componentes e uA

tem intensidade 1, então se pode estabelecer uma relação

importante entre os cossenos diretores:

1coscoscos

222

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Vetores Cartesianos

Portanto se a intensidade e os ângulos de coordenada de direção

de A são dados, A pode ser expresso sob forma vetorial cartesiana

como:

k ji 

k ji 

uA

 z y x

 A

 A A A

 A A A

 A

     coscoscos

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Vetores Cartesianos• Adição e Subtração de VetoresDados dois vetores A e B em função de suas componentes.

k ji 

BARResultanteVetor

k jiB

e 

k jiA

 z z y y x x

 z y X 

 z y X 

 B A B A B A

 B B B

 A A A

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Vetores Cartesianos• Adição e Subtração de VetoresDados dois vetores A e B em função de suas componentes.

k ji 

BAR

SubtraçãodaResultanteVetor

k ji 

BAR

AdiçãodaResultanteVetor

k jiB

e 

k jiA

'

 z z y y x x

 z z y y x x

 z y X 

 z y X 

 B A B A B A

 B A B A B A

 B B B

 A A A

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Vetores Cartesianos• Sistemas de forças Concorrentes

k jiFF z y x R F F F 

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Vetores Cartesianos• Exercício 1:Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da

 força F que atua sobre a estaca.

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Prof. André Felipe Leite Soares

Engenheiro Mecânico

andreflsoares@gmail.com

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