v- caos em mapas bidimensionais - usp · f mapa suave em r2,j n = d fn! (v 0) k = 1, 2 ; r k n...
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V-CaosemMapasBidimensionais
ReferênciaPrincipal:ChaosK.Alligood,T.D.Sauer,J.A.Yorke
Springer(1997)
1-ExpoentesdeLyapunov
ChaosAlligoodatal.
MapasBidimensionaisCadaórbitatemdoisnúmerosdeLyapunov,quemedemarazãodeseparação,emcadaumdasduasdireções.
AsrazõesentreoseichosfinaiseiniciaissãoosnúmerosdeLyapunov.OslndessesnúmerossãoosexpoentesdeLyapunov.
ChaosAlligoodetal.
Mapas Tridimensionais CadaórbitatemtrêsnúmerosdeLyapunov
Definição : f mapa suave em R2, Jn = D f n !v0( )k = 1, 2 ; rk
n comprimento do eixo da elípse Jn U1, para órbitascom pontos iniciais em torno de !v0;rk
n mede a contração e a expansão próximas a essas órbitas.Cada número de Lyapunov é definido como:Lk ≡ lim
n → ∞(rk
n )1/n
Os expoentes de Lyapunov são hk = ln Lk
Vamos usar a sequência L1 > L2 ⇒ h1 > h2
D f1 !v0( ) : primeira derivada no ponto !v0 ≡ (x0 , y0 )
D f n !v0( ): n-ésima derivada no ponto !v0
r1n e r2
n são os comprimentos dos eixos maior e menor
Definição:Mapa f suave em R2
Uma órbita limitada { !v0 , !v1,... !vn , ...} é caótica ⇔1- ela não é periódica assintoticamente2- Lk ≠ 1 ( k = 1, 2 )3- L1 ( !v0 ) > 1 ( ou h1 ( !v0 ) > 0 )
AlligoodChaos
Mapa do Padeiro
A: conjunto de Cantor obtido para n → ∞
Exemplo:
Mapa do padeiro !B (x, y) =
(1/3 x, 2y) para 0 ≤ y ≤ 1/2(1/3 x + 2/3, 2y - 1) para 1/2 < y ≤ 1⎧⎨⎩
A cada iteração o retângulo central é removido.O conjunto de Cantor A desse mapa é constituido pelos retângulos verticais que permanecem em
!Bn para todo n (n > 0, n < 0).
A é um conjunto invariante pois !B-1 (A) = A
Área do conjunto de Cantor A (obtido do mapa do padeiro)
Qualquer órbita do mapa do padeiro, que não seja assintóticamente períodica, é caóticaA matriz Jacobiana de uma órbita (para y ≠1/2) é
D !B (!v) =
1/3 00 2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Após uma iteração, um circulo pequeno de raio r é transformadoem uma elípse de raios 1/3 r, na direção x, e 2 r, na direção y.Após n iterações, os raios são (1/3)3 r e (2)n r.Assim, L1 = 2 e L2 =1/ 3 ⇒ h1 = ln 2 = 0.693 e h2 = ln 1/3 = -1.099
AlligoodChaos
) x ,y 0.3 x- 1.4 ( )y , x ( fHénon deAtrator
2 +=
62.1h e 0.42h Lyapunov de Expoentes
21 −==
a= 1.4 b = 0.3
Alligood Chaos
a = 1.28 a = 1.4
b = -0.3 Variedades do Mapa de Hénon
Alligood Chaos
Variedade Estável e Atrator Caótico no Mapa de Hénon
a= 1.39 b = 0.3
) 72.0h e 51.0h (487.0L e66.1Lcaóticoatrator 6C,9.0C,0.4 C 1, R Para
estáveis fixos pontos dois há ,parâmetros dos Dependendo
CLL :Lyapunov de Números
C y) (x, J jacobiana matriz da teDeterminan
reais parâmetros R,C,C,Cy x 1
C - C
) cosy sen x (C) sen y - cosx (C R
y) (x, F
Ikeda de Mapa
2121
321
2221
22
321
223
1
2
2
−====
⇒====
=
=
+++=
⎩⎨⎧
+
+=
τ
ττ
ττ
ChaosAlliggodetal.
Mapa de Ikeda
72.0h e 51.0hLyapunov de Expoentes
6C,9.0C,0.4 C 1, RcaóticoAtrator
21
321
−==
====
Exemplo:Mapa f (x, y) = (r2, θ + q)r, θ : coordenadas polaresq = (número irracional ) 2π
r0 >1 ⇒ órbitas divergem, i. e., r → ∞ r0 <1 ⇒ órbitas convergem para r → 0
r0 =1 ⇒ órbitas quase-periódicas
L1= ∂r2
∂ r( r = 1) = 2 r= 2×1= 2 ⇒ h1 = ln 2
(sensível às condições iniciais )
L2 = ∂ (θ + q)∂ θ
=( r = 1 ) = 1 ⇒ h2 = ln 1 = 0
2-CálculodoExpoentedeLyapunov
nte.inconvenie é Issopequeno. muito s e grande muito serias Mas nte.numéricame
calculadasser podem s valores-auto seus e J J matrizA
unitária.esfera dapartir a ntenuméricame calculadaser pode UJ elípse a Mas
n. grandes para enteanaliticam obtidaser pode não )v (fDJ matrizA
.jacobianasmatrizes das e mapa dopartir a hobter consegue se não geral, Em
21
2in
Tn
n
0n
n
k
!!!=
ChaosAlligoodatal.
MapasBidimensionaisCadaórbitatemdoisnúmerosdeLyapunov,quemedemarazãodeseparação,emcadaumdasduasdireções.
AsrazõesentreoseichosfinaiseiniciaissãoosnúmerosdeLyapunov.OslndessesnúmerossãoosexpoentesdeLyapunov.
ChaosAlligoodetal.
Mapas Tridimensionais CadaórbitatemtrêsnúmerosdeLyapunov
Definição : f mapa suave em R2, Jn = D f n !v0( )k = 1, 2 ; rk
n comprimento do eixo da elípse Jn U1, para órbitascom pontos iniciais em torno de !v0;rk
n mende a contração e a expansão próximas a essas órbitas.Cada número de Lyapunov é definido como:Lk ≡ lim
n → ∞(rk
n )1/n
Os expoentes de Lyapunov são hk = ln Lk
Vamos usar a sequência L1 > L2 ⇒ h1 > h2
D f1 !v0( ) : primeira derivada no ponto !v0 ≡ (x0 , y0 )
D f n !v0( ): n-ésima derivada no ponto !v0
r1n e r1
n são os comprimentos dos eixos maior e menor
U)v (fD área de elípse uma geram que
w e w ortogonais versoresosobter então, Definimos,
ortogonais mentenecessaria são não eles mas U,)v (fD elípse na estãoz ez
W)v (fDz,W)v (fDz
z ..... ,z vetoresos CalculamosR em }w,{w ortgonal base a com Começamos
U)v (fD.....)v (fD UJ
de através elípse da evolução aseguir Podemos
0
21
021
0202
0101
n1
202
01
01 -n n
!!!
!!!!!
!!!!!!!!
!!
!!!!!!
==
=
3-DimensãodeLyapunov
Definição: f mapa em Rn;Órbita com expoentes de Lyapunov h1 > h2 > h3 > .... > hm ;
p o maior inteiro tal que hii = 1
p
∑ ≥ 0;
Dimensão de Lyapunov: DL =
0 se p não existe
p + 1hp + 1
hii = 1
p
∑ se p < m
2 se p = m
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
caixas) de contagem a com obtida dimensão a para resultado (mesmo
3lnhe2lnh pois3ln 2ln 1
hh1D
padeiro do mapa o Para
1ph0h poishh1D
outros e padeiro do Hénon, de mapa o Para
212
1L
212
1L
−==+=+=
=⇒>>+=
Chaos Alligood et al.
Iteração de Área em Torno de Uma Órbita
Expoentes de Lyapunov determinam contratação e dilatação.
71.1D 0.72-h 0.51h Ikeda de Mapa 631.1D 0991.- 3ln h 0.693 2ln h padeiro do Mapa
26.1 0.42/1.62 - 1 D 1.62-h 0.42h Hénon de Mapa
iteraçãopor área da contração1eeeiteraçãopor contração1e0
iteraçãopor oalongament1e
v órbita da próximos pontos de conjunto um deÁrea0hh 0h
R em f Mapa
L 2 1
L 2 1
L 2 1
hhhh
h
h0
2 1 1
2
2 1 2 1
2
1
=→==
=→====
==→==
⇒<=
<<
>
<+≥
+
!
Chaos Alligood et al.
) fractal (estruturalar perpendicu direção na oalongament do direcão na 1
1 Alim0hhiteraçõesk após área:edA
0) k ( inicial área : dA
kk21
)hh (k 2k
20
21
ε
ε+→⇒<+
=
==
∞→
+
Contração da Área
Dimensão por Contagem de Caixas
2
2
1
hk
hk
hk
ed :caixa da Largura eded )( N :caixas de Número
: iteraçõesk Após(d) N :caixas de inicial Número
=
=
ε
ε
2
1
2
1
hh1
hh1 +=−→
Para k → ∞, obtemos a dimensão de Lyapunov
Chaos Alligood et al.
Iteração de Volume em Torno de Uma Órbita
área de dilatação 2 Dhh 0R em f
área de contração 0 Dhh 0R em f
L21
2
L21
2
→⇒<<
→⇒≥>
nal.bidimensio caso aoSemelhanteplano. nesse caixas com estimadaser pode dimensãoA
expansão. da direção na Plano0hh
0h e 0hR em f mapa do caóticas Órbitas
11
21
3
<+
≥>
33231
33
1
3
hk hk hk hk hk
2hk
2hk
1hk
hk
hk
21
321
3
eee)( N
h de direção na eeh de direção na
ee
e lado de Cubos
2 p0hh
0h0h e 0hR em f mapa do caóticas Órbitas
==
=⇒≥+
<≥>
−− εε
3
21L h
hh2D ++=∞→
5-Par^çõesdeMarkov
Exemplo: Partição de Markov para o Mapa do Padeiro
Mapa do padeiro !B (x, y) =
(1/3 x, 2y) para 0 ≤ y ≤ 1/2(1/3 x + 2/3, 2y - 1) para 1/2 < y ≤ 1⎧⎨⎩
(O conjunto de Cantor A desse mapa é constituido pelos retângulos verticais que permanecem em
!Bn para todo n (n > 0, n < 0).
A é um conjunto invariante pois !B-1 (A) = A)
Vamos apresentar itinerários S do mapa !B, no conjunto de Cantor A.
Pontos com esses esses itinerários permanecem em Aapós iterações com n > 0 ou n<0.
Itinerário em A
ChaosAlliggodetal.
Partição de Markov para o Mapa do Padeiro
ChaosAlligoodetal.
Conjuntos de pontos iterados que permanecem no quadrado
Pontos em .L (.R), após uma iteração, vão para L (R) Pontos em .RL, após duas iterações, vão para L
k -2 Largura =
ChaosAlligoodetal.
Iterações com n > 0 Conjuntos de pontos iterados que permanecem no quadrado
Ponto em RRL. Está em L e veio de R, após ter saído de R
)1 k ( -3 Largura +=
ão translaçde Mapa
→
Aplicação do mapa do padeiro B a um itinerário
caótica órbita símbolos de repetição sem Sequência
k período de órbita repetidos símbolosk com Sequência
⇒
⇒
MapadaFerradura
∗∗
∗∗
∗∗∗∗
==
==
⇒
D (D)h C (C)h B (B)h A (A)h
DCBA áreaABCD área à aplicado MapaSmale S.por ointroduzid,R em Mapa 2
ChaosAlligoodetal.
Identificação de um mapa da ferradura no mapa de Hénon
ChaosAlligoodetal.
Mapa da Ferradura Estica de uma fator 4 na vertical Contrai de um fator 4 na horizontal
Conjunto invariante H no quadrado W (pontos iterados permanecem em W, para n> 0 e n< 0).
R S V em h
L S V em h
h em etapas comitinerário um temponto Cada
(H).h H conjunto do Vou Vem permanece invariante conjunto do ponto Cada
iRi
iLi
i
RL
=⇒
=⇒
∩
ChaosAlligoodetal.
R
L
V em mapeados .R em PontosV em mapeados .L em Pontos
(W)h imagem da Mapeamento
Imagem
ChaosAlligoodetal.
W)(h Mapeamento 2
ChaosAlligoodetal.
Mapeamento para n < 0 Cruzamentos dos mapeamentos para n > 0 e n< 0
4ln - h e 4ln h expoentes com Smale) (de ferradura da mapa do caóticas Órbitas
11 ==
ChaosAlligoodetal.
Mapa da ferradura no pêndulo forçado
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