V-CaosemMapasBidimensionais

ReferênciaPrincipal:ChaosK.Alligood,T.D.Sauer,J.A.Yorke

Springer(1997)

1-ExpoentesdeLyapunov

ChaosAlligoodatal.

MapasBidimensionaisCadaórbitatemdoisnúmerosdeLyapunov,quemedemarazãodeseparação,emcadaumdasduasdireções.

AsrazõesentreoseichosfinaiseiniciaissãoosnúmerosdeLyapunov.OslndessesnúmerossãoosexpoentesdeLyapunov.

ChaosAlligoodetal.

Mapas Tridimensionais CadaórbitatemtrêsnúmerosdeLyapunov

Definição : f mapa suave em R2, Jn = D f n !v0( )k = 1, 2 ; rk

n comprimento do eixo da elípse Jn U1, para órbitascom pontos iniciais em torno de !v0;rk

n mede a contração e a expansão próximas a essas órbitas.Cada número de Lyapunov é definido como:Lk ≡ lim

n → ∞(rk

n )1/n

Os expoentes de Lyapunov são hk = ln Lk

Vamos usar a sequência L1 > L2 ⇒ h1 > h2

D f1 !v0( ) : primeira derivada no ponto !v0 ≡ (x0 , y0 )

D f n !v0( ): n-ésima derivada no ponto !v0

r1n e r2

n são os comprimentos dos eixos maior e menor

Definição:Mapa f suave em R2

Uma órbita limitada { !v0 , !v1,... !vn , ...} é caótica ⇔1- ela não é periódica assintoticamente2- Lk ≠ 1 ( k = 1, 2 )3- L1 ( !v0 ) > 1 ( ou h1 ( !v0 ) > 0 )

AlligoodChaos

Mapa do Padeiro

A: conjunto de Cantor obtido para n → ∞

Exemplo:

Mapa do padeiro !B (x, y) =

(1/3 x, 2y) para 0 ≤ y ≤ 1/2(1/3 x + 2/3, 2y - 1) para 1/2 < y ≤ 1⎧⎨⎩

A cada iteração o retângulo central é removido.O conjunto de Cantor A desse mapa é constituido pelos retângulos verticais que permanecem em

!Bn para todo n (n > 0, n < 0).

A é um conjunto invariante pois !B-1 (A) = A

Área do conjunto de Cantor A (obtido do mapa do padeiro)

Qualquer órbita do mapa do padeiro, que não seja assintóticamente períodica, é caóticaA matriz Jacobiana de uma órbita (para y ≠1/2) é

D !B (!v) =

1/3 00 2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Após uma iteração, um circulo pequeno de raio r é transformadoem uma elípse de raios 1/3 r, na direção x, e 2 r, na direção y.Após n iterações, os raios são (1/3)3 r e (2)n r.Assim, L1 = 2 e L2 =1/ 3 ⇒ h1 = ln 2 = 0.693 e h2 = ln 1/3 = -1.099

AlligoodChaos

) x ,y 0.3 x- 1.4 ( )y , x ( fHénon deAtrator

2 +=

62.1h e 0.42h Lyapunov de Expoentes

21 −==

a= 1.4 b = 0.3

Alligood Chaos

a = 1.28 a = 1.4

b = -0.3 Variedades do Mapa de Hénon

Alligood Chaos

Variedade Estável e Atrator Caótico no Mapa de Hénon

a= 1.39 b = 0.3

) 72.0h e 51.0h (487.0L e66.1Lcaóticoatrator 6C,9.0C,0.4 C 1, R Para

estáveis fixos pontos dois há ,parâmetros dos Dependendo

CLL :Lyapunov de Números

C y) (x, J jacobiana matriz da teDeterminan

reais parâmetros R,C,C,Cy x 1

C - C

) cosy sen x (C) sen y - cosx (C R

y) (x, F

Ikeda de Mapa

2121

321

2221

22

321

223

1

2

2

−====

⇒====

=

=

+++=

⎩⎨⎧

+

+=

τ

ττ

ττ

ChaosAlliggodetal.

Mapa de Ikeda

72.0h e 51.0hLyapunov de Expoentes

6C,9.0C,0.4 C 1, RcaóticoAtrator

21

321

−==

====

Exemplo:Mapa f (x, y) = (r2, θ + q)r, θ : coordenadas polaresq = (número irracional ) 2π

r0 >1 ⇒ órbitas divergem, i. e., r → ∞ r0 <1 ⇒ órbitas convergem para r → 0

r0 =1 ⇒ órbitas quase-periódicas

L1= ∂r2

∂ r( r = 1) = 2 r= 2×1= 2 ⇒ h1 = ln 2

(sensível às condições iniciais )

L2 = ∂ (θ + q)∂ θ

=( r = 1 ) = 1 ⇒ h2 = ln 1 = 0

2-CálculodoExpoentedeLyapunov

nte.inconvenie é Issopequeno. muito s e grande muito serias Mas nte.numéricame

calculadasser podem s valores-auto seus e J J matrizA

unitária.esfera dapartir a ntenuméricame calculadaser pode UJ elípse a Mas

n. grandes para enteanaliticam obtidaser pode não )v (fDJ matrizA

.jacobianasmatrizes das e mapa dopartir a hobter consegue se não geral, Em

21

2in

Tn

n

0n

n

k

!!!=

ChaosAlligoodatal.

MapasBidimensionaisCadaórbitatemdoisnúmerosdeLyapunov,quemedemarazãodeseparação,emcadaumdasduasdireções.

AsrazõesentreoseichosfinaiseiniciaissãoosnúmerosdeLyapunov.OslndessesnúmerossãoosexpoentesdeLyapunov.

ChaosAlligoodetal.

Mapas Tridimensionais CadaórbitatemtrêsnúmerosdeLyapunov

Definição : f mapa suave em R2, Jn = D f n !v0( )k = 1, 2 ; rk

n comprimento do eixo da elípse Jn U1, para órbitascom pontos iniciais em torno de !v0;rk

n mende a contração e a expansão próximas a essas órbitas.Cada número de Lyapunov é definido como:Lk ≡ lim

n → ∞(rk

n )1/n

Os expoentes de Lyapunov são hk = ln Lk

Vamos usar a sequência L1 > L2 ⇒ h1 > h2

D f1 !v0( ) : primeira derivada no ponto !v0 ≡ (x0 , y0 )

D f n !v0( ): n-ésima derivada no ponto !v0

r1n e r1

n são os comprimentos dos eixos maior e menor

U)v (fD área de elípse uma geram que

w e w ortogonais versoresosobter então, Definimos,

ortogonais mentenecessaria são não eles mas U,)v (fD elípse na estãoz ez

W)v (fDz,W)v (fDz

z ..... ,z vetoresos CalculamosR em }w,{w ortgonal base a com Começamos

U)v (fD.....)v (fD UJ

de através elípse da evolução aseguir Podemos

0

21

021

0202

0101

n1

202

01

01 -n n

!!!

!!!!!

!!!!!!!!

!!

!!!!!!

==

=

3-DimensãodeLyapunov

Definição: f mapa em Rn;Órbita com expoentes de Lyapunov h1 > h2 > h3 > .... > hm ;

p o maior inteiro tal que hii = 1

p

∑ ≥ 0;

Dimensão de Lyapunov: DL =

0 se p não existe

p + 1hp + 1

hii = 1

p

∑ se p < m

2 se p = m

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

caixas) de contagem a com obtida dimensão a para resultado (mesmo

3lnhe2lnh pois3ln 2ln 1

hh1D

padeiro do mapa o Para

1ph0h poishh1D

outros e padeiro do Hénon, de mapa o Para

212

1L

212

1L

−==+=+=

=⇒>>+=

Chaos Alligood et al.

Iteração de Área em Torno de Uma Órbita

Expoentes de Lyapunov determinam contratação e dilatação.

71.1D 0.72-h 0.51h Ikeda de Mapa 631.1D 0991.- 3ln h 0.693 2ln h padeiro do Mapa

26.1 0.42/1.62 - 1 D 1.62-h 0.42h Hénon de Mapa

iteraçãopor área da contração1eeeiteraçãopor contração1e0

iteraçãopor oalongament1e

v órbita da próximos pontos de conjunto um deÁrea0hh 0h

R em f Mapa

L 2 1

L 2 1

L 2 1

hhhh

h

h0

2 1 1

2

2 1 2 1

2

1

=→==

=→====

==→==

⇒<=

<<

>

<+≥

+

!

Chaos Alligood et al.

) fractal (estruturalar perpendicu direção na oalongament do direcão na 1

1 Alim0hhiteraçõesk após área:edA

0) k ( inicial área : dA

kk21

)hh (k 2k

20

21

ε

ε+→⇒<+

=

==

∞→

+

Contração da Área

Dimensão por Contagem de Caixas

2

2

1

hk

hk

hk

ed :caixa da Largura eded )( N :caixas de Número

: iteraçõesk Após(d) N :caixas de inicial Número

=

=

ε

ε

2

1

2

1

hh1

hh1 +=−→

Para k → ∞, obtemos a dimensão de Lyapunov

Chaos Alligood et al.

Iteração de Volume em Torno de Uma Órbita

área de dilatação 2 Dhh 0R em f

área de contração 0 Dhh 0R em f

L21

2

L21

2

→⇒<<

→⇒≥>

nal.bidimensio caso aoSemelhanteplano. nesse caixas com estimadaser pode dimensãoA

expansão. da direção na Plano0hh

0h e 0hR em f mapa do caóticas Órbitas

11

21

3

<+

≥>

33231

33

1

3

hk hk hk hk hk

2hk

2hk

1hk

hk

hk

21

321

3

eee)( N

h de direção na eeh de direção na

ee

e lado de Cubos

2 p0hh

0h0h e 0hR em f mapa do caóticas Órbitas

==

=⇒≥+

<≥>

−− εε

3

21L h

hh2D ++=∞→

5-Par^çõesdeMarkov

Exemplo: Partição de Markov para o Mapa do Padeiro

Mapa do padeiro !B (x, y) =

(1/3 x, 2y) para 0 ≤ y ≤ 1/2(1/3 x + 2/3, 2y - 1) para 1/2 < y ≤ 1⎧⎨⎩

(O conjunto de Cantor A desse mapa é constituido pelos retângulos verticais que permanecem em

!Bn para todo n (n > 0, n < 0).

A é um conjunto invariante pois !B-1 (A) = A)

Vamos apresentar itinerários S do mapa !B, no conjunto de Cantor A.

Pontos com esses esses itinerários permanecem em Aapós iterações com n > 0 ou n<0.

Itinerário em A

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Partição de Markov para o Mapa do Padeiro

ChaosAlligoodetal.

Conjuntos de pontos iterados que permanecem no quadrado

Pontos em .L (.R), após uma iteração, vão para L (R) Pontos em .RL, após duas iterações, vão para L

k -2 Largura =

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Iterações com n > 0 Conjuntos de pontos iterados que permanecem no quadrado

Ponto em RRL. Está em L e veio de R, após ter saído de R

)1 k ( -3 Largura +=

ão translaçde Mapa

→

Aplicação do mapa do padeiro B a um itinerário

caótica órbita símbolos de repetição sem Sequência

k período de órbita repetidos símbolosk com Sequência

⇒

⇒

MapadaFerradura

∗∗

∗∗

∗∗∗∗

==

==

⇒

D (D)h C (C)h B (B)h A (A)h

DCBA áreaABCD área à aplicado MapaSmale S.por ointroduzid,R em Mapa 2

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Identificação de um mapa da ferradura no mapa de Hénon

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Mapa da Ferradura Estica de uma fator 4 na vertical Contrai de um fator 4 na horizontal

Conjunto invariante H no quadrado W (pontos iterados permanecem em W, para n> 0 e n< 0).

R S V em h

L S V em h

h em etapas comitinerário um temponto Cada

(H).h H conjunto do Vou Vem permanece invariante conjunto do ponto Cada

iRi

iLi

i

RL

=⇒

=⇒

∩

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R

L

V em mapeados .R em PontosV em mapeados .L em Pontos

(W)h imagem da Mapeamento

Imagem

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W)(h Mapeamento 2

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Mapeamento para n < 0 Cruzamentos dos mapeamentos para n > 0 e n< 0

4ln - h e 4ln h expoentes com Smale) (de ferradura da mapa do caóticas Órbitas

11 ==

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Mapa da ferradura no pêndulo forçado