universidade gama filho procet – departamento de engenharia elÉtrica

UNIVERSIDADE GAMA FILHOPROCET – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

Disciplina de Controle IIProf. MC. Leonardo Gonsioroski da Silva

A característica básica da resposta transitória de um sistema de malha fechada, depende essencialmente da localização dos pólos de malha fechada.

É importante, então, que o projetista saiba como os pólos de malha fechada se movem no plano s, a medida que o ganho de malha varia.

Limitações e dificuldades da análise dos pólos através da solução da equação característica:

1. Equações características de grau superior a 3, são muito trabalhosas requerendo o uso de métodos computacionais pra a solução.

2. É uma análise estática, pois, se o ganho variar, os cálculos deverão ser refeitos.

O método do Lugar das raízes permite que as raízes da equação característica sejam representadas graficamente para todos os valores do ganho k.

Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes

O gráfico do Lugar geométrico das raízes, consiste no desenho de todos os valores que os pólos de malha fechada de uma função de transferência assumirão num plano de coordenadas complexas (portanto traçaremos o gráfico sobre um plano complexo) quando variarmos o ganho k.

Considere o sistema abaixo:

Diagrama dos pólos Lugar das Raízes

Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das RaízesPropriedades Importantes

Considere o seguinte sistema básico como exemplo:

1.Condições de ângulo e módulo

onde k = 0, ±1, ±2, ±3, ...

A equação (1) estabelece que se um valor de ‘s’ for substituído na função obtém-se um número complexo, se o ângulo desse número complexo for múltiplo impar de 180o, então este valor de ‘s’ será um pólo do sistema para um valor particular de k.

Mostrar que cada caso do 1o exemplo conduz para .

0)()(1 sHsKG

1)()( sHsKG

01)()()()( jsHsKGsHsKG

1)()( sHsKG ,180)12()()( oksHsKG

1)()( sHsKG

Condição de Módulo Condição de ângulo

1)()( sHsKG

Por exemplo se for dado por:

Os ângulos dos vetores no plano complexo se originam nos pólos e zeros e vão até um ponto ‘s’ medidos no sentido anti-horário.

Portanto o ângulo de será:

e o Módulo de será:

),()( sHsKG))()()((

)()()(

pspspsps

zsksHsKG

),()( sHsKG43211)()( sHsKG

),()( sHsKG4321

1)()(AAAA

KBsHsKG

2. Definição de ramo: Ramo é o caminho percorrido pelo pólo quando variamos o ganho k. (observar na figura do quadro os dois ramos criados pela variação do valor de k).

O número de Ramos será sempre igual ao número de pólos do sistema.

3. Análise dos pólos e zeros no infinito de uma função de transferência.

Toda função de ‘s’ possuirá um número igual de pólos e de zeros, se for levado em conta os pólos e zeros infinitos.

Por exemplo, a Função de Transferência tem 3 pólos finitos e nenhum zero finito,

mas se analisarmos o comportamento desta função no infinito veremos que:

Se a função tender ao infinito, quando ‘s’ tender ao infinito, então a função terá um ou mais pólos no infinito.

Se a função tender a zero quando ‘s’ tender ao infinito, então a função terá um ou mais zeros no infinito.

No caso acima, Fazendo ‘s’ tender ao infinito, a função se tornará

Cada ‘s’ do denominador faz com que a função se torne nula quando ‘s’ tende ao infinito, portanto esta função possui 3 zeros no infinito, como era de se esperar.

)2)(1()()(

KsHsKG

4. Simetria

“O lugar geométrico das Raízes é simétrico em relação ao eixo real.”

Representação do Gráfico do Lugar das Raízes

Vamos estipular 7 passos para traçarmos completamente o gráfico que representa o Lugar geométrico das raízes de uma dada equação característica.

Passo 1: Determinar o número de ramos.

“O número de ramos do lugar geométrico das raízes é igual ao número de pólos de malha fechada.”

Passo 2: Determinar os segmentos sobre o eixo real. Neste caso utiliza-se a propriedade de ângulo. Como regra geral, assuma que:

“No eixo real, o lugar geométrico das raízes existe à esquerda de um número ímpar de pólos e/ou raízes finitos sobre o eixo real.”

Passo 3: Determinar os pontos de partida e de término.

“O lugar geométrico das raízes se inicia nos pólos finitos e infinitos de G(s)H(s) e termina nos zeros finitos e infinitos de G(s)H(s).”

Passo 4: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito.

“O Lugar geométrico das raízes tende a retas assintóticas quando o lugar das raízes tende ao infinito. Além disso, a equação das assíntotas é dada pelo ponto de

interseção sobre o eixo real e o ângulo da seguinte forma:

onde k = 0, ±1, ±2, ±3, ...

finitoszerosfinitospólos

finitoszerosfinitospólosa ##

180)12(

Nota-se que ainda ficam faltando alguns detalhes no gráfico:

a)Qual o ponto e o ângulo de partida no eixo real?b)Se fosse o caso, qual o ponto e o ângulo de chegada no eixo real?c)Se houvesse pólos e zeros complexos, quais seriam os ângulos de Partida (no caso de pólos) e os ângulos de chegada (no caso de zeros)?d)Qual o valor no eixo imaginário que o lugar das raízes toca?

Passo 5: Determinar os ângulos e os pontos de chegada e partida no eixo real. O ponto onde o lugar das raízes deixa o eixo real é chamado de ponto de partida.O ponto onde o lugar das raízes retorna ao eixo real é chamado de ponto de chegada

“Nesses pontos os ramos do lugar das raízes formam um ângulo de 180o/n com o eixo real, onde n é o número de pólos de malha fechada chegando ou saindo de um ponto

de chegada ou de partida no eixo real.”

Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das RaízesRepresentação do Gráfico do Lugar das Raízes

Exemplo:

Nesse caso os ângulos de partida e chegada, serão de 90º.Os pontos de partida e de chegada são encontrados resolvendo-se a equação:

Os valores de após analisados serão os pontos de partida e/ou chegada no eixo real.

i pz 11

Façamos um exemplo para o caso da figura acima:

O sistema tem 2 pólos, -1 e -2. E possui 2 zeros, 3 e 5. substituindo fica:

0612611 2

82,3,45,1 e

Passo 6: Determinar os ângulos de partida e chegada nos pólos e zeros complexos.

Para encontrarmos o ângulo de partida de um pólo complexo, primeiramente pegamos um ponto de teste, bem próximo do pólo que desejamos encontrar o ângulo de partida.

Depois sabemos que pela condição de ângulo, a soma dos ângulos formados pelos zeros, menos a soma dos ângulos formados pelos pólos do sistema em estudo deve ser igual a (2k+1)180o.

Passo 7: Determinar os pontos de interseção com o eixo dos imaginários

Para se determinar o ponto de interseção no eixo imaginário pode-se utilizar o critério de Routh-Hurwitz da seguinte forma:

a)escreve-se a matriz de Routh normalmente.b)Encontra-se o valor do Ganho K, fazendo a linha s1 igual a zero.c)Os pontos de cruzamento com o eixo imaginário é então determinado com a resolução da equação auxiliar obtida a partir da linha s2 .

Fazer um exemplo no Quadro.

Configurações Típicas de pólos e zeros e o lugar das raízes correspondentes

Exercício de FixaçãoPara cada lugar das raízes mostrado na figura abaixo, diga se o esboço pode ou não caracterizar o lugar geométrico das raízes. Caso o esboço não possa representar o lugar geométrico das raízes, explique o porquê. Forneça todas as justificativas.

Exercício de FixaçãoEsboce (sem detalhamento) a forma geral do lugar geométrico das raízes para cada diagrama de pólos e zeros em malha aberta mostrado nas figuras abaixo:

Exercício de FixaçãoEsboce o Lugar geométrico das raízes para o sistema com realimentação unitária mostrado abaixo, cheque o ângulo de partida dos pólos complexos.

Exercício de FixaçãoPara o diagrama de pólos e zeros em malha aberta mostrado na figura abaixo, esboce o lugar geométrico das raízes e determine o ponto de chegada.

Exercício de FixaçãoEsboce o lugar das raízes do sistema com realimentação unitária mostrado abaixo e determine os pontos de entrada e saída.

Recordando....

Os 7 passos para desenharmos perfeitamente o gráfico do lugar das raízes são:

1o Passo: Determinar o número de ramos

2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real

3o Passo: Determinar os pontos de partida e de término

4o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito

5o Passo: Determinar os ângulos e os pontos de chegada e partida no eixo real

6o Passo: Determinar os ângulos de partida e chegada nos pólos e zeros complexos

7o Passo: Determinar os pontos de interseção com o eixo dos imaginários

Exercício de Fixação

1o Passo: Determinar o número de ramos

- 1- 2- 3 1

= 2, pois tem 2 pólos.

- 1- 2- 3 1

3o Passo: Determinar os pontos de chegada.

i pz 11

Quem são os pólos e os zeros?

Usando esses valores, temos:

02105 23 Donde se tira que:

- 1- 2- 3 1

4o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito - Não tem pólos no infinito

5o Passo: Determinar os ângulos e os pontos de chegada e partida no eixo real oo

6o Passo: Determinar os ângulos de partida e chegada nos pólos e zeros complexos

- 1- 2- 3 1

σ-2,3

≈90o

ϕ1ϕ2

oarctag 43183

oarctag 03144

x 90031443189021 ,,

ox 46122,

- 1- 2- 3 1

ox 46122,

122,46o

Por Simetria

7o Passo: Determinar os pontos de interseção com o eixo dos imaginários

Com os pólos e os zeros pode-se terminar a FT.

adicionando o ganho e resolvendo a FT de Malha

fechada, encontramos a seguinte equação característica:

Aplicando Routh, temos:

026251 2 KsKsK

KKs 2052

6632144

02206201

Voltando ao gráfico...

- 1- 2- 3 1

911,js

122,46o

-j1,91

- 3- 4- 5 -2

σ- 6 - 1

Exercício de FixaçãoEsboce o lugar das raízes do sistema com realimentação unitária mostrado abaixo e determine os pontos de entrada e saída.

- 3- 4- 5 -2

σ- 6 - 1

1o Passo: Determinar o número de ramos = 2, pois tem 2 pólos.

i pz 11

Quem são os pólos e os zeros?

Usando esses valores, temos:

068568 2 Donde se tira que:435

-5,4 -1,56

- 3- 4- 5 -2

σ- 6 - 1

4o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito

xx-5,4 -1,56

- Não tem pólos no infinito

5o Passo: Determinar os ângulos e os pontos de chegada e partida no eixo realo

6o e 7o Passos: Não se aplicam

Dado o sistema com realimentação unitária que possui a função de transferência do canal direto.

Faça o seguinte:a.Esboce o lugar geométrico das raízes.b.Determine o ponto de interseção com o eixo imaginário. Determine o ganho K nesse ponto.c.Determine o ponto de entrada.d.Determine o ângulo de partida dos pólos complexos.

Solução:

a. Esboce o lugar geométrico das raízes.

Para esboçar o lugar geométrico das raízes basta 3 dos 7 passos aprendidos.

1o Passo: Determinar o número de ramos2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real3o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito

Solução:

Função de Transferência Quantidade de Pólos

Quantidade de Ramos

Solução:

- j1-2

Pólos

Zeros 2z

Solução:

- j1-2

Sabemos que temos um zero no infinito, temos que saber agora para que lado ele se encontra:

finitoszerosfinitospólosa ##

a finitoszerosfinitospólos

18018012

Solução:

- j1-2

Solução:

b. Determine o ponto de interseção com o eixo imaginário. Determine o ganho K nesse ponto.

Para encontrar esse ponto, basta usarmos Routh na FT de Malha Fechada.

Função de TransferênciaMalha Aberta

Função de Transferência Malha Fechadacom realimentação unitária

- j1-2

Solução:

c. Determine o ponto de entrada.

- j1-2

Para determinar o ponto de entrada, basta usar a fórmula já conhecida.

i pz 11

01742 586,

- 6,58

Solução:

d. Determine o ângulo de partida dos pólos complexos.

Fazer no quadro.

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