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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS - UNISINOSCENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

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Sistema de coordenadas Números reais são associados aospontos de uma reta de tal modo quea cada número corresponda um

ponto e a cada pontocorresponda um número real. Tal associação estabelece uma

correspondência biunívocaentre o conjunto dos númerosreais (R) e os pontos da reta.

-2 -1 0 1 2

-1,7 -0,5 0,6 1,8

Eixo orientado é a reta, orientada, na qual se escolhe um

ponto, arbitrário,como origem e a ele se associa

o número real 0 (zero).0

À esquerda de 0 escrevemosos números negativos e, à

direita, os positivos:

0 ½ 1-1 -¼ 2

Um sistema de coordenadas é denominado

cartesiano ou retangular se associarmos duas retas orientadas,

uma perpendicular à outra,interceptando-se na origem.

eixo y ou eixodas ordenadas

eixo x ou eixodas abscissas

Eixos coordenados são as duas retas.Origem é o ponto de intersecção entre elas.

eixos coordenados

origem doseixos

Cada ponto marcado no planotem um endereço que indica suaposição em relação aos dois eixos.

P(a; b)

O símbolo P(a; b)denota o ponto P

com abscissa iguala a e ordenada

igual a b.

P(a; b)

abscissa

ordenada

P é onome do

Todo ponto sobre o eixo x tem y = 0.

Todo ponto sobre o eixo y tem x = 0.

P(2; 0)

3 P(0; 3)

Marque, no papel, os pontos abaixo no plano cartesiano:

a) A(-1; 0)

b) B( 4; 0)

c) C(0; 0)

d) D(-8; -½)

e) E(3; -¼)

Responda, no papel, considerando o gráfico ao lado:

a) quais as coordenadas do ponto B?

b) qual a abcissa do ponto E?

c) qual a ordenada do ponto E?

d) quais os pontos cuja ordenada é nula?

Função

O conceito de função é um dos mais úteis na Matemática.

No dia-a-dia estamos rodeados porfunções.

o preço é função do produto em um Super-Mercado;

o gasto de energia elétrica de uma residência é função do número

de lâmpadas, da potência das lâmpadas, do tempo em que ficam ligadas, do preço do kilowat-hora,

entre outros.

o valor pago no semestre pelo aluno da UNISINOS é função do

número de disciplinas em que se matriculou;

Produtos Preços

R$43,00

R$1,58

R$18,50

R$3,50

R$97,50

R$1,20

o preço é função do produto em um Super-Mercado

É função porque o conjunto Produtos (todos os produtos

vendidos) e o conjunto Preços (todos os preços dos produtos

vendidos) de um Super-Mercado:

estão em uma relação muito especial, um com o outro.

Produtos Preços

R$43,00

R$1,58

R$18,50

R$3,50

R$97,50

R$1,20

Esta é uma representação,por meio de diagramas,

da funçãoF: Produtos Preços.

não podem sobrar produtos no conjunto Produtos e

todo elemento do conjunto Produtos deve se relacionar com um e apenas um preço do conjunto Preços.

Assim, para que seja uma função :

Está na sua hora. É agora!Clique sobre o Bloco de Notas e relacione, pelo menos,5 exemplos de função. Faça o diagrama para analisar

melhor. Imprima e discuta com um colega.

Tente! Faça! Discuta!

A relação S de todos os Professores e todos os Alunos, na UNISINOS, representa uma função?

A relação R de Alunos em Classes de uma sala de aula representa uma função?

Clique no Bloco de Notas e escreva5 relações entre dois conjuntos.

Identifique aquelas que representamfunção, justificando através do diagrama.

Discuta a solução com seu (ou sua) colega. Peça ajuda

ao professor. Tente!

Uma função F: A B (lê-se: funçãoF de A com imagens em B) é o conjunto

dos pares ordenados (x, y) de tal modoque para todo x pertencente ao conjuntoA existe um e apenas um y pertencente

ao conjunto B.

Essa relação entre os elementos dosdois conjuntos pode ser expressa por uma(ou mais) lei matemática do tipo y = f(x).

A função representada pelo

diagramatem os elementos de A relacionados aos

elementos de B pela lei

y = x + 1

É a expressão matemática y = x + 1

que nos dá arelação entre os

elementos de A e B.

se x = 3, y = 3 + 1 = 4;se x = 1, y = 1 + 1 = 2;se x = -1, y = -1 + 1 = 0.

(3; 4), (1; 2), e (-1; 0) sãopontos da funçãoF: A B, y = x + 1.

Chamamos dedomínio da função: aos elementos de A;contradomínio da função: aos elementos de B;imagem da função: aos valores de y dos pares ordenados da função.

dom f = A cdom f = B

im f = {0; 2; 4}

a) qual o domínio?b) o contradomínio?c) a imagem da função?d) o que diferencia imagem de contradomínio?e)qual a lei matemática que relacionaos elementos dos dois conjuntos?

Em relação ao diagrama, abra o Bloco deNotas e responda:

Clique em cada figura.

Determine a lei matemática de F: {0; 1; 4} Z, cujos elementos são os pares ordenados {(0; 0); (1; 1); (4; 2)}. Calcule domínio, contradomínio e imagem da função. Faça o gráfico.

A relação R2: N N, dada pela lei y = x - 1 é função? Justifique. O que é preciso alterar na definição da função para que ela represente uma função? RR

Verifique se a relação R1: {-1; 0; 1} {0; 1; 2; 3}, dada pela lei y = x + 1, é função. Justifique. Se afirmativo calcule domínio, contradomínio e imagem da função.

Clique em cada figura.

A relação R3 : N R, dada pela lei y = x2 é função? Por que? Faça o gráfico.

A relação R4: R R, dada pela lei y = x é função? Faça o gráfico.

Identifique nos gráficos abaixo os que representam função.Se afirmativo, calcule domínio e imagem.

CRIAÇÃO E MONTAGEM:

PROFª NARA SARAIVA

O endereço do ponto é dado pelo par ordenado (a; b).

A idéia é semelhante ao endereço de uma residência:

é ele que dá a posição do morador no mapa da cidade.

Rua Mal. Floriano, 614, aptp 711, Centro, Porto Alegre,RS, Brasil.

Marcar um ponto significa colocar no plano coordenado o ponto P de coordenadas a

(abscissa) e b (ordenada), representando-o por um (ponto) na posição apropriada.

a) A(-1; 3)

b) B( 4; 0)

c) C(0; 0)

d) D(-3; -½)

e) E(3; -¼)

1 2 3 4 -3 -2 -1

Não esqueça de orientar o eixo x

e colocar seunome

Não esqueçade orientar o eixo y

e colocar seunome

Respostas da Rapidinhas 1

Responda, considerando o gráfico ao lado:

a) quais as coordenadas do ponto B? (q; r)

b) qual a abcissa do ponto E? x = t

c) qual a ordenada do ponto E? y = u

d) quais os pontos cuja ordenada é nula? A, C e D

Sobrar significa dizer que o elemento não se relaciona com um

elemento do outro conjunto.

Não é função porque tem um elemento do conjunto A que se relaciona com mais do que um elemento do

conjunto B.

É função porque cada elemento do conjunto A se relaciona com um único elemento do

conjunto B.

É função porque cada elemento do conjunto A se relaciona com um único elemento do conjunto B.

Não é função porque tem um elemento do conjunto A que não se relaciona com um elemento do

conjunto B.

Chamamos de função a uma F: Produtos Preços se todo produto do conjunto

Produtos se relaciona com um e apenas um elemento do conjunto Preços.

Sim porque cada aluno existente na sala de aula se acomoda em uma e

apenas uma classe

Alunos Classes

Observe que podem sobrar classes porém

não podem sobraralunos sem classes!

A relação R de Alunos em

Classes de uma sala de aula

representa uma função?

Não é função porque cada

professor tem mais do que um aluno.Professores Alunos

Observe que cada professor tem mais do que um aluno em sua

sala de aula!

A relação S de todos os Professores e

todos os Alunos, na UNISINOS,

representa uma função?

O termo cartesiano é usado em homenagemao matemático e filósofo francês René Descartes

(1596 - 1650) que foi um dos primeiros autilizar tal sistema de coordenadas.

Alguns autores usam plotar o ponto (do inglês to plot)

ao invés de marcar o ponto.

A natureza e o conceito de função

As primeiras idéias sobre o conceito de funçãosurgiram no início do século XVII, quando o estudo da natureza começou a se basear aobservação dos fenômenos e nas leis que

procuravam explicá-lo.

A natureza e o conceito de função

As primeiras idéias sobre o conceito de funçãosurgiram no início do século XVII, quando o estudo da natureza começou a se basear aobservação dos fenômenos e nas leis que

procuravam explicá-lo.

Galileu Galilei (1564 - 1642) e Isaac Newton (1642 - 1727) utilizaram em seus trabalhos as

noções de lei e dependência entre fenômenos,que estão diretamente

ligadas ao conceito de função.

Galileu Galilei (1564 - 1642) e Isaac Newton (1642 - 1727) utilizaram em seus trabalhos as

noções de lei e dependência entre fenômenos,que estão diretamente

ligadas ao conceito de função.

Jean Bernonilli (1667 - 1748), no século XVIII,

matemático suíço, usou o termo função para

indicar valores obtidos de operações entre variáveis e

constantes.

Jean Bernonilli (1667 - 1748), no século XVIII,

matemático suíço, usou o termo função para

indicar valores obtidos de operações entre variáveis e

constantes.

A definição que mais se aproximou

da atualmente aceita foi a de

Peter Dirichlet (1805-1859), matemático alemão, na

primeira metade doséculo XIX.

A definição que mais se aproximou

da atualmente aceita foi a de

Peter Dirichlet (1805-1859), matemático alemão, na

primeira metade doséculo XIX.

No século XVIII, o matemático Leonhard Euler também fez

uso do conceito de função.

No século XVIII, o matemático Leonhard Euler também fez

uso do conceito de função.

A definição de função, dada pelo matemático

alemão Peter Dirichlet (1805 - 1859) e apresentada na primeira metade do século XIX, se diferencia da atual pelo fato de, na época, ainda não ter sido desenvolvida a

Teoria dos Conjuntos.

A definição de função, dada pelo matemático

alemão Peter Dirichlet (1805 - 1859) e apresentada na primeira metade do século XIX, se diferencia da atual pelo fato de, na época, ainda não ter sido desenvolvida a

Teoria dos Conjuntos.

O conceito de função, modernamente,baseia-se na idéia elementar de

par ordenado e no estabelecimentode relações entre conjuntos.

O conceito de função, modernamente,baseia-se na idéia elementar de

par ordenado e no estabelecimentode relações entre conjuntos.

É a expressão matemática y = x + 1

que nos dá arelação entre os

elementos de A e B.

se x = 3, y = 3 + 1 = 4;se x = 1, y = 1 + 1 = 2;se x = -1, y = -1 + 1 = 0.

(3; 4), (1; 2), e (-1; 0) sãopontos da funçãoF: A B, y = x + 1.

Substituindo na expressão y = x + 1 o valor de x pelos elementos do

conjunto A verificamos que o valor de y obtido é um elemento do conjunto B.

Substituindo na expressão y = x + 1 o valor de x pelos elementos do

conjunto A verificamos que o valor de y obtido é um elemento do conjunto B.

a) qual o domínio? Dom f = A

b) o contradomínio? C-dom f = B.

c) a imagem da função? {-1; 0; 2}.

d) o que diferencia imagem de contradomínio? Contradomínio são todos os elementos de B. Imagem são os valores de y que se relacionam com os valores de x.

e)qual a lei matemática que relacionaos elementos dos dois conjuntos?A lei é y = x - 1.

a) qual o domínio? Dom f = A

b) o contradomínio? C-dom f = B.

c) a imagem da função? {-1; 0; 2}.

d) o que diferencia imagem de contradomínio? Contradomínio são todos os elementos de B. Imagem são os valores de y que se relacionam com os valores de x.

e)qual a lei matemática que relacionaos elementos dos dois conjuntos?A lei é y = x - 1.

y Gráfico da função

Elementos da função: {(0;-1),(1;0),(3;2)}

A função representada pelo diagrama tem os elementos de A

relacionados aoselementos de B pela

lei y = x + 1.

y = x + 1Na lei y = x + 1 o x designa os

elementos que pertencem a A e o y os elementos que pertencem a B.

Na lei y = x + 1 o x designa os

elementos que pertencem a A e o y os elementos que pertencem a B.

Identifique os diagramas que representam uma função de A B.

Rapidinhas 6

Sim, é função porque cada elemento do conjunto A se corresponde com apenas um

elemento do conjunto B.dom f = A; cdom f = B; im f = {0; 1; 2}

Verifique se a relação R1: {-1; 0; 1} {0; 1; 2; 3}, dada pela lei y = x + 1, é função. Justifique. Se afirmativo calcule domínio, contradomínio e imagem da função.

Resposta da Rapidinhas 7

Determine a lei matemática de F: {0; 1; 4} Z, cujos elementos são os pares ordenados {(0; 0); (1; 1); (4; 2)}. Calcule domínio, contradomínio e imagem da função. Faça o gráfico.

Lei: dom f = (0; 1; 4}cdom f = Zim f = {0; 1; 2}

1 2 3 4

A relação R2: N N, dada pela lei y = x - 1 é função? Justifique. O que é preciso alterar na definição da função para que ela represente uma função?

Não, porque se x = 1, y = 1 - 1 =0 e 0 não pertence ao conjunto N, contradomínio da função. Para representar uma função poder-se-ia, por exemplo, alterar

• o domínio para N - {1} ou

• o contradomínio para N {0} ou

• a lei para, por exemplo, y = x

Retire do conjunto A o menor número de elementos para que o diagrama represente função. Escreva o domínio da função.

23 Dom f = {1; 2}Dom f = {1; 2}

Dom f = {2}Dom f = {2}

Dom f = {1; 2}Dom f = {1; 2}

+1-1 3 2-2

Rapidinhas 8 Resposta da Rapidinhas 8

Dom f = {2}Dom f = {2}

A relação R3 : N R, dada pela lei y = x2 é função? Por que? Faça o gráfico.

Sim, é função porque todo elemento do conjunto N se relaciona com apenas um elemento do conjunto R.

1 2 3 x

Sim, é função.

A relação R4: R R, dada pela lei y = x é função? Faça o gráfico.

Sim, é função.

Dom f = [b; c]

im f = [d; a]

Sim, é função.

Dom f = R

im f = {2}

Rapidinhas 10

Não é função.

Sim, é função.

Dom f = [b; c]

im f = [d; a]

Rapidinhas 10

Não é função.

Sim, é função.

Dom f = R

im f = (0; )

Sim, é função.

Dom f = [a; b]

im f = [d; c]

Se nem todo elemento do conjunto à esquerda se relaciona com um e

apenas um elemento do conjunto da direita temos apenas uma relação

e não uma função.

a) A(-1; 0)

b) B( 4; 0)

c) C(0; 0)

d) D(-8; -½)

e) E(3; -¼)

Rapidinhas 1

a) A(-1; 3)

b) B( 4; 0)

c) C(0; 0)

d) D(-3; -½)

e) E(3; -¼)

1 2 3 4 -3 -2 -1

Não esqueça de orientar o eixo x

e colocar seunome

Não esqueçade orientar o eixo y

e colocar seunome

Marcar um ponto significa colocar no plano coordenado o ponto P de coordenadas a

(abscissa) e b (ordenada), representando-o por um ponto na posição apropriada.

Esta tela é uma

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Esta tela é uma

voltar clique em

Identifique se o diagrama representa uma função F: A B. Responda, no Bloco de Notas, justificando.

Valor numérico de uma função

Se você realiza um trabalho, por hora, para alguém e cobraR$1,50 a hora ao término de 2 horas, qual é o valor cobrado?

R$3,00 é o valor numérico da função valor(horas) = horas . 1,50

quando substituímos a variável horas por 2.

O valor numérico de uma função y = f(x) é o valor de y quando substituímos o x por um número.

4 é o valor numérico da função quando x é igual a 3 f(3) = 4

0 é o valor numérico da função quando x é igual a -1 f(-1)= 0

É a expressão matemática y = x + 1 que nos dá a relação entre os elementos

de A e B.

0 é o valor numérico da função quando x é igual a -1 f(-1)= 0

É a expressão matemática y = x + 1 que nos dá a relação entre os elementos

de A e B.

O valor numérico de uma função y = f(x) é o valor de y quando substituímos

o x por um número.

O valor numérico de uma função y = f(x) é o valor de y quando substituímos

o x por um número.

Sim, é função porque cada elemento do conjunto A se

corresponde com um e apenas um elemento do conjunto B.

RRSim, é função porque cada elemento do conjunto A se

Não é função porque o elemento do conjunto A não se corresponde com um e apenas

um elemento do conjunto B.

Não é função porque o elemento do conjunto A não se corresponde com um e apenas

um elemento do conjunto B.

CRIAÇÃO E MONTAGEM:

PROFª NARA SARAIVA

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