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“LOB1053 - FÍSICA III“

Prof. Dr. Durval Rodrigues Junior

Departamento de Engenharia de Materiais (DEMAR)Escola de Engenharia de Lorena (EEL)

Universidade de São Paulo (USP)Polo Urbo-Industrial, Gleba AI-6 - Lorena, SP 12600-970

durval@demar.eel.usp.br

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOEscola de Engenharia de Lorena – EEL

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UNIDADE 8 –

CAMPOS MAGNÉTICOS PRODUZIDOS POR CORRENTES

Lei de Biot - Savart

AmT1026,1

AmT104 67

0⋅

×≈⋅

×= −−πμ

o campo magnético produzido por cargas em movimento (correntes) é:

De maneira análoga à que o campo elétrico produzido por cargas é:

rrdqr

rdqEd rr

30

20 4

1ˆ4

1πεπε

==

onde é um elemento de comprimento sobre a linha de corrente, é um vetor que vai de até o ponto P e

ldr

lidr

34 rrlidBd orr

r ×=

πμ

rr

é a permeabilidade do vácuo.

Edr

Bdr

Campo num ponto P qualquer

∫×

=C r

rlidB 20 ˆ

4

rr

πμ

x

z

lidr

P

rr

⊗ Bdr

y

C

(Lei de Biot-Savart)

34 rrlidBd orr

r ×=

πμ

Linhas de Campo MagnéticoAs linhas de campo magnético são linhas a partir das quais

pode-se visualizar a configuração do campo magnético de uma dada distribuição de correntes no espaço. No entorno de um fio longo transportando uma corrente, elas são da forma:

Observe que as linhas de são fechadas.Br

Campo magnético de um fio retilíneo

2

sin4 r

dsidB o θπμ

=

222 sRr +=

Integrando-se em tem-se:

== ∫ θθθθ

πμπ

dRRiB 22

2

0

0

sin/sin/sin

4

θθ

θ dRdssR

2sintan =→−=

RiB

πμ

40=

θ

(fio semi-infinito)

Ri

πμ

20

A lei de Biot-Savart 34 rrlIdBd orr

r ×=

πμ

Mas:

se reduz a:

Sentido do campo : dado pela regra da mão direita (ver figura)

Br

longo com corrente i

Bv

⊥Bdr

⊥+= BdBdzBdrrr

||)(

∫∫ == αcos)( || dBdBzB

)90(sin4

02

0

rdsidB

πμ

=

22222 cose

zRR

rRzRr

+==+= α

Substituindo essas três relações na integral de B(z) tem-se:

∫∫ +==

espira

dszR

iRdBzB 2/3220

|| )(4)(

πμ

2/322

20

)(2)(

zRiRzB+

=μ

Campo magnético de uma espira

Como a soma vetorial dos se anula:

O campo de uma espira de corrente não tem simetria suficiente para ser calculado pela lei de Ampère. Usaremos a lei de Biot-Savart paracalcular em pontos do eixo central da espira.B

r

Temos:

Campo magnético de uma espira

2/322

20

)(2)(

zRiRzB+

=μ

30

2)(

zNiAzB

πμ

=

3

20

2)(

zRizB μ

≈

30

2)(

zzB μ

πμ rr

=

Para pontos afastados ( ):Rz >>

(A espira se comporta como um ímã)

Lembrando que é a área da espira e é o seu momento magnético:

AR =2π niA ˆ=μr

Vimos:

≈

onde N é o número de espiras.

Força entre dois condutores com correntes

abbba BldiFdrrr

×=

A corrente do fio a gera um campo na posição do fio b:

O fio a produz no fio b uma força dada por:

)(4 30 ∫∫∫

××==

a

a

bb

ab

b rrldldiiFdF

baba

rrrrr

πμ

Para dois fios paralelos, a força sobre um comprimento L do fio b vale:

abba BLiFrrr

×=

== oab

ba BiL

F 90sindii ab

πμ2

0

Esta expressão possibilita a definiçãodo ampère.

diB a

a πμ2

0=∫×

=a

aaa r

rldiB 20 ˆ

4

rr

πμ

Canhão sobre trilhos

• Força magnética como acelerador de projéteis

Corrente percorre os trilhos condutores ligados por um fusível condutor que se funde ao se estabelecer corrente criando um gás condutor.

A expansão do gás empurra o projétil!

Exemplo

• Intensidade de cada campo:

• Módulo de

• A fase

• faz um ângulo com o eixo x dado por :

2,1,45cos2 0

0 == nd

iB nn π

μ

μT190T1089,145cos2

422

210

0 ≈×=+= −iid

Bπ

μ

0

2

1 25A32A15arctanarctan =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

BBφ

00 7045 =+φ

Dois fios transportam correntes i1 e i2 em sentidos contrários. Obter a intensidade , direção e sentido de em P. Adote i1 =15A, i2 =32A e d=5,3cm.

Br

Br

Br

Exemplos

Ex. 1) Sustentação de fios percorridos por corrente.

Ex. 2) Campo criado por dois fios paralelos percorridos porcorrentes opostas.

Ex. 3) Ex. 13, pg. 215, Halliday, Física 3, 4ª edição.

Ex. 4) Ex. 31, pg. 216, Halliday, Física 3, 4ª edição.

Ex. 5) Campo devido a uma corrente em um arco circular (seguindo o ex. 4 anterior, próximo slide).

devido a uma corrente em um arco circular

• campo magnético no ponto C

• para os segmentos 1 e 2 da figura (a) é nulo (vetoresparalelos e anti-paralelos)

• no segmento 3 são perpendiculares entre si.

RiBπφμ

40=

rsd vr×

rsd vr e

φ

Br

onde é o ângulo subentendidopelo arco.

,

Neste caso:

A Lei de AmpèreCircuitação de um campo vetorial

• Cada linha de é uma curva fechada.• A determinação de pode ser feita em termos da sua

circuitação.

dlrddlrd φθθφ =⇒= coscos

ididrridBrBdl

C0

00

22cos μφ

πμφ

πμφθ ==== ∫∫∫∫

RIB

πμ

20=Intensidade de :

∫∫ =⋅CC

BdlldB θcosrri

θ θφd

Br

Br

BrB

r

rrldr

A Lei de Ampère

A lei de Ampère é geral, mas a sua utilidade no cálculo docampo magnético devido a uma distribuição de correntesdepende da simetria do problema.

envoC

ildB μ=⋅∫rr

)(cos 21021 iiBdliiiC

env −=⇒−= ∫ μθ

Da figura ao lado tem-se:

Então:

( )21 iildB oC

−=⋅∫ μrr

(lei de Ampère)

Campo magnético fora de um fio retilíneo

0011

cos iBdlldB μθ ==⋅ ∫∫rr

1cos00 =⇒= θθ

possui simetria cilíndrica em torno do fio e a mesma intensidade em todos os pontos a uma distância r do mesmo.

é paralelo a

)2(cos11

rBdlBBdl πθ == ∫∫

rIB

πμ2

00=Da lei de Ampère: (fora do fio)

Br

ldr

Br

longo com corrente

Curva 1 ( r>R ):

Campo magnético no interior de um fio

Curva 2 (

)2(cos22

rBdlBBdl πθ == ∫∫

A corrente envolvida pela curva 2(de raio r) é:

))( 22

02env r(

RIrji π

ππ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

⇒== 2

2

000)2(RrIirB env π

πμμπ (dentro do fio)

O sentido de é dado pela regra da mão direita.

Rr ≤

rRIB 2

00

2πμ

=

Br

longo de raio R

:)

Gráfico da intensidade de de um fio

• Para

• Para

Rr ≤

Rr ≥

rRiB 2

0

2πμ

=

riB

πμ

20=

Br

:

:

retilíneo longo com corrente

Solenóides e Toróides

• Um fio longo enrolado formando uma bobina em espiral é chamado de solenóide.

• O campo magnético do solenóide é a soma vetorial dos campos produzidos por cada uma das voltas do fio que o forma.

Solenóide compacto Solenóide esticado

Solenóides e ToróidesO campo no interior de um solenóide é praticamente uniforme. As

figuras abaixo mostram um solenóide ideal e um solenóide real. Em ambos os casos os campos fora do solenóide são fracos, em comparação com os do interior.

Aplicando-se a lei de Ampère à curva abcd, havendo N voltas num comprimento h do solenóide:

env

b

a

c

b

d

c

a

dC

ildBldBldBldBldB 0μ=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅ ∫ ∫ ∫ ∫∫rrrrrrrrrr

)(0 nhiienv =

00inB μ=

;

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ = espiras de densidade a é

hNn

=0 =0 =0)( nhiBh 00μ=

Campo de um Toróide

NIldBC

0μ=⋅∫rr

)2( rBldBC

π=⋅∫rr

)( toróider2INB 0

πμ

=

A figura mostra o enrolamento de um toróide de N voltas, transportando uma corrente I. é diferente de zero apenas no interior do toróide. Sua intensidade varia com r.

Aplicando-se a lei de Ampère para a curva tracejada em azul, tem-se:

Br

nr

N≈

π2Note que como , esta expressão é parecida à do campo de

um “solenóide enrolado”.

Exemplos

Ex. 1) Tira condutora (Ex. 2, pg. 199, Halliday, Física 3, 4ª ed.).

Ex. 2) Ex. 12, pg. 215, Halliday, Física 3, 4ª edição.