unidade 05 mecanismos aluno posições

Mecanismos

Análise de Posições - Introdução

Uma vez que um projeto de mecanismo tenha sido proposto, deve

ser analisado. O principal objetivo de uma análise cinemática é

determinar as acelerações de todas as partes móveis do conjunto.

Forças dinâmicas são proporcionais à aceleração, conforme a segunda

lei de Newton.

Precisamos conhecer as forças dinâmicas para calcularmos as

tensões nos componentes. Um engenheiro de projetos deve assegurar

que o mecanismo proposto ou a máquina não falhará sob as condições

operacionais. Para isso, as tensões no material devem ser mantidas em

um nível bem inferior às tensões admissíveis.

Mecanismos

Análise de Posições - Introdução

Para calcular as tensões, precisamos conhecer as forças estáticas e

dinâmicas dos componentes utilizados. Para calcular as forças dinâmicas,

precisamos conhecer as acelerações.

Para calcular as acelerações devemos, primeiro, encontrar a posição de

todos os elos ou elementos no mecanismo para cada movimento de entrada;

depois, derivar as equações de posição em relação ao tempo a fim de

encontrarmos as velocidades; e, em seguida, derivar novamente e obter as

equações para a aceleração.

Mecanismos

Análise de Posições - Introdução

Por exemplo, em um mecanismo simples de quatro barras de Grashof,

provavelmente precisaremos calcular as posições, velocidades e acelerações

dos elos de saída (acoplador e seguidor) a cada dois graus (180 posições) de

posição de entrada da manivela para sua rotação.

Mecanismos

Análise de Posições

Análise Analítica de Mecanismos

Fica mais adequado para processamento

computacional, principalmente na análise de

velocidade e de aceleração.

Mecanismos

Análise de Posições

Usando álgebra

vetorial complexa

Utiliza-se o Circuito de Vetores (vector loop) para determinar as equações de movimento.

Com os circuitos de vetores fica mais fácil trabalhar com os métodos de Síntese analítica;

Fica mais adequado para processamento computacional, principalmente na análise de velocidade e de aceleração.

Métodos Analíticos

Usando relações

geométricas &

trigonométricas

Metodologia bem simples

Contudo, a análise de velocidade

e de aceleração poderão ficar

difíceis de serem solucionadas

Mecanismos

Análise de Posições

SOLUÇÃO PARA ANÁ LISE DE POSIÇÕES NO ME CANISMO

BIELA-MANIVELA

Mecanismos

Substituindo a relação de Euler:

Mecanismos

Separe os componentes reais e imaginários: parte real

(componente x):

Mecanismos

Mecanismos

Deseja-se resolver as Equações simultaneamente para as incógnitas

comprimento do elo d e ângulo do elo θ3. A variável independente é o

ângulo de manivela θ2.

Os comprimentos dos elos a e b, o deslocamento c, e o ângulo θ4 são

conhecidos. Porém, visto que definimos o eixo de coordenadas como

paralelo e perpendicular ao eixo do polo da manivela, o

ângulo θ1 é igual a zero e θ4 é 90º.

A Equação pode ser resolvida para θ3 e o resultado pode ser substituído

na Equação acima de forma a resolvê-la

para d. A solução é:

Mecanismos

Note que existem novamente duas soluções válidas correspondentes aos dois

circuitos do mecanismo. A função arco seno possui duas soluções. Sua

determinação fornecerá um valor entre 90º representando apenas um dos

circuitos do mecanismo.

O valor de d depende do valor calculado de θ3.

O valor de θ3 para o segundo circuito do mecanismo pode ser encontrado por:

Mecanismos

Exercícios – Mecanismo Biela-Manivela

O comprimento do elo (mm), o valor de θ2 (graus) e deslocamento (mm) para

alguns mecanismos biela-manivela são definidos na Tabela ao lado.

Para as configurações fornecidas, encontre todas as possíveis

soluções (aberta e cruzada) para o ângulo θ3 e a posição da biela d.

Mecanismos

Equação do laço de vetores nos mecanismos de quatro barras

Essas escolhas de vetores direção e sentidos, como indicados por seus

vértices em flechas, levam a essa equação do laço de vetores:

Mecanismos

Análise com Álgebra Vetorial Complexa

A equação vetorial é obtida da análise

da figura, como:

4132 RRRR

04132 RRRR

Que na forma complexa fica:

01432

1432 jjjj eCeCeCeC

Aplicando a relação de Euler, temos:

0coscoscos 4441333222 jsenCCjsenCjsenC

Separando em parte real e parte imaginária, temos:

0coscoscos 4413322 CCCC 0443322 senCsenCsenC

Mecanismos

Análise com Álgebra Vetorial Complexa

Duas formas de encontrar a solução para as equações:

Forma Fechada

Método Numérico (Newton-Raphson)

Mecanismos

Análise com Álgebra Vetorial Complexa

FORMA FECHADA

Vamos reescrever as equações anteriores para isolar a variável

desconhecida ϴ3 e resolvermos para ϴ4:

2244133 coscoscos CCCC 224433 sensensen CCC

Elevando ao quadrado e somando:

222441

222443

23

223 )coscos()sensen()cos(sen CCCCCC

222441

22244

23 )coscos()sensen( CCCCCC

Mecanismos

Análise com Álgebra Vetorial Complexa

Expandindo o lado direito da equação anterior, chega-se a:

)coscossen(sen2cos2 cos2 4242424412212

42

221

23 CCCCCCCCCC

222441

22244

23 )coscos()sensen( CCCCCC

Mecanismos

Análise com Álgebra Vetorial Complexa

Manipulando algebricamente, tem-se:

4

2

12

4

1

42

2

4

2

3

2

2

2

14242 coscos

2)coscos(

C

C

C

C

CC

CCCCsensen

Definindo as seguintes constantes:

2

11C

CK

4

12C

CK

42

2

4

2

3

2

2

2

32

1

CC

CCCCK

3224142 coscos)cos( KKK Equação de Freudenstein

32414242 coscos)coscos( KKsensen 2K (1)

Mecanismos

Análise com Álgebra Vetorial Complexa

Para fazer a Eq.(1) ter uma solução mais amigável é

aconselhável usar-se as seguintes identidades:

)2/(1

)2/(2sen

42

44

tg

tg

)2/(1

)2/(1cos

42

42

4

tg

tg

Agrupando os comprimentos das peças e a entrada conhecida

ϴ2 nas constantes A, B e C, tem-se:

02

.2

. 442

CtgBtgA

32212 coscos KKKA

22 senB

3221 cos)1( KKKC

A

ACBBtgarc

2

4.2

2

4 2,1(-) Configuração Aberta

(+) Configuração Fechada

Mecanismos

Análise com Álgebra Vetorial Complexa

Para determinar 3 parte-se das equações da análise de posição

isolando os termos em 4, ou seja:

1332244 coscoscos CCCC 332244 sensensen CCC

Procede-se de maneira similar ao caso anterior até:

D

DFEE

2

42

2

tgarc 1,23

5241

2

52412

cos)1(

2

coscos

KKKF

senE

KKKD

32

2

3

2

2

2

1

2

45

3

14

2 CC

CCCCK

C

CK

02

.2

. 332

FtgEtgD

Mecanismos

Exemplo de Aplicação – 02

Análise Vetorial Complexa de Mecanismos

a = 50,8 mm

b = 177,8 mm

c = 228,6 mm

b = 152,4 mm

Θ2 = 30º

Mecanismos

Exercícios

- O comprimento do elo (mm) e o valor de θ2 (graus) para alguns mecanismos de quatro barras

são definidos na abaixo. A configuração e terminologia são mostradas na Figura a seguir. Para as

configurações fornecidas, desenhe o mecanismo em escala e, vetorialmente, encontre todas as possíveis

soluções (aberta e cruzada) para os ângulos θ3 e θ4. Determine a condição de Grashof.

Obs: Exemplo (Nome) “a” foi resolvido em

sala de aula