trÁfico 2012
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1
TRÁFICO 2012
2
Aplicación de la teoría de probabilidad a la solución de problemas concernientes a la planificación, evaluación del desempeño, operación y mantenimiento de los sistemas de telecomunicación.
Herramientas matemáticas: procesos estocásticos , teoría de colas y simulación numérica
DEFINICIÓN DE LA TEORÍA DE TELETRÁFICO
3
OBJETO DE LA TEORÍA DE TELETRÁFICO
El objetivo de la teoría de teletráfico es el desarrollo de modelos matemáticos que permitan derivar la relación entre capacidad y grado de servicio. El conocimiento proporcionado por la modelización de los sistemas será la base en la toma de decisiones operacionales y económicas.
Hacer el tráfico mesurable en unidades bien definidas a través de modelos matemáticos y derivar relaciones entre grado de servicio y capacidad del sistema, de manera que la teoría se convierta en una herramienta de planificación de inversiones. (Iversen).
Diseñar sistemas que se adapten a la carga de trabajo, con un desempeño mesurable y con una optimización de los costes.
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GRADO DE SERVICIO
Definición Número de variables de ingeniería de tráfico que proveen una
medida del desempeño de un grupo de recursos bajo unas condiciones específicas.
Los valores de referencia asignados a las variables de tráfico constituyen los estándares del Grado de Servicio
Los valores obtenidos para los parámetros especificados constituyen los resultados del Grado de Servicio
¿Qué mide el Grado de Servicio? Mide el desempeño medio de una red , o parte de una red. Es el punto de vista del Operador del servicio
5
Calidad de servicio. QoS. SLA
El Grado de Servicio mide el desempeño de la red, es el punto de vista del Operador. Parte de unos objetivos y dimensiona la red para su cumplimiento. Las medidas, usualmente de comportamiento medio comprueban la bondad de las hipótesis y el comportamiento de la red.
La calidad de servicio – QoS - representa el punto de vista del usuario y está expresada en términos adecuados a sus expectativas. La red puede tener un bloqueo del 1%, pero un usuario en particular experimentar un 3%.
El SLA o ANS (Acuerdo de Nivel de Servicio) es un contrato entre Operador y Usuario en el que se definen los términos (disponibilidad, proceso provisión, mantenimiento ...) y las penalizaciones por incumplimiento.
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TAREAS EN LA INGENIERÍA DE TRÁFICO
Caracterización de la demanda
Objetivos de grado de servicio
Modelostráfico
Previsióntráfico
Monitorización
DimensionadoControlTráfico
Medidas tráfico
ElementosRed
ObjetivosGoS
RequisitosQoS
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MODELOS
Las redes de telecomunicaciones se diseñan para atender demandas de usuarios adscritos a un determinado servicio.
El comportamiento de los usuarios, de las fuentes , será en general aleatorio y ello nos impulsa a intentar modelarlo mediante la teoría de procesos estocásticos. Construiremos modelos que confrontaremos a la medidas en la red, si no concuerdan deberemos construir nuevos modelos en un proceso iterativo.
Parece natural separar la descripción de las propiedades del tráfico en dos procesos diferentes:
Aparición de eventos (peticiones de servicio) Tiempos de servicio
8
Terminología en procesos tráfico
Tiempo servicio Tiempo libre
Tiempo entre eventos
Tiempo llegada Tiempo salida
Busy , Idle, Interarrival time, Holding time
9
Redes telefónicas
Comportamiento usuario
Control y camino de voz. Señalización y media.
Comentario estructura de la red telefónica Topología Arquitectura Ejemplo VSAT Concepto conmutación circuitos
10
Redes de datos
Principio conmutación paquetes
Almacenamiento y retransmisión
Caso LAN
11
Redes móviles
Diferencias respecto redes fijas
Control de presencia
Handover
12
Redes de nueva generación
Complejidad
Tráfico de agregación
Tasas de crecimiento
Modelos matemáticos
13
HISTORIA
14
HISTORIA
Molina desarrolla trabajos anteriores de Rorty en los Bell Labs para ATT
Hipótesis Las llamadas se producen aleatoriamente Todas las llamadas permanecerán en el sistema durante
un tiempo igual al tiempo medio de permanencia tanto si se atienden como si no.
El bloqueo ocurre cuando el número de llamadas es mayor que el número de recursos durante un tiempo igual al tiempo medio.
En 1920 alguien comentó que esos resultados provenían de investigaciones de Poisson (1781-1840), Molina le cedió los honores.
15
HISTORIA
SIMEON D. POISSON
16
HISTORIA
Agner Krarup Erlang desarrolla sus modelos en 1909
Hipótesis Las llamadas que llegan
con todas los servidores ocupados se pierden (se enrutan por otro sitio)
Las llamadas que llegan con todos los servidores ocupados esperan en cola hasta ser atendidas.
17
HISTORIA
Tore Olaus Engset en 1918 propone un refinamiento de las fórmulas de Erlang
Erlang supone que el número de fuentes “productoras “ de eventos es infinito. Si el número es finito Erlang está sobreestimando el dimensionado
18
HISTORIA
Después de la WWII, Roger Wilkinson desarrolla un modelo para el tráfico de “desbordamiento”
Hipótesis. El tráfico que no puede ser cursado por una ruta, no tiene características poissonianas. Usualmente la varianza es mayor que la media. A su relación se la conoce como coeficiente de variación.
Wilkinson desarrollo un método para dimensionar los recursos que deberán cursar este tipo de tráfico. Neal en 1970 refinó el modelo y publicó unas tablas de dimensionado , las tablas de Neal-Wilkinson
En 1982 Henry Jacobsen de ATT publica las tablas EART y EARC para el diseño de enlaces en PBX con rutas de desbordamiento basándose en los modelos de Neal-Wilkinson
19
HISTORIA
A mediados de los 50 , Roger Wilkinson estudia el modelo de reintentos. Bretschneider hace lo mismo en Alemania.
Los intentos de llamada, en el mundo real, se repiten si no consiguen servicio. Wikinson desarrolla los modelos teóricos.
En 1980 Jacobsen publica las “Retrial Tables” basándose en los trabajos de Wilkinson.
20
HISTORIA
En 1951 Kendall introduce una notación para especificar los distintos escenarios de un sistema de colas.
En los 60 y 70 se producen grandes avances teóricos en USA y Alemania.
Kleinrock publica en 1970 su primer volumen y “evangeliza” sobre el uso de los computadores en teoría de colas.
21
CONCEPTOS BÁSICOS Y MEDIDAS
22
CONCEPTOS TEORÍA TELETRÁFICO
Intensidad de tráfico Intensidad de tráfico. Número
de recursos ocupados en un sistema en un instante de tiempo dado.
T
dttnT
TY0
)(1
)(
Dónde n(t) es el número de recursos ocupados en el tiempo t
C : Número de recursos ocupados en función de tD: Intensidad media en un tiempo T
La curva de la figura representa el tráfico cursado por un conjunto de recursos
23
Conceptos (cont)
Tráfico ofrecido Si el número de recursos no es infinito, pueden producirse
peticiones de servicio con todos los recursos ocupados. El tráfico ofrecido no puede medirse, puede estimarse. Se trabaja con dos parámetros
: número de eventos (peticiones de servicio) por unidad de tiempo.
Tiempo medio de servicio tm
A=·tm
24
INTENSIDAD DE TRÁFICO
25
VARIACIÓN DIARIA
26
VARIACIÓN DEL TIEMPO MEDIO DE LLAMADA
27
VARIACIONES INTENSIDAD TRÁFICO. MODEM POOL INTERNET
28
CONCEPTO DE BLOQUEO. Loss systems
Congestión de tiempo Fracción de tiempo en la que todos los servidores están
ocupados.
Congestión de llamadas Fracción de todas las llamadas que encuentran todos los
servidores ocupados.
Congestión de tráfico Fracción de todo el tráfico ofrecido que no es cursado.
29
EVENTOS – INTERVALOS DE TIEMPO
¿Cuál es la congestión de tiempo, tráfico, llamadas?
llamadas
Server 3
Server 1
Server 2
30
Tráfico en Erlang
recursos de número :N
socupacione i eexactamentcon tiempo:t
socupacione de simultáneo número :i
1A
socupacione totalnúmero :N
iocupación la deduración :t
1
i
0
i
1
N
ii
N
ii
m
tiT
tT
A
tA
31
ELEMENTOS TEORÍA DE PROBABILIDAD
32
PROBABILIDAD
Funciones de distribuciónUn intervalo de tiempo puede ser descrito por una variable estocástica X caracterizada por
dttXtptftdF
tFtF
F(t)t)p(X
tF
udFtF
c
t
)()(
blediferencia es F(t) si
)(1)(
0 t 0)(
t0 )()(0
Trataremos con intervalos de tiempo no negativos
Incluye posibles discontinuidades en cero
33
PROBABILIDAD.
1m
1factor o Palm deFactor
s)(peakednes CV variacióneCoeficient
)()(
)(12)(
)(1)(
)(1)(
2
22
222
2
0
00
2
001
0
1
0
m
m
m
mXEmm
dttfmtmXE
dttFtdttft
mdttFdttftm
dttFtidttftmXE
ii
iii
i
Identidad de Palm
34
PROBABILIDAD
Estas relaciones son independientes de la escala de tiempos
Cuando mayor sea el factor de forma más irregular es la distribución temporal, eso llevará por ejemplo a que el tiempo de espera medio, en los sistemas de colas , sea mayor.
Para estimar una distribución a partir de observaciones, a menudo se está satisfecho al conocer los dos primeros momentos.
35
Distribución exponencial negativa
Se utiliza para caracterizar los tiempos de vida (no negativos) de manera sencilla.
Es un caso especial de la distribución Gamma
Tiene un solo parámetro
momentos losobtienen set por t doreemplazan
!1
Gammafunción la recordemos
)(
0,0 1)(
0
ndtetn
etf
tetF
tn
t
t
2
1
2
1
22
22
1
m
m
36
Tiempo de vida residual
0)(1)(1
1
será residual vidade tiempodel medio valor el
)(1
)()(/)/(
)(1
)(1/
0
xdtxtFxF
m
xF
xFxtFxXxtXpxxtF
xF
xtF
xXp
xtXPxXxtXp
r
37
Tiempo de vida residual para la exponencial
11
11)1(1
1
0,1
0,1
dtee
m
dtee
m
txxr
txxr
La vida residual es igual a la vida media.
Esto no es cierto siempre.Para distribuciones con < 2 la vida residual es menor, para >2 la vida residual es mayor
38
Carga de los tiempos de servicio menores que uno dado
0
)( dttftm
m
dttftx
x
0
)(
El 75% de los trabajos contribuye con el 30% del valor de la media
39
Combinación de variables estocásticas
Serie La función de distribución es la convolución de las funciones de
distribución de las respectivas variables. La media es la suma de las medias y la varianza la suma de varianzas
Paralelo Cada variable estocástica se pondera. La función de distribución
es la suma ponderada de las funciones de distribución individuales. La media y varianza son:
l
iiii
l
ii
l
iii
mmp
pmpm
1
22,1
22
11,1
)(
1con
40
Ejemplo: Ensayo de Bernouilli y binomial
binomialón distribuci la así obtiene se
)1(
pruebas Sefectuan se Si
1
01)(
p-1 q fracaso de lay p es éxito de adprobabilid la prueba unaEn
iSiS
i
ppi
Sip
ip
ipip
41
Combinación de distribuciones exponenciales
Con combinaciones de distribuciones exponenciales se puede aproximar cualquier distribución
Combinando en serie se obtienen las llamadas distribuciones hipoexponenciales, que tienen <2. Si todos los parámetros son iguales se llaman distribuciones de Erlang
1 2 3 4
42
Erlang-k
0 x,)(
k
11
!1
!
1,2,...k 0, t0, ,)!1(
)(
,1
22
1
0
1
mxm
kkm
ej
te
j
tF(t)
ek
ttf
r
tk
j
jt
kj
j
tk
43
Gráfica Erlangiana
Se ha normalizado la media a un valor 1, por ejemplo reemplazandopor k.El caso k=1 corresponde a laexponencial
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PROBABILIDAD. PROCESOS DE LLEGADA
Se consideran procesos puntuales simples en los que se excluyen llegadas múltiples. En las telecomunicaciones se puede hacer considerando intervalos de tiempo lo suficientemente pequeños.
Consideremos los instantes de aparición de eventos a partir de un tiempo inicial
El numero de llamadas en un intervalo abierto [0,t [ se representa por Nt. En la que t es un parámetro continuo pero tiene un espacio muestral discreto
La distancia entre dos llegadas sucesivas, se llama tiempo entre llegadas
......0 1210 ii TTTTT
1,2,...i 1 iii TTX
45
Identidad de Feller - Jensen
Tenemos dos variables aleatorias que representan dos procesos Representación “Número”. El intervalo de tiempo t se mantiene
constante y se observa el número de llegadas en ese tiempo Nt
Representación “Intervalo”. Se mantiene el número de llamadas constante y se observa la variable Ti
Existe la siguiente relación
...2,1n
1,2,..n ,
si soloy si
1
tTpnNp
tXT
nN
nt
n
iin
t
Identidad de Feller-Jensen
46
Procesos puntuales
Características de los procesos puntuales Estacionareidad Independencia
La evolución del proceso (su futuro) depende solo del estado actual (propiedad de Markov)
Para los procesos puntuales simples La probabilidad de que haya más de un evento en un intervalo
suficientemente pequeño tiende a cero
)(2 toNNp ttt
El proceso de Poisson es un proceso puntual simple
47
Poisson
PPT ESPECÍFICO
48
Poisson
Proceso de Poisson
)(1
)(2
tNNp
toNNp
ttt
ttt
Erlang de lay Poisson de acumuladaón distribuci la entrerelación
Jensen-Feller de identidad lapor
)!1(!
!,
1
0
1
2
n
jtx
xn
tj
ti
dxen
xe
j
t
ttm
ei
ttip
49
Teoerema de Palm
La superposición de procesos puntuales independientes tiende a un proceso que localmente es de Poisson. El término localmente significa que el intervalo del tiempo es lo suficientemente corto como para que cada proceso individual contribuya a lo sumo con un evento y no “domine”.
50
Teorema de Raikov
Una descomposición aleatoria de un proceso puntual en subprocesos, produce subprocesos que convergen a procesos de Poisson, cuando la probabilidad de que un evento pertenezca a un subproceso tiende a cero.
51
Teorema de Little
Válido para cualquier cola (solo se requiere estacionareidad)
El proceso de llegada es estocástico
Las llegadas “esperan” hasta que son servidas y después abandonan el sistema.
Se considera un tiempo de observación T
52
Teorema de Little. Definiciones
N(T) : Número de llegadas en el tiempo T
A(T) : Tiempo total de servicio en el tiempo T. Tráfico cursado.
(T)=N(T)/T Tasa media de llamadas en el tiempo T
W(T)=A(T)/N(T) Tiempo medio de servicio en el tiempo T
L(T)=A(T)/T número medio de “llamadas” simultáneas en el tiempo T
WL
TWT
TWTT
TNTW
T
TATL
)(limy W )(lim Si
)()()()()(
)(
TT
53
Teorema de Little
colaen medio número servidas peticiones de medio número N
servidas peticiones de medio número ofrecido tráfico:
t sistema elen peticiones de número :N
colaen tiempo servicio de tiempot
colaen medio x tiempopeticiones de Tasa colaen peticiones de medio Número
total
total
A
LA
54
Teorema de Little. Gráfica
55
SIMULACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS
56
Simulación variables aleatorias
Queremos generar números , x , aleatorios en un determinado dominio de manera que su probabilidad de ocurrencia, o densidad de probabilidad dependa de x de una manera prescrita f(x).
Técnica de transformación inversa Generar U(0,1) uniforme entre 0 y 1 Obtener X=F-1(U). Recordar que la función de distribución tiene un rango
entre 0 y 1 Ej Weibull
c
bx
UbX
XFU
exFc
11ln
)(
1)(
57
Simulación Gaussiana
U
UR
UxF
senRD
R
eRF
dyyf
exf
R
x
x
2
1
1ln2
)(con
cosC
gaussianas depar un con arelacionad está que
0R 1
0R 0)(
Gaussiana lay Rayleigh de
óndistribuci la entre existe querelación la Utilizando
selementale funciones
medianteexpresar puede se no integral esta pero )(F(x)
x- 2
1)(
2
2
2
2
2
2
2
Las gaussianas son de mediacero , para otro valor solohará falta añadirlo a cada número generado
58
Simulación
Otros métodos Composición. Es una extensión del método de inversión, se utiliza cuando la
fdp se puede escribir como combinación lineal de funciones más simples en las que pueda aplicarse el método de inversión. Ejemplo : distribución de Laplace
Convolución. Las combinaciones algebraicas de variables aleatorias y para el caso de que las variables sean independientes pueden ayudar a su simulación. Por ejemplo si una determinada función de densidad se puede obtener por convolución de funciones elementales (caso de suma de variables) se puede generar cada variable individual y sumar los resultados. Ejemplo distribución de Erlang. Se pueden obtener también así variables generados por multiplicación y división de otras variables con fdp elementales o invertibles.
Aceptación- Rechazo. No es tan eficiente como los métodos anteriores pero siempre funciona, incluso cuando no hay formas explícitas de la fdp, La idea es generar puntos aleatoriamente en un plano y aceptar o rechazar cada uno de ellos. Si x<f(x) se acepta, si no se rechaza.
Muestreo de datos. Interpolación estocástica Monte Carlo
59
MODELOS
60
Naturaleza de la Teoría de Teletráfico
Modelo Proceso de entrada Mecanismo de servicio Disciplina de la disposición en cola
61
Naturaleza de la Teoría de Teletráfico
Proceso de entrada Describe la secuencia de peticiones de servicio A veces se especifica en términos de la distribución de las
duraciones entre los instantes de llegada de peticiones de servicio.
Mecanismo de servicio Incluye el número de servidores y la duración del servicio
(ocupación del servidor)
Disciplina de cola Especifica las acciones de las peticiones que encuentran
todos los servidores ocupados
62
Modelos de nacimiento - muerte
Hipótesis de trabajo llamadas independientes tasa de llegadas en el estado i representada por i
tasa de salidas en el estado i representada por i en cualquier instante de tiempo solo puede ocurrir un suceso
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Diagrama de estados
0 1 2 3 j N-1 N
j-1
j j+1
j n-1
n
0
1
1
2
2
3
N puede ser
64
Algunas definiciones
: nº promedio de peticiones de servicio por unidad de tiempo
1/ : tiempo promedio entre peticiones de servicio
Ej : estado del sistema en el que el número de “clientes” es j
Pj. Proporción del tiempo en el estado j (en el que haya j servidores ocupados)
Ej Ej+1 transiciones del estado j a j+1
Pj : número de transiciones por unidad de tiempo
tm : tiempo medio de duración de un servicio, tiempo medio de ocupación de un servidor
65
Algunas definiciones
: tasa de finalización de servicio por unidad de tiempo igual a 1/ tm.
(j+1)/ tasa de finalización con j+1 servidores ocupados
Ej+1 Ej transiciones del estado j+1 a j
66
Ecuaciones de estado
titi
t
tititiit
iidt
id
iiidt
id
1
0 oestadístic equilibrio
11
1
11
67
Modelo de Erlang
0 1 2 3 j N-1 N
j j+1
n
1
2
3
Tasa de llamada constante, número de fuentes mucho mayor que el número de servidores.
mj t
j N: número servidores
68
Erlang
Número de fuentes ... o mucho mayor que número de servidores N
Ni
i
i
N
N
iA
NAAEN
0 !
!/)(
NB
)(
)()(
1
1
AAEN
AAEAE
N
NN
69
70
0.5
0.2
0.1
0.05
0.02
0.01
0.001
0.0001
Número de canales
1.0
0.8
0.0
0.2
0.4
0.6
Utilización
71
Tablas Erlang-1
Cálculo de la probabi-lidad de pérdida:Datos n y AEj n=15 A =7
72
Tablas Erlang-2
Cálculo de la probabi-lidad del número de servidores:Datos B y AEj B=0.005 A =7
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Tablas Erlang-3
Cálculo del tráfico ofrecido máximoDatos n y BEj n=15 B =0.005
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Reintentos
Se considera una situación real, al no obtener servicio se reintenta obtenerlo.
¿Cuál es el efecto de este comportamiento? Incremento en la tasa de llamadas del sistema
Si consideramos que los reintentos se producen transcurridos algunos tiempos medios de llamada podemos seguir considerando equilibrio estadístico con la nueva tasa de llamada
75
Extended Erlang B (EEB)
Se utiliza cuando se permiten reintentos. Un tanto por ciento de los llamantes reintenta cuando se encuentra todos los servidores ocupados.
Algoritmo clásico con reintentos hasta obtener servicio
Algoritmo (Jewitt–Shrago). Permite considerar abandonos en los reintentos
76
Erlang con reintentos, Algoritmo clásico
iteración. de procesoun requiere se
llamada, de tasala de depende B pero1
'
' 32
B
BBB
77
Algoritmo
El proceso es el mismo para o para A. Se desarrollará para A.
Con el tráfico ofrecido de primer intento A se calcula B Con el valor de B obtenido se calcula A’ Con el valor de A’ se obtiene un nuevo B Con B se obtiene un nuevo valor de A’ Se comparan los valores de A’ obtenidos y se itera el proceso
hasta que la diferencia entre dentro del rango de precisión establecido. La serie de valores obtenidos debe ser convergente, lo cual será cierto excepto que el tráfico ofrecido sea mayor que el número de servidores.
78
Algoritmo
3
'3
3'2
'12
2
'2
2'1
1
'1
1
1
'¿?
1
1
B inicial
B
AA
BA
AA
B
AA
BA
B
AA
A
No se itera con A’1
79
Algoritmo de Jewitt & Schrago
Permite considerar abandonos en los reintentos Partiendo del tráfico ofrecido en primera instancia se calcula
B Con B se calcula el tráfico rechazado Se calcula el tráfico cursado Sobre el tráfico rechazado se aplica la tasa de abandono o
de reintento (son complementarias) Se calcula el tráfico cursado más el tráfico que abandona Si cursado más abandono no se acerca suficientemente a
tráfico ofrecido se calcula un nuevo tráfico ofrecido como el original más el de reintento.
Se repite le proceso hasta que tráfico cursado más abandono sea igual (suficientemente cercano) a tráfico ofrecido
80
Engset
0 1 2 3 j N-1 N
j-1
j j+1
j
n-1
n
0
1
1
2
2
3
mj
mj
t
j
t
jS
Engset S>N
S = número de fuentes = tráfico ofrecido por fuente libre
81
Engset
N: número de servidores
S : número de fuentes
: tasa de llamada por fuente libre
i: tasa de llamada en el estado i, i servidores ocupados.
tm : tiempo medio de servicio.
i= tasa de terminación en el estado i.
El comportamiento de cada fuente se modela de la siguiente manera. Cuando la fuente está libre su tasa de llamada es constante y de valor , cuando la fuente está ocupada el valor de su tasa de llamada es cero.
82
Engset.
ii ii 11 jSj
0
0
0!3
)2)(1(3
02
)1(012
libre fuentepor tráfico, t definiendo 001
01
3
2
12
01
2
1
m1
0
N
j
m
N
SN
j
Sj
SSS
SS
S
t
S
83
Engset
N
i
i
Nj
i
S
N
S
j
SSSSS
0
320
10
3210
10
N
i
i
N
i
S
N
S
N
0
que es la expresión para la congestión de tiempo, probabilidad de tener todos los servidores ocupados.
84
Engset
),,1(
i
1-S
N
1-S
B
rdenominadoy numerador Spor dividiendoy 0 eliminando
002
201
10
0
0 defunción en estado de adesprobabilid las Expresando .y t eliminan se
)(2
)2(1
)1(0
)(
)(
210
N
0i
2
m
210
NSE
N
SNS
SS
SSS
N
SNS
Nt
NS
t
S
t
S
t
S
Nt
NS
B
t
iS
N
NB
i
N
N
N
mmmm
m
mi
N
N
85
Engset. Cálculo del tráfico por fuente libre
Consideraciones sobre el cálculo de , j
B. de pequeños valores para obviado
ser puede que iteración de proceso un pues requiere Se
. de función es B pero
libre tiempo
fuente la de actividad
)1(
)1(1
BAS
A
Ba
a
86
Engset. Tráfico por fuente libre
BSA
SA
BAS
A
111
BS
A
11
Pero B depende de α, por lo que hay que montar un proceso iterativo
Tráfico ofrecido dividido por el númeromedio de fuentes libres
87
Algoritmo Engset
1. Partimos de una primera aproximación de , considerando B=0
2. Con el valor de se obtiene un primer valor de B
3. Se sustituyen los valores de y B en la fórmula de A y se compara la estimación de A así obtenida con el dato Tráfico Ofrecido, si la diferencia está por encima de la precisión necesaria en nuestro cálculo
4. Se calcula una nueva con el valor de B obtenido en el punto 2
5. Se calcula un nuevo B con el valor de del punto 4
6. Se realiza una nueva estimación de A como en el punto 3, si la diferencia está por encima de la precisión necesaria se repite desde el punto 4.
88
Engset. Fórmula recursiva
B es función de N,S y
1,,0
,,1
,,1),,(
SB
SNBNSN
SNBNSSNB
La probabilidad de pérdida con 0 servidores es 1
89
TABLAS DE ENGSET
Grupos nuevos Se conoce A, S y el nivel de pérdida deseado. Se busca N
Procedimiento Se busca la columna del nivel de pérdida En la columna se busca A para el número de fuentes S Se obtiene N
90
TABLAS DE ENGSET
Grupos existentes: Se conoce A, N (número servidores) y S (número de fuentes) Se establece el nivel de bloqueo (pérdida )deseado
Procedimiento Buscar en la tabla la fila que corresponda a N y S Buscar en la fila el valor más cercano a A La columna corresponde al valor de pérdida (interpolar en su
caso) Si no es el deseado, buscar la columna de la pérdida deseada
y en la misma encontrar A para el número de fuentes S , una vez encontrado S para ese A se obtiene N.
91
COLAS
92
Colas. Notación de Kendall
D.G. Kendall estableció en 1953 la siguiente notación:
A/B/c/k/s/Z
A: Proceso de llegada B: Proceso de servicio c: número de canales o servidores k: capacidad del sistema s: número de fuentes Z: disciplina de la cola
93
Kendall
Proceso de llegada M: Markoviano, random,
exponencial E: Erlangiano H: Hiperexponencial h: Hipoexponencial G: General
Proceso de servicio M: Markoviano, random,
exponencial E: Erlangiano H: Hiperexponencial h: Hipoexponencial G: General
A/B/c/k/s/Z
94
Kendall
Número de canales 1,2,3, … ∞
Capacidad del sistema Servidores +posiciones de
cola
Número de fuentes 1,2,3, … ∞
Disciplina de la cola FCFS. Primero entra, primero
sale LCFS. Último entra, primero
sale SIRO. Servicio aleatorio GD. General RR. Round Robin
95
Cola M/M/N. Probabilidades de estado
111 i
tit
A
ii
m
m
i
i
servicio de medio tiempot
ocupados servidores de número i
m
m
i t
i
A partir del estado N, no puede aumentar la tasa de salida, es decir para los estados N, N+1, N+2, .... la tasa de salida es constante m
N t
N
...
0!
...
0!
2
0!
1
0!
... 02
2 01
2
2
N
A
N
AjN
N
A
N
AN
N
A
N
AN
N
AN
N
AN
AA
Nj
N
N
N
96
Cola M/M/N. Probabilidades de estado
1
0
1
0 0
232
!!
10
unidad la amenor razón de serie una de suma la contiener denominado del términosegundo el
!!
10
!!!!!3!21
10
N
i
Ni
N
i j
jNi
NjNNN
AN
N
N
A
i
A
N
A
N
A
i
A
N
A
N
A
N
A
N
A
N
A
N
A
N
AAAA
1
0 !!
!N
i
Ni
N
AN
N
N
A
i
AN
AN
97
Cola M/M/N. Cálculo probabilidad de entrar en cola
Será la probabilidad de que las peticiones entren con todos los servidores ocupados
Se dará en los estados N, N+1, N+2 ….
210
21)0(
NNN
p
Eliminando y poniendo todas las probabilidades de estado en función de la probabilidad [0]
0
!0
!30
!200
0!
0!
0!
)0(32
2
N
AAAA
N
A
N
A
N
A
N
A
N
A
pN
NNN
98
Cola M/M/N. Cálculo probabilidad de entrar en cola
Eliminando [0] y reordenando
1
0
2
2
!!
!
!!21
1!
)0(N
i
Ni
N
N
N
AN
N
N
A
i
AAN
N
N
A
N
AAA
N
A
N
A
N
A
p
Que se puede simplificar
Sumar y restar en el denominador el término
!N
AN
con lo que el denominador quedaría
N
i
Ni
AN
N
N
A
N
A
0
1!!
99
Cola M/M/N. Cálculo probabilidad de entrar en cola
dividiendo ahora numerador y denominador por
N
i
i
i
A
0 !
e identificando que B
i
AN
A
N
i
i
N
0 !
!
es decir la probabilidad de pérdida de un sistema de tipo Erlang-B con un tráfico ofrecido A y N servidores.
BANBNp
ABAN
BN
ANA
B
ANN
B
ANN
B
ANN
Bp
1)0(
111)0(
A esta fórmula se la conoce como Erlang-C o segunda fórmula de Erlang EN,2(A)
100
M/M/N. Longitud media de la cola
0j
q jNjL
j
j
Nj
j
N
q N
Aj
N
A
N
A
N
AjL
00
0!
0!
2
2
02
0!1
0!
1rcon 1
AN
N
N
A
N
A
NAN
A
N
AL
r
rrj
NN
q
j
j
Utilizando que
1rcon
102
j
j
r
rrj
2200
1
11
1
r
r
rrr
dr
drjr
jrdr
dr
j
j
j
j
jj
101
M/M/N. Longitud media de la cola
AN
ApL
AN
N
N
Ap
q
N
)0(
0!
)0(
Recordando que
1
0
2
2
!!
!
!!21
1!
)0(N
i
Ni
N
N
N
AN
N
N
A
i
AAN
N
N
A
N
AAA
N
A
N
A
N
A
p
102
M/M/N.Tiempo medio en la cola
Hay dos posibles preguntas a las que responder: ¿Cuál es el tiempo medio en la cola considerando todas las
peticiones de servicio? ¿Cuál es el tiempo medio de espera para las peticiones de servicio que entran en cola?
El teorema de Little establece que
wq tL por lo tanto
AN
tp
tN
tp
AN
Ap
Lt m
m
mqw
)0()0(1
)0(1
AN
tt mwq
103
M/M/N. Probabilidad de permanencia en cola >t
Se trata de responder a la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de permanecer en cola más de un determinado tiempo t?
Para responder a esa pregunta hay que establecer la disciplina de la cola. Si la disciplina es Primero entra – Primero sale (FIFO) que es la que nos encontramos cotidianamente, si nos encontramos en la posición j de la cola, para ser atendidos tienen que producirse j terminaciones de servicio. Las terminaciones se producen con una fdp exponencial cuyo parámetro es el tiempo medio en la cola para las llamadas que entran en cola
104
M/M/N. Probabilidad de permanencia en cola >t
mt
tAN
c etp)(
)(
Si queremos calcular la probabilidad de que una petición de servicio cualquiera permanezca en cola más de t
m
m
t
tAN
t
tAN
eptp
epptp
)(
)(
)0()(
)0(0)0(1)(
105
M/M/N/N+L
En este nuevo escenario las llamadas que lleguen con todos los servidores ocupados y todas las posiciones de cola ocupadas se “pierden”.
Calcularemos expresiones para los parámetros significativos del escenario
Cálculo de las probabilidades de estado
1
0 0 !!
10
)0(0!
)0(0!
N
i
L
k
Nki
Nj
j
N
A
N
A
i
A
LjparaN
A
N
AjN
Njparaj
Aj
106
M/M/N/N+L
1
1
1
1
1
!!
10
N
i
LNi
NAN
A
N
A
i
A
1
0
11
0 0
1
1
!!
!
!!
!
N
i
L
Ni
NL
N
i
L
k
Nki
NL
NA
NA
NA
iA
NA
NA
NA
NA
iA
NA
NA
LNB
Probabilidad de pérdida
107
M/M/N/N+L
LN
LNNNp
10
11)0(
Probabilidad de entrar en cola
NAN
AN
N
A
N
A
N
ANp
LL
1
11)0(
12
NAN
A
NAN
A
N
A
i
A
NA
p
L
N
i
LNi
N
1
1
1
1
!!
!)0(1
0
1
108
M/M/N/N+L
Longitud media de la cola
L
iq iNiL
1
En general, y aunque se puede llegar a una expresión cerrada por manipulaciónde la fórmula anterior, es más fácil sumar los términos de la serie.
Tiempo medio en la cola
LNB
WL
c
cq
1)1(
109
Colas con abandono
Se considera que la petición de servicio tiene una paciencia limitada y abandona , es el proceso natural cuando en una cola consideramos que el tiempo de espera es mayor que el que podemos aceptar.
Como hipótesis para modelar el abandono aceptaremos que la tasa de abandono aumentará con la longitud de la cola, en la posición i de la cola, la tasa de abandono será:
mi t
Ni )(
mm
i t
Ni
t
NN
Tasa de terminación de llamadas en el estado i
tm , no tiene significación física, seUtiliza para simplificar la expresión
110
Colas con abandono
N
i jj
k
jNi
N
j
k
j
N
NN
mm
N
kN
ANA
iA
N
A
kN
AjN
N
A
N
A
N
AN
N
A
N
A
N
A
ttN
N
N
AN
AA
0 1
1
1
2
!!
10
0!
0!2
2
0!
0!
1
0!
02
2 01
111
Cola M/G/1
Muchas veces la hipótesis de tiempos de servicio exponenciales no se ajusta a la realidad. Trataremos con tiempos de servicio con una distribución general . Pero con tiempos de servicio independientes.
Trataremos de obtener el tiempo medio de espera en la cola y la longitud media de la cola.
resmq ttLW
Tiempo medio en la cola = longitud media de la cola por el tiempo medio de servicio +probabilidad de ocupación del servidor por el tiempo residual
112
Obtención de parámetros de la M/G/1
Una petición de trabajo que llega al sistema debe esperar al tiempo residual de servicio (si el servidor está ocupado) y a los tiempos de servicio de los trabajos que le preceden en la cola (si existen)
Por la propiedad PASTA conocemos que la probabilidad de que un servidor esté ocupado es de ρ
Y que el tiempo medio de espera es
Atm
resmq ttLW
113
Cálculos
Por el teorema de Little
Combinando las dos ecuaciones se obtiene la fórmula de Pollacek – Khinchin
WLq
1res
resresm
tW
tWttWW
114
Tiempo residual
La media del tiempo residual es de
Podemos también a partir de estas fórmulas calcular el tiempo total en el sistema
Tiempo en cola +tiempo de servicio
Y número medio de peticiones en el sistema Longitud media de la cola + ocupación media del servidor
(que es igual al tráfico ofrecido)
servicio
servicioresidual tE
tEtE
2
2
115
Cálculo del tiempo residual
Supongamos que una petición llega cuando se está atendiendo otra petición, y que el tiempo total del trabajo en curso es X (que será una variable aleatoria), y que tendrá una f.d.p. fX(x), Para buscar esa f.d.p. observamos que la probabilidad de que llegue un trabjo estando otro en curso será mayor si la duración del trabajo en curso es larga. Así la probabilidad de que X sera de longitud x deberá ser proporcional a la longitud x y a la frecuencia con la que se produzca esa longitud
116
Cálculo tiempo de vida residual
servicio
servicioservtservt
servtX
tEC
tCEdxxxfdxxxf
C
dxxCxfdxxfdxxXxP
1
1)(C 1)(C
densidad defunción la normalizar para constante una es
)()()(
.0.0
.
serv
servservt
servX
serv
servtX
tE
tEdxxfx
tEdxxxfXE
tE
xxfxf
2
0
2
0
1)(
117
Como la llegada del nuevo trabajo puede ocurrir en cualquier momento de la vida del trabajo en curso con igual probabilidad, tendrá su media en la mitad de X
serv
servresidual tE
tEXEtE
22
2
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