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Teste Qui-Quadrado
Rio de Janeiro, 23 de setembro de 2012
Três tipos de testes Teste de aderência: quando desejamos verificar se uma amostra comporta-se de acordo com uma distribuição específica (normal, uniforme, etc.) Teste de homogeneidade: quando desejamos verificar se a distribuição de uma variável categória é a mesma em diferentes populações. Teste de independência entre variáveis: quando desejamos verificar se duas variáveis categóricas são independentes.
Teste de Aderência
(segundo a distribuição teórica)
Teste de Aderência H0: Os dados comportam-se de acorodo com uma determinada distribuição de probabilidade H1: Os dados não se comportam de acorodo com uma determinada distribuição de probabilidade
Exemplo 1: Teste de Aderência
Deseja-se verificar se o número de acidentes em uma estrada muda conforme o dia da semana. O número de acidentes observado para cada dia de uma semana escolhida aleatoriamente foram:
Exemplo 1: Teste de Aderência
H0: O número de acidentes não muda conforme o dia da semana (distribuição uniforme)
H1: Pelo menos um dos dias tem número diferente dos demais
Seja pi o número de acidetnes no dia i, sendo i =1,2,3,4,5,6,7
H0: pi = 1/7 para todo dia i=1,2,3,4,5,6,7
H1: pi 1/7 em pelo menos um dia
Total de acidentes na semana = 140
Logo, sob H0 esperamos 20 acidentes por dia
Exemplo 1: Teste de Aderência
20,27
20
2035
20
2020
20
2030
20
2015
20
2010
20
2010
20
2020
222
22227
1
22
i i
ii
E
EO
Estatística qui-quadrado
Exemplo 1: Teste de Aderência
Valor calculado = 27,2 Valor crítico = INV.QUI(0,05;6) = 12,59 Valor P = DIST.QUI(27,2;6) = 0,00013 Rejeitamos H0 ao nível de significância de 5% e concluímos que o número de acidents não é o mesmo em todos os dias da semana.
Teste de Homogeneidade
Teste de Homogeneidade
A tabela a seguir mostra os resultados de uma avaliação de satisfação com a compra de um novo modelo de automóvel de luxo.
Teste a hipótese de que o novo modelo está agradando igualmente os homens e as mulheres.
H0: Homens e mulheres estão igualmente satisfeitos
H1: Homens e mulheres não estão igualmente satisfeitos
Avaliação
Consumidores Muito Pouco Não satisfeito
Homens 30 20 15
Mulheres 25 5 5
Exemplo 2: Teste de Homogeneidade
Totais marginais:
Frequências esperadas sob a hipótese de independência (H0)
Avaliação
Consumidores Muito Pouco Não satisfeito Total
Homens 30 20 15 65
Mulheres 25 5 5 35
Total 55 25 20 100
65 x 55 /100 65 x 20 /100 65 x 25 /100
35 x 20 /100 35 x 25 /100 35 x 55 /100
Exemplo 2: Teste de Homogeneidade
Cálculo da estatística qui-quadrado
Avaliação
Consumidores Muito Pouco Não satisfeito
Homens 0.925 0.865 0.308
Mulheres 1.718 1.607 0.571
Avaliação
Consumidores Muito Pouco Não satisfeito
Homens 35.75 16.25 13
Mulheres 19.25 8.75 7
Avaliação
Consumidores Muito Pouco Não satisfeito
Homens 30 20 15
Mulheres 25 5 5
Frequências observadas Oij
Frequências estimadas Eij
2
1
3
1
22 99,5
i j ij
ijij
E
EO
Exemplo 2: Teste de Homogeneidade
Conclusão do teste
9915,505,022
Estatística teste = 5,99401 Valor crítico = INV.QUI(0,05;2) = Valor P = DIST.QUI(5,99401;2) = 0,0499 Rejeitamos a hipótese nula ao nível de 5%
Exemplo 2: Teste de Homogeneidade
Exemplo 3: Teste de Homogeneidade
Exemplo 3: Teste de Homogeneidade Frequências observadas Oij
Frequências estimadas Eij
2
1
5
1
22 186,32
i j ij
ijij
E
EO
Exemplo 3: Teste de Homogeneidade
4877,905,024
Estatística teste = 32,186 2 linhas e 5 colunas, logo, (2-1)x(5—1) = 4 graus de libedade Valor crítico = INV.QUI(0,05;2) = Valor P = DIST.QUI(32,186;2) 0 Rejeitamos a hipótese nula ao nível de 5%
Teste de Independência
Teste de Independência
Exemplo 4: Teste de Independência
Investigando a “fidelidade” de consumidores de um
produto, obteve-se uma amostra de 200 homens e 200
mulheres. Foram classificados como tendo alto grau de
fidelidade 100 homens e 120 mulheres. Os ddos
fornecem evidência de possíveis diferenças de grau de
fidelidade entre os sexos?
Exemplo 4: Teste de Independência Ho: pij = pi x pj
H1: pij pi x pj
Frequências observadas
Frequências esperadas
220 x 200 /400 180 x 200 /400
220 x 200 /400 180 x 200 /400
Exemplo 4: Teste de Independência Cálculo da estatística Qui-Quadrado:
Número de graus de liberdade = (2-1)x(2-1) = 1
Estatística Qui-Quadrado
Valor crítico =INV.QUI(0.05;1) = 3,84, logo rejeitamos H0
2
1
5
1
22 04040,4
i j ij
ijij
E
EO
Exemplo 5: Teste de Independência Na tabela a seguir são apresentadas as reações dos
eleitores a um projeto de um novo imposto sobre
propriedade, de acordo com a filiação partidária. A partir
destes dados, construa uma tabela das frequências
esperadas baseadas na premissa de que não há
relação entre filiação partidária e reação ao projeto do
novo imposto.
Exemplo 5: Teste de Independência Tabela de frequências esperadas sob a premissa de
ausência de relação entre filiação partidiária e reação ao
projeto.
n
nnn
jiji
Cálculo da estatística qui-quadrado
13,55
30
3040
88
8812023
1
23
1
22
i j ij
ijij
E
EO
Exemplo 5: Teste de Independência Graus de liberdade = (3 - 1) (3 – 1) = 4
Valor crítico =INV.QUI(0.05;4) = 9,49
Valor P = DIST.QUI(55.13;4) = 3, 05 E-11
Logo, rejeitamos a hipótese nula e concluímos de que
há relação entre filiação partidária e reação ao projeto
do novo imposto.
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