teoria das filas. em duas horas???? essÊncia de modelos de filas clientes servidores intervalo...
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Teoria das filas
Teoria das filas
Em duas horas????
ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS
• Clientes• Servidores• Intervalo entre chegadas (continuo)
• Duração do serviço (continuo)
• POR QUE NÃO SIMULAR????• São fórmulas relevantes???
ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS
• Clientes• Servidores• Intervalo entre chegadas• Duração do serviço• Sofisticações sobre o tema: fila limitada,desistência,prioridades....
ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS
• Clientes• Servidores• Intervalo entre chegadas• Duração do serviço• Sofisticações sobre o tema: fila limitada,desistência,prioridades....Ignorâncias: heterogeneidade,sistemas de
filas,...
O resultado mais aceito é simples
• Teorema de Little:• E[#clientes no sistema}= NE ,• Taxa média de chegadas=λ,• Tempo médio gasto no sistema= T,• Então qualquer que seja fila ergódica, temos
• NE = λT (e NqE =W) .
• .
Little´s theorem
• Nt =# médio em (0,t),• γ(t) = # acumulado de clientes-segundos até t,
• Nt= γ(t)/t• α(t) = # chegadas em (0,t),• Tt = tempo de sistema/cliente até t (=α-1 .γ )
• λt = taxa média de chegada em (0,t) (=α-1/t)• Ergodicidade → NE=λT
MODELÃO:
• Processos de nascimento e morte
MODELÃO:
• Processos de nascimento e morte
• Qual o vetor de estado???
• Primeiro chute: # de clientes na fila/sistema por categoria
• Segundo:...em filas de diferentes servidores• Terceiro: memória
MODELÃO:
• Processos de nascimento e morte (pràticamente) sem memória
• São os ditos Markovianos (M)
MODELÃO:
• Processos de nascimento e morteMais fácil: população eterna ou nascimento puro
Intuição tempo discreto:P(XT+1= k)=(1-p)P(XT= k) + p P(XT= k-1) para k>1
Note p independe de k e de T ....(se quiséssemos poderíamos ter pT pK pT,k )
Modelo de nascimento contínuo:
Nascimentos independentes (sem memória)P (exatamente 1 nascimento entre t e t+∆/população é k) =
= λk ∆ +o(∆), onde o(.)....o(.) e diferenciabilidade
Então: se Pk(t)=P[X(t)=k], temos (com P<0(.)=0)
Pk(t+∆)=Pk(t) [1- (λk ∆) -o(∆)] + Pk-1(t)[ λk ∆ +o(∆)]
Ou, para ∆→0, P.k(t)= Pk(t) [- (λk)] + Pk-1(t)[ λk ]
Modelo M de nascimento contínuo:
Nascimentos independentes (sem memória)
PoissonTaxa fixa de nascimentos
P.k(t)= Pk(t) [-λ] + Pk-1(t)[ λ] (com P<0(.)=0) .
Com Po(0) =1, temos Po(t) =e-λt, P1(t) =λt e-λt
Pk(t) =(k!)-1 (λt)k e-λt
(note que a cada instante as probabilidades somam 1)
Modelo M contínuo de morte :
Inverso de Poisson: Tempos exponenciais
Intervalos entre chegadas são exponenciaisse e só se
O processo de chegada é Poisson.Se chegadas Poisson, P(tempo da 1ª chegada>t) = 1- P0
Poisson(t)=1- e-λt,
Exponencial é sem memória :
Tempos exponenciais
P(tempo da 1ª chegada>t) = 1- P0Poisson(t)=1- e-λt,
Sabendo que até o instante T não ocorreram chegadas,Qual a probabilidade da 1ª chegada ser em (T+t)??
Exponencial é sem memória :
Tempos exponenciais
P(tempo da 1ª chegada>t) = 1- P0Poisson(t)=1- e-λt,
Sabendo que até o instante T não ocorreram chegadas,Qual a probabilidade da 1ª chegada ser em (T+t)??
P(t1≤T+t/t1>T)= [1-P(t1≤T)]-1 {P(t1≤T+t) - P(t1≤T)}= 1- e-λt !!!!!
M/M/1 é fácil
• Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ .
• Quais as estatísticas do sistema e qual a relação entre saída e entrada ???
M/M/1 é fácil
• Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ .
• Quais as estatísticas do sistema e qual a relação entre saída e entrada ???
• Fazer grafo de nascimento e morte com bolinhas que permitam ver que o sistema de equações diferenciais é:
• P.k(t)= Pk(t) [- (λk)] + Pk-1(t)[ λk ] + Pk(t) [- (μk)] + Pk+1(t)[ μk ]
• = Pk(t) [- (λk+ μk)] + Pk-1(t)[ λk ] + Pk(t) [- (μk)] + Pk`+1(t)[ μk ]com λk=λ e μ= μk .
M/M/1 é fácil,mas não tanto
• Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ .
P.k(t)= Pk(t) [- (λk)] + Pk-1(t)[ λk ] + Pk(t) [- (μk)] + Pk+1(t)[ μk ]
= - (λ+ μ) Pk(t) +λ Pk-1(t) + + μPk+1(t)com λk=λ e μ= μk .
TransitórioRegime (se existir, ergodicidade) P.
k(t)= 0
M/M/1 em regime é fácil
• Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ .
P.k(t)= - (λ+ μ) Pk(t) +λ Pk-1(t) + + μPk+1(t)
- (λ+ μ) pk +λ pk-1 + + μpk+1 =0
• Definido ρ=(λ/μ), e impondo ρ<1,• pk=p0 ρk
• normalizando para soma de probabilidades =1, temos p0=1-ρ
a/(1-a)=Σak.
M/M/1: impacto do congestionamento
• E[N]=ρ/(1-ρ)
• E[T]=λ E[N] = (1/μ)/(1-ρ)
• Var(N)= ρ/(1-ρ)2
M/M/1 em regime é fácil
• Uma fila M/M/1 com chegadas Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ (μ<λ) tem muito pouco naturalmente saída Poisson de razão λ
• Redes de Jackson.
Complicando a M/M/1
• M/M/1 com desencorajamento (λk cai com k/ pg 99)
• M/M/∞ (μk=kμ)
• M/M/m (μk= (min{k,m})μ)
• M/M/1/K (λk=λ para k≤K, 0 caso contrário)
• M/M/m/m (só cabem m)- bonzinho para nós
• M/M/1//M :pop. Finita M (λk=[λ/(M-k)] para k≤M, 0 caso contrário)
• M/M/∞//M• M/M/m/k/M
Servidores não homogêneos
• Filas x controle estocástico:
• servidores não homogêneos:• Filas: sob custos de expansão um mínimo de
capacidade de serviço é necessária.
• Controle: já tendo dois servidores instalados, melhor política é a de risca no chão (limiar)
Políticas de atendimento
• FCFS, LCFS até hipotética SCFS mudam os momentos de ordem maior que média mas não afetam “estabilidade”
• Redes de filas: até FCFS pode ser instável (estações virtuais) no caso não acíclico
• Surpresa: “kan-ban” é instável: regime não é transitório.
“Complicando” filas Markovianas• Quanto tempo entre a chegada de um “bundle” de k clientes em chegada
individual Poison?? Telefonia• Ou
• Quanto tempo para ser servido por k servidores de taxas kμ, correspondente a uma taxa média μ?
• Erlang de parâmetros R(taxa) e k(forma)
• pdf: fRk(t)= [(k-1)!]-1 R (Rt)k-1 e-Rt .
• com k=1 R=λ exponencial (λ e-λt)
• com k→∞ “tende” para Dirac, mas “média” também “explode” • (exceto se mantiver (k/R)= média constante)
Ferramental
• Devido à presença de produtos de convolução (pdf de “soma de tempos”, transferencia em sistemas lineares..)
transformadas de Laplace ou z .
• Saída de M/M/1:• P(vazio). (tempo de chegada +serviço)
+ P(não vazio) (tempo de serviço)
Mas, cuidado:paradoxo do tempo de espera
• Chegadas de ônibus no ponto dadas por exponencial média 60 min.
• Quanto tempo devo esperar por um onibus em média???
• Primeira vista a falta de memória da exponencial diz 60 minutos
• Mas, se pensarmos que em média chegamos no meios de um intervalo entre chegadas, eu deveia esperar 30 minutos!!!
Mas, cuidado:paradoxo do tempo de espera
- Mas, se pensarmos que em média chegamos no meios de um intervalo entre chegadas, eu deveria esperar 30 minutos!!!
• Errado: supondo 2 choferes se alternando um com intervalos de 30 e 90 minutos (em média 60)
• Teremos ¾ de chance chegar chofer lento e ¼ de chance de chofer rápido, dando interarrival time de 75 minutos.
• Para exponencial tipico interval time é de 120 minutos, o que dá 0s 60 do memoryless
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