sistemas numéricos -...

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Arquitetura Arquitetura e e OrganizaçãoOrganização de de ComputadoresComputadores

Sistemas NuméricosSistemas Numéricos

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Todos os sistemas numéricos usados são posicionais. Exemplo 1 (sistema decimal):

1999 = 1 x 1000 + 9 x 100 + 9 x 10 + 9 x 1

1999 = 1 x 103 + 9 x 102 + 9 x 101 + 9 x 100

A A NotaNotação ção PosicionalPosicional

123.5 = 1 x 102 + 2 x 101 + 3 x 100 + 5 x 10-1

Exemplo 2 (também sistema decimal):

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D = dm-1 dm-2...d2 d1 d0 . d-1 d-2 � d-n =

dm-1 × 10m-1 + dm-2 × 10m-2 +�+ d2 × 102 + d1 × 101 + d0 × 100 + d-1 × 10-1 + d-2 × 10-2 +�+ d-n × 10-n =

d i ×10i

i=-n

m-1

∑

O formato genérico de um número no sistema decimal é:

Onde 10 é a base do sistema

Ponto decimalParte inteira Parte fracionária

SistemaSistema DecimalDecimal

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D = dm-1 dm-2...d2 d1 d0 . d-1 d-2 � d-n =

dm-1 × rm-1 + dm-2 × rm-2 +�+ d2 × r2 + d1 × r1 + d0 × r0

+ d-1 × r-1 + d-2 × r-2 +�+ d-n × r-n =

d i ×r i

i=-n

m-1

∑

Parte inteira Parte fracionária

SistemaSistema PosicionalPosicional Genérico Genérico (base = r)(base = r)

Ponto

5

D = bm-1 bm-2�b2 b1 b0 . b-1 b-2 � b-n =

bm-1 x 2m-1 + bm-2 x 2m-2 +�+ b2 x 22 + b1 x 21 + b0 x 20

+ b-1 x 2-1 + b-2 x 2-2 +�+ b-n x 2-n =

d i × 2i

i=-n

m-1

∑

Ponto binárioParte inteira Parte fracionária

SistemaSistema Binário Binário (base r=2)(base r=2)

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Além dos sistemas decimal e binário, doissistemas são de grande relevância:

� octal - base 8� hexadecimal - base 16

Números Octais Números Octais e e HexadecimaisHexadecimais

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Binário Octal Decimal Hexa0 0 0 0 1 1 1 1

10 2 2 2 11 3 3 3

100 4 4 4 101 5 5 5 110 6 6 6 111 7 7 7

1000 10 8 8 1001 11 9 9 1010 12 10 A 1011 13 11 B 1100 14 12 C 1101 15 13 D 1110 16 14 E 1111 17 15 F

Números em BinárioNúmeros em Binário, Octal, , Octal, Decimal e Decimal e HexaHexa

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Binário Octalcodificadoem binário

Decimalcodificadoem binário

Hexadecimalcodificadoem binário

0 000 0000 00001 001 0001 0001

10 010 0010 001011 011 0011 0011

100 100 0100 0100101 101 0101 0101110 110 0110 0110111 111 0111 0111

1000 001 000 1000 10001001 001 001 1001 10011010 001 010 0001 0000 10101011 001 011 0001 0001 10111100 001 100 0001 0010 11001101 001 101 0001 0011 11011110 001 110 0001 0100 11101111 001 111 0001 0101 1111

10000 010 000 0001 0110 0001 000010001 010 001 0001 0111 0001 0001

Codificação Binária Codificação Binária de Octal, de Octal, Decimal e Decimal e HexaHexa

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Conversão (direta) de binário para octal e hexadecimal

1010011100 2 = 001 010 011 100 = 1234 81010011100 2 = 0010 1001 1100 = 29C 16

Conversão (direta) de octal e hexadecimal para binário

765 8 = 111 110 101 2FED 16 = 1111 1110 1101 2

Conversão BinárioConversão Binário, Octal e , Octal e HexaHexa

10

D =

12EF16 = 1 × 163 + 2 × 162 + 14 × 161 + 15 × 160

436.58 = 4 × 82 + 3 × 81 + 6 × 80 + 5 × 8-1 = 286.6258

d i ×r i

i=-n

m-1

∑

Conversão Conversão de Base r de Base r para para DecimalDecimal

11

179 / 2 = 89 resto 1 (dígito menos significativo) 89 / 2 = 44 resto 144 / 2 = 22 resto 022 / 2 = 11 resto 011 / 2 = 5 resto 15 / 2 = 2 resto 12 / 2 = 1 resto 01 / 2 = 0 resto 1 (dígito mais significativo)

17910 = ? 2

17910 = 10110011 2

Conversão Conversão de Decimal de Decimal para para Base 2Base 2

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Soma de números binários é semelhante a soma de números decimais

xi + yi + ci si ci+1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1

Soma de Soma de Números BináriosNúmeros Binários

Tabela da Soma:

Resultado da soma de x e y

Vai um (carry out)Vem um (carry in)

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Exemplo: 499 + 43 = ?

499+ 43542

11 vai-um

Aritmética decimal

Aritmética binária 256 128 64 32 16 8 4 2 1 c 1 1 1 1 0 0 0 1 1 x 1 1 1 1 1 0 0 1 1 y 1 0 1 0 1 1 x + y 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 S9 S8 S7 S6 S5 S4 S3 S2 S1 S0

Exemplo Exemplo de Soma de Soma BináriaBinária

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xi - yi - bi di bi+1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1

Subtração Subtração de de Números BináriosNúmeros Binários

Tabela da Subtração:

A subtração de números binários também é semelhante a subtração de números decimais

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Exemplo: 987 - 123 = ?

987-123864

Aritmética decimal

Aritmética binária

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1x 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1y 1 1 1 1 0 1 1Borrows 0 0 1 1 0 0 0 0 0x - y 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0

D9 D8 D7 D6 D5 D4 D3 D2 D1 d0

Exemplo Exemplo de de Subtração BináriaSubtração Binária

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Representação em sinal-magnitude

+9 = 0 0 0 0 1 0 0 1-9 = 1 0 0 0 1 0 0 1

sinal magnitudeExemplos: +9 e -9 representados com 8 bits

o sinal é representado pelo dígito mais significativo (i.e., o mais da esquerda):

+ → 0- → 1

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Representação em complementos

� Criada para simplificar a operação de subtração e as manipulações lógicas

� Existem 2 tipos de complementos para um sistema de base r:

� complemento de r� complemento de r-1

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Complemento de r-1

� Seja um número N na base r, representado com n dígitos

� o complemento de (r-1) de N é dado por:

(rn - 1) - N

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Complemento de r-1

� Para números binários:� r = 2� (r-1) = 1� logo, o complemento de 1 de N será

(2n - 1) - N

Exemplos: encontrar o complemento de 1 dos seguintes números binários

101112 (=2310) → (25 - 1) - 23 = (32 - 1) - 23 = 810 = 10002

10110012 →

00011112 →

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Exemplos de representação em complemento de 1 (r-1)

+9 = 0 0 0 0 1 0 0 1

sinal magnitude+9 e -9 representados com 8 bits

-9 = 1 1 1 1 0 1 1 0

� complementa-se cadaum dos bits do número positivo (incluindo o bit de sinal)

o sinal é representado pelo dígito mais significativo (i.e., o mais da esquerda):

+ → 0- → 1

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Complemento de r

� Seja um número N na base r, representado com n dígitos

� o complemento de r de N é dado por:rn - N se N ≠ 00 se N = 0

ou seja, o complemento de r é obtido somando-se 1 ao complemento de (r - 1)

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� Para números binários:� r = 2� e o complemento de 2 de N será

2n - N

Exemplos: encontrar o complemento de 2 dos seguintes números binários

101112 (=2310) → 25 - 23 = 32 - 23 = 910 = 10012

10110012 →

00011112 →

Complemento de r

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Exemplos de representação em complemento de 2 (r)

+9 = 0 0 0 0 1 0 0 1

o sinal é representado pelo dígito mais significativo (i.e., o mais da esquerda):

+ → 0- → 1

sinal magnitude+9 e -9 representados com 8 bits

-9 = 1 1 1 1 0 1 1 1

� complementa-se cadaum dos bits do número positivo (incluindo o bit de sinal)� soma-se 1

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Exemplo 1: 2 números positivos

0 1 0 0 (+4)+

0 0 0 0 transporte (�carry�)

0 0 1 0 (+2)

0 1 1 0 (+6) resultado

Resultado correto

Adição de números binários em complemento de 2

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Exemplo 2: 2 números negativos

1 1 0 0 (-4)+

1 1 0 0 transporte (�carry�)

1 1 1 0 (-2)

1 0 1 0 (-6) resultado

Resultado correto

Adição de números binários em complemento de 2

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Adição de números binários em complemento de 2

Exemplo 3: 1 número positivo e 1 número negativo

0 0 0 1 (+1)+

0 0 0 1 transporte (�carry�)

1 0 0 1 (-7)

1 0 1 0 (-6) resultado

Resultado correto

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0 1 0 1 (+5)+

0 1 0 0 transporte (�carry�)

0 1 0 0 (+4)

1 0 0 1 (-7) Resultado erradoocorre �overflow� quando esses 2 bits são diferentes

o resultado excede o intervalo de representação = overflow

Exemplo 4: 2 números positivos

Adição de números binários em complemento de 2

28

1 0 1 1 (-5)+

1 0 0 0 transporte (�carry�)

1 1 0 0 (-4)

0 1 1 1 (+7) Resultado erradoocorre �overflow� quando esses 2 bits são diferentes

o resultado excede o intervalo de representação = overflow

Exemplo 5: 2 números negativos

Adição de números binários em complemento de 2