sistemas lineares (ap 03)

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SISTEMAS LINEARES APOSTILA

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1.1.1.1. EQUAÇÃO LINEAREQUAÇÃO LINEAREQUAÇÃO LINEAREQUAÇÃO LINEAR

Toda equação do 1º grau que possui uma ou mais incógnitas é uma equação linear.

Exemplo1 2� � 5� � 6� 10 é um exemplo de equação linear, onde:

� as letras �, � e � são as incógnitas; � 2, 5 e �6 são os coeficientes das respectivas incógnitas; � O número 10 é o termo independente. 2.2.2.2. SISTEMASISTEMASISTEMASISTEMA DE EQUAÇÕES DE EQUAÇÕES DE EQUAÇÕES DE EQUAÇÕES LINEARLINEARLINEARLINEARESESESES

É todo sistema formado por duas ou mais equações lineares.

Exemplo 2

� � � � � � 3� �22� � 3� � 2� 7� � 2� � � �7 �� �2� � � 5� � 3� 7

3.3.3.3. REGRA DE CRAMERREGRA DE CRAMERREGRA DE CRAMERREGRA DE CRAMER

A regra de Cramer é usada para a resolução de sistemas lineares em que o número de equações é igual o número de incógnitas.

Pela regra de Cramer, quando � � 0, a solução do sistema é dada por

� ��� , � ��� � � ���

4.4.4.4. CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEARCLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEARCLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEARCLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR

� Sistema Possível e determinado (SPD):

apresenta solução única (� � 0�. � Sistema Possível e indeterminado (SPI):

apresenta infinitas soluções (� �� �� �� 0�. � Sistema Impossível (SI): não admite solução

(� 0 � �� � 0 �� �� � 0 �� �� � 0�. 5.5.5.5. SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEOSISTEMA LINEAR HOMOGÊNEOSISTEMA LINEAR HOMOGÊNEOSISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO

É todo sistema onde os termos independentes são nulos. O sistema homogêneo é sempre possível, pois apresenta no mínimo a solução trivial.

Questão 1 (Unifesp – SP) Numa determinada livraria, a soma dos preços de dois lápis e um estojo é R$ 10,00. O estojo é R$ 5,00 mais barato que três lápis. A soma dos preços de um estojo e um lápis é: (A) R$ 3,00 (B) R$ 4,00 (C) R$ 6,00 (D) R$ 7,00 (E) R$ 12,00

Questão 2 Em uma eleição para diretor de certo clube, o dobro de votos obtidos pelo candidato Alberto, adicionado à quantidade dos votos obtidos pela candidata Célia, é igual a 914. Sabendo que a diferença entre o triplo de votos obtidos por Alberto e o dobro dos obtidos por Célia é igual a 146, calcule quantos votos cada candidato obteve. Questão 3 (UFRN – RN) A sorveteria Sabor da Fruta vende o sorvete simples por R$ 2,00 e o sorvete com cobertura por R$ 2,40. No dia das crianças, foram vendidos 720 sorvetes. Se o valor arrecadado foi de R$ 1640,00, determine a quantidade de sorvetes, de cada tipo, nesse dia. Questão 4 (Unesp – SP) Em uma sala, havia certo número de jovens. Quando Paulo chegou, o número de rapazes presentes na sala ficou o triplo do número de garotas. Se, em vez de Paulo, Alice tivesse entrado na sala, o número de garotas ficaria a metade do de rapazes. O número de jovens que estavam inicialmente na sala (antes de Paulo chegar) era: (A) 11 (B) 9 (C) 8 (D) 6 (E) 5

Questão 5 Certa prova de Matemática era composta por 20 questões. Para cada questão respondida corretamente, eram atribuídos 5 pontos. Para cada questão respondida incorretamente (ou não respondida), eram descontados 3 pontos. Quantas questões foram respondidas corretamente por um aluno que obteve 68 pontos? Questão 6 (UFC – CE) Se um comerciante mistura 2 kg de café do tipo I com 3 kg de café do tipo II, obterá um tipo de café cujo preço é R$ 4,80 o quilograma. Mas. Se misturar 3 kg do tipo I com 2 kg de café do tipo II, a nova mistura custará R$ 5,20 o quilograma. Os preços do quilograma do café do tipo I e do tipo II são, respectivamente: (A) R$ 5,00 e R$ 3,00 (B) R$ 6,40 e R$ 4,30 (C) R$ 5,50 e R$ 4,00 (D) R$ 5,30 e R$ 4,50 (E) R$ 6,00 e R$ 4,00

Questão 7 Resolva por escalonamento os sistemas abaixo.

� � � � � � 3� �22� � 3� � 2� 7� � 2� � � �7 �� �� � 2� � 3� �53� � 2� � 2� 2� � 6� � 11� 7

Atividades

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Questão 8 Resolva pela regra de Cramer os sistemas abaixo.

� � � � 3� � 2� 32� � � � 2� �24� � 5� � 2� 4 �� � � � 3� � 2� 32� � � � � 124� � 3� � 5� 6

Questão 9 (UEPA – PA) Um empresário do ramo da informática comprou para sua loja 40 memórias dos tipos: DDR2/2GB/800MHz/PC e DDR2/1GB/667MHz/ PC. Sabendo-se que as memórias custaram, cada uma, respectivamente, R$80,00 e R$50,00, e que o valor total gasto com elas foi de R$2.750,00, a quantidade de memórias do tipo DDR2/2GB/800MHz/PC é igual a: (A) 10 (B) 12 (C) 18 (D) 20 (E) 25

Questão 10 (UFPA – PA) Um paraense quer fazer uma refeição de açaí e farinha de mandioca com 1200 kilocalorias. Sabendo que 100g de farinha de mandioca tem 330 kcal e 100 gramas de açaí 250 quantidade de açaí na mistura em gramas ser (A) 120 (B) 150 (C) 200 (D) 220 (E) 250

Questão 11 (UEPA – PA) A rápida degradação dos habitats naturais, com o desmatamento e as ocupações irregulares nas áreas de mananciais, está ameaçando várias espécies de aves. Um ambientalista preocupado com as espécies resolveu fazer um levantamento do número de aves Araponga e Pavão-do-mato numa determinada região. O número existente entre Arapongas e Pavãos-do-mato foi de 30. O ambientalista observou que havia 4 Arapongas a mais que Pavãos-do-mato na região. Nesse sentido, afirma-se que: (A) o número de Pavãos-do-mato é igual a 17. (B) o número de Pavãos-do-mato é a quarta parte do

número de Arapongas. (C) o número de Pavãos-do-mato é a metade do número

de Arapongas. (D) o número de Arapongas é um número par. (E) o número de Arapongas é um número primo.

Questão 12 (UEPA – PA) Em uma empresa na qual foi implantada um projeto de coleta seletiva será necessário comprar coletores para pilhas e lâmpadas. Ao se fazer o orçamento desses coletores foram recebidas propostas de duas lojas que apresentaram o mesmo preço para cada coletor, conforme indicado na tabela abaixo. Se a decisão for de comprar 3

coletores de pilhas e 2 coletores de lâmpadas, será gasto o valor de:

Coletor de lâmpadas

Coletor de pilhas Total

Loja 1 2 unidades 2 unidades R$ 1.060,00 Loja 2 3 unidades 1 unidade R$ 1.130,00

(A) 1.005,00 (B) 1.236,00 (C) 1.290,00 (D) 2.233,00 (E) 2.370,00

Questão 13 (Facceba – BA) Se o par �2, �� é uma solução do sistema

� � � ! "� � # �#

então o valor de b é igual a:

(A) �6 (B) �7/2 (C) �3 �D��D��D��D� 1/2 (E) 2

Questão 14 (Univali – SC) Um joalheiro tem em seu estoque de joias: anéis, pingentes e pulseiras. Cada pingente pesa 3 g e custa 10 reais; cada anel pesa 5 g e custa 20 reais; cada pulseira custa 50 reais e pesa 9 g. no total, o estoque conta com 100 peças, num total de 600 g e está avaliado em 2.800 reais. A quantidade de anéis que o joalheiro tem em estoque é: (A) 10 (B) 30 (C) 45 (D) 55 (E) 60

Questão 15 (Estácio – RJ) Uma copeira lavou os 800 copos usados em uma festa. Ela recebeu R$ 0,05 por copo que lavou e teve de pagar R$ 0,25 por copo que quebrou. Terminando o serviço, a copeira recebeu R$ 35,80. O número de copos que ela quebrou é igual a: (A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18 (E) 20

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