sistemas lineares 0109 (1)

Tópicos em Aritmética, Álgebra e Geometria para o Ensino Médio.

Nome:- Carlos Alberto Spolaor e Almir Rogério Ferreira

Pólo:- Votuporanga (SP)Grupo:- 08

IntroduçãoTrata-se de uma atividade a ser desenvolvida na 2ª série

do Ensino Médio, referente ao conteúdo Sistemas Lineares – Interpretação Gráfica.

As tarefas são organizadas para serem desenvolvidas em 6 aulas aproximadamente.

O foco principal da atividade é a utilização de softwares gráficos, em especial o Geogebra e o Winplot, onde o aluno poderá comparar a solução algébrica dos sistemas com a sua solução gráfica e verificar quais são as implicações de ambas na resolução de problemas.

Tema Central:

Sistemas Lineares

Tópicos que deverão ser revisados

anteriormente:

• Plano Cartesiano;

• Equações lineares;

• Noções de sistemas.

A História dos Sistemas Lineares

• Carl Gustav Jacobi (1804 – 1851)

• Pierre Simon Laplace (1749 – 1827)

• Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813)

Sistema Linear • Definição e Resolução

• Escalonamento

• Classificação

• Utilização

Organização da turma

A turma deverá ser organizada em duplas, de modo a facilitar o andamento do trabalho do professor, pois com os alunos trabalhando em equipe o ambiente fica mais interessante para o desenvolvimento das atividades, inclusive no laboratórioAs aulas serão ministradas em sala de aula e na sala de informática, dependendo da necessidade, conforme experiência profissional do professor.

Recursos• Projeto Multimídia• Computador• Softwares Geogebra e Winplot devidamente

instalados• Caneta, • Régua, • Caderno, • Borracha, • Outros materiais que fazem parte do Kit do

aluno

Tarefa - Aula 1

A história do desenvolvimento dos sistemas lineares

através das descobertas matemáticas.

Questões a serem discutidas com os alunos:-

•Como era a vida dos matemáticos que descobriram a

utilidade dos sistemas? Tinham computador? Como

eles anotavam as suas descobertas?

•Como eles faziam os seus cálculos?

•Faça uma pesquisa sobre o modo de vida destes

matemáticos e os apresente a classe.

Tarefa - Aulas 2, 3 e 4•Revisão do Plano Cartesiano

•Apresentação do sistema Linear:-

Denomina-se sistema linear m x n o conjunto S de m equações

lineares em n incógnitas, que pode ser representado assim:

Apresentação do Vídeo sobre escalonamento de sistemas lineareshttp://www.youtube.com/watch?v=LS4RYy4dp4oE o vídeo sobre classificação de um sistema linearhttp://www.youtube.com/watch?v=3ZGQAqBIxLY

Sistemas Lineares: Introdução

Um terreno de 8000 m2 deve ser dividido em dois lotes. O lote maior deverá ter 1000 m2 a mais do que o lote menor. Vamos calcular a área que cada um deverá ter.

Sendo x e y, respectivamente, as áreas destinadas ao lote maior e ao lote menor;

1000

8000

yx

yx

Resolvendo este sistema, encontramos:-Método da

Substituição

substituindo na 1ª equação, temos:-

Método Geométrico

4500

3500

70002

100080002

80001000

x

y

y

y

yy

1000

8000

yx

yx

Classificação de um Sistema Linear 2 x 2

Sistema

Possível

Determinado

Indeterminado

Impossível

Interpretação Geométrica de um sistema 2 x 2

As retas concorrentes indicam que existe um única número para ordenado que é solução do sistema (sistema possível e determinado).

As retas paralelas e distintas indicam que não existe par ordenado que seja solução do sistema (sistema impossível).

152

103

yx

yx

52

242

yx

yx

As retas coincidentes indicam que existem infinitos pares ordenados que são soluções do sistema (sistema possível e indeterminado.

1293

862

yx

yx

Tarefas - Aulas 5 e 6O professor deverá trabalhar no laboratório de

informática, utilizando o software Geogebra.

• Apresentação do Geogebra;

• Solução de sistemas lineares

• Classificação de um sistema linear

• Estudo geométrico dos sistemas lineares

• Atividades

Tutorial Geogebra:-

http://diadematematica.diadematematica.com.b

r/modules/mastop_publish/?

tac=10

Atividade 1

Resolva o sistema através de escalonamento, classificando-o e interprete o mesmo

geometricamente através do winpot.

1 - O supermercado Comprebem em Uberaba gasta o dobro da energia elétrica do

que o de Araxá, e o depósito da rede em Uberaba gasta o triplo da energia elétrica do

que o de Araxá. Em tempos de racionamento de energia elétrica, o proprietário

negociou com a concessionária e conseguiu uma cota mensal de 13000 kWh para a

soma do consumo dos seus dois estabelecimentos de Uberaba e 5000 kWh para a

soma do consumo dos seus dois estabelecimentos de Araxá. Considerando que as

cotas foram utilizadas em sua totalidade, responda:-

a) Qual o consumo de cada loja?

b) Observe o gráfico e responda quanto a classificação do sistema.

c) Qual é o consumo das lojas da cidade de Uberaba?

)(1300032

)(5000

Uberabayx

Araxáyx

Resolução:-

a)

x = gasto com energia do supermercado Araxá

y = gasto com energia do depósito em Araxá

Resolvendo o sistema, encontramos x=2000 e y = 3000, assim temos que a

Loja Comprebem e o depósito de Uberaba gastam 4000 kWh e 9000 kWh,

respectivamente e a loja e o depósito de Araxá gastam 2000 e 3000 kWh,

respectivamente.

b) Resolução geométrica através do Geogebra

c) Supermercado Comprebem – 4000 kWh;Depósito 9000 kWh (Uberaba)

Supermercado Comprebem – 2000 kWh – Depósito 3000 kWh (Araxá)

2) Uma empresa deve entalar uma mistura de amendoim, castanha de caju e

castanha-do-pará. Sabendo-se que o quilo de amendoim custa R$ 5,00, o quilo

de castanha de caju, R$ 20,00, e o quilo de castanha-do-pará, R$ 16,00. Cada

lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada

lata deve ser R$ 5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada

lata dever igual a um terço da soma das outras duas.

a) escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima;

b) resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de

cada ingrediente por lata;

c) Mostre geometricamente.

ResoluçãoSendo:-a = amendoim, c= castanha de caju; p=castanha do pará, temos: 03

3

pca

apc

Temos um sistema linear:- 03

5.0

75,516205

pca

pca

pcaque transformada em matriz, temos:

D=5,0020

5,0111

75,516205

01431

5.0111

75,516205

13

LL Podemos encontrar o valor de c,

)tanh(125,04

5,05,04 cajúdeacasgramasc Continuando o escalonamento, encontramos:-

5,0040

25,311150

75,516205

5

5,0040

5,0111

75,516205

12 LLfazendo as substituições necessárias em

parádoacasdegramasp tanh125,0 .250 amendoimdegramasa

Resolução através do Winplot 3D

Atividades Propostas

1. Numa danceteria, o convite para homens custava R$ 15,00 e para mulheres, R$

10,00. Sabendo que o número de mulheres que foram à danceteria excede 5 o

número de homens e que, ao todo, foram arrecadados R$ 550,00, pergunta-se: qual

é o número de homens que foram dançar lá?

2. Em um restaurante há 12 meses todas ocupadas. Algumas, por 4 pessoas; outras

por apenas 2, num total de 38 fregueses. Qual é o número de mesas ocupadas por

apenas 2 pessoas?

3. Rapazes e moças dançavam animadamente em uma festa. Com a saída de 8

rapazes, percebeu-se que as moças estavam para os rapazes numa proporção de 3

para 2. Mas tarde, porém, 10 moças deixaram a festa e a proporção passou a ser de

5 moças para cada 4 rapazes. Quantos rapazes e moças havia na festa?

4. Resolva cada sistema linear 2 x 2 usando o método da adição e geométrico através do Winplot ou Geogebra; classifique-os quanto ao número de soluções.

52

424

yx

yx

865

1223

yx

yx

642

15105

yx

yx

5. Classifique e resolva os sistemas lineares através de escalonamento e faça sua representação geométrica.

014

032

042

yx

zyx

zyx

02

833

132

zy

zyx

zyx

Avaliação• Habilidades para usar os softwares Geogebra e/ou Winplot;

• Observar o envolvimento e a participação de cada integrante.

• A socialização dos temas propostos;

• Avaliação final do projeto através de um seminário com exposição

dos estudados realizados;

• Criação de um blog para que os alunos relatem suas experiências.

• Verificar se os alunos conseguem resolver as situações propostas de

maneira satisfatória;

Conclusão• Recursos tecnológicos pode tornar a aprendizagem dos conteúdos

mais atrativa e satisfatória;

• A utilização dos softwares, como no caso de construção gráfica, não

apresenta dificuldade, pois requer apenas razoável treinamento e pode

inclusive ser um desafio e um estimulo tanto para professor como para

o aluno.

• No caso do conteúdo específico, Sistemas Lineares, a vantagem de

desenvolvê-lo com auxílio do computador é que a análise gráfica se

torna mais fácil, com melhor visual, o que possibilita abranger um

maior número de situações, possibilitando assim uma aprendizagem

mais plena.

Bibliografia

Dante, Luiz Roberto, Matemática, Volume Único,

2008, 1ª Edição, Editora Ática;

IEZZE, Gelson, Fundamentos de Matemática

Elementar, 2ª Edição 1977, Editora Atual;

IEZZE, Gelson e outros, Matemática Ciência e

Tecnologia, 2ª Edição, 2005, Editora Atual;

SPIEGEL, Murray R., MOYER, Robert E., Coleção

Schaum, Álgebra, 2ª Edição, 2004, Editora Bookman.