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SINAIS

Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

Sinais

Função de uma ou mais variáveis que carrega informação sobre um determinado fenômeno 1 variável sinal unidimensional n variáveis sinal multidimensional

Exemplos: Sinal de voz/fala e sinais biológicos Sinal de vídeo Precificação de ações (séries temporais) Movimentação de máquinas elétricas

(vibração)

Sinais

Quanto à(s) variável(is) independente(s) Contínuo (analógico) Discreto

Quanto à amplitude: Contínuo (analógico) Discreto

Quanto a aleatoriedade em amplitude: Determinístico Aleatório (Random)

Sinais

Classificação Depende da discretização ou não da

amplitude e da variável independente. Geralmente a variável independente será

tempo (t) Casos:

Amplitude contínua com tempo contínuo Sinal analógico

Amplitude contínua com tempo discreto Amplitude discreta com tempo contínuo Amplitude discreta com tempo discreto

Sinal digital

Sinais

Para facilitar Sinais com tempo discreto Seqüência

Amplitude contínua com tempo discreto Amplitude discreta com tempo discreto

Sinais

Notações Tempo contínuo: x(t)

t = tempo (em segundos) (t ∈ R) O sinal x(t) é função do tempo

Tempo discreto: x[n] n = instante (adimensional) (n ∈ Z) A seqüência x[n] é função do instante Reforçando: não existe n = 1,5, por exemplo.

Sinais

Pode apresentar descontinuidades!!! A continuidade está ligada a (t ∈ R) Existem instante t0 tal que: )t(xlim)t(xlim 0

00

0

Sinais

Sinais periódicos e não-periódicos Inclui exponenciais complexas

Sinais

Sinais periódicos e não-periódicos x(t) = x(t + T), para todo t ∈ R.

T é o período “fundamental” do sinal (T ∈ R+) f = 1/T freqüência “fundamental”.

Em Hertz ω = 2π/T

Em radianos/s

Sinais

Sinais periódicos e não-periódicos Exemplos:

x(t) = cos(300π t + π/3) x(t) = 10 cos(1G π t)

Sinais senoidais puros x(t) = A cos(2 π f0 t + θ)

θ fase (em radianos) x(t) = 10 e-10t

x(t) = 10-6 e-1000t cos(3000 π t – π/2) Sinais exponenciais complexos x(t) = A e-σ0 t [cos(2 π f0 t) + j sen(2 π f0 t)]

σ0 constante de amortecimento

Sinais

Sinais periódicos e não-periódicos Lembre-se:

Relação de Euler e±jωt = cos(ωt) ± j sen(ωt) + cos(ωt) = Re{e±jωt} ± sen(ωt) = Im{e±jωt}

Relações trigonométricas sen(a ± b) = sen(a) cos(b) ± sen(b) cos(a) cos(a ± b) = cos(a) cos(b) ∓ sen(a) sen(b)

Sinais

Sinais periódicos e não-periódicos Exemplos/Exercícios

Sinais

Sinais com descontinuidades/singularidades Sinais com descontinuidades

Em algum t0:

Representação de fenômenos como: Chave liga-desliga Sinais discretos/digitais Variações lineares Amostragem de sinais contínuos

)t(xlim)t(xlim 00

00

Sinais

Sinais com descontinuidades/singularidades Degrau unitário:

Descontinuidade tem t=zero. Formulação consistente com séries e

transformadas de Fourier para representação de chaves liga-desliga.

0t,1

0t,21

0t,0

)t(u

Sinais

Sinais com descontinuidades/singularidades Representações alternativas do Degrau

unitário:

Formas ligadas a fenômenos físicos Carecem de rigor formal (teoria de Fourier)

Se excitarem um sistema qualquer Produzem mesmo resultado!!!

0t1

0t0)t(u

0t1

0t0)t(u

0t1

0t0)t(u

Sinais

Sinais com descontinuidades/singularidades Degrau unitário

Exemplos/Exercícios Demonstre que Degrau unitário formal e suas

variações alternativas são equivalentes.

Sinais

Sinais com descontinuidades/singularidades Sinal unitário

Indica o sinal de t Matematicamente: sgn(t) = 2 u(t) – 1

Admite versão alternativa, como u(t)

0t,1

0t,0

0t,1

)tsgn(

Sinais

Sinais com descontinuidades/singularidades Rampa unitária

Este sinal é definido por:

0tt

0t0)t(rampa

)t(tud)(u)t(rampat

Sinais

Sinais com descontinuidades/singularidades Impulso unitário

Representação gráfica

1dt)t(

0t,0)t(

Área = 1

δ(t)t

Sinais

Sinais com descontinuidades/singularidades Impulso unitário

Derivações importantes: Relação entre sinal impulso e sinal degrau

unitário

Extração de valor pontual de função genérica

)t(ud)()t(dt

)t(du t

dt)t(g)t()0(g

Sinais

Sinais com descontinuidades/singularidades Impulso unitário

Derivações importantes: Extração de valor pontual de função genérica

Propriedade de escala

dt)t(g)tt()t(g 00

)tt(a

1)tt(a 00

Sinais

Sinais com descontinuidades/singularidades Trem de impulsos

Note que o trem de impulsos é periódico Período T = T0

Útil para representar matematicamente a amostragem.

Conversão AD Impossível de criar fisicamente.

n

0T )nTt()t(

Sinais

Sinais com descontinuidades/singularidades Pulso retangular unitário

Pulso triangular unitário

21t,1

21t,21

21t,0

)t(rect

1tt1

1t0)t(tri

Sinais

Sinais especiais Sinc unitário

Usado na reconstrução de sinais analógicos a partir de seqüências discretas (conversão DA)

Gerador do fenômeno de Gibbs Veremos em transformada de Fourier

t

)tsin()tsinc(

Sinais

Sinais especiais Sinc unitário

Sinais

Sinais especiais Sinal de Dirichlet

Serve para representação matemática da conversão AD

Similaridade com sinc(t) N ímpar soma infinita de sinc(t) igualmente

espaçados. N par soma alternada de sinc(t)

Compare: sinal de Dirichlet trem de impulsos

)tsin(N

)Ntsin()t(diric

Sinais

Sinais especiais Sinal de Dirichlet

Sinais

Sinais pares e ímpares Equivalente a idéia de funções pares e

ímpares Sinal par:

x(t) = x*(–t), para todo t ∈ R. Conjugado simétrico

Sinal ímpar: x(t) = – x*(–t), para todo t ∈ R. Conjugado assimétrico

Todo x(t) = xp(t) + xi(t) Como obter as partes par e ímpar de x(t)?

Sinais

Sinais pares e ímpares Exemplos/Exercícios

Sinais

Operações básicas Soma e subtração de sinais Multiplicação e quociente de sinais

Multiplicação Modulação Observações importantes:

São realizadas ponto-a-ponto Equivalente a operações envolvendo funções Exemplo: w(t) = x(t) op y(t) op = +, -, *, /

w(t0) = x(t0) op y(t0) w(t1) = x(t1) op y(t1) ...

Sinais

Operações básicas Soma e subtração de sinais Multiplicação e quociente de sinais

Exemplos/Exercícios

Sinais

Operações básicas Deslocamento temporal

Operação de atraso ou avanço de sinais f(t) = g(t + t0) f(t) está adiantado em relação a g(t) h(t) = g(t – t0) h(t) está atrasada em relação a g(t)

Dado g(t) e t0 (tempo de atraso/avanço)

Exemplos: Efeito Doppler Representação de eco Atraso de propagação em meios de comunicação

Sinais

Operações básicas Deslocamento temporal

Exemplos/Exercícios

Sinais

Operações básicas Escala em amplitude

h(t) = α g(t) Dado g(t) e α (fator de ganho)

Pode representar: Amplificação Atenuação Reflexão

Sinais

Operações básicas Escala em amplitude

Exemplos/Exercícios

Sinais

Operações básicas Escala no tempo

h(t) = g(t/A) Dado g(t) e A(≠zero) (fator de

encolhimento/dilatação)

Pode representar: Amplificação Atenuação Reflexão (ou inversão temporal)

Disco sendo tocado de trás para frente.

Sinais

Operações básicas Escala em amplitude

Exemplos/Exercícios

Sinais

Operações básicas Integração/diferenciação

Diferenciação de g(t) Inclinação de g(t) no instante t.

Integração de g(t) Acumulação de g(t) até o instante t qualquer.

dt

)t(dg)t(h

td)(g)t(h

Sinais

Operações básicas Integração/diferenciação

Diferenciação Filtragem passa-alta

Integração Filtragem passa-baixa

Genericamente Diferenciação e integração são operações opostas Lembrar da constante de integração por se tratar

de sinais de duração infinita.

Sinais

Operações básicas Integração/diferenciação

Sinais

Operações básicas Integração/diferenciação

Sinais

Operações básicas Integração/diferenciação

Exemplos/Exercícios

Sinais

Energia e Potência de Sinais Abstração matemática

Tentativa de avaliar energia transferida pelo sinal

Exemplos: Corrente, fluxo de nêutrons, força aplicada,

temperatura

Energia de sinal

Calculada para sinais para o qual Ex converge!

dt)t(xE

2

x

Sinais

Energia e Potência de Sinais Potência de sinal

Propício para sinais periódicos Para esses, Ex não converge (Ex oscila) Neste caso, T = T0 (período do sinal)

2T

2T

2

Tx dt)t(x

T

1limP

Sinais

Energia e Potência de Sinais Classe de sinais:

Sinais com energia finita Sinais com potência finita

Com energia “infinita” Sinais com energia e potência infinitas

Sinais

Energia e Potência de Sinais Exemplos/Exercícios