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MA093 - Matematica basica 2 Segundo semestre de 2018
Sexta lista de exercıciosTrigonometria do triangulo retangulo. Angulos. Circunferencia unitaria.
1. Os pontos abaixo estao na circun-ferencia unitaria. Encontre a coorde-nada que falta.
(a) P (x, 4/5), x negativo.
(b) P (−1/3, y), y positivo.
(c) P (x,−√
3/2), x positivo.
(d) P (2/3, y), y negativo.
2. Converta para radianos.
(a) 15◦.
(b) −72◦.
(c) 144◦.
(d) 225◦.
(e) 290◦.
(f) 330◦.
(g) −30◦.
(h) 1080◦.
3. Converta para graus.
(a) π/5.
(b) −3π/4.
(c) 5π/6.
(d) 7π/3.
(e) 2π.
(f) 2.
(g) −0, 8.
(h) π/12.
4. Encontre as coordenadas dos pontos dacircunferencia unitaria associados aosangulos abaixo.
(a) θ = 3π/2.
(b) θ = 7π/6.
(c) θ = 2π/3.
(d) θ = −3π/4.
(e) θ = 4π/5.
5. Encontre angulos entre 0◦ e 360◦ (ou entre0 e 2π) que sejam coterminais aos angulosabaixo.
(a) θ = 540◦.
(b) θ = 1063◦.
(c) θ = −30◦.
(d) θ = −730◦.
(e) θ = −5π/4.
(f) θ = 8π/3.
(g) θ = 25π/6.
(h) θ = −11π/5.
6. Encontre um angulo positivo e um negativoque sejam coterminais aos angulos abaixo.
(a) θ = 120◦.
(b) θ = −75◦.
(c) θ = π/3.
(d) θ = −3π/2.
7. Calcule o menor angulo (em graus) entre osponteiros de um relogio que marca 1 h.
8. Calcule o comprimento do arco definido, emuma circunferencia de raio r = 5 m, por umangulo central de 32, 4◦.
9. Calcule a medida do angulo θ da figura.Forneca a resposta em graus e em ra-dianos.
10. Determine o seno, o cosseno e a tan-gente dos angulos α e β de cadatriangulo.
(a) (b)
11. Determine os comprimentos dos ladosdos triangulos abaixo.
(a)
(b)
(c)
12. Em um triangulo retangulo, a hipote-nusa mede 2
√5 e um angulo interno α
e tal que cos(α) =√
5/3. Determine asmedidas dos catetos.
13. Em um triangulo retangulo, a hipote-nusa mede
√10 e um angulo interno α
e tal que tan(α) = 3. Determine as me-didas dos catetos.
14. (0,8 pt) Em um triangulo retangulo, ahipotenusa mede 5 e um angulo internoα e tal que tan(α) = 2. Determine asmedidas dos catetos.
15. Esboce um triangulo retangulo comum angulo agudo que satisfaca a me-dida abaixo. Das funcoes trigo-nometricas seno, cosseno e tangente,determine as que faltam em cada caso.
(a) sen(θ) = 4/5.
(b) cos(θ) =√
3/2.
(c) tan(θ) = 1.
16. Sabendo que os angulos α e β sao com-plementares e que sen(α) = 3/4, deter-mine sen(β) e cos(β).
17. Sabendo que os angulos α e β sao comple-mentares e que cos(α) = 1/7, determinesen(β) e cos(β).
18. Determine o valor de x em cada figuraabaixo.
(a)
(b)
19. Uma rampa tem altura h = 1, 5m eangulo de inclinacao igual a 15◦. De-termine seu comprimento, c.
20. Parado a 120m do centro da base deuma torre, um topografo descobre queo angulo de elevacao do topo da torremede 69, 7◦. Determine a altura apro-ximada da torre.
21. Uma escada com 3,2 m de compri-mento foi encostada em uma parede,fazendo um angulo de 65◦ com o solo,que e horizontal. Determine a que al-tura do chao a escada foi encostada naparede.
22. O telhado de uma casa e mostrado nafigura abaixo. Determine a area do
telhado, ou seja, a area em cinza nafigura.
23. Em homenagem ao dia dos namorados,uma fabrica de chocolates criou umacaixa de bombons cuja tampa tem oformato abaixo. Determine a area dasuperfıcie da tampa da caixa. Dica:some as areas dos polıgonos indicadosna figura.
24. Determine as medidas x, y e h indica-das na figura abaixo.
25. Para montar uma estrela, e precisojuntar alguns triangulos como o que emostrado abaixo (observe que o mesmotriangulo esta destacado na estrela).Determine a area da estrela.
26. O logotipo de certa empresa e uma le-tra E estilizada, como mostra a figuraabaixo. Determine a area da figura.Dica: note que o logotipo possui umacerta simetria.
27. Eratostenes de Cirene, cientista grego, de-terminou com admiravel precisao a circun-ferencia da Terra. No solstıcio de verao, eleobservou que, ao meio dia, os raios de solincidiam perpendicularmente ao solo na ci-dade de Siene (atual Assua), enquanto osmesmos raios formavam um angulo de 7, 2◦
com a vertical em Alexandria, que ficava 800km a norte de Siene. Supondo que a Terrae perfeitamente esferica, descubra o raio e acircunferencia do planeta usando a estrategiade Eratostenes (medidas atuais indicam umacircunferencia meridional de 40.008 km e umraio medio de 6371 km).
28. Um topografo descobriu que o anguloentre o solo e o topo de um predio e de50, 2◦, quando medido a uma distanciade 50m da base do mesmo. Qual e aaltura do edifıcio?
29. Para determinar a largura de um rio,Joao parou em um ponto A e mi-rou o ponto mais proximo da mar-gem oposta, denominado C na figuraabaixo. Em seguida, Joao caminhou10 m ao longo da margem, chegandoao ponto B, de onde mirou novamenteo ponto C na margem oposta, desco-brindo que o angulo entre AB e BCmedia 65, 5◦. Qual a largura daqueletrecho do rio?
30. Presa ao chao, uma pipa voa fazendo umangulo de 42◦ com o solo. Se a linha, com50 m de comprimento, esta completamenteesticada, a que altura voa a pipa?
31. Para fabricar uma calha, um serra-lheiro faz duas dobras em uma chapametalica com 30 cm de largura, comomostra a figura. Sabendo que o anguloentre a lateral da calha e a horizontalmede 60◦, determine a area da secaotransversal da calha.
32. A figura abaixo mostra um retangulo no qualfoi inscrito um paralelogramo cinza. Deter-mine as medidas x, y e z, bem como a areado paralelogramo.
33. A figura abaixo mostra uma ponte estaiadasimetrica. Calcule a altura h do cabo internoe o comprimento c do cabo central.
34. A figura abaixo mostra uma escultura for-mada por dois triangulos cinza. Determineas medidas x, y e z, bem como o angulo α.
35. Um jogador de sinuca quer acertar uma bolasituada na posicao S de uma mesa retangu-lar, dando uma tacada em uma bola locali-zada no ponto R, como mostrado na figura aesquerda.
(a) Determine y para que a bola siga a tra-jetoria da figura a esquerda.
(b) Infelizmente, o jogador deu uma tacadaque levou a bola ao ponto V , como mos-trado a direita. Determine a a distanciax entre V e o canto da mesa.
36. Para determinar a distancia da Terra a Lua,usamos dois pontos A e B da superfıcie daTerra, como mostra a figura. Sabendo queo raio da Terra mede r = 6370 km e queo arco AB mede c = 9902 km, responda asperguntas abaixo.
(a) Determine o angulo θ.
(b) Calcule a distancia d entre a Terra e aLua.
37. A figura abaixo mostra duas torres retan-gulares, A e B, construıdas em um terrenoplano. Determine as alturas das torres, x ey, bem como o comprimento w do cabo deaco que liga o topo das torres.
38. Um iate entra em um canal e e acompanhadopor cameras situadas nos pontos A e B mos-trados na figura. Determine as distancias xe y do centro do iate a cada borda do canal,bem como z, o comprimento do iate.
Respostas
1. a. x = −3/5; b. y = 2√
2/3;c. x = 1/2; d.
√5/3.
2. a. π/12; b. −2π/5; c. 4π/5;d. 5π/4; e. 29π/18; f. 11π/6;g. −π/6; h. 6π.
3. a. 36◦; b. −135◦; c. 150◦;d. 420◦; e.360◦; f. 114, 592◦;g. −45, 837◦; h.15◦.
4. a. x = 0; y = −1;b. x = −
√3/2; y = −1/2;
c. x = −1/2; y =√
3/2;d. x = −
√2/2; y = −
√2/2;
e. x ≈ −0, 809; y ≈ 0, 588.
5. a. 180◦; b. 343◦; c. 330◦;d. 350◦; e. 3π/4; f. 2π/3;g. π/6; h. 9π/5.
6. a. 480◦ e −240◦; b. 285◦ e −435◦;c. 7π/3 e −5π/3; d. π/2 e −7π/5.
7. 30◦
8. 0, 9π m
9. 28, 65◦ ou 1/2 rad
10. a. sen(α) = cos(β) = 513 ,
cos(α) = sen(β) = 1213 ,
tan(α) = 512 ; tan(β) = 12
5 .
b. sen(α) = cos(β) = 3√13
13 ,
cos(α) = sen(β) = 2√13
13 ,tan(α) = 3
2 ; tan(β) = 23 .
11. a. 25 e 25√
3;b. 20
√3/3 e 40
√3/3;
c. 12 e 12√
2.
12. 4√5
3 e 103
13. 3 e 1
14.√
5 e 2√
5
15. ...
16. sen(β) =√
7/4, cos(β) = 3/4.
17. sen(β) = 1/7, cos(β) = 4√
3/7.
18. a. 160√
3/3; b. 20√
3.
19. c = 5, 97 m.
20. h ≈ 324 m.
21. 2,9 m.
22. 1603
√3 m2
23. 72 + 140√
3 cm2
24. h = 4, x = 4 + 4√
3, y = 4√
2
25. AT ≈ 7, 656 cm2. A = 10AT ≈ 76, 56 cm2.
26. 89√
3 + 169/2 cm2
27. Raio = 6366,2 km.Circunferencia = 40.000 km.
28. 60 m.
29. 21,94 m.
30. 33,46 m.
31. 75√
3 cm2
32. x ≈ 5, 196 cm, y ≈ 7, 464 cn, z = 6 cm,A ≈ 44, 783 cm2
33. h = 45 m. c ≈ 64, 03 m.
34. x ≈ 2,89 m, y ≈ 5,02 m, z ≈ 2,90 m,α ≈ 49, 1◦
35. a. y = 0, 56 m b. x = 1, 225 m
36. a. θ = 89, 0648◦ b. d = 384.428 km
37. x ≈ 18,03 m, y ≈ 28 m, w ≈ 41,22 m
38. x ≈ 36,40 m, y ≈ 23,78 m, z ≈ 36,95 m
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