revisão: família lógica...
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16/03/2017
1
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETROTÉCNICA
ELETRÔNICA DIGITAL - ET75C
Prof.ª Elisabete Nakoneczny Moraes
Aula 3- TÉCNICAS DE SIMPLIFICAÇÃOSoma dos Produtos, Produto das Somas e Mapa de Karnaugh
Curitiba, 17 março de 2017.
Revisão: família lógica TTL
17 Mar 17 Aula 03 - Técnicas de simplificação 2
Família TTL (transistor transistor logic):
• Desenvolvida pela Texas Instruments,
• A base do funcionamento TBJ que operam como chave.
• São alimentados em 5Vcc
• Série 54 (uso militar)
• Série 74 (uso comercial)
uso comercial
função lógica: E, OU, ...
S=>SchottkyLS=>Schottky de baixa potênciaAS=>Schottky avançadaALS=>Schottky avançada de baixa potência
74xxDD
ENTRADA DA PORTA LÓGICA
EM ABERTO REPRESENTA
NÍVEL LÓGICO “1”
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Revisão: família lógica CMOS
17 Mar 17 Aula 03 - Técnicas de simplificação 3
Família CMOS (complementary metal oxide semicondutor FET):
• Nível de tensão da alimentação na faixa de 3 a 18Vcc.
• De um modo geral, CMOS é mais rápido e consome menos que as outras famílias MOS.
• Devido a sua construção são sensíveis à eletricidade estática, sendo primordial o cuidado com o manuseio do CI.
Série 74C
É compatível pino a pino e funcionalmente equivalente a componentes TTL com a mesma numeração;
Algumas funções TTL também estão disponíveis nesta série CMOS;
É possível substituir alguns circuitos TTL por um equivalente CMOS.
Série 74HC/HCT (High Speed CMOS)
Versão aperfeiçoada da série 74C, que tem um aumento na velocidade de operação, agora comparável a componentes 74LS, e uma capacidade de corrente muito mais alto do que a da série 74C;
Nesta série os CIs são compatíveis pino a pino
e funcionalmente equivalentes a CIs TTL com a
mesma numeração.
ENTRADA DA PORTA LÓGICA EM
ABERTO REPRESENTA
INDETERMINAÇÃO
Revisão: Álgebra de BOOLE
17 Mar 17 Aula 03 - Técnicas de simplificação 4
1-Associativa
2-Comutativa
CBACBA
CBACBA
....
ABBA
ABBA
..
4-Elemento Neutro
3-Distributiva
5-Complemento
AA
AA
0
.1
CABACBA
CABACBA
..
...
1
0.
AA
AA
1-Teorema da Dualidade
2-Teorema da Convolução
3-Teorema de “De Morgan“
AAA
AAA
.
........
.........
CBACBA
CBACBA
AA
4-Teorema da Adjacência
ABABA ).().(
• Operação “E (.)” prioridade sobre “OU (+)”
• 1º ( )
• 2º [ ]
• 3º { }
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Problema Lógico
17 Mar 17 Aula 03 - Técnicas de simplificação 5
Esse processo pode ser realizado por meio:
1. dos teoremas, os postulados de Boole e De Morgan, 2. de forma gráfica, que são os mapas de Karnaugh ou por meio de 3. de algoritmos de Quine e Mc-Cluskey, para aplicações computacionais.
Livro do Idoeta & Capuano, cap 4Livro do Tocci, cap 4Livro do Floyd cap 4
Deseja-se instalar no painel de um automóvel um sistema sonoro de alarme para alertar o usuário quando se verificar uma das seguintes condições:✓Motor ligado com uma das portas não travadas;✓Motor ligado e o cinto de segurança do motorista recolhido;✓ Faróis acesos com motor desligado.
Um problema de lógica combinacional deve ser representado por uma tabela da verdade (TV), que representa todos os estados possíveis das variáveis lógicas que descrevem o sistema combinacional. Essas variáveis resultam em funções lógicas obtidas a partir da análise da tabela da verdade, requerendo em muitas vezes a sua minimização ou simplificação.
Formas Canônicas
17 Mar 17 Aula 03 - Técnicas de simplificação 6
Representação clássica de uma dada relação. Para a análise em questão a forma canônica de uma expressão lógica indica a presença de todas as variáveis na equação seja na forma direta ou pelo seu complemento (negada). As expressões canônicas são estruturadas em duas formas:
A) Forma canônica disjuntiva soma dos produtos:obtém-se somando todos os produtos lógicos que dão à função o valor lógico igual a “1”.Cada parcela da função é chamada de mintermo ou minitermo. Representação: m. Seja f(A,B,C)
AB’C é uma forma canônica de minitermo.AB’(B C)’ não é uma forma canônica de minitermoAC , também não é uma forma canônica de minitermo.
B)Forma canônica conjuntiva produto das somas:resulta do produto das somas das variáveis que resultam na função lógica com valor igual a “0”. Cada parcela da função é chamada de maxtermo ou maxitermo. Representação: ΠM . Seja f(A,B,C)
C+B+A’ é uma forma canônica de maxitermo.(C+B)’+B+ A não é uma forma canônica de maxitermoC+A , também não é uma forma canônica de maxitermo.
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Forma Canônica Disjuntiva (SP)
17 Mar 17 Aula 03 - Técnicas de simplificação 7
A B C f
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
CBA)6,5,0(),,( mCBAf
0
6
5
Supondo a TV a seguir, a equação que expressa a TV na forma canônica disjuntiva é obtida pela: 1. Seleção das linhas da TV cuja saída assume nível lógico “1”. 2. Cada linha selecionada irá compor o produto lógico entre as variáveis.
a. Se a variável estiver em nível alto, entra na equação com o seu próprio nível.b. Se a variável estiver em nível baixo, entra na equação negada.c. Esse produto é um mintermo ou minitermo.
3. A equação lógica final é obtida pela soma lógica dos mintermos.
CBA
CAB
CABCBACBACBAf ),,(
5
Circuito equivalente Mintermos
17 Mar 17 Aula 03 - Técnicas de simplificação 8
A B C f
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
)6,5,0(),,( mCBAf
CABCBACBACBAf ),,(
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5
Forma Canônica Conjuntiva (PS)
17 Mar 17 Aula 03 - Técnicas de simplificação 9
A B C f
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
CBACBACBAf
)7,4,3,2,1(),,( MCBAf
Usando a mesma TV, obter a equação lógica usando o produto das somas.
CBACBA
1
2
7
4
3
Supondo a TV a seguir, a equação que expressa a TV na forma canônica conjuntiva é obtida pela: 1. Seleção das linhas da TV cuja saída assume nível lógico “0”. 2. Cada linha selecionada irá compor a soma lógica entre as variáveis.
a. Se a variável estiver em nível baixo, entra na equação com o seu próprio nível.b. Se a variável estiver em nível alto, entra na equação negada.c. Esse produto é um maxtermo ou maxitermo.
3. A equação lógica final é obtida pelo produto lógico dos maxitermos.
Circuito equivalente Maxtermos
17 Mar 17 Aula 03 - Técnicas de simplificação 10
A B C f
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
CBACBACBAf
)7,4,3,2,1(),,( MCBAf
CBACBA
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Solução do problema lógico
17 Mar 17 Aula 03 - Técnicas de simplificação 11
Deseja-se instalar no painel de um automóvel um sistema sonoro de alarme para alertar o usuário quando se verificar uma das seguintes condições:✓Motor ligado com uma das portas não travadas;✓Motor ligado e o cinto de segurança do motorista recolhido;✓ Faróis acesos com motor desligado.
a) Identificar e nomear as variáveis de entrada:Motor M Portas PCinto Segurança C Faróis F
b) Elaborar a tabela da verdade: Total de variáveis = 4Total de possibilidades = 24 = 16Tabela da verdade com 16 linhas.
Adota-se que:Nível lógico 1 = ligado Nível lógico 0 = desligado
M P C F Sinal
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 011
Solução do problema lógico - Maxtermos
17 Mar 17 Aula 03 - Técnicas de simplificação 12
M P C F Sinal
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0
0
2
4
6
64
FCPMFCPM
e)Representação da função lógica:
)15,14,6,4,2,0(MF)C,P,F(M,14
15
20
Sinal FCPMFCPM
1514
FCPMFCPM
c)Avalia-se a situação em que há menor quantidade de “1’s” ou “0’s”, para optar entre:• soma dos produtos (SP)=> minitermos => 1• produto das somas (PS)=> maxitermos => 0
d) Elabora-se a equação: a escolha recaiu no produto das somas por haver menor quantidade de “0’s”. Nessa formulação (PS) as variáveis em nível lógico “1” entram na equação negadas.
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Solução do problema lógico - Mintermos
17 Mar 17 Aula 03 - Técnicas de simplificação 13
M P C F Sinal
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0
Nessa formulação (SP) as variáveis em nível lógico “0” entram na equação negadas.
13121110
FCMPFCMPCFPMFCPM
1
8
13
9
10
11
12
531
FCPMCFPMFCPMSinal
Representação da função lógica:
)13,12,11,10,9,8,7,5,3,1(mF)C,P,F(M,
3
5
SOMA DOS PRODUTOS (SP)=> MINTERMOS => 1
10987
FCPMFCPMFCPMPCFM
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Mapa de KARNAUGH
17 Mar 17 Aula 03 - Técnicas de simplificação 14
Para 2 variáveis:
Para 3 variáveis:
Para 4 variáveis:
Método gráfico usado para simplificar/minimizar um problema lógico ou converter a Tabela da Verdade em uma equação lógica reduzida adequada para até 6 variáveis lógicas.
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Solução do Mapa de KARNAUGH (MK)
17 Mar 17 Aula 03 - Técnicas de simplificação 15
Desenvolvimento:
a) A numeração das linhas e colunas da tabela segue o Código de Gray.00 – 01 – 11 - 10
b) Os espaços são chamados de celas, onde são preenchidas com a condição "1" correspondente à mesma condição que resultou na tabela da verdade.
c) O objetivo é reunir os 1's em grupos, mas obedecendo a condição que o enlace para a formação dos grupos seguirá: 2N = 1, 2 , 4 , 8, ....., N.
d) Quanto maior o grupo de “1’s” formado, maior será a redução das variáveis.e) A variável que é eliminada, é aquela em que muda de nível entre celas adjacentes.f) As variáveis mantidas no agrupamento feito em "c", realizam o produto lógico
entre elas, sendo que deve ser negada a variável que é representada no código Gray pelo nível 0.
g) O resultado da minimização é obtido realizando a soma lógica entre os grupos formados.
OBS: dois enlaces SÓ PODEM ter UMA célula em comum.
KARNAUGH MAP MINIMIZER sw que aplica o mapa de Karnaugh
Exemplo 1 sobre o MK
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A B S
0 0 0
0 1 0
1 0 1
1 1 1
1) Considere a tabela da verdade para a seguinte função lógica de duas variáveis, F(A,B):
A
B 0 1
0
1
1
1
A variável “A” é mantida
A variável “B” altera de nível
desaparece S= A
Solução pelo método da soma dos produtos=minitermos
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Exemplo 2 sobre o MK
17 Mar 17 Aula 03 - Técnicas de simplificação 17
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A B C S
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
2) Usando a tabela da verdade que indica a saída para a função: F (A,B,C)
AB
C 00
0
1
11
01 11
1
1
1
Sai“C”
Sai “B”Fica “A”Sai “A” e fica
B’C’CBAS
No caso de usar a soma dos produtos=minitermos
Exemplo 3 sobre o MK: 4 variáveis lógicas
17 Mar 17 Aula 03 - Técnicas de simplificação 18
Enlace proibido
Minitermos
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ABDDCAS
Enlace 1
Enlace 2
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Condições Irrelevantes – DON’T CARE (X)
17 Mar 17 Aula 03 - Técnicas de simplificação 19
Em determinadas situações, a condição de saída pode ser irrelevante, porque as condições de entrada nunca ocorrerão ou que seja indiferente se em nível “1” ou “0”.
Exemplo:
Nesta situação a saída pode assumir o estado “ALTO” ou “BAIXO”, sinalizada por um “X”.
A escolha recai para ã condição que resulte maior quantidade de enlaces ou maior número de “1’s” possível.
Na equação lógica é caracterizada pela seguinte notação:
)4,3()7,6,5(),,( dmCBAF
EXERCÍCIOS
17 Mar 17 Aula 03 - Técnicas de simplificação 20
Utilize o mapa K para simplificar: DCBADDBACS
Solução:Preenche as celas com “1” para as combinações que contenham o rótulo das parcelas da equação.
a) C’A’B’D’ somente uma cela
b) C’D A’B C’D , AB C’D, A’B’ C’D e AB’ C’D
c) AB’C AB’C D e AB’C D’
d) D’A’B’C’D’, A’BC’D’, ABC’D’, AB’C’D’,A’B’CD’, A’BCD’, ABCD’, AB’CD’
e) Fazendo os agrupamentos e as simplificações a equação final y=AB’+C’+D’
a) b)
b)
b)
b) c) c)
d)
d)
d)
d) d)
d)
d)
d)
Enlace 2
Enlace 3
Enlace 1
DCBADCDBACS
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EXERCÍCIOS
17 Mar 17 Aula 03 - Técnicas de simplificação 21
CBCACAS
CBACADS Lista coim mais exercícios na pagina da disciplina
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