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Respostas Selecionadas

CAPíTULO8

Seção 8.1, p. 11-131 2 3

1. ai = O,az = -4' a3= -9' a4= -161 I I

3. aI = I, az = -]' a3 = 5' a4 = -75. a,,=(-I),,+I,I12:1 7. a,,=112-1,112:1

I + (-1)"+111. a" = 2 ' 112: 19. a" = 4/1 - 3, 112: I

13. Converge, 217. Diverge

I21. Converge,-2

25. Converge, O29. Diverge33. Converge, I37. Converge, 441. Diverge45. Converge, e213

15. Converge,-119. Diverge

23. Converge, \!2

27. Converge, O31. Converge, e735. Converge, I39. Converge, O43. Converge, e-I47. Converge, x (x > O)

7T51. Converge'"2

55. Converge, O59. N = 65, a" = (0,9)", L = O63. (b) 1

49. Converge, O

53. Converge, O57. N=692,a,,=W,L= 161. (b) \!2

Seção 8.2, p.19-2137 153163 1272555111023

1. 1, 2' 4' 8' 16' 32' 64' 128' 256' 5121 1 1 I 1 I I I

3. 2, I, -2' -4' 8' 16' - 32' - 64' 128' 2565. 1,1,2,3,5,8,13,21,34,557. (b)V39. (a) f(x) = XZ - 2, 1,414213562 = \!2

7T

(b) f(x) = tg (x) -1,0,7853981635 = "4

(c) f(x) = e" diverge11. Crescente, limitada.13. Não crescente, limitada15. Converge, Teorema da Seqüência Monotônica17. Converge, Teorema da Seqüência Monotônica

19. Diverge, definição de divergência21. Converge, Teorema da Seqüência Monotônica23. Diverge, definição de divergência27. 1 29. -0,7390851331. 0,85375017

Seção 8.3, p. 30-32

2[ I - Gr]- ,3

S" - I - G)I I 1

5. S" = 2 - 11 + 2' 2

(I

)"

3,"" 1 - (-~)' ~1- --

2

7 I_l+~_~+... :!:. 4 16 64 ' 5

(5 I

) (5 I

) (5 I

)23

9 (5 + 1) + - + - + - + - + - + - +... -. 2 3 4 9 8 27 ' 2

(I 1

) (1 I

) (1 1

)17

11 (1 + 1)+ --- + -+- + --- +... -. 2 6 4 25 8 125 ' 613. 1 15. 517. 1 19. Converge, 2 + \!2

1.

21. Converge, 1?e-

23. Converge, e2 - 1x

25. Converge, x-I

29. Diverge

27. Diverge

31. Diverge

133. a = 1, r = -x; converge para -1 para Ix 1< 1+x

x-I 635. a = 3, r =~, converge para 3 - x para x em (-1, 3)

1~37. Ix I< 2' 1 - 2x

2341. 99

41,33345. 33,30049. 8 mZ

51. (a) 3( ~r-I

239.1 <x<5'-

1x-

43. 29

47. 28 m

532 Respostas

I I(4

)I

(4

)"-2 , r:;

(b)AII=A+3"A+- - A+"'+- - A.limAII=~3 9 3 9 11-'" 5

53. (a) i: I1I~-2 (11 + 4)(11 + 5)

(b) i: III~U (11 + 2)(11 + 3)

(c) i 11I~5 (11 - 3)(11 - 2)

55. In (~)61. Diverge

Seção 8.4, p. 42-431. Diverge 3. Diverge5. Converge 7. Converge

9. Diverge; 1 2::~ = 1-2~ + ~ 2n + n 311

. sen2n < I11. Converge, y.- - 2"

13. Converge; Cn: I)"< (;;J= G )"

15. Diverge; comparação do Jimitecom 2: k

17. Converge; comparação do limite com 2:-4n-

19. Converge; comparação do limite com 2: --kn

21. Converge, p = 1/2 23. Diverge, p = 00

25. Converge, p = 1/10 27. Converge, p = O29. Converge,p = O 31. Converge,p = O33. Diverge, p = 00

35 C. . . . 1 1. onverge; sene geometnca, r = fi <

37. Diverge; p-série, p < I

39. Diverge; comparação do limite com 2: k

41. Converge; comparação do limite com 2:--k11

43. Converge;Teste da Razão 45. Converge; Teste da Razão47. Converge;Teste da Integral 49. Converge; Teste da Integral

51. Converge; compare com 2: (1,;5)"

53. Converge; compare com 2: ~n55. Converge; compare com 2: ~n

arc tg n (f)57. Converge;- < -

nl,l nl.l

59. Diverge; Teste do Enésimo Termo61. Converge; Teste da Razão 63. Diverge; Teste da Razão

(J)<I/III)

65. Diverge; ali = 3" -7 I 71. a = I

Seção 8.5, p. 50-521. ConvergepeloTeorema85. ConvergepeloTeorema8

2. Diverge; ali "..4 O

7. Diverge; ali -7 ~ '* O

9. Converge pejo Teorema 811. Converge absolutamente. A série de valores absolutos é uma

série geométrica convergente.I 11 1

13. Converge condicionalmente. - ~ -7 O mas 2: -vn+ I II~] ~

diverge.

'" I15. Converge absolutamente. Compare com 2: -:;-.11=1n-

17. Converge condicionalmente. ~ 3 -7 O, mas i:~ 3 iverge.n + 1I=ln+00 I

Compare com 2: n'11=]

, 3 + n19. Diverge; _5 -7 1

+11

21. Converge condicionalmente; (~+ k)-7 O,mas I ~n > .l.I! n- n

23. Converge absolutamente; Teste da Razão25. Converge absolutamente pelo Teste da Integral27. Diverge; ali"..4O29. Converge absolutamente pelo Teste da Razão

I I31. Converge absolutamente; ? < """"2

n-+2n+II1

I

cos 117T'

I I

( - 1)"+]

I

133. Convergeabsolutamenteporque :-r = ~ =-.n v n n' n312

(p-série convergente)

35. Converge absolutamente pelo Teste da Raiz37. Diverge; ali -7 00

39. Converge condicionalmente;

~-V;;=~ ~-70,I!+ 11+1

mas séries de valor absoluto divergem, Compare com 2: ,J;.

41. Diverge; ali-7 ~ '* O

43. Converge absolutamente; sech 11=2 2e" 2e" 2=-<-=-

e" + e-li e211+ I e211 e"'

um termo de uma série geométrica convergente

45. IErro I< 0,2 47. IErro 1< 2 X 10-11

49. 0,5403051. (a) ali> all+1falha

1(b) -- 2

Seção 8.6, p. 60-611. (a) I, -I < x < I

. I I3. (a) 4' -'2 < x < O5. (a) 10, -8 <x< 127. (a) I, -I < x < 19. (a) 3, [-3,3]

11. (a) 00,para todo x13. (a) 00,para todo x15. (a) I, ~ 1 :S x < I17. (a) 5,-8<x<2

19. ~ - 3 < x < 3

(b) -1 < x < 11

(b) -- < x < O2(b) - 8 < x < 12(b) -1 < x < I(b) [-3,3](b) Para todo x(b) Para todo x(b) -I < x < I(b) - 8 < x < 2(b) - 3 < x < 3

(c) Nenhum

(c) Nenhum

(c) Nenhum(c) Nenhum(c) Nenhum(c) Nenhum(c) Nenhum(c) x = -1(c) Nenhum(c) Nenhum

21. (a) 1, -1 < x < 1 (b) -1 < x < 123. (a) O,x = O (b) x = O25. (a) 2, -4 < x :s O (b) -4 < x < O

27. (a) 1, -1:Sx:S 1 (b) -1:Sx:S 11 3 3

29. (a) 4' I :s X < 2 (b) 1:S x :s 2

31. (a) 1, (-1 - 7T):s x < (1 - 7T)(b) (-1 - 7T)< X < (1 - 7T)(c) X = -1 - 7T

(c) Nenhum(c) Nenhum(c) x = O(c) Nenhum

(c) Nenhum

433. -1 <x<3,- ,

3+2x-r2

35. O< x < 16,---:;=4 - vx

37. -\I2<x<\I2,~ 2-x2 -2

39. I <x<5'- I' I <x<5,-

x - (x - 1)2

X2 X4 X6 X8 XIO41 (a) cos x = I - - + - - - + - - - + . . . . converge. 2! 4! 6! 8! IO! '

para todo x23X3 25x5 27X7 29x9 21X"

(b) e (c) 2x - - + - - - + - - - + ...3! 5! 7! 9! li!X2 X4 X6 17x8 31xlO 7T 7T

43. (a) 2 + 12 + 45 + 2.520 + 14.175' -2 < x < 2

(b) 1 + X2 + 2X4 + 17x6 + 62xH+... -!!.. < x < !!..3 45 315 ' 2 2

Seção 8.7, p. 72-74

1. Po(x) = O, P1(x) = x - I, Plx) = (x - I) -~(x - 1)2,

(I

I )' I 3

P3(x) = x-I) -2 (x - - +"3 (x - 1)-

1 I x 1 X X23. Po(x)= 2' P1(x)= 2 - 4' Plx) = 2 - 4 + 8'

I X X2 X3Nx) = 2 - 4 + 8 - 16

1 I 1 ( 7T

)5. Po(x) = \12' P1(x) = \12 - \12 x -"4 '

1 I

(7T

)I

(7T

)2

P2(x) = \12 - \12 x -"4 - 2\12 x -"4 '

P3(x)= ~- ~(x-*) - 2~

(x - *Y + 6~(x - *Y

00 (-x)" X2 X3 X472:-=I-x+---+--'"

. ,,~o /1! 2! 3! 4!

00 (-I)"32"+lx211+1

9. 2: (2 ),,,~o /1 + I .

13. X4 - 2X3 - 5x + 4

00 2"x

11. I~O (2/1)!

15. 8 + 10(x - 2) + 6(x - 2)2 + (x - 2)300

17. 2: (_1)"(/1 + I)(x - I)"II~O

19. f e~ (x - 2)",,=0/1.

Respostas 533

00 (- 5x)" 52X2 53X321. 2: - = I - 5x + - - - + ...,,~o /1! 2! 3!

( )211+1

(-I)" 7TX

f 2 - 7TX 7T3X3 7T5X5 7T7X723. II~O (2/1 + I)! - :2 - 23 .3! + 25 .5! - 27 . 7! + ...

00 X"+I ? x3 X4 X5252:-=x+r+-+-+-+...

. 11=0/1! 2! 3! 4!

00 (-I)"x211 X4 X6 X8 XIO27 2: = - - - + - - - + .... ,,~2 (2/1)! 4! 6! 8! IO!

7T2X3 7T4X5 7T6X7 00 (-I )"7T2IX21+ 129 x--+---+"'= 2:. 2! 4! 6! II~O (2/1)!

00 (-I)"+1(2x?' (2X)2 (2X)4 (24 (2X)8

31. I~I 2. (2/1)! = 2 . 2! - 2 . 4! + 2. 6! - 2 . 8! + ...00 (-I),,-12"x"+' ? 22X3 23X4 24x5

33. 2: /1 = 2r - - + - - - + ...,,=1 2 3 4

35. Ix I < (0,06)1/5 < 0,56968(10-3)3

37. IErro I< ~< 1,67 X 10-10, -10-3 < X < O

(3°.1)(0 I )3

39. (a) IErro 1< 6 ' < 1,87 X 10-4

(O 1)3(b) IErro 1<T < 1,67 X 10-4

45. (a) L(x) = O?

r(b) Q(x) = - 2

,x-

(b) Q(x) = I + 247.(a) L(x) = 1

Seção8.8, p. 81-82x X2 x3

11+---+-. 2 8 16

3 I + 1.x - l X2+ ~ X3+ . . .. 2 8 16

X3 3X6 5X97 1--+---. 2 8 16

11. (1 + xt = I + 4x + 6X2 + 4X3 + X4

13. (I - b} = 1 - 6x + 12x2 - 8x3

3X2 X3

5. I - x + 4 - 2

1_~+~9. I + 2x 8X2 16x

00 (-I)"15. Y = 2: ~X" = e-x,,~o /1.

19. Y = f x'; = e' - x - I,,~2 /1.

17. Y = f ~= e' - 1,,~I/1.

00 X2" ,21 Y = 2: - = exn. ,,=02"11!

00 2 00 2,,+123. Y = 2: 2x" = =- 25. Y = 2: x 1= senhx11=0 I x ,,~o (2/1 + I).

. 00 (_I)"+IX21127. Y = 2 + x - 2 2:

n=1 (211)!00

[2(X - 2)2" 3(x - 2)2"+ I]29. Y = -2(x - 2) - 2: +,,=1 (2/1)! (2/1 + I)!

I ax4 bX5 X7 ax831. y=a+bx+-~ + +6 3,4 4,5 6.6,7 3'4'7'8

an-4

~ + ... . Para 112: 6, a" = /1(11-1)4, 5, 8, 93

X 7 x"x --+-

33. 3 7, 3! 11' 5!