relatório mecânica estrutural
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*chapter[0pt]Chapter
1
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Relatorio do Trabalho
de
Mecanica Estrutural
Renato Severiano, 67867
20 de Dezembro de 2013
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Conteudo
I Placa fina 2
1 Enunciado 31.1 Texto do enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Analise do Problema 42.1 Escolha dos Metodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Metodo de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.1 Equacoes governantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Vibracao natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.3 Aproximacao de Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.4 Caso EEEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.5 Material ortotropico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.6 Fundacao elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Metodo das diferencas finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.1 Construcao das Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Codigo MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Resultados 83.1 Graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Elementos Finitos (ANSYS) 104.1 Analise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5 Conclusoes 135.1 Metodologias, simplificacoes e resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.1.1 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.1.2 Simplificacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.2 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2.1 Referencias Bibliograficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
II Casca 15
6 Enunciado 16
1
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Parte I
Placa fina
2
-
Captulo 1
Enunciado
1.1 Texto do enunciado
1. Considere a placa rectangular com geometria, material, carregamento e condicoes de fronteiraque se indicam. O tipo de analise (Estatica, Dinamica ou de Instabilidade) encontra-se tambemespecificado (E,D ou I).
2. Resolva o seu caso, recorrendo a dois metodos a` sua escolha. Indique as simplificacoes quefez para utilizar algum dos metodos e apresente sucintamente a formulacao necessaria para aresolucao do problema. Podera alterar a origem do referencial se achar conveniente.
3. Apresente na forma de tabelas e/ou graficos a distribuicao dos deslocamentos e tensoes naplaca para efeitos de comparacao das diferentes tecnicas (somente os resultados que achar maissignificativos). Se estiver a apresentar resultados de vibracoes (D) ou instabilidade (I) apresenteos resultados de frequencias naturais ou cargas crticas em tabelas e os modos na forma grafica(figuras).
4. Resolva o problema pelo metodo dos elementos finitos (recomenda-se o programa ANSYS dis-ponvel no LEMAC).
5. Discuta as varias metodologias, simplificacoes e resultados. Apresente conclusoes e referencias(bibliografia que consultou).
1.2 Dados
Tipo de analise: DinamicaModulo da fundacao elastica: K = 64N/m3.
Dimensoes
a = 0, 622m
b = 1, 466m
h = 0, 002m
Condicoes de fronteira:
Lado Condicao
AB ApoiadoBC EncastradoCD EncastradoDA Encastrado
Propriedades do material
E1(GPa) 209
E2(GPa) 19
G12(GPa) 6,4
G23(GPa) 2,5
12 6,4
(kg/m3) 1750
3
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Captulo 2
Analise do Problema
Neste captulo faz-se uma breve analise teorica ao problema em estudo e como deve ser abordado. Oreferencial utilizado foi o mesmo para todos os metodos e e coerente com o do enunciado (origem doreferencial no ponto D, ponto A sobre o eixo dos yy e ponto D sobre o eixo dos xx.
2.1 Escolha dos Metodos
Tendo em conta as condicoes de fronteira do problema que possui um dos lados apoiado e os restanteslados encastrados e, logo a` partida, impossibilitada a aplicacao dos metodos de Levy e de Navier.Assim sendo avancou-se com a aplicacao dos metodos de Rayleigh-Ritz, doravante designado de Ritz,e o das diferencas finitas, o qual sera referido por MDF.
2.2 Metodo de Rayleigh-Ritz
Toda a informacao acerca da aplicacao do Ritz foi retirada do livro escrito por Reddy, tendo em contaque este apresenta o metodo de forma clara e bem estruturada para o problema de dinamica em placasortotropicas.
2.2.1 Equacoes governantes
Este metodo passa essencialmente pela resolucao da equacao diferencial seguinte:
D114w0x4
+ 2D124w0x2y2
+D224w0y4
+ I02w0t2
I2(4w0t2x2
+4w0t2y2
)= q (2.1)
onde D12 = 2(D12 + 2D66) e
I0 = 0h, I2 =0h
3
12(2.2)
2.2.2 Vibracao natural
Assume-se que a vibracao e periodica considerando
w0(x, y, t) = w(x, y)eit (2.3)
sendo a frequencia natural de vibracao associada ao modo de forma w. Associando as anteriorestemos: {
D114w
x4+ 2D12
4w
x2y2+D22
4w
y4 2
[I0w I2
(2w
x2+2w
y2
)]}eit = 0 (2.4)
Que deve permanecer constante para qualquer tempo t, portanto simplifica-se para:
D114w
x4+ 2D12
4w
x2y2+D22
4w
y4 2
[I0w I2
(2w
x2+2w
y2
)]= 0 (2.5)
Pretende-se encontrar os valores de para os quais a equacao anterior possui solucao nao trivial w.
4
-
2.2.3 Aproximacao de Ritz
A formulacao fraca estabelecida para a resolucao do problema apresentado e a seguir apresentada.
0 =
b0
a0
{D11
2w
x22w
x2+D12
(2w
y22w
x2+2w
x22w
y2
)+ 4D66
2w
xy
2w
xy+D22
2w
y22w
2y 2
[I0ww + I2
(w
x
w
x+w
y
w
y
)]}dxdy (2.6)
A aproximacao de Ritz para placas rectangulares pode-se expressar desta forma:
w(x, y) Wmn(x, y) =Mi=1
Nj=1
cijXi(x)Yj(y) (2.7)
Sendo Xi e Yj as funcoes de forma do problema e cij o vector com o modo de vibracao. As funcoes deforma sao estabelecidas de maneira a verificar as condicoes de fronteira do problema em particular.Os modos de vibracao sao obtidos resolvendo(
[R] 2[B]) {c} = {0} (2.8)Sendo assim o problema consiste em determinar os valores e vectores proprios onde cada valor proprioe um 2 que e solucao com o seu respectivo vector proprio que corresponde a um modo de vibracaodado pelo vector {c}. As matrizes [B] e [R] sao construidas calculando as seguintes equacoes paracada elemento (ij)(kl).
B(ij)(kl) =
b0
a0
[I0XiXkYjYl + I2
(dXidx
dXkdx
YjYl +XiXkdYjdy
dYldy
)]dxdy (2.9)
R(ij)(kl) =
b0
a0
[D11
d2Xidx2
d2Xkdx2
YjYl +D22XiXkd2Yjdy2
d2Yld2y
+D12
(Xid2Xkdx2
d2Yjdy2
Yl +d2Xidx2
XkYjd2Yldy2
)+4D66
dXidx
dXkdx
dYjdy
dYldy
]dxdy (2.10)
2.2.4 Caso EEEA
Para o caso EEEA (simplesmente apoiado em y=b) as funcoes de forma utilizadas sao as seguintes:
Xi =(xa
)i+1 2(xa
)i+2+(xa
)i+3(2.11)
Yj =(yb
)j+1 (yb
)j+2(2.12)
A equacao 2.12 foi corrigida relativamente a` que se encontrava no Reddy.
2.2.5 Material ortotropico
Para placas de material ortotropico as constantes Dmn dependentes das propriedades mecanicas domaterial calculam-se assim:
D11 =E1h
3
12(1 1221) , D12 = 21D11, D22 =E2E1D11, D66 =
G12h3
12(2.13)
5
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2.2.6 Fundacao elastica
Para se tomar em consideracao os efeitos da fundacao elastica considera-se
q = kw (2.14)
Para considerar o seu efeito foi adicionado a` matriz [R] de rigidez a influencia de Kw resultando em:
R(ij)(kl) =
b0
a0
[D11
d2Xidx2
d2Xkdx2
YjYl +D22XiXkd2Yjdy2
d2Yld2y
+D12
(Xid2Xkdx2
d2Yjdy2
Yl +d2Xidx2
XkYjd2Yldy2
)+4D66
dXidx
dXkdx
dYjdy
dYldy
+KXiXjYkYl
]dxdy (2.15)
2.3 Metodo das diferencas finitas
Para a resolucao do problema pelo MDF foram consultados os apontamentos das aulas de MecanicaEstrutural e os respectivos diapositivos apresentados nas aulas.
A proximidade do calculo depende da quantidade de pontos utilizados para tal. Deve-se escolherum numero de pontos adequado de forma a reduzir o erro e simultaneamente nao exceder a capacidadede memoria do computador onde estiver a ser processado. Para uma quantidade de pontos exageradapode-se chegar a um limite computacional que comecara a propagar o erro. O MDF, tal como o Ritz,consiste na resolucao de um problema de valores e vectores proprios. No entanto os vectores propriospossuem significado diferente correspondendo directamente ao deslocamento em cada ponto.(
[K] 2[M ]) {w} = {0} (2.16)Tambem o metodo de construcao das matrizes requer uma abordagem diferente.
2.3.1 Construcao das Matrizes
Apesar de tambem serem simetricas, as matrizes [K] e [M ] do MDF sao diferentes das do Ritz.A matriz [K] e construida aplicando os coeficientes encontrados na figura 2.1 que correspondem a`
aplicacao em diferencas finitas de 4. Estes coeficientes devem ser multiplicados por x1. O stencil
2D22
D11
4 (H+D22)
4( H+D11)
2 H
6D11+8 H+62D22
4 (H+D22) 2 H
4( H+D11)
2 H
2 H
2D22
D11
Figura 2.1: Stencil utilizado para placas ortotropicas com x 6= y
deve ser aplicado para todos os pontos do interior da placa sendo que se utilizam pontos fictciosaquando da sua aplicacao tais como os pontos na fronteira da placa, que possuem deslocamento nulo(lados encastrados/ apoiados), e um conjunto de pontos do lado de fora da placa que tomam o valordo deslocamento do respectivo ponto interior (nos lados encastrados) ou o seu simetrico (em lados
6
-
apoiados).A matriz [M ] e mais simples, tendo a mesma dimensao que a matriz [K] e simplesmente uma matrizdiagonal com o valor de h na sua diagonal:
[M ] =
h 0 . . . 00 h . . . 0...
.... . .
...0 0 . . . h
(2.17)
2.4 Codigo MatLab
Segue nas folhas em anexo no final deste documento.
7
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Captulo 3
Resultados
Apos varias iteracoes experimentando diferentes parametros de entrada tanto para o Ritz como para oMDF decidi, para o Ritz, utilizar N=5 e M=16 apos ter verificado que os primeiros modos de vibracaoapenas adicionam ondulacoes na direccao de yy e, para o MDF, Nx = 90 e Ny = 220 para manteruma relacao x/y proxima de 1.
Modo Ritz [Hz] MDF [Hz]
1 58,459 57,1562 59,480 58,1733 61,867 60,5544 66,435 65,1135 73,964 72,621
3.1 Graficos
De seguida apresentam-se os graficos obtidos no MatLab para os primeiros 5 modos de vibracao.
00.2
0.40.6
0.8
0
0.5
1
1.5
x [m]
1 = 58.4589Hz
y [m]
Figura 3.1: 1o modo de vibracao pelo Ritz
00.2
0.40.6
0.8
0
0.5
1
1.5
x [m]
1 = 57.1561Hz
y [m]
Figura 3.2: 1o modo de vibracao pelo MDF
8
-
00.2
0.40.6
0.8
0
0.5
1
1.5
x [m]
2 = 59.4807Hz
y [m]
Figura 3.3: 2o modo de vibracao pelo Ritz
00.2
0.40.6
0.8
0
0.5
1
1.5
x [m]
2 = 58.1734Hz
y [m]
Figura 3.4: 2o modo de vibracao pelo MDF
00.2
0.40.6
0.8
0
0.5
1
1.5
x [m]
3 = 61.8668Hz
y [m]
Figura 3.5: 3o modo de vibracao pelo Ritz
00.2
0.40.6
0.8
0
0.5
1
1.5
x [m]
3 = 60.5535Hz
y [m]
Figura 3.6: 3o modo de vibracao pelo MDF
00.2
0.40.6
0.8
0
0.5
1
1.5
x [m]
4 = 66.4356Hz
y [m]
Figura 3.7: 4o modo de vibracao pelo Ritz
00.2
0.40.6
0.8
0
0.5
1
1.5
x [m]
4 = 65.1128Hz
y [m]
Figura 3.8: 4o modo de vibracao pelo MDF
00.2
0.40.6
0.8
0
0.5
1
1.5
x [m]
5 = 73.9658Hz
y [m]
Figura 3.9: 5o modo de vibracao pelo Ritz
00.2
0.40.6
0.8
0
0.5
1
1.5
x [m]
5 = 72.6206Hz
y [m]
Figura 3.10: 5o modo de vibracao pelo MDF
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Captulo 4
Elementos Finitos (ANSYS)
O codigo do ANSYS encontra-se em anexo no final deste documento.
4.1 Analise
Apos conceber um codigo base para modelar a placa em ANSYS utilizando elementos do tipo shell63procedi a` refinacao da malha ate decidir que uma malha com 125 nos em x e 296 em y seria suficiente.Desta forma os elementos possuem uma relacao de lados aproximadamente quadrada como e desejavel.
4.2 Figuras
Figura 4.1: 1o modo de vibracao obtido no ANSYS
10
-
Figura 4.2: 2o modo de vibracao obtido no ANSYS
Figura 4.3: 3o modo de vibracao obtido no ANSYS
11
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Figura 4.4: 4o modo de vibracao obtido no ANSYS
Figura 4.5: 5o modo de vibracao obtido no ANSYS
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Captulo 5
Conclusoes
5.1 Metodologias, simplificacoes e resultados
5.1.1 Metodologia
Apos ter efectuado uma primeira analise acerca do modo de funcionamento do Ritz e do MDF procedia` sua implementacao em codigo de MatLab tendo em atencao a eficiencia computacional das diversasformas de programacao dos metodos.Assim verificou-se que, pelo menos na minha maquina de trabalho, a integracao simbolica mostrou-semais rapida que a numerica. Ainda assim uma grande fatia do tempo de processamento encontra-sena integracao. Aproveitando o facto de as matrizes [B] e [R] possurem simetria optei pela construcaoda parte triangular superior antes de proceder efectuar as funcoes de integracao para a totalidade dasmatrizes e entao somar os valores a` parte triangular inferior das matrizes poupando assim tempo deprocessamento na integracao.No caso da implementacao do MDF ajustou-se a metodologia de construcao da matriz [K] de tal formaque as condicoes de fronteira sao aplicadas no final da sua construcao juntamente com a fundacaoelastica. Desta forma a limitacao computacional do MDF prende-se na quantidade memoria RAMexistente na maquina de trabalho dado que para se obter bons resultados requere-se uma grandequantidade de pontos, alem disso para se utilizar a funcao eigs do MatLab este requer que as suasentradas sejam do tipo double impossibilitando assim que se que se possa reduzir o impacto no sistemana manipulacao de matrizes de enormes dimensoes ao reduzir o tamanho dos dados em memoria pelautilizacao de variaveis do tipo single.
5.1.2 Simplificacoes
Nao foram efectuadas quais simplificacoes alem das inerentes a` natureza de cada metodo.
5.2 Conclusoes
Tendo por base o facto de os valores resultantes do ANSYS se considerarem os mais fiaveis (ou maisproximos da realidade) pode-se concluir que o Ritz e um metodo de aproximacao mais correcto que oMDF por nao exigir tanto poder computacional para se chegar a`s primeiras frequencias de vibracao.No entanto o uso do MDF pode ser mais indicado para a determinacao aproximada de modos devibracao com frequencias mais elevadas com pouco esforco e um erro consideravel.
ANSYS Ritz [Hz] MDF [Hz]
58,576 58,459 57,15659,848 59,480 58,17362.717 61,867 60,55468,020 66,435 65,11376,487 73,964 72,621
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5.2.1 Referencias Bibliograficas
1. J.N. Reddy, Theory and Analysis of Elastic Plates and Shells, Taylor and Francis, 2nd Ed., 2006
2. Diapositivos e apontamentos das aulas de Mecanica estrutural
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Parte II
Casca
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Captulo 6
Enunciado
1. Considere o reservatorio representado na figura, o qual consiste num corpo cilndrico AB e umtopo constitudo por uma casca hemisferica BC. O reservatorio contem lquido de peso especfico ate ao nvel do ponto D e encontra-se pressurizado com uma pressao p0 . O material doreservatorio e isotropico.
2. Determine expressoes para o andamento das tensoes e deslocamentos de membrana ao longodo corpo cilndrico. Calcule o valor da espessura desse elemento de casca, para uma tensaoadmissvel de membrana de 200 MPa.
3. Determine os esforcos internos de compatibilizacao nas juncoes A e B.
4. Calcule as tensoes de flexao e represente graficamente o andamento das tensoes totais ao longodo troco AB.
5. Modele o reservatorio em elementos finitos e faca uma analise usando elementos de casca axi-simetrica e outra com elementos placa-casca. Compare e comente os resultados obtidos com asolucao analtica.
6. Calcule a espessura que o reservatorio deve ter para uma tensao admissvel de 250 MPa.
H1 = 2, 675 m H2 = 0, 846 m a = 2, 258 m
p0 = 0, 35 MPa = 7779 N/m3
E = 188 GPa = 0.35
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Analise do Problema
Neste captulo trata-se dos calculos referentes ao ponto 2, 3 e 4 do enunciado do problema.
Consideracoes iniciais
Tome-se em consideracao para a resolucao deste problema que o eixo dos xx tem direccao positivapara cima estando o plano xy no plano do encastramento. Seja (1) a regiao que contem o lquido (entreA e D), (2) a regiao entre D e B e (e) a semiesfera. Em analise como membrana acrescenta-se m e
As forcas aplicadas na casca consideradas neste problema resumem-se a`s pressoes envolvidas nointerior do reservatorio em questao, assim sendo toma-se:
pz = (H1 x) para 0 x H1Considerando a tambem a pressao p0 obtem-se:
N0 = a(H1 x) + p0a0 =a2((H1 x) po)
Et= W 0 (6.1)
com validade entre A e D. E as equacoes
N1 = p0a (6.2)
N1x =p0a
2(6.3)
validas entre D e B.
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
InteriorExterior
Figura 6.1: Andamento de tensoes entre os pontos A e D
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