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8/19/2019 Relatório Experimental: Detalhes sobre o processo de discretização de sinais de tempo contínuo utilizando o softw…
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Arthur de Araújo Farias
Relatório Experimental: Detalhes sobre o
processo de discretização de sinais de tempo
contínuo utilizando o software MATLAB
Campina Grande, PB - Brasil
9 de março de 2016
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Arthur de Araújo Farias
Relatório Experimental: Detalhes sobre o processo de
discretização de sinais de tempo contínuo utilizando o
software MATLAB
Relatório Experimental de atividade laborato-rial para a disciplina de Processamento Digi-tal de Sinais oferecida pela Universidade Fede-ral de Campina Grande para a Graduação deEngenharia Elétrica. Esta prática laboratorialrefere-se à utilização do Matlab para análise
de problemas relacionados à amostragem desinais de tempo contínuo.
Universidade Federal de Campina Grande
Departamento de Engenharia Elétrica
Graduação em Engenharia Elétrica
Processamento Digital de Sinais
Campina Grande, PB - Brasil
9 de março de 2016
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Resumo
Este relatório contempla a preparação para o experimento e as respostas às questões
propostas no guia de prática laboratorial.
Palavras-chaves: Processamento digital de sinais, Experimento, Amostragem, Matlab
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Sumário
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I PREPARAÇÃO 9
1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Teorema da Amostragem e Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Reconstrução de sinais amostrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Upsampling e Downsampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Subamostragem de sinais passa-banda . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Efeitos do delay fracionário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Diferenciador discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 151.7 Exercícios 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.1 Problemas Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.1.1 Item (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.1.2 Item (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.1.3 Item (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.2 Problemas Intermediários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.2.1 Item (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.2.2 Item (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7.2.3 Item (f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7.3 Problemas Avançados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7.3.1 Item (g) e (h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7.3.2 Item (i) (j) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8 Exercícios 7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8.1 Problemas Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8.1.1 Item (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8.1.2 Item (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8.1.3 Item (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8.1.4 Item (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8.2 Problemas Intermediários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8.2.1 Item (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8.2.2 Item (f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
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1.8.2.3 Item (g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8.2.4 Item (h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8.2.5 Item (i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9 Exercícios 7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.9.1 Problemas Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9.1.1 Item (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9.1.2 Item (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9.1.3 Item (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9.2 Problemas Intermediários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9.2.1 Item (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9.2.2 Item (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9.2.3 Item (f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.9.3 Problemas Avançados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9.3.1 Item (g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9.3.2 Item (h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10 Exercícios 7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10.1 Problemas Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10.1.1 Item (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10.1.2 Item (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10.1.3 Item (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.10.2 Problemas Intermediários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10.2.1 Item (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10.2.2 Item (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10.2.3 Item (f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10.3 Problemas Avançados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10.3.1 Item (g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10.3.2 Item (h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.11 Exercícios 7.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.11.1 Problemas Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.11.1.1 Item (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.11.1.2 Item (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.11.1.3 Item (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.11.1.4 Item (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.11.1.5 Item (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.11.1.6 Item (f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.11.2 Problemas Intermediários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.11.2.1 Item (g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.11.2.2 Item (h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.11.2.3 Item (i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
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1.12 Exercícios 7.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12.1 Problemas Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12.1.1 Item (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12.1.2 Item (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.12.1.3 Item (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12.1.4 Item (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12.1.5 Item (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12.1.6 Item (f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12.1.7 Item (g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12.1.8 Item (h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12.2 Problemas Intermediários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12.2.1 Item (i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12.3 Problemas Avaçados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12.3.1 Item (j) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12.3.2 Item (k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12.3.3 Item (l) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
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Introdução
Amostragem refere-se a uma etapa da discretização de sinais de domínio e imagem
contínuos. Este passo transforma um domínio que antes possuía valores infinitos e não
enumeráveis em um domínio contendo valores infinitos porém enumeráveis. Existem
condições objetivas à este processo de discretização que garantem que sinais causais
lineares e invariantes no tempo possam ser totalmente reconstruídos com base em um
conjunto finito de operações lineares. As referidas condições foram sintetizadas em um
teorema matemático muito bem suportado pela empiria do quotidiano da engenharia,
denominado Teorema da Amostragem.
Os experimentos em questão em geral tratam dos detalhes referentes ao processo
de discretização de sinais contínuos utilizando como ferramenta o software Mathworks
Matlab1 com base nos exercícios propostos em (1). Específicamente:
Primeiro Experimento Refere-se aos exercícios da seção 7.1: Efeitos de aliasing em
sinais que superam a banda determinada pela taxa de amostragem.
Segundo Experimento Refere-se aos exercícios da seção 7.2: Comparação entre duas
aproximações práticas ao filtro ideal interpolador na reconstrução de sinais amostra-dos.
Terceiro Experimento Refere-se aos exercícios da seção 7.3: Conversão de taxas de
amostragem.
Quarto Experimento Refere-se aos exercícios da seção 7.4: Amostragem de sinais limi-
tados em banda passante e a utilização da técnica da subamostragem para mixagem
de sinais modulados em banda passante.
Quinto Experimento Refere-se aos exercícios da seção 7.5 e 7.6: Explorações referentesao atraso de meia amostra e sistemas diferenciadores de tempo discreto.
1 O nome Mathworks e Matlab são propriedades da Mathworks, Inc.
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Parte I
Preparação
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1 Fundamentação Teórica
1.1 Teorema da Amostragem e Aliasing
Seja um sinal x(t) com sua respectiva transformada de Fourier X ( jω), e seja IIIT (t)
um trem de impulsos da forma definida por 1.1,
IIIT (t) def
=∞
k=−∞
δ (t − kT ) (1.1)
sua transformada será da formada dada por 1.2
F{IIIT (t)} = 2π
T III 2π
T
(ω). (1.2)
A amotragem pode ser definida por 1.3, sendo x p(t) justamente o sinal amostrado.
x p(t) = x(t) · IIIT (t). (1.3)
No domínio de Fourier, 1.3 torna-se 1.4.
X p(ω) = X (ω) ∗ 2πT III2π
T (ω). (1.4)
X p(ω) = X (ω) ∗ 2π
T III 2π
T
(ω) (1.5)
= ∞−∞
X (ω − Ω)2π
T
∞k=−∞
δ
ω − k2π
T
dΩ (1.6)
= 2π
T
∞k=−∞
X
ω − k2π
T
(1.7)
Qualitativamente, X p(ω) é uma soma dos espectros de X (ω) deslocados em k2πT
.
Quantitativamente, se X (ω) = 0∀|ω| < B, pode-se perceber que, existe um intervalo de
valores de B em que ocorrerá a sobreposição dos espectros de X (ω) essa faixa de valores
corresponde a 2πT
≤ B (2), o efeito gerado desta sobreposição é denominado aliasing e ele
deve ser evitado a fim de não comprometer a reconstrução do sinal original ( 3).
1.2 Reconstrução de sinais amostrados
A reconstrução de sinais amostrados baseia-se basicamente na aplicação de um
filtro passa baixas que elimina as cópias espectrais da banda superior à básica do sinal
original. Vale lembrar que um filtro ideal não é realizável em domínio contínuo devido
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12 Capítulo 1. Fundamentação Teórica
à impossibilidade de realização física de uma descontinuidade, mas é de fundamental
importância o seu estudo a fim de compreender aproximações da realidade.
Como discutido na Seção 1.1, um sinal pode ser completamente reconstruído caso
sua largura de banda não ultrapasse a restrição teórica de B≤2πT .
1.3 Upsampling e Downsampling
A técnica denominada superamostragem (upsampling ) é uma interpolação aplicada
no contexto do processamento digital de sinais para a conversão de taxas de amostragem.
Quando a superamostragem é realizada em amostras de um sinal contínuo, ele produz
uma aproximação de sequencias que podem ser obtidas pela amostragem de um sinal
a altas taxas de amostragem (4). A subamostragem ou downsampling é justamente o
inverso e é utilizado para reduzir a taxa de amostragem do sinal. Da mesma forma, os
critérios de amostragem determinados por Nyquist ?? devem ser respeitados para os
sinais sobreamostrados ou superamostrados e os sinais subamostrados a fim de evitar a
deteriorização da informação.
1.4 Subamostragem de sinais passa-banda
A subamostragem, isto é, a amostragem de sinais abaixo da taxa estabelecida pelocritério de Nyquist, e é utilizada para sinais limitados em banda com uma frequência
central diferente de zero. Isto é, sinais deslocados em sua frequência central para frequências
superiores ao dobro do comprimento de sua banda.
Para evitar o efeito de aliasing , um critério geral pode ser construído levando em
conta as frequências limite inferior f L, limite superior f L e a frequência central f s do sinal
dado pela equação 1.8.
2f H n
≤ f s ≤ 2f L
n − 1 (1.8)
Para qualquer inteiro n satisfazendo a equação 1.9.
1 ≤ n ≤
f H
f H − f L
. (1.9)
1.5 Efeitos do delay fracionário
Sabendo que dado um sistema com resposta ao impulso dado por h(t) = δ (t − td) e
sendo x(t) a entrada desse sistema, a saída será dada por y(t) = x(t − td), para um sistema
de tempo discreto, td deverá ser inteiro. No domínio espectral esse mesmo resultado pode
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1.6. Diferenciador discreto 13
ser obtido através da multiplicação da resposta ao impulso pela entrada do sistema, mas
essa operação no domínio espectral abre a possibilidade de utilizar valores não inteiros de
atraso td. A interpretação do resultado da operação levada ao domínio do tempo consiste
em aplicar o deslocamento no tempo ao sinal original interpolado.
1.6 Diferenciador discreto
Sabe-se que a resposta em frequência de um filtro diferenciador contínuo é dada
por 1.10
H c( jω) = j ω (1.10)
e o diferenciador limitado em banda com uma frequência de corte Ωc
H ( jω) =
jω |ω| ≤ Ωc
0 |ω| > Ωc.(1.11)
Se um sinal é apropriadamente limitado em banda, um diferenciador pode ser
construído em tempo discreto através dos seguinte passos:
1. amostrando o sinal,
2. processando o sinal em tempo discreto,
3. e reconstruíndo um sinal de tempo contínuo através da interpolação das amostras
processadas.
Este processo é denominado Processamento de tempo discreto de um sinal de tempo
contínuo. Se o processamento é implementado usando uma frequência de amostragem Ωsduas vezes maior que a frequência de corte Ωc do filtro diferenciador H ( jω), a função de
transferência do diferenciador em tempo discreto torna-se:
H (e jω) = j
ω
T
, |ω| < π. (1.12)
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Parte II
Procedimento experimental
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1.7. Exercícios 7.1 17
1.7 Exercícios 7.1
1.7.1 Problemas Básicos
1.7.1.1 Item (a)
De cordo com o item, o código para a resolução do problema foi construído como
segue.
Omega0 = 2∗ pi ∗ 1 0 0 0 ;
T = 1 / 8 19 2 ;
n = [ 0 : 1 / T− 1 ] ;
t=n∗T;
x = @( t ) cos (Omega0∗ t ) ;
1.7.1.2 Item (b)
De cordo com o item, o código para a resolução do problema foi construído como
segue.
f i g u r e ;
subplot ( 2 , 1 , 1 ) ; stem ( t ( 1 : 5 0 ) , x ( t ( 1 : 5 0 ) ) ) ;
subplot ( 2 , 1 , 2 ) ; plot ( t ( 1 : 5 0 ) , x ( t ( 1 : 5 0 ) ) ) ;
A saída gráfica obtida foi a da figura seguinte.
×10-3
0 1 2 3 4 5 6 7
-1
-0.5
0
0.5
1
×10-3
0 1 2 3 4 5 6 7
-1
-0.5
0
0.5
1
Figura 1 – Figura referente a 50 amostras do sinal x(t) segundo a função stem e segundoa função plot do Matlab.
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18 Capítulo 1. Fundamentação Teórica
1.7.1.3 Item (c)
Executando a função ctfts no Matlab e de acordo com o resultado obtido conforme
a figura 2, pode-se observar que X é diferente de zero nas frequências -1000 Hz e 1000 Hz
o que é coerente com o resultado teórico. Mas a fase não encontra-se em zero quando as
frequências são próximas de zero.
[ X, w ] = c t f t s ( x ( t ) ,T ) ;
f i g u r e ; plot (w, abs ( X ) ) ;
f i g u r e ; plot (w, phase (X )) ;
- 50 00 - 40 00 - 30 00 - 20 00 - 10 00 0 1 00 0 2 00 0 3 00 0 4 00 0 5 00 0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
(a) Módulo em relação à frequência do sinal x(t)
- 50 00 - 40 00 - 30 00 - 20 00 - 10 00 0 1 00 0 2 00 0 3 00 0 4 00 0 5 00 0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
(b) Fase em relação à frequência do sinal x(t)
Figura 2 – Magnitude 2a e fase 2b do sinal x(t).
1.7.2 Problemas Intermediários
1.7.2.1 Item (d)
Repetindo os passos (a)-(c) para as frequências de 1,5 kHz e 2.0 kHz os resultados
obtidos são mostrados nas figuras 3 e na figura 4. É possível observar que as características
persistem em relação ao sinal de 1 kHz.
- 50 00 - 40 00 - 30 00 - 20 00 - 10 00 0 1 00 0 2 00 0 3 00 0 4 00 0 5 00 0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
(a) Módulo em relação à frequência do sinal x(t)para 2 · π · 1500rad/s.
- 50 00 - 40 00 - 30 00 - 20 00 - 10 00 0 1 00 0 2 00 0 3 00 0 4 00 0 5 00 0
0
500
1000
1500
2000
2500
(b) Fase em relação à frequência do sinal x(t)para 2 · π · 1500rad/s.
Figura 3 – Magnitude 3a e fase 3b do sinal x(t) para 2 · π · 1500rad/s.
-
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1.7. Exercícios 7.1 19
- 50 00 - 40 00 - 30 00 - 20 00 - 10 00 0 1 00 0 2 00 0 3 00 0 4 00 0 5 00 0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
(a) Módulo em relação à frequência do sinal x(t)para 2 · π · 2000rad/s.
- 50 00 - 40 00 - 30 00 - 20 00 - 10 00 0 1 00 0 2 00 0 3 00 0 4 00 0 5 00 0
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
(b) Fase em relação à frequência do sinal x(t)para 2 · π · 2000rad/s.
Figura 4 – Magnitude 4a e fase 4b do sinal x(t) para Ω0 = 2 · π · 2000rad/s.
1.7.2.2 Item (e)
Sintetizando o sinal através do código 1.2 é possível perceber que a altura do som
aumenta com o incremento da frequência.
Código 1.1 – Função para reprodução do sinal x(t) sintetizado
function pi t chT est ( SoundFrequency )
Omega0 = 2∗ pi ∗( SoundFrequency );
T = 1 / 8 19 2 ;
n = [ 0 : 1 / T− 1 ] ;
t=n∗T;
x = @( t ) cos (Omega0∗ t ) ;
sound ( x ( t ) ) ;
Código 1.2 – Código que utiliza a função pitchTest 1.1 para reprodução do som utilizandoo Matlab
p i t c h T e s t ( 1 0 0 0 ) ;
p i t c h T e s t ( 1 5 0 0 ) ;
p i t c h T e s t ( 2 0 0 0 ) ;
1.7.2.3 Item (f)
Sintetizando o sinal através do código 1.3 nas frequências de 3.5 kHz, 4.0 kHz, 5.0
kHz e 5.5 kHz foi possível perceber que a altura do som baixou nas frequências acima de 4
kHz devido ao aliasing devido à subamostragem do sinal x(t).
-
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20 Capítulo 1. Fundamentação Teórica
Código 1.3 – Código que utiliza a função pitchTest 1.1 para reprodução do som utilizando
o Matlab nas frequências de 3.5 kHz 4.0 kHz 5.0 kHz e 5.5 kHz
p i t c h T e s t ( 3 5 0 0 ) ;
p i t c h T e s t ( 4 0 0 0 ) ;p i t c h T e s t ( 4 5 0 0 ) ;
p i t c h T e s t ( 5 0 0 0 ) ;
p i t c h T e s t ( 5 5 0 0 ) ;
1.7.3 Problemas Avançados
1.7.3.1 Item (g) e (h)
Utilizando o sinal x(t) = sin Ω0t+12βt2 , construiu-se um código para experimentar o
efeito da variação da frequência instantânea do sinal ao longo do tempo 1.4.
Código 1.4 – Código para escutar um sinal com frequência instanânea linearmente crescente
function S oun dS we ep ( F re qu e nc y , I n c r e a s e R a t e , I n t e r v a l , S am pl eR at e , n B i t s )
Omega0 = 2∗ pi ∗ ( Freq uency ) ;
T = 1/SampleRate ;
n= 0 : ( ( I n t e r v a l /T)−
1);
x = @( t ) cos (Omega0∗ t+pi ∗ I n c r e a s e R a t e ∗ t . ^ 2 ) ;
sound( x ( n∗T) , SampleRate , nB it s );
Executando a função com os parâmetros indicados na questão Ω0 (StartFrequency)
e β (IncreaseRate), 2000 Hz e 3000 Hz/s respectivamente sob um intervalo de tempo de 1
s foi possível escutar um aumento gradual na amplitude do som.
1.7.3.2 Item (i) (j)
Sabendo que a frequência máxima possível de ser amostrada sem aliasing é a
metade da frequência de amostragem, isto é, 4096 Hz. Para determinar o tempo em que
aliasing começará a ocorrer, basta fazer Ω0t + πβ t2 = 8192π, com isso, a altura do som
começará a cair a partir de 1.115 s.
1.8 Exercícios 7.2
1.8.1 Problemas Básicos
1.8.1.1 Item (a)
Item ignorado conforme orientação obtida em sala de aula.
-
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1.8. Exercícios 7.2 21
1.8.1.2 Item (b)
Segundo inspeção, é possível dizer que x1 = cos(8
5πt é limitado em banda e sua
largura é 4/5 Hz enquanto x2 = 1 − |t|/2, ∀|t| ≤ 2; t = 0,c.c não é limitado em banda.
1.8.1.3 Item (c)
Seguindo a orientação obtida na questão construiu-se os vetores para x1 e x2, o
gráfico stem para cada um deles está figurado em 5.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a) stem de x1.
(b) stem de x1.
Figura 5 – stem de x1 e x2
1.8.1.4 Item (d)
Código 1.5 – Código referente ao que se pede no item (d).
c l c
Ti=1/8;
t i =[−2: Ti : 2 ] ;
% n o te t h at os i s t he s am p li ng f r e q
os=2∗pi ∗1/Ti ;
syms t
hbl_t= @( t ) s in c ( os ∗ t / 2 ) ;
hbl=hbl_t( t i ) ;
hbl (( length ( ti )+1)/2)=1;
hb ls=hbl_t( ts ) ;
-
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22 Capítulo 1. Fundamentação Teórica
h b l s ( ( length ( ts )+1)/2)=1;
hlin_t=1−abs ( t )/2 ;
hl in=subs ( hl in_t , t , t i ) ;h l i n s=subs ( hl in_t , t , ts ) ;
p lot ( ti , hbl );
print ( ’7−2−d−1 ’ , ’−depsc ’ ) ;
ws=lin sp a ce (−pi , pi , length ( t i ) ) ;
p lot ( ws , abs ( f f t s h i f t ( f f t ( h b l ) ) ) ) ;
print( ’7−2−d−2 ’ , ’−depsc ’ ) ;
p lot ( t i , h l i n ) ;
print ( ’7−2−d−3 ’ , ’−depsc ’ ) ;
p lot ( ts , hb ls ) ;
print ( ’7−2−d−4 ’ , ’−depsc ’ ) ;
ws=lin sp a ce (−pi , pi , length ( t s ) ) ;
p lot ( ws , abs ( f f t s h i f t ( f f t ( h b l s ) ) ) ) ;
print ( ’7−2−d−5 ’ , ’−depsc ’ ) ;
p lot ( t s , h l i n s ) ;
print ( ’7−2−d−6 ’ , ’−depsc ’ ) ;
return
Os resultados obtidos são apresentados nas figuras que seguem.
1.8.2 Problemas Intermediários
1.8.2.1 Item (e)
Seguindo os passos sugeridos pelo problema elaborou-se o código 1.6 seu resultado
pode ser encontrado na figura 7.
Código 1.6 – Código referente a reamostragem com o intuito de aumentar o número de
amostras segundo a técnica de preenchimento com zeros.
N=4∗( length ( x 2 s )−1)+1;
xe2=zeros (1 ,N ) ;
xe2 ( 1 : 4 :N)=x2s ;
-
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1.8. Exercícios 7.2 23
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a) Reconstrução limitada em banda
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
(b) Domínio espectral
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
(c) Reconstrução linear
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(d) Reconstrução limitada em banda
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0.95
0.96
0.97
0.98
0.99
1
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
(e) Domínio da frequência
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(f) Reconstrução Linear
Figura 6 – Gráficos referentes ao item 7.2 (d)
t e = [−4: Ti : 4 ] ;
stem ( te , x e2 ) ;
print ( ’7−2−e ’ , ’−depsc ’ ) ;
1.8.2.2 Item (f)
Seguindo os passos sugeridos pelo problema elaborou-se o código 1.7 seu resultado
pode ser encontrado na figura 8.
-
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24 Capítulo 1. Fundamentação Teórica
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figura 7 – Resultado do código de reamostragem.
Código 1.7 – Código referente a filtragem com o filtro linear hlin do vetor de dados xe
Nx=length ( x e 2 ) ;
nx=−(Nx−1)/2;
Nh=length ( h l i n ) ;
nh=−(Nh−1)/2;
ny=nx+nh ;Ny_max=nx+Nx−1+nh+Nh−1;
Ny=Nx−1+Nh−1;
y2 r =[ny :Ny_max ] ;
y2=conv ( x e2 , doubl e ( hl i n ) ) ;
stem ( y2r , y2)
print ( ’7−2− f ’ , ’−depsc ’ ) ;
return
-
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1.8. Exercícios 7.2 25
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Figura 8 – Resultado do código de filtragem 1.7.
-
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26 Capítulo 1. Fundamentação Teórica
1.8.2.3 Item (g)
1.8.2.4 Item (h)
1.8.2.5 Item (i)
1.9 Exercícios 7.3
1.9.1 Problemas Básicos
1.9.1.1 Item (a)
1.9.1.2 Item (b)
1.9.1.3 Item (c)
1.9.2 Problemas Intermediários
1.9.2.1 Item (d)
1.9.2.2 Item (e)
1.9.2.3 Item (f)
1.9.3 Problemas Avançados
1.9.3.1 Item (g)
1.9.3.2 Item (h)
1.10 Exercícios 7.4
1.10.1 Problemas Básicos
1.10.1.1 Item (a)
1.10.1.2 Item (b)
1.10.1.3 Item (c)
1.10.2 Problemas Intermediários
1.10.2.1 Item (d)
1.10.2.2 Item (e)
1.10.2.3 Item (f)
1.10.3 Problemas Avançados
1.10.3.1 Item (g)
1.10.3.2 Item (h)
-
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Referências
1 BUCK MICHAEL M. DANIEL, A. C. S. J. R. Computer explorationsin signals and systems using matlab. In: . 1. ed. Prentice Hall, 1997.(Prentice Hall signal processing series, MATLAB curriculum series), cap. 7. ISBN9780137328680,0-13-732868-0. Disponível em: . Citado na página 7.
2 NYQUIST, H. Certain topics in telegraph transmission theory. Proceedings of the IEEE , IEEE, v. 90, n. 2, p. 280–305, 2002. Citado na página 11.
3 MITRA, S. K. A Computer-Based Approach Digital Signal Proces-
sing . [s.n.], 0. Disponível em: . Citado na página 11.
4 WIKIPEDIA. Upsampling — Wikipedia, The Free Encyclopedia . 2016. [Online;accessed 6-March-2016]. Disponível em: . Citado na página 12.
http://gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=E26905D53AA669AD24AB288247B9B40Chttp://gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=E26905D53AA669AD24AB288247B9B40Chttp://gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=A2C8E8AC504F419876C2D4BF856BC6A2http://gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=A2C8E8AC504F419876C2D4BF856BC6A2https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Upsampling&oldid=702025457https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Upsampling&oldid=702025457https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Upsampling&oldid=702025457https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Upsampling&oldid=702025457http://gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=A2C8E8AC504F419876C2D4BF856BC6A2http://gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=A2C8E8AC504F419876C2D4BF856BC6A2http://gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=E26905D53AA669AD24AB288247B9B40Chttp://gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=E26905D53AA669AD24AB288247B9B40C
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