relatório 3
Post on 03-Sep-2015
246 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
-
1
EXPERIMENTO 07 MODELAGEM DO MOTOR CC A PARTIR DA RESPOSTA EM FREQUNCIA
EXPERIMENTO 08 COMPENSAO POR LUGAR DAS RAZES
Resumo O presente relatrio apresenta um estudo de modelagem de um motor CC e de determinao
dos parmetros de um controlador PID, proporcional-
integral-derivativo. Para modelar o motor CC foi
utilizado uma tcnica a partir da resposta em
frequncia, na qual variando a frequncia de entrada
pode-se determinar a funo de transferncia da
planta do sistema, utilizando-se o Diagrama de Bode.
Aps determinado a funo do motor CC calculou-se
os parmetros do controlador PID. O clculo do
compensador foi realizado a partir do Lugar das
Razes, tcnica utilizada para adicionar ou deslocar
polos e zeros do sistema.
Palavras-Chave: Diagrama de Bode, Modelagem a
partir da Resposta em Frequncia, Compensador pelo
Mtodo do Lugar das Razes
I. INTRODUO TERICA
I.1 Modelagem a partir da Resposta em Frequncia
Para realizar a modelagem de um sistema a
partir da Resposta em Frequncia geralmente aplica-
se a planta diversas entradas senoidais com mesma
amplitude e frequncias diferentes. Com a finalidade
de determinar e descrever a resposta em regime
permanente do sistema.
Um sistema linear e invariante no tempo que
est sujeito a uma entrada senoidal em estado
estacionrio ter uma sada tambm senoidal de
mesma frequncia que a entrada, mas com amplitude
e fase diferente. Podendo caracterizar a resposta do
sistema.
I.1.1 Diagrama de Bode
O Diagrama de Bode possui dois grficos,
sendo um, o de Magnitude, que representa a
amplitude da resposta em frequncia em dB, e outro,
o de Fase, que representa a fase do sistema em funo
da frequncia.
As duas curvas permitem determinar as
margens de ganho e fase do sistema, bem como as
respectivas frequncias de cruzamento e, com elas,
analisar a estabilidade absoluta do sistema em malha
fechada e a estabilidade relativa.
A Figura 1 mostra as curvas assintticas de
magnitude e fase associadas a cada uma das classes
de termos bsicos que compe as funes de
transferncias.
ECA004 SISTEMA DE CONTROLE CLSSICO MAIO/2015 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB
CAMPUS AVANADO DE ITABIRA
ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAO
ENGENHARIA ELTRICA
-
2
Fig. 1 Curvas assintticas dos termos bsicos de uma
funo de transferncias
I.1.2 Escala Logartmica de Amplitude
Os grficos de magnitude nos diagramas de
Bode so frequentemente apresentados utilizando no
eixo das ordenadas a escala em decibel. O bel definido como logaritmo na base 10 do quociente de
dois nveis de potncia. Como na prtica esta unidade
era muito grande, definiu-se por convenincia o
decibel, 1/10 bel como sendo a unidade padro para
expressar o logaritmo da razo entre dois nveis de
potncia. Uma vez que elementos dissipativos
possuem relao quadrtica entre a amplitude das
variveis aplicadas a eles e a potncia por eles
dissipadas, a magnitude da resposta em frequncia da
funo de transferncia G(j) definida pela razo entre as amplitudes da varivel senoidal de sada
Y(j) e de entrada do sistema U(j), i.e.
2010() = 2010|()|
|()|
Eq.[1]
I.2 Sintonia de um controlador PID pelo Mtodo do
Lugar das Razes
O Projeto do Lugar das Razes um sistema
de controle aplicvel em malha fechada. A tcnica
controla, pelo menos, algum dos lugares dos polos do
sistema.
De certa forma, o projeto de controle pelo
Lugar das Razes permite prever e modificar a
resposta transitria, o que, na maioria das vezes, pode
influenciar na resposta em regime permanente.
Como o projeto de compensao via Lugar
das Razes desloca os polos do sistema em malha
fechada, sempre indicado que aps os clculos dos
parmetros do controlador verifique se o sistema no
perdeu sua estabilidade, j que o mtodo pode
deslocar os polos do sistema para o semi plano
direito.
Para desenvolver o controlador pelo mtodo
do Lugar das Razes necessrio que exista um
conhecimento prvio da funo de transferncia da
planta. Deve-se aplicar uma entrada ao sistema e
observar alguns parmetros da resposta, como o erro
em regime permanente (), o overshoot (), e o tempo de acomodao (). Os trs compensadores mais utilizados so os
de Avano de Fase (ou PD), os de Atraso de Fase (ou
PI) e os PID.
Tanto o controlador do tipo Avano de Fase,
como o controlador do tipo Atraso de Fase adiciona
um polo e um zero ao sistema.
O controlador do tipo Avano de Fase
contribui com um ngulo positivo no critrio de
ngulo do sistema. O que permite melhorar a resposta
transitria. Isto ocorre porque h um deslocamento
do lugar das razes, no plano S, para a esquerda
melhorando a estabilidade do sistema.
J o controlador do tipo Atraso de Fase
contribui com um ngulo negativo no critrio de
ngulo do sistema. Ou seja, melhora a resposta
estacionria mas tende a levar o sistema a
instabilidade, existindo um deslocamento do lugar
das razes para a direita.
O controlador PID, proporcional-integral-
derivativo, utilizado em sistemas que deseja-se
melhorar tanto a resposta transitrio como o regime
permanente. Adicionando ao sistema dois zeros e um
polo, sendo um dos zeros apenas para limitar o ganho
em altas frequncias.
II. OBJETIVOS
Confeccionar e analisar o diagrama de Bode para a resposta em frequncia de sistema complexo,
identificando os parmetros da planta (no caso, o
motor CC) para futuras sintonias de um controlador.
Alm de sintonizar dois controladores PID, com
alguns parmetros j pr-estabelecidos, utilizando o
mtodo do Lugar das Razes.
III. Materiais e Mtodos
III.1 Materiais
- Motor de corrente contnua, fabricante Labtools;
- NI LabVIEW;
- MatLab.
-
3
III.2 Mtodos
O relatrio contm duas prticas que visam
modelar e controlar um motor CC.
Com a finalidade de modelar o motor CC
fabricante Labtools, acoplado ao mdulo Elvis da
National Instruments, foi utilizado a plataforma do
programa LabVIEW para simular e coletar os dados
de sada do sistema.
J para calcular os valores do parmetro do
controlador PID utilizou-se o programa MatLab, com
a tcnica do compensador pelo Lugar das Razes.
III.2.1 Modelagem do motor CC a partir da resposta
em frequncia
Primeiramente foi montado o diagrama de
blocos da Figura 2 no programa LabVIEW. Com este
foi possvel aplicar uma onda senoidal com
amplitude de 3V e frequncia de 0.001Hz a 1 Hz, de
acordo com a Tabela 1 nos Resultados.
Fig. 2 Diagrama de Blocos para aquisio de dados do
motor CC no LabVIEW
Foram salvo as amplitudes de entrada e sada
do sistema, a fim de obter as magnitudes pela
Equao 1, da Introduo Terica.
Os valores coletados foram utilizados para
plotar o Diagrama de Bode (o grfico de resposta em
frequncia do sistema), exposto na Figura 3 nos
Resultados.
Aps plotar o Diagrama de Bode foi
aproximado os pontos encontrados a uma funo de
transferncias a partir da definio dos plos, zeros e
ganho desta, observando-se a Figura 1 da Introduo
Terica.
No Matlab, plotou-se o grfico original e o
diagrama de bode do sistema aproximado em um
mesmo grfico para realizar uma anlise e uma
comparao das curvas.
Com o mesmo diagrama de blocos (o Figura
2), aplicou-se uma onda quadrada de tenso com
amplitude de 3V e frequncia baixa o suficiente para
que a velocidade atinja o seu estado estacionrio. Os
resultados foram salvos.
Com a funo de transferncia do motor CC
encontrada, foi realizado o mesmo teste no programa
MatLab e assim comparado os resultados reais com a
modelagem obtida para termos de validao.
III.2.2 Compensao por lugar das razes
A partir do modelo, do motor CC,
encontrado e utilizando o mtodo de compensao
pelo lugar das razes, foi realizado o clculo dos
parmetros de dois controladores PID com as
seguintes caractersticas:
Controlador 1 a. 10% de sobressinal;
b. tempo de assentamento de 80% da constante de
tempo do sistema;
c. erro de 10% a uma rampa unitria.
Controlador 2 a. 30% de sobressinal;
b. tempo de assentamento de 110% da constante de
tempo do sistema;
c. erro de 20% a uma rampa unitria.
A definio dos parmetros foi realizada no
programa Matlab, o cdigo encontra-se no anexo
deste relatrio.
IV. RESULTADOS
IV.1 Modelagem do motor CC a partir da resposta
em frequncia
Magnitudes calculadas, pela Equao 1, para
cada frequncia aplicada ao sistema encontra-se na
Tabela 1.
Tabela 1 Frequncias aplicadas no teste para a
modelagem
Frequncia
[Hz]
Amplitude
[V]
Sada
[V]
Magnitude
[dB]
0,01 3 1,42 -6,50
0,04 3 1,38 -6,74
0,05 3 1,39 -6,68
0,08 3 1,38 -6,74
0,10 3 1,37 -6,81
0,15 3 1,3 -7,26
0,20 3 1,25 -7,60
0,25 3 1,16 -8,25
0,30 3 1,12 -8,56
0,35 3 1,11 -8,64
0,40 3 1,05 -9,12
0,45 3 0,98 -9,72
0,80 3 0,84 -11,06
1 3 0,70 -12,64
2 3 0,45 -16,48
4 3 0,20 -23,52
8 3 0,12 -27,96
-
4
10 3 0,10 -29,54
Com os dados coletados e calculados
anteriormente foi possvel gerar o grfico de
resposta em frequncia do sistema, o Diagrama
de Bode, na Figura 3.
Fig. 3 Diagrama de Bode do motor CC com os dados
experimentais
Analisando o grfico encontrado, Figura 3, a partir dos dados experimentais, Tabela 1, tem-se que
a resposta se aproxima de um sistema de 1 ordem
com caractersticas de um passa-baixas. Assim, pelos
tipos de respostas apresentadas na Tabela 1, da
Introduo Terica, tem-se que a Funo de
Transferncia (FT) correspondente a essa resposta,
aquela que possui um plo com posio fora da
origem. Ento, a equao da FT no domnio da
frequncia que descreve o comportamento do sistema
tem o seguinte formato:
() = K
1 +
1
Eq.[2]
w1 3.581, obtidos no cruzamento das duas
retas retilneas na Figura 3.
Para o clculo do ganho K utilizou-se os
dados da frequncia de 0.01:
= 106.5
20
Eq.[6]
A FT no domnio da frequncia :
() =0.473
1 +
3.581
Eq.[3]
De forma anloga, substituindo s=jw e
w1=3.581 tem-se que a FT no domnio de Laplace:
() =0.473
1 +
3.581
Eq.[4]
Feito isso, plotou-se o diagrama de Bode da
FT no domnio de Laplace para verificar possveis
semelhanas e diferenas frente ao obtido com os
dados experimentais. O diagrama pode ser visto na
Figura 4.
Fig. 4 Diagrama de Bode da FT aproximada G(s)
Fig. 5 Diagrama de Bode do motor CC com os dados
experimentais e o modelo encontrado
No grfico da Figura 5 podemos observar o
esboo do Diagrama de Bode a curva azul,
representada tambm na Figura 3, e o Diagrama de
-
5
Bode do sistema aproximado, a curva vermelha
traada.
Mesmo com todos os mtodos de
aproximao e do ajuste fino observamos que a curva
original (o esboo do Diagrama de Bode) e a curva
aproximada (o Diagrama de Bode) ainda no esto
totalmente alinhadas. Justificamos este fato pelos
valores da coleta de dados de sada, parte emprica do
experimento, que em alguns casos ocorreu a
aproximao demasiada do valor, influenciando o
clculo da magnitude e por consequncia todas as
outras etapas do experimento.
Aps encontrado o modelo do motor, faz se
necessrio validao do mesmo, para certificar de
que o modelo realmente representa a realidade, e se
caso no, discutir sobre as causas das diferenas entre
os modelos.
Para a validao do modelo encontrado, foi
utilizado o programa do LabVIEW para aplicar uma
onda quadrada de tenso com amplitude de 3V e
frequncia baixa o suficiente para que a velocidade
atingisse o seu estado estacionrio.
No MatLab utilizou-se a mesma entrada de
onda quadrada na funo de transferncia
encontrada. Com os dados simulados e reais,
construiu-se um grfico com a entrada de onda
quadrada, a resposta real e a modelada, como pode
ser visto na Figura 6.
Fig. 6 Comparao da resposta real e da modelada
Como pode ser visto na Figura 6, o modelo
encontrado se aproxima muito do real. Como os
dados de amplitude registrados foram todos
positivos, o modelo se aproximou mais da parte
positiva do sinal, pois a planta possui uma dinmica
diferente quando se aplica um sinal negativo.
Conclui-se por esta anlise que a modelagem
por frequncia muito til e resulta em um modelo
confivel e preciso.
IV.2 Compensao por lugar das razes
A definio dos parmetros foi realizada no
programa Matlab, o cdigo encontra-se no anexo
deste relatrio. Para que os ganhos dos controladores
fossem vlidos, foi necessrio alterar os valores do
fator de amortecimento e os de fii dos controladores.
. Resultados:
Controlador 1 a. 10% de sobressinal;
b. tempo de assentamento de 80% da constante de
tempo do sistema;
c. erro de 10% a uma rampa unitria.
1 = 0.3647 2 + 12.77 + 21.13
OBS.: Adicionou-se 0.3 no fator de amortecimento e
1.5 em fii.
Controlador 2 a. 30% de sobressinal;
b. tempo de assentamento de110% da constante de
tempo do sistema;
c. erro de 20% a uma rampa unitria.
2 = 0.3736 2 + 3.152 + 10.56
OBS.: Adicionou-se 0.5 no fator de amortecimento e
2.5 em fii.
V. DISCUSSES
V.1 Modelagem do motor CC a partir da resposta em
frequncia
A anlise do sistema pelo mtodo da resposta
em frequncia tem-se a vantagem de poder verificar
o comportamento do sistema sem o devido
conhecimento prvio da funo de transferncia, que
nesse experimento representa o modelo de um motor
CC.
Pelo diagrama de Bode, obteve-se os
grficos de magnitude e de fase com os dados
coletados no experimento e a partir da anlise de
ambos, obteve-se uma funo de transferncia
relativa ao sistema.
Aps a realizao do ajuste fino dos dados da
funo de transferncia e obteno de seu devido
ganho, obteve-se uma tima aproximao quando
comparada a resposta dos dados experimentais.
Assim, o modelo encontrado se mostrou satisfatrio.
-
6
V.2 Compensao por lugar das razes
Os valores encontrados para as constantes
proporcional e derivativa em ambos os controladores
no eram aceitveis para os dados fornecidos, visto
que no existe controlador com constantes negativas.
Sendo assim, foi necessrio alterar os valores
do fator de amortecimento e os de fii dos
controladores.
VI. CONCLUSO
Ambos os experimentos, a modelagem do
motor CC e o clculo dos parmetros do controlador
PID, foram teis para a compreenso da Resposta em
Frequncia e do Mtodo do Compensador pelo Lugar
da Razes.
Ao fim da atividade prtica e da elaborao
deste relatrio, podemos classifica-los como
satisfatrios, uma vez que cumpriu com todos os
objetivos traados para o experimento da
modelagem, infelizmente para os clculos dos
parmetros dos controladores foi necessrio alterar os
valores do fator de amortecimento e os de fii dos
controladores.
VII. ANEXOS
Cdigo para modelar o motor CC, pela
Resposta em Frequncia: X = 3; f = [0.01 0.04 0.05 0.08 0.1 0.15 0.2
0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.80 1 2 4 8
10]; w = 2 * pi * f; Y = [1.42 1.38 1.39 1.38 1.37 1.3 1.25
1.16 1.12 1.11 1.05 0.98 0.84 0.7 0.45
0.2 0.12 0.10]; A = Y / X;
figure(1) semilogx(w, 20*log10(A)); xlabel('rad.s^-1') ylabel('Magnitude[dB]') title('SemilogX')
figure(2) semilogx(w, 20*log10(A)); hold on;
K = 0.473; w_1 = 3.581; f = 0:0.01:10; w = 2 * pi * f; s = j * w; G = K ./ (1 + s/w_1); semilogx(w, 20*log10(abs(G)),'--r'); hold off;
ylabel('20log_10(|G(jw)|)'); xlabel('w(rad/s)'); title('Diagrama de Bode'); legend('Experimental', 'Modelo'); xlim([0 100]);
figure(3) num = [1.695]; den = [1 3.581]; bode(num,den)
Cdigo para calcular os parmetros do
controlador PID. Controlador 1: %% % Controlador 1 % a. 10% de sobressinal; % b. tempo de assentamento de 80% da
constante de tempo do sistema; % c. erro de 10% a uma rampa unitria.
disp('Controlador 1')
N1 = [1.695]; D1 = [1 3.581]; Gp1 = tf(N1, D1) H1 = 1
Mep1 = 10/100; zeta1 =
(sqrt((log(Mep1))^2/((log(Mep1))^2+(pi
)^2))) + 0.3
constante_de_tempo = 1/3.581; Ta1 = constante_de_tempo*0.8; omega1 = 4/(zeta1*Ta1)
s1 = - zeta1*omega1 + j*omega1*sqrt(1-
zeta1^2)
figure(4) rlocus(series(Gp1,H1)) xlabel('Re(s)') ylabel('Im(s)') title('Lugar das Razes') hold on plot(real(s1),imag(s1),'d') sgrid(zeta1,omega1)
GPH=@(s)(1.695)/(s+3.581) K1=-1/GPH(s1)
sM = abs(s1) beta = angle(s1)+ 1.5 M = abs(GPH(s1)) psi = angle(GPH(s1)) ess = 0.1; K = 1/ess Ki = K/(1.695/3.581)
-
7
Kp = -sin(beta+psi)/(M*sin(beta))-
2*Ki*cos(beta)/sM Kd = sin(psi)/(sM*M*sin(beta))+Ki/sM^2 NC = [Kd Kp Ki]; DC = [1 0] GC = tf(NC, DC)
Controlador 2:
%% % Controlador 2 % a. 30% de sobressinal; % b. tempo de assentamento de 110% da
constante de tempo do sistema; % c. erro de 20% a uma rampa unitria.
disp('Controlador2')
N1 = [1.695]; D1 = [1 3.581]; Gp1 = tf(N1, D1) H1 = 1
Mep1 = 30/100; zeta1 =
(sqrt((log(Mep1))^2/((log(Mep1))^2+(pi
)^2))+0.5
constante_de_tempo = 1/3.581; Ta1 = constante_de_tempo*1.1; omega1 = 4/(zeta1*Ta1)
s1 = - zeta1*omega1 + j*omega1*sqrt(1-
zeta1^2)
figure(5) rlocus(series(Gp1,H1)) xlabel('Re(s)') ylabel('Im(s)') title('Lugar das Razes') hold on plot(real(s1),imag(s1),'d') sgrid(zeta1,omega1)
GPH=@(s)(1.695)/(s+3.581) K1=-1/GPH(s1)
sM = abs(s1) beta = angle(s1)+2.5 M = abs(GPH(s1)) psi = angle(GPH(s1)) ess = -0.2; K = 1/ess Ki = K/(1.695/3.581) Kp = -sin(beta+psi)/(M*sin(beta))-
2*Ki*cos(beta)/sM Kd = sin(psi)/(sM*M*sin(beta))+Ki/sM^2 NC = [Kd Kp Ki]; DC = [1 0] GC = tf(NC, DC)
)
VIII. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS
[1] Ogata, Katsuhiko; Problemas de Ingenieria de
Control utilizando Matlab, 1edio, Prentice Hall,
2000.
[2] Phillips, Charles L. e Harbor, Royce D.; Sistemas
de Controle e Realimentao, MAKRON Books, 1
Edio. 1996.
[3] Maya, Paulo e Leornardi, Fabrizio; Controle
Essencial, 1edio, Pearson
[4] Ogata, Katsuhiko; Engenharia de Controle
Moderno, 5edio, Pearson Education do Brasil,
2010.
[5] Nise, Norman S.; Engenharia de Sistemas de
Controle, LTC, 6 Edio. 2013.
top related