regressão espacial
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REGRESSO ESPACIAL
Vitor Vieira Vasconcelos
BH1350 Mtodos e Tcnicas de Anlise da Informao para o PlanejamentoAgosto de 2016
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Anlise de regresso uma ferramenta estatsticaque utiliza a relao entre duas ou mais variveis talque uma varivel possa ser explicada (Y varivelresposta/ sada/dependente) pela outra ou outras (X variveis indicadoras/ preditoras/ explicativas/independentes).
Y = aX + b
NETER J. et al. Applied Linear Statistical Models. Boston, MA: McGraw-Hill, 1996.
ANLISE DE REGRESSO
-
1. Seleo e Preparao das Variveis
2. Escolha e Ajuste do Modelo de Regresso
3. Diagnstico para verificar se o modelo ajustado adequado
Ajuste do modelo (R2, Teste F, Testes t para coef., etc.)
Multicolinearidade (FIV)
Anlise dos Resduos
Etapas da Anlise de Regresso
-
Se modelo for adequado, resduos devem refletir as propriedades impostas pelo termo de erro do modelo.
LINEARIDADE DO MODELO
Anlise dos Resduos
No Linearidade
0
X
Res
duo
-
NORMALIDADE DOS RESDUOS: Suposio essencial paraque os resultados do ajuste do modelo sejam confiveis.
Anlise dos Resduos
Outros diagnsticos: Shapiro-Wilk, Anderson-Darling, Kolmogorov-Smirnov
-
HOMOCEDASTICIDADE (Varincia Constante)
Anlise dos Resduos
Outros diagnsticos: Teste de Breush-Pagan, Goldfeld-Quandt
0
X
Varincia No ConstanteR
esd
uo
-
PRESENA DE OUTLIERS
Grfico resduos padronizados vs. Valores Ajustados
Anlise dos Resduos
Pontos Influentes: DFFITS, DFBETA, Distncia de Cook.
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
150 155 160 165 170 175 180 185
X
Res
duos
Pad
roni
zado
s
Grf2
-0.1696266546
-0.0698989019
-0.0600693077
-0.1106245625
-0.1472892613
0.166985996
-0.0809941879
-0.0753388472
-0.0688066131
-0.2577014824
0.8664075394
X
Resduos Padronizados
Plan1
Altura (cm)Peso (kg)
1747378.006-0.300232159177.705767840979.5236-1.81783215913.3045137588-0.1696266546
1616664.564-1.277683168263.286316831864.0354-0.74908316820.5611255928-0.0698989019
1706473.870.244257307774.114257307774.758-0.64374269230.4144046539-0.0600693077
1809484.211.276473540285.486473540286.672-1.18552645981.4054729869-0.1106245625
1827986.2781.198350219187.476350219189.0548-1.57844978092.491503711-0.1472892613
1647267.6661.733133103769.399133103767.60961.78953310373.20242872920.166985996
1566259.394-2.183587639657.210412360458.0784-0.86798763960.7534025425-0.0809941879
1686471.802-0.234181243371.567818756772.3752-0.80738124330.651864472-0.0753388472
1769080.0741.09502252681.16902252681.9064-0.7373774740.5437255392-0.0688066131
1758179.04-1.086700649577.953299350580.715-2.76170064957.6269904773-0.2577014824
17579.049080.7159.28586.2112250.8664075394
10.7166657463
RESUMO DOS RESULTADOS
Estatstica de regresso
R mltiplo0.9941211196
R-Quadrado0.9882768005
R-quadrado ajustado0.9868114006
Erro padro1.0929712355
Observaes10
ANOVA
glSQMQFF de significao
Regresso1805.6379153266805.6379153266674.4075631590.0000000052
Resduo89.55668897371.1945861217
Total9815.1946043003
CoeficientesErro padroStat tvalor-P95% inferiores95% superioresInferior 95,0%Superior 95,0%
Interseo-117.71357506587.4110370089-15.88354975480.0000002471-134.8034681061-100.6236820254-134.8034681061-100.6236820254
Varivel X 11.12690773890.043393746325.96935815840.00000000521.02684151581.22697396191.02684151581.2269739619
Plan1
Altura (cm)
Peso (kg)
Plan2
X
Y
Plan3
X
Resduos Padronizados
Altura (cm)Peso (kg)
17473
16166
17064
18094
18279
16472
15662
16864
17690
17581
Media170.674.5
D. padrao8.4011.26
CV4.9215.11
RESUMO DOS RESULTADOS
Estatstica de regresso
R mltiplo0.7712134719
R-Quadrado0.5947702193
R-quadrado ajustado0.5441164967
Erro padro7.6006954036
Observaes10
ANOVA
glSQMQFF de significao
Regresso1678.3354350567678.335435056711.7418856660.0089992881
Resduo8462.164564943357.7705706179
Total91140.5
CoeficientesErro padroStat tvalor-P95% inferiores95% superioresInferior 95,0%Superior 95,0%
Interseo-101.908575031551.5375273363-1.97736640270.0833878754-220.754403042516.9372529794-220.754403042516.9372529794
Altura (cm)1.03404791930.30176699733.42664349850.00899928810.33817152571.72992431290.33817152571.7299243129
RESULTADOS DE RESDUOSRESULTADOS DE PROBABILIDADE
ObservaoPrevisto(a) Peso (kg)ResduosResduos padroPercentilPeso (kg)
178.0157629256-5.0157629256-0.6999385824562
264.57313997481.42686002520.19911514921564
373.8795712484-9.8795712484-1.37867223742564
484.22005044149.77994955861.36477025173566
586.2881462799-7.2881462799-1.01704463544572
667.67528373274.32471626730.60350455525573
759.40290037832.59709962170.36241948726579
871.8114754098-7.8114754098-1.09007405387581
980.08385876429.91614123581.38377549798590
1079.04981084491.95018915510.27214456769594
Altura (cm)
Resduos
Altura (cm) Plotagem de resduos
Peso (kg)
Previsto(a) Peso (kg)
Altura (cm)
Peso (kg)
Altura (cm) Plotagem de ajuste de linha
Percentil da amostra
Peso (kg)
Plotagem de probabilidade normal
-
INDEPENDNCIA
Grfico resduos padronizados vs. Valores Ajustados
Anlise dos Resduos
Outros Diagnsticos: Teste de Durbin-Watson
Autocorrelao espacial: Mapa dos resduos, ndice de Moran
X
0
Erros Correlacionados
Res
duo
-
MODELO ADEQUADO
Anlise dos Resduos
0
Res
duo
X
-
DADOS ESPACIAISCaso a hiptese de independncia espacial das observaes seja FALSA DEPENDNCIA ESPACIAL
EFEITOS ESPACIAIS: Se existir forte tendncia ou correlao espacial, os resultados sero influenciados, apresentando associao estatstica onde no existe (e vice-versa)
Anlise dos Resduos
-
Como verificar?Medir a autocorrelao espacial dos resduos da
regresso (ex. ndice de Moran dos resduos)
Dica para o trabalho final do curso
Exportar tabela com os resduos do modelo de regresso (SPSS) Unir esta tabela com o shapefile original (unio no QGIS) e
visualizar os resduos (Mapa dos resduos) Os resduos esto espacialmente correlacionados? Calcular o ndice
de Moran dos resduos no GeoDa (com teste de pseudo-significncia)
Anlise dos Resduos
-
So Jos dos CamposCrescimento Populacional 91-00 X Densidade Populacional 91
1. Mapear os resduos da regresso ndcios de correlao
2. ndice de Moran sobremapa de resduosI=0,45
3. Testes de pseudo-significncia indicam autocorrelaoespacial significativa
Exemplo
-
As observaes no so independentes espacialmente.
Portanto... temos uma violao das nossas premissas.
Dependendo da natureza da dependncia, parmetros estimados pelo mtodo dos mnimos quadrados ser ineficiente ou inconsistente.
E agora?
Autocorrelao Espacial Constatada!!!
-
Incorpora a estrutura de dependncia espacial no modelo
PREMISSA: Assumimos que conhecemos a estrutura de dependncia
espacial (ela no estimada) Premissa forte? Sim! Porm no to forte quanto assumir que todas as
observaes so independentes espacialmente Matrizes de ponderao tipicamente consideradas:
contiguidade (rainha, torre... e em diferentes ordens de contiguidade) ou distncia (n vizinhos mais prximos...);
Regresso Espacial
-
Podem ser globais ou locais
Globais: inclui no modelo de regresso um parmetro para capturar a estrutura de autocorrelaoespacial na rea de estudo como um todo.
Locais: parmetros variam continuamente no espao
Regresso Espacial
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Global LocalEstatsticas dizem respeito regio como um todo (1 valor)
Disagregaes locais das estatsticas globais (Muitosvalores)
Estatsticas globais e no mapeveis
Estatsticas locais e mapeveis
nfase nas similaridades da regio nfase nas diferenas ao longo do espao
Procura regularidades ou leis Procura por excees ou hot-spots locais
Ex.: Regresso Clssica, Spatial Lag, Spatial Error
Ex.: GWR, Regimes Espaciais
Adaptado de: Fotheringham, A.S., Brunsdon, C., and Charlton, M.E., 2002, Geographically Weighted Regression: The Analysis of Spatially Varying Relationships, Chichester: Wiley.
Global vs. Local
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PREMISSA possvel capturar a estrutura de correlao espacial num
nico parmetro (adicionado ao modelo de regresso).
AlternativasSpatial Lag Models (SAR): atribuem a autocorrelao
espacial varivel resposta Y. (Spatial Autoregressive Modeling)
Spatial Error Models (CAR): atribuem a autocorrelao ao erro. (Conditional Autoregressive Modeling)
Modelos com Efeitos Espaciais Globais
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PREMISSA: A varivel Yi afetada pelos valores da varivel resposta nas reas vizinhas a i.
Y = WY + X +
= coeficiente espacial autoregressivo - medida de correlaoespacial ( = 0, se autocorrelao nula - hiptese nula)
W = matriz de proximidade espacialWY expressa a dependncia espacial em Y
Exemplo: Valor dos imveis
Modelo Spatial Lag
-
Modelo Spatial Error
PREMISSA: As observaes so interdependentes graas a variveis no mensuradas, e que so espacialmente correlacionadas
Ou seja: efeitos espaciais so um rudo!
Por que ele ocorre? Porque no conseguimos modelar todas as caractersticas de uma unidade geogrfica que podem influenciar as regies vizinhas.
Assume que, se pudssemos adicionar as variveis certas para remover o erro do modelo, o espao no importaria mais.
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MODELO:
Y = X + = W +
W = erro com efeitos espaciais = medida de correlao espacial = componente do erro com varincia constante e no
correlacionada.
Modelo Spatial Error
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DIAGNSTICO PARA AUXILIAR NA ESCOLHA DE UM MODELO OU OUTRO
Testes Multiplicadores de Langrange(Langrange Multiplier Tests, Anselin et al. 1996)
Executa regresso dos resduos em relao s variveis originais e aos resduos das reas vizinhas
LM-Lag: testes para dependncia em relao s variveis originais nas reas vizinhas lag dependence
LM-Error: testes para dependncia em relao aos resduosnas reas vizinhas - error dependence
Se ambos forem significativos, utilizar LM-Lag e LM-Error robustos
Spatial Lag & Spatial Error
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Motivaes diferentes, porm prximosem termos formais.
Ambos partem do pressuposto de queo processo espacial analisado estacionrio
e pode ser capturado em um nico parmetro.
Spatial Lag & Spatial Error
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Porm isto nem sempre verdade!
importante verificar se padres diversos de associao espacial esto presentes.
Uma Soluo Exploratria:
Indicadores Locais de Autocorrelao Espacial
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Distribuio dos valores de correlao local para o ndice de excluso
Indicadores Locais de Associao Espacial (LISA)
No significantes
p = 0.05 [95% (1,96s)]p = 0.01 [99% (2,54s)]p = 0.001 [99,9% (3,2s)]
% Excluso
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Modelos de Regresso com Efeitos Espaciais DISCRETOSVariaes espaciais modeladas de maneira discreta.
Regimes Espaciais
Modelos de Regresso com Efeitos Espaciais CONTNUOSVariaes espaciais modeladas de forma contnua, com
parmetros variando no espao.
Geographically Weighted Regression GWR. [Regresso Geograficamente Ponderada]
Quantitative Geography; A. S. Fotheringham, C. Brunsdon, M. Charlton, 2000 (print 2004)
Modelos com Efeitos Espaciais Locais
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A ideia regionalizar a rea de estudo obtendo sub-regies com seu padro prprio.
Realizar regresses separadas para cada sub-regio.
Regimes Espaciais
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Regionalizaes da rea de estudo
Diferentes tipos de variabilidade espacial
Mtricas: Diagrama de espalhamento e ndices locais e globais regionalizao tipo k-medias espacial
Ex: Regimes espaciais para ndice de excluso
Regimes Espaciais
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1. Anlise grfica dos resduos2. Mapear os resduos concentrao de resduos
negativos ou positivos em parte do mapa indicapresena de autocorrelao espacial
3. ndice de Moran dos resduos4. Indicadores de qualidade de ajuste dos modelos
baseados no coeficiente de determinao (R2) seroincorretos.
5. Utilizao do AIC critrio de informao de Akaike, aavaliao do ajuste penalizada por funo donmero de parmetros ( prefervel o modelo com omenor valor AIC).
Diagnstico de Modelos de Efeitos Espaciais
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Longevidade X Renda emSo Jos dos Campos
RegressoSimples
Spatial Lag Regimes Espaciais
R2 ajustado 0.280 0.586 0.80
AIC 379.84 306.51 260.09
ndice de Moran dos resduos
0.620 0.01 0.02
Comparao das Regresses
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Ajusta um modelo de regresso a cada ponto observado, ponderando todas as demais observaes como funo da distncia a este ponto.
Y(i) = (i)X +
Y(i): varivel que representa o processo no ponto i.(i): parmetros estimados no ponto i.
Quantitative Geography; A. S. Fotheringham, C. Brunsdon, M. Charlton, 2000 (print 2004)
GWR Geographically Weighted Regression
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y = b0 + b1x1 + e regresso clssica simples com um preditor
b0 , b1 so os mesmos para toda rea
Se existe alguma variao geogrfica na relao essavariao fica includa como erro.
GWR Geographically Weighted Regression
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y(i) = b0(i) + b1(i) x1 + e(i) GWR
b0(i), b1(i) para cada ponto i do espao h um b0 e b1 diferentes
Existe uma funo (kernel) sobre cada ponto do espaoque determina todos os pontos da regresso localque ponderada pela distncia. Pontos maisprximos do ponto central tem maior peso.
Assim como no kernel a escolha da largura da banda importante (pode ser fixa ou adaptvel densidade dos dados)
GWR Geographically Weighted Regression
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GWR Geographically Weighted Regression
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Adaptado de: Fotheringham, A.S., Brunsdon, C., and Charlton, M.E., 2002, Geographically Weighted Regression: The Analysis of Spatially Varying Relationships, Chichester: Wiley.
LARGURA DE BANDA
FUNO DE PONDERAO
GWR Geographically Weighted Regression
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Modelos Locais vs. Modelos Globais
Mesmas tcnicas de anlise do ajuste do modelo,porm comparao problemtica
GWR apresentar sempre melhores ajustes poisenvolve o ajuste de muito mais parmetros
Sugesto: medida AICc, que leva em considerao acomplexidade do modelo e a quantidade de casosamostrados.
Ajuste do Modelo GWR
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Os parmetros podem ser apresentados visualmente paraidentificar como se comportam espacialmente osrelacionamentos entre as variveis.
Ex: Crescimento Pop. (resposta) X Densidade Pop. (preditora)
GWR Geographically Weighted Regression
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Ex: Crescimento Pop. (resposta) X Densidade Pop. (preditora)Mapa de resduos (I = 0,04) :
GWR Geographically Weighted Regression
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Consumo de gua per Capita (resposta) X Renda per capita (preditora)
CARMO, Roberto Luiz do; DAGNINO, Ricardo Sampaio; FEITOSA, Flvia da Fonseca; JOHANSEN, Igor Cavallini; CRAICE, Carla. Populao, Renda e ConsumoUrbano de gua no Brasil: Interfaces e Desafios. XX Simpsio Brasileiro de Recursos Hdricos. 17 a 22 de novembro de 2013. Bento Gonalves, RS.
Distribuio espacial de consumo residencial de gua e renda da populao em 2010. Fonte: SNIS (2010) e IBGE (2010).
EXEMPLO
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Cons
umo
de
gua
per C
apita
(m
3/di
a/an
o)
Renda per Capita (R$)
Anlise Exploratria
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Consumo de gua per Capita (resposta) X Renda per capita (preditora)
CARMO, Roberto Luiz do; DAGNINO, Ricardo Sampaio; FEITOSA, Flvia da Fonseca; JOHANSEN, Igor Cavallini; CRAICE, Carla. Populao, Renda e Consumo Urbano de gua n Brasil: Interfaces e Desafios. XX Simpsio Brasileiro de Recursos Hdricos. 17 a 22 de novembro de 2013. Bento Gonalves, RS.
MODELO DE REGRESSO LINEAR GLOBAL
Varivel
Desvio Padro
Estatstica t
(constante)
4,25.(10-3)
4,55.(10-4)
9,3
RENDA
41.(10-6)
8,2.(10-7)
49
Coeficiente de determinao: R2 = 0,36
Teste F: F = 2499,1
-
Mas ser que esta relao, entre consumo de gua erenda, ocorre da mesma
maneira em todo o pas???
O ESPAO IMPORTA!!!
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Consumo de gua per Capita (resposta) X Renda per capita(preditora)GWR:
CARMO, Roberto Luiz do; DAGNINO, Ricardo Sampaio; FEITOSA, Flvia da Fonseca; JOHANSEN, Igor Cavallini; CRAICE, Carla. Populao, Renda e Consumo Urbano de gu no Brasil: Interfaces e Desafios. XX Simpsio Brasileiro de Recursos Hdricos. 17 a 22 de novembro de 2013. Bento Gonalves, RS.
GWR Geographically Weighted Regression
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Consumo de gua per Capita (resposta) X Renda per capita(preditora)
CARMO, Roberto Luiz do; DAGNINO, Ricardo Sampaio; FEITOSA, Flvia da Fonseca; JOHANSEN, Igor Cavallini; CRAICE, Carla. Populao, Renda e Consumo Urbano de guno Brasil: Interfaces e Desafios. XX Simpsio Brasileiro de Recursos Hdricos. 17 a 22 de novembro de 2013. Bento Gonalves, RS.
Os menores coeficientes estimados para a varivel RENDA foram observados em municpios do Estado do Rio Grande do Sul ...
....e os maiores em Alagoas.
GWR Geographically Weighted Regression
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GWR Geographically Weighted RegressionConsumo de gua per Capita (resposta)
X Renda per capita(preditora)
CARMO, Roberto Luiz do; DAGNINO, Ricardo Sampaio; FEITOSA, Flvia da Fonseca; JOHANSEN, Igor Cavallini; CRAICE, Carla. Populao, Renda e Consumo Urbano de gu no Brasil: Interfaces e Desafios. XX Simpsio Brasileiro de Recursos Hdricos. 17 a 22 de novembro de 2013. Bento Gonalves, RS.
Regio do Municpio de Traipu (AL) maior coeficiente estimadoUm aumento de R$ 1 na renda per capita da populao est associado a um incremento do consumo de gua de 100,3 ml/dia/hab.
Regio do municpio de Floriano Peixoto (RS) um dos menores coeficientes significativos (t-valor > 1,96): Um aumento de R$ 1 na renda per capita da populao est associado a um aumento do consumo de 10,22 ml/dia/hab.
Hipteses???
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CARMO, Roberto Luiz do; DAGNINO, Ricardo Sampaio; FEITOSA, Flvia da Fonseca; JOHANSEN, Igor Cavallini; CRAICE, Carla. Populao, Renda e Consumo Urbano de guano Brasil: Interfaces e Desafios. XX Simpsio Brasileiro de Recursos Hdricos. 17 a 22 de novembro de 2013. Bento Gonalves, RS.
De maneira geral, as regies apresentadas comoaquelas onde a elevao da renda est relacionada aum maior incremento do consumo (reas maisescuras) tendem a coincidir com as reas onde oaumento do poder de consumo que acompanhouo recente processo de estabilizao econmica,crescimento econmico e ampliao dos programasredistributivos apresentou os maiores impactos nareduo da pobreza e extrema pobreza do pas.
Consideraes sobre os Resultados
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CARMO, Roberto Luiz do; DAGNINO, Ricardo Sampaio; FEITOSA, Flvia da Fonseca; JOHANSEN, Igor Cavallini; CRAICE, Carla. Populao, Renda e Consumo Urbano de guano Brasil: Interfaces e Desafios. XX Simpsio Brasileiro de Recursos Hdricos. 17 a 22 de novembro de 2013. Bento Gonalves, RS.
So regies onde a reduo da pobreza ampliou demaneira expressiva o acesso a recursos bsicos para amanuteno de vida desta populao, entre eles agua potvel.
J em regies como a Sul, caracterizada por nveismais elevados de renda, um aumento na renda tendea gerar um impacto menor no aumento do consumode bens essenciais como a gua e, provavelmente,maior no consumo de bens de outra natureza.
Consideraes sobre os Resultados
-
Spatial Regression Analysis: A Workbook (Luc Anselin): http://geodacenter.asu.edu/system/files/rex1.pdf
Fitting and Interpreting Spatial Regression Models: An Applied Survey (Roger Bivand): http://www.nek.lu.se/ryde/NordicEcont09/Papers/bivand.pdf
Tutoriais
http://geodacenter.asu.edu/system/files/rex1.pdfhttp://www.nek.lu.se/ryde/NordicEcont09/Papers/bivand.pdf
-
GeoDandice de Moran, LISA maps, Regresso Clssica e Espacial (Spatial Lag & Spatial Error)
GeodaSpaceRegresso Clssica e Espacial (Regimes Espaciais, Spatial Lag & Spatial Error)
SPRING e Terraviewndice de Moran, LISA map
GWR 4.0GWR
Softwares
-
PRTICARegresso Espacial
Spatial Lag e Spatial Error com o Software GeoDa GWR com o Software GWR 4.0
REGRESSO ESPACIALNmero do slide 2Nmero do slide 3Nmero do slide 4Nmero do slide 5Nmero do slide 6Nmero do slide 7Nmero do slide 8Nmero do slide 9Nmero do slide 10Nmero do slide 11Nmero do slide 12Nmero do slide 13Nmero do slide 14Nmero do slide 15Nmero do slide 16Nmero do slide 17Nmero do slide 18Nmero do slide 19Nmero do slide 20Nmero do slide 21Nmero do slide 22Nmero do slide 23Nmero do slide 24Nmero do slide 25Nmero do slide 26Nmero do slide 27Nmero do slide 28Nmero do slide 29Nmero do slide 30Nmero do slide 31Nmero do slide 32Nmero do slide 33Nmero do slide 34Nmero do slide 35Nmero do slide 36Nmero do slide 37Nmero do slide 38Nmero do slide 39Nmero do slide 40Nmero do slide 41Nmero do slide 42Nmero do slide 43Nmero do slide 44Nmero do slide 45Nmero do slide 46Nmero do slide 47Nmero do slide 48Nmero do slide 49Nmero do slide 50
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