correlaÇÃo & regressÃo 2

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  • CORRELAO&REGRESSO

  • CORRELAO E REGRESSOOBJETIVOS:

    Estudar as relaes que podem existir entre duas variveis, onde as distribuies no so eficientes;Verificar o grau dessa relao;Identificar a natureza quantitativa da relao entre as variveis;Utilizar a correlao como instrumento para descobrir e medir essa relao e a regresso como instrumento para determinar os parmetros dessa relao.

  • CORRELAO1. Relao funcional e relao estatsticaAnalisando as seguintes situaes:A relao entre o permetro e o lado de um quadrado

    A relao entre o peso e a estatura de um grupo de pessoas.

    Concluso:O caso (a) uma relao FUNCIONAL.O caso (b) uma relao ESTATSTICA.

  • CORRELAO E REGRESSO2. Conceito

    Quando duas variveis esto ligadas por uma relao estatstica, dizemos que existe CORRELAO entre elas.

    Situao-problema: Consideremos uma amostra aleatria, formada por dez dos 50 alunos de uma classe da Faculdade Pitgoras e pelas notas obtidas por eles em Clculo 2 e Estatstica.

  • N.NOTASClculo 2 (Xi)Estatstica (Yi)015,06,0088,09,0137,08,01710,010,0236,05,0297,07,0309,08,0343,04,0428,06,0462,02,0

  • Representando, em um sistema coordenado cartesiano ortogonal, os pares ordenados (x,y), obtemos uma nuvem de pontos que denominamos diagrama de disperso.

  • CORRELAO LINEAROs pontos obtidos, vistos em conjunto, formam uma elipse em diagonal. Podemos imaginar que, quanto mais fina for a elipse, mais ela se aproximar de uma reta. Dizemos, ento, que a correlao de forma elptica tem como imagem uma reta, sendo, por isso, denominada correlao linear.

    possvel verificar que a cada correlao est associada como imagem uma relao funcional. Por esse motivo, as relaes funcionais so chamadas relaes perfeitas.

  • Como a correlao em estudo tem como imagem uma reta ascendente, ela chamada correlao linear positiva.

  • Coeficiente de Correlao LinearO instrumento empregado para a medida da correlao linear o coeficiente de correlao. Esse coeficiente deve indicar o grau de intensidade da correlao entre duas variveis e, ainda, o sentido dessa correlao (positivo ou negativo).Neste caso, faz-se uso do coeficiente de correlao de Pearson, dado por:

  • Coeficiente de Correlao LinearOnde n o nmero de observaes.Os valores limites de r so -1 e +1, isto , o valor de r pertence ao intervalo [-1,+1].

    OBS.: Para que uma relao possa ser descrita por meio do coeficiente de correlao de Pearson imprescindvel que ela se aproxime de uma funo linear. Uma maneira prtica de verificarmos a linearidade da relao a inspeo do diagrama de disperso: se a elipse apresenta salincias ou reentrncias muito acentuadas, provavelmente trata-se de correlao curvilnea.

  • Analisando a tabela abaixo, calcular o coeficiente de correlao linear.

    N.NOTASClculo 2(Xi)Estatstica(Yi)Xi.YiXiYi015,06,0088,09,0137,08,01710,010,0236,05,0297,07,0309,08,0343,04,0428,06,0462,02,0

  • SOLUO:

  • REGRESSOAJUSTAMENTO DA RETASempre que desejamos estudar determinada varivel em funo de outra, fazemos uma anlise de regresso.A anlise de regresso tem por objetivo descrever, atravs de um modelo matemtico, a relao entre duas variveis, partindo de n observaes das mesmas.A varivel sobre a qual desejamos fazer uma estimativa recebe o nome de varivel dependente e a outra recebe o nome de varivel independente.Assim, supondo X a varivel independente e Y a dependente, vamos procurar determinar o ajustamento de uma reta relao entre essas variveis, ou seja, vamos obter uma funo definida por:

  • Onde a e b so chamados de parmetros.Sejam duas variveis X e Y, entre as quais exista uma correlao acentuada, embora no perfeita, como, por exemplo, as que forma a tabela abaixo.

    N.NOTASClculo 2(Xi)Estatstica(Yi)Xi.YiXiYi015,06,0088,09,0137,08,01710,010,0236,05,0297,07,0309,08,0343,04,0428,06,0462,02,0

  • Cujo diagrama de disperso dado por:Pela forma do diagrama, trata-se de uma correlao retilnea, de modo a permitir o ajustamento de uma reta, imagem da funo definida por:

  • Calculando os valores dos parmetros a e b com a ajuda das frmulas:

  • NOTA: Como estamos fazendo uso de uma amostra para obtermos os valores dos parmetros, o resultado, na realidade, uma estimativa da verdadeira equao de regresso. Assim:

  • REGRESSO2. INTERPOLAO E EXTRAPOLAONa tabela abaixo, vemos que 4,0 no figura entre as notas de Clculo 2. entretanto, pode-se estimar a nota correspondente em Estatstica fazendo X = 4,0 na equao.

  • NOTA: Uma norma fundamental no uso de equaes de regresso a de nunca extrapolar, exceto quando consideraes tericas ou experimentais demonstrem a possibilidade de extrapolao.

  • EXERCCIOS E APLICAES

  • EXERCCIO 1: Uma empresa localizada na cidade de So Paulo, produtora de pneumticos, possui uma rede distribuidora por todo o interior do Estado. Realizou um estudo para determinar qual a funo que ligava o preo do produto e a distncia do mercado consumidor da cidade de So Paulo. Os dados so os seguintes:

    Estime a reta de regresso.A empresa tem uma filial no Rio de Janeiro, e o preo de venda do pneumtico l produzido, na cidade B, de R$ 160,00. sabendo-se que a distncia entre So Paulo e a cidade B de 250 km, pergunta-se qual produto deve ser vendido: o produzido no Rio de Janeiro ou o fabricado em So Paulo?

    Preo3648507042589169Distncia (km)50240150350100175485335

  • EXERCCIO 2: Sessenta e quatro estudantes foram submetidos a dois testes: Raciocnio Lgico e Quantitativo e Conhecimentos Gerais. Dos escores obtidos, foram calculadas as somas:

    Determine o coeficiente de correlao linear.

  • EXERCCIO 3: Um pesquisador deseja verificar se um instrumento para medir a concentrao de determinada substncia no sangue est bem calibrado. Para isto, ele tomou 15 amostras de concentraes conhecidas (X) e determinou a respectiva concentrao atravs do instrumento (Y), obtendo:

    Construa o diagrama de disperso para esses dados.Calcule o coeficiente de correlao entre as variveis X e Y.Obtenha a reta de regresso da varivel Y em funo de X.

    X2,02,02,04,04,04,06,06,06,08,08,08,010,010,010,0Y2,11,81,94,54,24,06,26,06,58,27,87,79,610,010,1

  • EXERCCIO 4: As exportaes de castanha in natura, processadas pela Empresa Yasmin Ltda., no perodo que se estende de 1983 a 1989, encontram-se na tabela a seguir:

    onde a varivel quantidade est expressa em toneladas. Pede-se:a) O coeficiente de correlao linear. R: r = -0,959b) A equao de regresso linear da quantidade sobre o tempo.R: = 31 - 6,32X, em que Xi = ti t0,c) A quantidade estimada para a exportao em 1990.R: =5,72 toneladas

    ANO1983198419851986198719881989QUANTIDADE50463631251118

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