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RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Carlos

IGEPP – RACIOCÍNIO LÓGICO – ESTATÍSTICA – LISTA 3 1

RACIOCÍNIO LÓGICO / ESTATÍSTICA – LISTA 3

EXERCÍCIOS PARA DISCUSSÃO E TREINAMENTO

1. Calcule as integrais:

a) 2x dx⋅ =∫

b) ( )54 7x x dx− ⋅ =∫

c) 73

14

xdx⋅ =∫

d) 65 12

9 5

xdx

+ ⋅ =

∫

2. Calcule as integrais:

a) 2

4

1

x dx⋅ =∫

b) ( )5

2

0

3 6x x dx+ ⋅ =∫

c) ( )1

5 3

0

8 10x x x dx− + ⋅ =∫

3. Seja a seguinte variável aleatória contínua, definida pela função densidade de probabilidade:

( )0, 0

, 0 2

0, 2

para x

f x kx para x

para x

<= ≤ ≤ >

Assim, obtenha o valor de k. a) 2/3 b) 1/2 c) 4/5 d) 2/7 e) 1/8 4. (PUC-PR/DPE-PR) Uma variável aleatória X tem função densidade de probabilidade dada por: f(x) = k x2 se 0 < x < 1 e 0 nos demais casos.

O valor da constante k é? a) 1 b) 5 c) 8 d) 3 e) 10 5. (CIAAR/ESTATISTICO) Supõe-se que x seja uma variável aleatória contínua, cuja função de densidade de probabilidade é dada por

( ) ( )23 ; 0 4

0;

c x x xf x

caso contrário

− < <=

o valor da constante "c" é a) -8 b) - 56 c) -1/8 d) -1/56 6. Seja X uma variável aleatória contínua. Determinar o valor de ‘c’ para que ( )f x seja uma função densidade

de probabilidade.

( )2. ; 1 1

0;

c x xf x

para outros valores de x

− ≤ ≤ +=

a) 3/2 b) 2/3 c) 6/7 d) 7/6 e) 8/9 7. Seja X uma variável aleatória contínua. Determine a probabilidade de X assumir valores no intervalo de

[ ]0,5 ; 0,5− + .

( )23.

; 1 12

0;

xx

f x

para outros valores de x

− ≤ ≤ +=

a) 6 % b) 8,32 % c) 9,15 % d) 11,9 % e) 12,5 %

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8. A proporção de álcool em certo composto pode ser considerada uma variável alatória com a seguinte função de densidade:

( ) ( )320 1 ; 0 1

0;

x x xf x

para outros valores de x

− ≤ ≤=

Calcule a probabilidade da proporção de álcool neste composto estar entre 0,20 e 0,25. a) 0,0089 b) 0,0060 c) 0,0055 d) 0,0048 e) 0,0030 9. (CIAAR/ESTATISTICO) Seja X uma variável aleatória com função de densidade discreta dada por:

A relação correta entre a moda, a média e a mediana de X é a) Mediana < Moda < Média b) Média < Moda < Mediana c) Moda < Mediana < Média d) Moda < Média < Mediana

AMOSTRAGEM A amostragem corresponde ao processo de retirada de amostras de uma população. A amostragem é o estudo das relações existentes entre a amostra, a população de onde ela foi extraída e a forma como ocorre esta extração. Portanto, a amostragem tem por objetivo principal determinar meios e métodos para estudar as populações através de amostras. Importante lembrar que amostra é um subconjunto da população, necessariamente finito, pois todos os seus elementos serão examinados para efeito da realização do estudo estatístico desejado. Podemos ter dois tipos de amostragem, as probabilísticas e as não probabilísticas. Amostragem probabilística: quando todos os elementos da população tiverem uma probabilidade conhecida e diferente de zero de pertencer à amostra. A realização deste tipo de amostragem só é possível se a população for finita e totalmente acessível. Amostragem probabilística:

� aleatória simples � sistemática � estratificada � conglomerados

Amostragem aleatória simples: somente deverá ser utilizada quando a população for homogênea em relação à variável que se deseja estudar. Geralmente, é atribuído uma numeração a cada indivíduo da população, e através de um sorteio aleatório os elementos que vão compor a amostra são selecionados. Todos os elementos têm a mesma probabilidade de pertencer a amostra. Amostragem sistemática: quando é conveniente retirar da população os elementos que vão compor a amostra de forma cíclica (em períodos), por exemplo, quando os elementos da população se encontram ordenados. Amostragem estratificada: quando a variável de interesse apresenta uma heterogeneidade na população e esta heterogeneidade permite a identificação de grupos homogêneos, pode-se dividir a população em grupos (estratos) e fazer uma amostragem dentro de cada estrato, garantindo, assim, a representatividade de cada estrato na amostra. Amostragem por conglomerados: apesar da amostragem estratificada apresentar resultados satisfatórios, a sua implementação é dificultada pela falta de informações sobre a população para fazer a estratificação. Para contornar este problema, pode-se trabalhar com o esquema de amostragem chamado amostragem por conglomerados. Os conglomerados são definidos em função da experiência do gestor ou pesquisador. Geralmente, pode-se definir os conglomerados por fatores geográficos, como por exemplo, bairros e quarteirões. Portanto, um conglomerado é um subgrupo da população, que individualmente reproduz a população, ou seja, individualmente os elementos que o compõem são muito heterogêneos entre si. Este tipo de amostragem é muito útil quando a população é grande, por exemplo, no caso de uma pesquisa em nível nacional. Sorteados os conglomerados por meio de um processo aleatório avaliamos todos os indivíduos presentes no conglomerado. 10. (PUC-PR/DPE-PR) Assinale a afirmativa CORRETA: a) Na amostragem sistemática, o período amostral pode ser aproximadamente regular. b) A realização do conglomerado, todos os membros de um conglomerado sorteado aleatoriamente devem compor a amostra. c) Na amostragem aleatória simples é selecionada uma amostra com n pessoas, todas tendo a mesma probabilidade de ser escolhida, porém cada amostra de mesmo tamanho apresenta uma probabilidade distinta de ser formada. d) Em qualquer amostragem aleatória, a probabilidade de escolha de cada membro da amostra tem que ser conhecida, porém não precisa ser constante. e) No caso de amostragem estratificada os estratos não precisam ser distintos.

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Amostragem não probabilística: quando não se conhece a probabilidade de um elemento da população pertencer a amostra. Por exemplo, quando somos obrigados a colher a amostra na parte da população a que temos acesso. Quando trabalhamos com a amostragem não probabilística, não conhecemos a priori a probabilidade que um elemento da população tem de pertencer à amostra. Neste caso, não é possível calcular o erro decorrente da generalização dos resultados das análises estatísticas da amostra para a população de onde a amostra foi retirada. Geralmente a amostragem não probabilística é utilizada por simplicidade ou por impossibilidade de se obter uma amostra probabilística, como seria desejável. Amostragem não probabilística:

� esmo � intencional � cotas

Amostragem a esmo: Imagine uma caixa com 10.000 parafusos. A enumeração desses parafusos ficaria muito difícil, e a amostragem aleatória simples se torna inviável. Então, em situações deste tipo, supondo que a população de parafusos seja homogênea, escolhemos a esmo a quantidade relativa ao tamanho da amostra. Quanto mais homogênea for a população, mais podemos supor a equivalência com a amostragem a esmo. Dessa forma, os parafusos são escolhidos para compor a amostra de um determinado tamanho sem nenhuma norma ou a esmo. Amostragem intencional: corresponde àquela em que o amostrador deliberadamente escolhe certos elementos para pertencer à amostra, por julgar tais elementos representativos da população. Amostragem por cotas: Neste tipo de amostragem, a população é dividida em grupos, e seleciona-se uma cota proporcional ao tamanho de cada grupo. Entretanto, dentro de cada grupo não é feito sorteio, e sim os elementos são procurados até que a cota de cada grupo seja cumprida.

GABARITO 1.

31)

3a x

6 22 7)

3 2b x x−

83)

112c x

75 12)

63 5d x x+

2.

31)

5a

) 200b

73)

12c

3. 1

2k =

4. 3k =

5. 1

56c = −

6. 3

2c =

7. E 8. A 9. C 10. B