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RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Carlos

IGEPP – RACIOCÍNIO LÓGICO – ESTATÍSTICA – LISTA 3 1

RACIOCÍNIO LÓGICO / ESTATÍSTICA – LISTA 3

EXERCÍCIOS PARA DISCUSSÃO E TREINAMENTO

1. Calcule as integrais:

a) 2x dx⋅ =∫

b) ( )54 7x x dx− ⋅ =∫

c) 73

14

xdx⋅ =∫

d) 65 12

9 5

xdx

+ ⋅ =

∫

2. Calcule as integrais:

a) 2

4

1

x dx⋅ =∫

b) ( )5

2

0

3 6x x dx+ ⋅ =∫

c) ( )1

5 3

0

8 10x x x dx− + ⋅ =∫

3. Seja a seguinte variável aleatória contínua, definida pela função densidade de probabilidade:

( )0, 0

, 0 2

0, 2

para x

f x kx para x

para x

<= ≤ ≤ >

Assim, obtenha o valor de k. a) 2/3 b) 1/2 c) 4/5 d) 2/7 e) 1/8 4. (PUC-PR/DPE-PR) Uma variável aleatória X tem função densidade de probabilidade dada por: f(x) = k x2 se 0 < x < 1 e 0 nos demais casos.

O valor da constante k é? a) 1 b) 5 c) 8 d) 3 e) 10 5. (CIAAR/ESTATISTICO) Supõe-se que x seja uma variável aleatória contínua, cuja função de densidade de probabilidade é dada por

( ) ( )23 ; 0 4

0;

c x x xf x

caso contrário

− < <=

o valor da constante "c" é a) -8 b) - 56 c) -1/8 d) -1/56 6. Seja X uma variável aleatória contínua. Determinar o valor de ‘c’ para que ( )f x seja uma função densidade

de probabilidade.

( )2. ; 1 1

0;

c x xf x

para outros valores de x

− ≤ ≤ +=

a) 3/2 b) 2/3 c) 6/7 d) 7/6 e) 8/9 7. Seja X uma variável aleatória contínua. Determine a probabilidade de X assumir valores no intervalo de

[ ]0,5 ; 0,5− + .

( )23.

; 1 12

0;

xx

f x


− ≤ ≤ +=

a) 6 % b) 8,32 % c) 9,15 % d) 11,9 % e) 12,5 %



8. A proporção de álcool em certo composto pode ser considerada uma variável alatória com a seguinte função de densidade:

( ) ( )320 1 ; 0 1

0;

x x xf x


− ≤ ≤=

Calcule a probabilidade da proporção de álcool neste composto estar entre 0,20 e 0,25. a) 0,0089 b) 0,0060 c) 0,0055 d) 0,0048 e) 0,0030 9. (CIAAR/ESTATISTICO) Seja X uma variável aleatória com função de densidade discreta dada por:

A relação correta entre a moda, a média e a mediana de X é a) Mediana < Moda < Média b) Média < Moda < Mediana c) Moda < Mediana < Média d) Moda < Média < Mediana

AMOSTRAGEM A amostragem corresponde ao processo de retirada de amostras de uma população. A amostragem é o estudo das relações existentes entre a amostra, a população de onde ela foi extraída e a forma como ocorre esta extração. Portanto, a amostragem tem por objetivo principal determinar meios e métodos para estudar as populações através de amostras. Importante lembrar que amostra é um subconjunto da população, necessariamente finito, pois todos os seus elementos serão examinados para efeito da realização do estudo estatístico desejado. Podemos ter dois tipos de amostragem, as probabilísticas e as não probabilísticas. Amostragem probabilística: quando todos os elementos da população tiverem uma probabilidade conhecida e diferente de zero de pertencer à amostra. A realização deste tipo de amostragem só é possível se a população for finita e totalmente acessível. Amostragem probabilística:

� aleatória simples � sistemática � estratificada � conglomerados

Amostragem aleatória simples: somente deverá ser utilizada quando a população for homogênea em relação à variável que se deseja estudar. Geralmente, é atribuído uma numeração a cada indivíduo da população, e através de um sorteio aleatório os elementos que vão compor a amostra são selecionados. Todos os elementos têm a mesma probabilidade de pertencer a amostra. Amostragem sistemática: quando é conveniente retirar da população os elementos que vão compor a amostra de forma cíclica (em períodos), por exemplo, quando os elementos da população se encontram ordenados. Amostragem estratificada: quando a variável de interesse apresenta uma heterogeneidade na população e esta heterogeneidade permite a identificação de grupos homogêneos, pode-se dividir a população em grupos (estratos) e fazer uma amostragem dentro de cada estrato, garantindo, assim, a representatividade de cada estrato na amostra. Amostragem por conglomerados: apesar da amostragem estratificada apresentar resultados satisfatórios, a sua implementação é dificultada pela falta de informações sobre a população para fazer a estratificação. Para contornar este problema, pode-se trabalhar com o esquema de amostragem chamado amostragem por conglomerados. Os conglomerados são definidos em função da experiência do gestor ou pesquisador. Geralmente, pode-se definir os conglomerados por fatores geográficos, como por exemplo, bairros e quarteirões. Portanto, um conglomerado é um subgrupo da população, que individualmente reproduz a população, ou seja, individualmente os elementos que o compõem são muito heterogêneos entre si. Este tipo de amostragem é muito útil quando a população é grande, por exemplo, no caso de uma pesquisa em nível nacional. Sorteados os conglomerados por meio de um processo aleatório avaliamos todos os indivíduos presentes no conglomerado. 10. (PUC-PR/DPE-PR) Assinale a afirmativa CORRETA: a) Na amostragem sistemática, o período amostral pode ser aproximadamente regular. b) A realização do conglomerado, todos os membros de um conglomerado sorteado aleatoriamente devem compor a amostra. c) Na amostragem aleatória simples é selecionada uma amostra com n pessoas, todas tendo a mesma probabilidade de ser escolhida, porém cada amostra de mesmo tamanho apresenta uma probabilidade distinta de ser formada. d) Em qualquer amostragem aleatória, a probabilidade de escolha de cada membro da amostra tem que ser conhecida, porém não precisa ser constante. e) No caso de amostragem estratificada os estratos não precisam ser distintos.



Amostragem não probabilística: quando não se conhece a probabilidade de um elemento da população pertencer a amostra. Por exemplo, quando somos obrigados a colher a amostra na parte da população a que temos acesso. Quando trabalhamos com a amostragem não probabilística, não conhecemos a priori a probabilidade que um elemento da população tem de pertencer à amostra. Neste caso, não é possível calcular o erro decorrente da generalização dos resultados das análises estatísticas da amostra para a população de onde a amostra foi retirada. Geralmente a amostragem não probabilística é utilizada por simplicidade ou por impossibilidade de se obter uma amostra probabilística, como seria desejável. Amostragem não probabilística:

� esmo � intencional � cotas

Amostragem a esmo: Imagine uma caixa com 10.000 parafusos. A enumeração desses parafusos ficaria muito difícil, e a amostragem aleatória simples se torna inviável. Então, em situações deste tipo, supondo que a população de parafusos seja homogênea, escolhemos a esmo a quantidade relativa ao tamanho da amostra. Quanto mais homogênea for a população, mais podemos supor a equivalência com a amostragem a esmo. Dessa forma, os parafusos são escolhidos para compor a amostra de um determinado tamanho sem nenhuma norma ou a esmo. Amostragem intencional: corresponde àquela em que o amostrador deliberadamente escolhe certos elementos para pertencer à amostra, por julgar tais elementos representativos da população. Amostragem por cotas: Neste tipo de amostragem, a população é dividida em grupos, e seleciona-se uma cota proporcional ao tamanho de cada grupo. Entretanto, dentro de cada grupo não é feito sorteio, e sim os elementos são procurados até que a cota de cada grupo seja cumprida.

GABARITO 1.

31)

3a x

6 22 7)

3 2b x x−

83)

112c x

75 12)

63 5d x x+

2.

31)

5a

) 200b

73)

12c

3. 1

2k =

4. 3k =

5. 1

56c = −

6. 3

2c =

7. E 8. A 9. C 10. B

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