propriedades eletrônicas de nanoestruturas...

Propriedades eletrônicas de Propriedades eletrônicas de nanoestruturasnanoestruturas semicondutorassemicondutoras

Luis Carlos Ogando Dacal

Instituto de Estudos Avançados – Centro Técnico Aeroespacial

ogando@ieav.cta.br

ÍÍndicendice

EquaEquaçção de ão de SchrSchröödingerdinger e poe poçços de potencial infinitoos de potencial infinito

SemicondutoresSemicondutores

O problema: transporte eletrônico na O problema: transporte eletrônico na ““crosscross--

junctionjunction””. C. Cáálculo da condutância (2D x 3D).lculo da condutância (2D x 3D).

AnAnáálise dos resultadoslise dos resultados

ConclusõesConclusões

EquaEquaçção de ão de

SchrSchröödingerdinger e poe poçços os

de potencial infinitode potencial infinito

EquaEquaçção de ão de SchrSchröödingerdinger::

)(.)()()(2 2

22xExxVx

dxd

mΨ=Ψ+Ψ−

Independente do tempo.

Unidimensional.

O que é a função de onda (autofunção) ?

E a energia (autovalor) ?

Simetrias.

O caso mais simples:O caso mais simples: partpartíícula livrecula livre

)(.)(2 2

22xEx

dxd

mΨ=Ψ−

mkE

eBeAx xkixki

2

..)(22

....

=

+=Ψ −

progressiva regressiva

A e B são constantes.Momento é

conhecido, mas não a posição.

E em função de k éuma parábola.

PoPoçço de potencial infinitoo de potencial infinito

0 a/2-a/2 x

Ener

gia

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

><∞+

≤≤

=

a/2x ou -a/2x se ,

a/2xa/2- se 0,

V(x)

SoluSoluççãoão

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

><

≤≤=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

≤≤=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

a/2x ou -a/2x 0,

a/2xa/2- 2,4,6...n ,a

n.π.sina2

a/2xa/2- 1,3,5...n ,a

n.π.cosa2

Ψ(x) x

x

( )2

22

2manEn

π=

Robert Eisberg, “Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles”

SemicondutoresSemicondutores

O que O que éé um cristal ?um cristal ?Arranjo infinito de átomos, moléculas ou íons cuja

disposição e orientação parecem exatamente as mesmas quando vistas de qualquer elemento do arranjo.

Ashcroft, “Solid State Physics”

Outras simetriasOutras simetrias

GaAs éblenda de zinco (e)

Davies, “The Physics of Low-Dimensional Semiconductors”

O que O que éé estrutura de banda ?estrutura de banda ?

Davies, “The Physics of Low-Dimensional Semiconductors”

Perto do ponto Γ no GaAs, aproximação parabólica => massa efetiva

Bastard, “Wave Mechanics Appliedto Semiconductor Heterostructures”

O que O que éé um semicondutor ?um semicondutor ?

Bastard, “Wave Mechanics Appliedto Semiconductor Heterostructures”

A T = 0 K, a banda de valência está preenchida e a de condução está vazia.

“Gap” entre 0 e 3 eV.

O que O que éé uma uma heteroestruturaheteroestrutura/ / nanoestruturananoestrutura ??

Bastard, “Wave Mechanics Appliedto Semiconductor Heterostructures”

Justaposição de materiais diferentes e alinhamento dos extremos das bandas formam barreira de potencial no espaço real.

Aproximação de massa efetiva permite tratar o confinamento como nos livros de “estrutura da matéria”.

Crescimento da estruturaCrescimento da estrutura

Peter Yu and Manuel Cardona, “Fundamentals of Semiconductors”

Crescimento da estruturaCrescimento da estrutura

Peter Yu and Manuel Cardona, “Fundamentals of Semiconductors”

Crescimento da estruturaCrescimento da estrutura

Peter Yu and Manuel Cardona, “Fundamentals of Semiconductors”

CondiCondiçções de contorno ões de contorno nas interfacesnas interfaces

Bastard, “Wave Mechanics Applied to Semiconductor Heterostructures”

erface

B

Berface

A

A

erfaceB

erfaceA

dzd

mdzd

m int*

int*

intint

11Ψ=Ψ

Ψ=Ψ

O problema: transporte O problema: transporte

eletrônico na eletrônico na ““crosscross--

junctionjunction””. C. Cáálculo da lculo da

condutância (2D x 3D).condutância (2D x 3D).

O sistemaO sistemaJunção entre

contatos tridimensionais.

Contatos e junção do mesmo material. Fora da cruz, um material que forma uma barreira muito alta (infinita) e desacopla x, y e z.2D x 3D2D x 3D

A base de estadosA base de estadosParâmetros desconhecidos

serão determinados a partir das condições de contorno: continuidade da função de onda e do fluxo de probabilidade nas interfaces.

Conservação da energia

Sistema de equaSistema de equaççõesõesRecaímos em um sistema de equações 6x6 que permite

determinar os parâmetros desconhecidos nas funções da base.

Solução numérica a partir de subrotinas FORTRAN disponíveis na “internet”. (NetLiB)

Uma vez determinadas as funções de onda, partimos para o cálculo da condutância do sistema :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ Ψ

∂∂

Ψ−Ψ∂∂

Ψ−

−= *** ..

2 xxmiejl

Fluxo de probabilidade

AnAnáálise dos resultadoslise dos resultados

80 100 120 140 160 1800

1

2

3

4

Dz = 20 nm

Dz = 12 nm

Con

duct

anci

a (2

e2 /h)

Energia de Fermi (meV)

Dz = 10 nm

-10 -5 0 5 10-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Den

sida

de d

e pr

obab

ilidad

e (u

. a.)

x (nm)

Platôs preservadosPlatôs preservados

Wx= 90 nm, Wy= 20 nm, Wz= 10 nm, Dx= 20 nm

Platôs preservadosPlatôs preservados

Wx= 90 nm, Wy= 20 nm, Wz= 10 nm, Dx= 20 nm

-10 -5 0 5 10-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0 Dz=10 nm

Dz=10.5 nm

Dz=12 nm

Dz=20 nm

Den

sida

de d

e pr

obab

ilidad

e (u

. a.)

x (nm)

EF= 83.6 meV

80 100 120 140 160 1800

1

2

3

Dz = 8 nm

Con

dutâ

ncia

(2e2 /h

)

Energia de Fermi (meV)

Dz = 10 nm

Platôs preservados,Platôs preservados,ConstriConstriççãoão

Wx= 99.5 nm, Wy= 20 nm, Wz= 10 nm, Dx= 1 nm

Valores maiores de Dx deslocam o limiar de energia.

No caso do gráfico, ocorre tunelamento e interferência.

15 16 17 180

1

2 quase 2D Ly= 22 nm Ly= 25 nm 3D

Con

dutâ

ncia

(2e2 /h

)

Energia de Fermi (meV)

Platôs indefinidosPlatôs indefinidos

Fluxo de elétrons assume padrões complicados (K.-F. Berggren et al., Physica ScriptaT42, 141 (1992))

Suave transição entre o 2D e o 3D

Wx= 50 nm, Wy= 20 nm, Wz= 100 nm, Dx= 100 nm, Dz= 180 nm

15 16 17 180

1

2 quase 2D, Wy = 20 nm 3D, Wy = 20 nm 3D, Wy = 50 nm

Con

dutâ

ncia

(2e2 /h

)

Energia de Fermi (meV)

Platôs indefinidosPlatôs indefinidosWx= 50 nm,Wz= 100 nm, Dx= 100 nm, Dz= 180 nm

Modelos 2D são adequados quando o espalhamento nas interfaces com os contatos émenor.

ConclusõesConclusões

ConclusõesConclusões

Transporte eletrônico em “cross-junctions” é

fortemente influenciado pela geometria do sistema.

As dimensões do sistema determinam dois regimes:

(i) platôs preservados e (ii) platôs indefinidos.

Modelos bidimensionais podem não ser adequados

para representação de sistemas reais tridimensionais.

AgradecimentosAgradecimentos

Os resultados de condutância foram

obtidos em colaboração com o Dr. Erasmo A. de Andrada e Silva do Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais

(INPE).

Contato : ogando@ieav.cta.br