proporcionalidade direta

PROPORCIONALIDADE DIRETA

Proporção. Regra de três simples Constante de proporcionalidade Proporcionalidade direta como função:•Expressão algébrica•Representação gráfica

Grandeza

É uma relação numérica estabelecida com um objeto. Assim, a altura de uma árvore, o

volume de um tanque, o peso de um corpo, a quantidade pães, entre outros, são grandezas. Grandeza é tudo que você pode contar, medir,

pesar, enfim, enumerar.

Dados dois números a e b, com b ≠ 0, a razão entre a e b representa-se por:

ab

:a b

ou e lê-se razão de a para b.

Definição:

RAZÃO

Razão é uma relação entre os valores correspondentes de duas grandezas

ab

Termos Antecedente

Consequente

Termos

Antecedente Consequente:a b

TERMOS DE UMA RAZÃ0

Uma proporção é uma igualdade entre duas razões.

lê-se“a está para b assim como c está para d”…

…onde a, b, c e d são os termos da proporção: a e d são extremos e b e c são os meios.

Definição:

ab

cd

=

PROPORÇÃO

Numa proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES

6

4

3

2

3 X 4 = 12

2 X 6 = 12

X

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª

RECORDA

se x 0 e y 0 e o quociente entre dois quaisquer valores correspondentes for constante. Esse número chama-se constante de proporcionalidade. se x = 0 também y = 0.

x 1 2 3 4

y 3 6 9 12

yx

Exemplo:

yx

= K

Dadas duas grandezas x e y, diz-se que y é diretamente proporcional a x:

3= 3

16

= 32

9= 3

312

= 34

x e y são diretamente proporcionais e a constante de proporcionalidade é 3.

TAREFAS DE PROPORÇÃO

E RAZÃO

Tarefa 1- Ler um Livro A Lara demorou 2 horas a ler 16 páginas de um livro. Quanto tempo demorará a ler 48 páginas, supondo que continuará a ler ao mesmo ritmo?

162

=48𝑥

16x =96:16×=6 h

Resposta: Demorará 6 horas a ler 48 páginas

Tarefa 2 - Gasolina

A mãe da Lara abasteceu o carro com 5 litros e pagou 6,5 euros. Se ela encher o depósito do carro com 45 litros, quanto é que vai pagar?

6,55

=×45

5x =292,5:5×= 58,5

Resposta: Vai pagar 58,5€.

Tarefa 3- Lápis de CorA Lara comprou no inicio do ano escolar um estojo de Lápis de Cor. Com o tempo, alguns lápis ficaram mais gastos que outros. Foi então necessário comprar os lápis que se tinham gasto mais. Na papelaria da escola, havia a seguinte tabela de preços:

Sabendo que a Lara precisa de comprar 11 lápis de cor, indica quanto é que ela vai pagar. 1,53

=2,55

=510

=0,5€ 0,5 € é a constante de proporcionalidade. As duas grandezas - Preço e o nº de lápis - são diretamente proporcionais. O preço de cada lápis é 0,5 €

11x0,5 €= 5,5 €

Resposta: a Lara vai pagar 5,5€ pelos lápis.

Tarefa 4 - A altura do Bruno

Observa a tabela onde estão registadas algumas das alturas do Bruno quando era mais pequeno. Consegues prever qual a altura do Bruno quando tiver 8 anos? Justifica.

731

=73842

=42

Através da tabela verifica-se que não há um valor constante entre os valores da altura e da idade, ou seja, não existe a constante de proporcionalidade. As duas grandezas não são diretamente proporcional.

RECORDA…

Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, os pontos do gráfico encontram-se sobre uma reta que passa pela origem do referencial.

É uma função?

Sim, porque a cada valor de x corresponde

um único valor de y.

É uma função?

FUNÇÃO DE PROPORCIONALIDADE DIRETA

A tabela seguinte mostra como varia a despesa semanal em função do número de gelados comprados:

Nº de gelados 1 2 3 4 5

Despesa semanal (€) 2 4 6 8 10

Observando a tabela podemos concluir que, à medida que o número de gelados aumenta, aumenta também a despesa semanal. Assim, se duplicarmos o número de gelados a despesa duplica; de igual modo, se triplicarmos o número de gelados triplicamos a despesa e assim sucessivamente.

Nº de gelados (x) 1 2 3 4 5

Despesa semanal (€) (y) 2 4 6 8 10

EFETUANDO O QUOCIENTE ENTRE AS DUAS VARIÁVEIS:

Concluímos que este tem sempre o mesmo valor.

CONCLUSÃO:

Nº de gelados (x) 1 2 3 4 5

Despesa semanal (€) (y) 2 4 6 8 10

Podemos afirmar que a relação existente entre as variáveis Número de gelados e Despesa semanal é uma relação de proporcionalidade direta pois o quociente entre o valor da despesa e o número de gelados correspondente é constante.

FUNÇÃO DE PROPORCIONALIDADE DIRETA

Nº de gelados (x) 1 2 3 4 5

Despesa semanal (€) (y) 2 4 6 8 10

=2

y= k

xem que k é a constante de proporcionalidade

y

= k y = k xx

expressão algébrica de uma função de proporcionalidade direta

𝑌=2𝑥

FUNÇÃO DE PROPORCIONALIDADE DIRETA

Como se pode observar os pontos do gráfico estão alinhados segundo uma linha reta à qual pertence a origem do referencial cartesiano, o ponto de coordenadas (0,0).

Numa situação de proporcionalidade direta a imagem de 1 é a constante de proporcionalidade.

FUNÇÃO DE PROPORCIONALIDADE DIRETA

Toda a função f que se pode representar por

y = k x, com k ≠ 0

ou, com o mesmo significado

f(x) = k x, com k ≠ 0

traduz uma situação de proporcionalidade direta em que: k é a constante de proporcionalidade; k é a imagem de 1 por meio de f: f (1) = k.

O seu gráfico é um conjunto de pontos situados sobre uma reta que passa pela origem do referencial.

Um gráfico representa uma função de proporcionalidade direta, ou função linear, se os seus pontos estão alinhados sobre uma reta à qual pertence a origem do referencial.

Quanto maior for o valor de k, em valor absoluto, maior é a inclinação da reta (mais perto está da posição vertical).

Quanto maior for o valor de k (k>0) maior é a inclinação

da reta.

Quanto menor for o valor de k (k<0) maior é a inclinação da reta.