progressão geométrica matrizes questão nº01 na p.g., a posição do termo é
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Progressão Geométrica
Matrizes
Questão nº01
Na P.G. , a posição do termo é...
... ,25
2 ,
5
2 2, 10,
625
2
Solução nº01
a1 = 10 q =
an = a1 . qn-1
n – 1 = 5
n = 6 Resposta: sexto termo.
5
1
10
2
1
5
1
5
1
5
1
5
1.10
625
2
nn
Questão nº02
Inserir cinco meios geométricos entre 1 e 64.
Solução nº02 Devemos colocar cinco termos entre 1 e 64 de tal
forma que a seqüência formada seja uma P.G.
1,__,__,__,__,__,64
a1 k = 5 an dados
an = a1qn-1 64 = 1 . q7-1
64 = q6
26 = q6
q =
72kn
64a
1a
n
1
2
continua...
Solução nº02
Se q = 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64) Se q =-2 (1, -2, 4, -8, 16, -32, 64)
Resposta: Temos duas soluções:
(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64) ou
(1, -2, 4, -8, 16, -32, 64)
Questão nº03
Ache a soma dos dez primeiros termos da P.G. (3, 6, 12,...).
Solução nº03
Dados
Sn=
Resposta: 3069
10n
2q
3a1
3069S 1
)11024(3S
12
1)3(2S
1q
1)(qa
10
10
10
10
n1
Questão nº04
Calcule o número de termos de uma P.G. finita em que a1 = 2, q = 3 e Sn = 6560.
Solução nº04
Sn =
Resposta: 8.
8n33
65613
13 6560
2
)12(3 6560
13
1)2(36560
1q
1)(qa
8n
n
n
n
nn1
Questão nº05 O trigésimo termo da seqüência é:
A)
B)
C) 5
D)
E)
,...18
1,
6
1,
2
1
2961
293 . 21
361
629
Solução nº05
an = a1 . qn-1
Assim, a alternativa correta é B
29
29
30 3 . 2
1
3
1 .
2
1a
3
1
2161
q
Questão nº06 Se a seqüência (4x, 2x + 1, x – 1) é uma P.G., então o
valor de x é:
A)
B) -8
C) -1
D) 8
E)
8
1
8
1
Solução nº06
Assim, a alternativa correta é A
8
1x
18x
4x4x14x4x
4x . 1)(x1)(2x
12x
1x
4x
12x
a
a
a
a
22
2
2
3
1
2
Questão nº07 Seja x o trigésimo termo da P.G. (2, 4, 8, ...). O valor
de log4 x é:
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
E) 35
Solução nº07 an = a1 . qn-1
x = 2 . 230-1
x= 2 . 229
x = 230
log4 x = log4 230 = y 4y = 230 (22)y = 230
22y = 230 2y = 30
y = 15
Assim, a alternativa correta é A
Questão nº08 O quarto termo da seqüência geométrica: é:
A)
B)
C)
D)
E) 1
... ,3
2, 1 ,
2
3
92
31
49
94
Solução nº08
Logo: a4 = a3 . q
Assim, a alternativa correta é D
3
2
3
2 . 1
3
1
a
aq
1
2
9
4
3
2 .
3
2a 4
Questão nº09 Se o oitavo termo de um P.G. é e a razão é , o
primeiro termo dessa progressão é:
A) 2-1
B) 2
C) 26
D) 28
E)
21
21
8
2
1
Solução nº09
Assim, a alternativa correta é C
667
1
1
71
1
711
1
7
1
1818
1n1n
22
1
2
2a
2 . a2
)(2 . a2
2
1 .a
2
1
q . aa
q . aa
Questão nº10
O número de termos da P.G. é:
A) 8
B) 9
C) 10
D) 81
E) 4
729 ..., 1, ,3
1 ,
9
1
Solução nº10
Assim, a alternativa correta é B
9n81n33
39 . 729
3 . 9
1729
q . aa
81n
1n
1n
1n1n
Questão nº11 A média aritmética dos seis meios geométricos que
podem ser inseridos entre 4 e 512 é:
A) 48
B) 84
C) 128
D) 64
E) 96
Solução nº11 4 ................ 512
a1 6 an
n = 6 + 2 = 8 termos
an = a1 . qn-1
512 = 4 . q8-1
Logo, a P.G. é: 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 Média aritmética =
2q2q1284
512q 777
84
6
2561286432168
Questão nº12 Somando os n primeiros termos da seqüência
(1, -1, 1, -1, ...) encontramos:
A) n
B) -n
C) 0
D) 1
E) 0 quando n é par; 1 quando n é ímpar.
Solução nº12
(1, -1, 1, -1, ...)
Sn = 0 se n é par
Sn = 1 se n é ímpar
Assim, a alternativa correta é E
Questão nº13 Uma bactéria de determinada espécie divide-se em
duas a cada 2 h. Depois de 24 h, qual será o número de bactérias originadas de uma bactéria?
A) 1024
B) 24
C) 4096
D) 12
E) 16777216
Solução nº13
an = a1 . qn-1
an = 2 . 212-1
an = 2 . 211
an = 212 = 4096
Assim, a alternativa correta é C
Questão nº14 A soma dos seis primeiros termos da P.G.
é:
A)
B)
C)
D)
E)
... ,12
1 ,
6
1 ,
3
1
3312
3215
3321
3221
32
Solução nº14
Assim, a alternativa correta é D
32
21S
2 . 64
21
216463
31
21
1641
31
121
121
31
S
1q
1)(qaS
6
6
6
n1
n
Questão nº15 Cada golpe de uma bomba de vácuo extrai 10% do ar
de um tanque; se a capacidade inicial do tanque é de 1 m3, após o quinto golpe, o valor mais próximo para o volume do ar que permanece no tanque é:
A) 0,590 m3
B) 0,500 m3
C) 0,656 m3
D) 0,600 m3
E) 0,621 m3
Solução nº15 Se cada golpe extrai 10% de ar, temos:
100% - 10% = 90% = 0,9 do total Logo:
an = a1 . qn-1
a5 = 0,9 . (0,9)5-1
a5 = (0,9)4 . 0,9
a5 = 0,590 m3
Assim, a alternativa correta é A
Questão nº16 A soma dos termos de uma P.G. infinita é 3.
Sabendo-se que o primeiro termo é igual a 2, então o quarto termo dessa P.G. é:
A)
B)
C)
D)
E)
272
41
32
271
83
Solução nº16
Assim, a alternativa correta é A
27
2a
3
1 2q . aa
3
1q13q
23q3
2q)3(1q1
23
q1
aS
4
314
14
1n
Questão nº17
A soma da série infinita é:
A)
B)
C)
D) 2
E)
...125
1
25
1
5
11
56
57
45
47
Solução nº17
Assim, a alternativa correta é C
4
5
541
S
q1
aS
5
1
151
a
aq
n
1n
1
2
Questão nº18 Numa P.G. decrescente e ilimitada, o primeiro termo
é 8 e a soma dos termos, 16. O quinto termo vale:
A)
B) -2
C)
D) 2
E)
21
21
41
Solução nº18
Assim, a alternativa correta é C
2
1
2
2
2
1 8a
q . aa
2
1q
2
1q18q)(1 16
q1
816
q1
aS
4
34
5
415
1
Questão nº19
O valor de x na equação é:
A) -10
B) 10
C) -20
D) 20
E) 25
40...8
x
4
x
2
xx
Solução nº19
Assim, a alternativa correta é D
20x
21x
40
21
1
x40
q1
aS 1
n
Questão nº 20 Se 1 + r + r2 + ... + rn + ... = 10, então r é igual a:
A) 1
B)
C)
D)
E)
109
109
21
101
Solução nº20
Assim, a alternativa correta é B10
9r
910r
110r10
1r)(1 10r1
110
q1
aS 1
n
Questão nº 21
Se , então o valor de m é:
A) 5
B) 6
C) 8
D) 7
E) não sei
5
14...
m
8
m
42
2
Solução nº21
assim, a alternativa correta é D
7m
284mm
10m
m
2814m10
m
28 14
10m
21 14
m2
1
2
5
14
q1
aS
m
2
2m4
a
aq
1n
1
2
Questão nº01 Seja X = (xij) uma matriz quadrada de ordem 2, onde
. A soma dos seus elementos é igual a:
A) –1
B) 1
C) 6
D) 7
E) 8
ji se 1
ji se j1
ji se ji
Xij
Solução nº01
a11 = 2
a12 = 1
a21 = 0
a22 = 4
Soma = 2 + 1 + 0 + 4 = 7 Assim, a alternativa correta é D
2221
1211
aa
aaX
Questão nº 02 Se M = (aij)3x2 é uma matriz, tal que:
Então, M é:
A) B) C)
D) E)
ji para , j
ji para ,ia
1j
ij
21
81
21
282
111
21
81
22
141
111
381
321
21
81
21
282
111
21
81
22
141
111
381
321
Solução nº02 Cálculo dos elementos de M:
a11 = 12 = 1 a21 = 1 a31 = 1
a12 = 2 a22 = 23 = 8 a32 = 2
Portanto:
; letra A
21
81
21
M
Questão nº03 – (UFPA) A matriz A = (aij)3x3 é definida de tal modo que
Então, A é igual a:
A) B) C)
D) E)
ji se 0,
ji se ,1)(a
ji
ij
011
101
110
100
010
001
011
101
110
100
010
001
011
101
110
Solução nº03 Cálculo dos elementos de A:
a11 = 0 a12 = (-1)3 = -1a13 = (-1)4 = 1 a21 = (-1)3 = -1 a22 = 0
a23 = (-1)5 = -1
a31 = (-1)4 = 1 a32 = (-1)5 = -1 a33 = 0
Portanto:
; letra A
011
101
110
A
Questão nº04 – (UFGO)
Sejam as matrizes
Para que elas sejam iguais, deve-se ter:
A) a = -3 e b = -c = 4
B) a = 3 e b = c = 4
C) a = 3 e b = -c = 4
D) a = -3 e b = c = -4
E) a = -3 e b = c2 = 4
ca
92B e
81
1log27
a16
1
A3
b
3
2
Solução nº04 Para que as matrizes sejam iguais, devemos ter:
Logo, a = -3; b = -4 e c = -4. Assim, a alternativa correta é D
4c33 c81
1log
3a a27
3a 9a
4b 22 216
1
4c3
3
2
4bb
Questão nº05 – (UFRN) A solução da equação matricial
é um número:
A) maior que -1
B) menor que -1
C) maior que 1
D) entre –1 e 1
E) entre 0 e 3
243x
4x1x
2xx
212
Solução nº05 Para que a igualdade seja verdadeira, devemos ter:
-1 = x + 1 x = -2
x = 3x + 4 x = -2
2 = x + 4 x = -2
x2 – 2 = 2 x = Portanto: x = -2 Assim, a alternativa correta é B
2
Questão nº06 – (Cescem-SP) A matriz transposta da matriz A = (aij), de tipo 3 x 2,
onde aij = 2i – 3j, é igual a:
A) B) C)
D) E)
024
311
024
311
024
311
420
113
420
113
Solução nº06 Cálculo dos elementos da matriz A:
a11 = 2 – 3 = -1 a12 = 2 – 6 = -4
a21 = 4 – 3 = 1 a22 = 4 – 6 = -2
a31 = 6 – 3 = 3 a32 = 6 – 6 = 0
Portanto:
Cálculo de At:
; letra B
03
21
41
A
024
311A t
Questão nº07 – (UFAL) Considere a matriz A = (aij)3x4 , na qual
O elemento que pertence à 3ª linha e à 2ª coluna da matriz At,
transposta de A, é
A) 4
B) 2
C) 1
D) -1
E) -2
.ji se j . i
ji se jia ij
Solução nº07
Assim, a alternativa correta é D
1a
123
012
601
320
A
1063
2102
3210
aaaa
aaaa
aaaa
A
32t
34333231
24232221
14131211
Questão nº08 – (UEL-PR) Uma matriz quadrada A diz-se simétrica se A = At.
Assim, se a matriz é simétrica,
então x + y + z é igual a:
A) -2B) -1C) 1D) 3E) 5
234
1z0x
2y12
A
Solução nº08
Se A = At, temos:
Logo: -1 = x x = -1
2y = 4 y = 2
x = -1 x = -1
z – 1 = 3 z = 4
2y = 4 y = 2
z – 1 = 3 z = 4 Portanto: x + y + z = -1 + 2 + 4 x + y + z = 5
21z2y
301
4x2
234
1z0x
2y12
Questão nº09 – (FGV-SP) Dadas as matrizes
e sendo 3A = B + C, então:
A) x + y + z + w = 11B) x + y + z + w = 10 C) x + y – z – w = 0D) x + y – z – w = -1E) x + y + z + w > 11
3wz
yx4C e
2w1
6xB
wz
yxA
Solução nº09 Sendo 3A = B + C, temos:
Da igualdade, temos:
3x = x + 4 x = 2
3y = 6 + x + y 2y = 6 + 2 y = 4
3w = 2w + 3 w = 3
3z = z + w – 1 2z = 2 z = 1 Portanto:
x + y + z + w = 2 + 4 + 1 + 3 = 10
32w1wz
yx64x
3w3z
3y3x
Questão nº10 – (Osec –SP)
Em
x e y valem respectivamente:
A) –4 e -1
B) –4 e 1
C) –4 e 0
D) 1 e -1
E) 1 e 0
, 15
04
2y4x
y3x
yx
yx22
32
Solução nº10 Resolvendo, temos:
x2 + 3x = 4 x = -4 ou x = 1
y3 – y = 0 y = 0 ou y =
x2 + 4x = 5 x = -5 ou x = 1
y2 + 2y = -1 y = -1
Portanto: x = 1 e y = -1 Assim, a alternativa correta é D
1
Questão nº11 – (Santa Casa–SP)
Dadas as matrizes
se At é a matriz transposta de A, então (At – B) é:
A) B) C)
D) E)
, 021
210B e
03
42
31
A
062
531
024
111
323
221
01
21
41
05
63
21
Solução nº11 Cálculo de (At – B):
Assim, a alternativa correta é C
024
111B)(A
024
111
021
210
043
321
021
210
043
321
t
Questão nº12 – (FACEAG-SP) Dadas as matrizes
então, 3A – 4B é igual a:
A) B) C)
D) E) Operação não definida.
, 321
304B e
430
211A
0174
18313
0174
18313
0174
18313
0174
18313
Solução nº12 Cálculo de 3A – 4B:
assim, a alternativa correta é C
0174
18313
1284
12016
390
333
1284
12016
390
333
Questão nº13 – (PUC-SP)
Se , então a
matriz X , de ordem 2, tal que
é igual a:
A) B) C)
D) E)
12
14C e
01
21B ,
13
12A
C3
XB
2
AX
324
128
323
128
325
128
330
128
322
128
Solução nº13 Cálculo de X sendo dada a equação
Reduzindo ao mesmo denominador e isolando X, temos:
X = 2B + 3A + 6C Resolvendo:
C3
XB
2
AX
B letra , 323
128
612
624
39
36
02
42X
Questão nº14 – (PUC-SP)
Se então a matriz X, tal
que A + B – C – X = 0, é:
A) B) C) D) E)
1
10
1
C e
3
8
5
B ,
13
12
25
A
17
6
31
31
6
17
17
6
31
17
6
21
17
0
31
Solução nº14 Cálculo de X dado:
A + B – C – X = 0 Isolando X, temos:
X = A + B - C Resolvendo:
A letra ,
17
6
31
1
10-
1
3
8
5
13
12
25
Questão nº15 – (FCC-SP) Calculando-se 2AB + B2, onde
e teremos:
A) B) C)
D) E) n.r.a.
111
011
110
A
010
012
120
B
136
362
030
256
492
030
233
461
030
303
651
260
Solução nº15 Cálculo de 2AB + B2:
B letra ,
256
492
030
B2AB
256
492
030
012
232
034
244
264
004
010
012
120
010
012
120
010
012
120
222
022
220
2
Questão nº16 – (FGV-SP)
Dadas as matrizes e
sabendo-se que AB = C, podemos concluir que:
A) m + n = 10
B) m – n = 8
C) m . n = -48
D)
E) mn = 144
0
4C ,
1
nB ,
41
m2A
3n
m
Solução nº16
Se AB = C, temos:
Resolvendo:
Então: 2n + m = 4 I
n + 4 = 0 n = -4 II Substituindo II em I , temos:
2 (-4) + m = 4 m = 12 Logo: m . n = -48
0
4
1
n .
41
m2
0
4
4n
m2n
Questão nº17 – (Mack-SP)
Seja a matriz . Se , então vale:
A) 4
B) 2
C) 0
D) -2
E) -4
2m
k1A
362
30A2
k
m
Solução nº17
4km3m
3k1km
2 . 2k . mm . 21 . m
2 .k k . 1m .k 1 . 1
2m
k1 .
2m
k1A2
4 k
m
2m2
1k
34km
63m2
33k
01km
362
30A2
Questão nº18 – (Cefet-PR) Se A, B e C são matrizes do tipo 2 x 3, 3 x 1 e 1 x 4,
respectivamente, então o produto A . B . C:
A) é matriz do tipo 4 x 2;
B) é matriz do tipo 2 x 4;
C) é matriz do tipo 3 x 4;
D) é matriz do tipo 4 x 3;
E) não é definido.
Solução nº18
Dados A . B . C, temos:
(A)2 x 3 . (B)3 x 1 . (C)1 x 4
(A . B)2 x 1 . (C)1 x 4
(A . B . C)2 x 4
Assim, a alternativa correta é B
Questão nº19 – (Osec-SP)
Dadas as matrizes então,
calculando-se (A+B)2, obtém-se:
A) B) C)
D) E)
83
10B e
32
11A
12160
01
12125
01
84
01
1211
601
11
11
Solução nº19
Cálculo de (A + B)2:
Assim, a alternativa correta é A
12160
01
115
01
83
10
32
1122
Questão nº20 – (FGV-SP)
Considere as matrizes
A soma dos elementos da primeira linha de A . B é:
A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24
02
40
31
B e 711
132A
Solução nº21
Cálculo de A . 2B:
Assim, a alternativa correta é B
6
2
14
4
2 .
11
01
23
Questão nº22 – (PUC-SP)
Se , então a matriz X, de
ordem 2, tal que A . X = B, é:
A) B) C)
D) E)
11
21B e
21
41A
210
01
310
01
410
01
510
01
610
01
Solução nº22 Cálculo da matriz X sendo A . X = B:
Sendo verdadeira a igualdade, temos:
Resolvendo os sistemas, temos: a = 1; b = 0;
c = 0 e Logo, a matriz X vale:
11
21
2db2ca
4db4ca
11
21
dc
ba .
21
41
12db
24db
12ca
14ca
21d
210
01X
Questão nº23 – (PUC-SP)
Sendo as matrizes
então, o valor de x tal que AB = BA é:
A) -1
B) 0
C) 1
D) o problema é impossível;
E) nenhuma das respostas anteriores.
20x
040
002
B e
300
040
001
A
Solução nº23 Cálculo do valor de x tal que AB = BA:
Para a igualdade ser verdadeira, devemos ter:
3x = x x = 0
603
0160
002
603
0160
002
300
040
001
.
20x
040
002
20x
040
002
.
300
040
001
xx
Questão nº24 – (ITA-SP) Considere P a matriz inversa da matriz M, onde:
A soma dos elementos da diagonal principal da matriz P é:
A) B) C) 4 D) E)
171
031
M
4
9
9
49
59
1
Solução nº24 Cálculo da matriz inversa P:
Sendo verdadeira a igualdade, temos:
Portanto:
; logo a + d = 4
10
01
d7cb7
a3
c3
a
10
01
db
ca .
171
031
1d1d7c 7
3b0b7a
0c03c 3a13
a
173
03P
Questão nº25 – (UECE)
O produto da inversa da matriz pela
matriz é igual a:
A) B) C) D)
21
11A
10
01I
11
12
11
12
11
12
11
12
Solução nº25 Cálculo da matriz inversa da matriz A:
Resolvendo os sistemas, temos:
a = 2; b = -1; c = -1 e d = 1 Logo:
12db
0db
02ca
1ca
10
01
2db2ca
dbca
10
01
dc
ba .
21
11
11
12
10
01 .
11
12I .A
11
12A 11
Questão nº26 – (ITA-SP) Seja A a matriz 3 x 3 dada por
Sabendo-se que B é a inversa de A, então a soma dos elementos de B vale:
A) 1B) 2C) 5D) 0E) -2
103
001
321
A
Solução nº26 A . B = I
2 1302342
1010S
23-f 1i 4e -3h 2
1d 0g
1i3c
0c
03i2f c
0h3b
1b
03h2eb
0g3a
0a
13g2da
100
010
001
ihg
fed
cba
.
103
001
321
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