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Prof.ª Dr.ª Donizete Ritter

MÓDULO I – PARTE 2:

Lógica Proposicional

Bacharelado em Sistemas de Informação

Disciplina: Lógica

OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES

• Os conectivos lógicos são responsáveis pela formaçãode proposições a partir de proposições. Essasoperações lógicas realizadas sobre os enunciadosobedecem a regras de um cálculo, denominado CálculoProposicional, semelhante ao da aritmética sobrenúmeros.

• A fim de simplificarmos o estudo, apresentaremos osconectivos lógicos através de suas respectivas tabelas-verdade.

Negação (~ ou ¬)Dado um enunciado qualquer ‘p’, podemos formar o enunciado ‘~p’, dito negação de ‘p’. Se ‘p’ for um enunciado verdadeiro, ‘~p’ é falso. Se ‘p’ for um enunciado falso, então ‘~p’ é verdadeiro.Assim, considerando o enunciadop: O sol é uma estrelasua negação será ~p: O sol não é uma estrela ou também~p: não é o caso que o sol seja uma estrelaUma vez que p é verdadeiro, teremos então que ~p é um enunciado falso.

• Exercício 1: Escreva ~p em linguagem corrente e indique seu valor lógico:

a) p: A neve é branca b) p: Roma é a capital da

Françac) p: Realengo pertence à

Zona Sul do Rio.

p ~p

V

F

F

V

Conjunção “” ou “ . ” (conectivo e)Dados dois enunciados, podemos obter um terceiro, dito conjunção dos dois primeiros, pela ação do conectivo ‘’. Assim, dados dois enunciados:Brasília é uma cidade eBrasília é a capital do Brasilpodemos formar a conjunçãoBrasília é uma cidade Brasília é a capital do BrasilÉ importante ter presente que o uso dos conectivos em Lógica permite ligar enunciados sem qualquer tipo de vínculo significativo entre eles, como por exemplo:O café está amargo Cláudia estuda músicaA interpretação do conectivo “” é análoga à linguagem corrente, veja pela tabela:

p q pq

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

Conjunção “” ou “ . ” (conectivo e)Assim, considerando os enunciados

p: A neve é branca

q: 2<5

a conjunção será

pq: A neve é branca e 2<5

Uma vez que p é verdadeiro e q também é verdadeiro, teremos então pq verdadeiro.

Exercício 2: Indique o valor lógico de pq considerando os seguintes enunciados:

a) p: O enxofre é verde q: 7 é um número primo

b) p: A Lua é uma estrela q: Saturno é um planeta

c) p: Cabral descobriu o Brasil q: Portugal é um continente

Disjunção “” ou “ + ” (conectivo ou)Na linguagem corrente existem, pelo menos, dois usos distintos do conectivo ‘ou’ – o uso exclusivo e o uso não-exclusivo. Vejamos os exemplos:

• Mariana é alagoana ou cearense

• Carla é médica ou professora

No primeiro exemplo o uso do ‘ou’ é exclusivo pois as duas situações não podem ocorrer simultaneamente.

No segundo exemplo temos a utilização do ‘ou’ não-exclusivo pois ambas as proposições podem ser verdadeiras.

A disjunção representada pelo conectivo lógico “” tem o sentido não-exclusivo, conforme apresentado na primeira tabela ao lado:

Já o conectivo lógico “ ” tem o sentido exclusivo, conforme apresentado na segunda tabela ao lado:

p q pq

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

F

Disjunção “” ou “ + ” (conectivo ou)Assim, considerando os enunciados

p: A neve é azul

q: 2>5

a disjunção será

pq: A neve é azul 2>5

Uma vez que p é falso e q também é falso, teremos então pq falso.

Exercício 3: Indique o valor lógico de pq considerando os seguintes enunciados

a) 1) p: O enxofre é verde q: 7 é um número primo

b) 2) p: A Lua é uma estrela q: Saturno é um planeta

c) 3) p: Cabral descobriu o Brasil q: Portugal é um continente

Condicional “” (Se ... então ...)Para melhor compreendermos esse conectivo, vejamos quatro possíveis casos para a seguinte declaração:

(1) Se amanhã fizer sol então Joana irá à praia.

1o caso: Fez sol e Joana foi à praia – podemos concluir que o enunciado (1) é verdadeiro.

2o caso: Fez sol e Joana não foi à praia – aqui podemos concluir que (1) é um enunciado falso.

3o caso: Não fez sol e Joana foi à praia – podemos concluir que o enunciado (1) é verdadeiro.

4o casos: Não fez sol e Joana não foi à praia – ainda podemos concluir que o enunciado (1) é verdadeiro.

Assim, a tabela de valores lógicos da condicional é:

p q pq

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

Condicional “” (Se ... então ...)Na condicional p q

‘p’ é dito antecedente da condicional ou condição suficiente para ‘q’

‘q’ é dito conseqüente da condicional ou condição necessária para ‘p’

Exercício 4: Indique o valor lógico de p q considerando os seguintes enunciados

a) 1) p: O enxofre é verde q: 7 é um número primo

b) 2) p: A Lua é uma estrela q: Saturno é um planeta

c) 3) p: Cabral descobriu o Brasil q: Portugal é um continente

Bicondicional “” (... se e somente se ...)Para melhor compreendermos esse conectivo, vejamos quatro possíveis casos para a seguinte declaração:

(2) Joana irá à praia amanhã se e somente se fizer sol.

1o caso: Fez sol e Joana foi à praia – podemos concluir que o enunciado (2) é verdadeiro.

2o caso: Fez sol e Joana não foi à praia – aqui podemos concluir que (2) é um enunciado falso.

3o caso: Não fez sol e Joana foi à praia – aqui também podemos concluir que (2) é um enunciado falso.

4o casos: Não fez sol e Joana não foi à praia – podemos concluir que o enunciado (2) é verdadeiro.

Tem-se então a seguinte tabela de verdade para a bicondicional:

p q pq

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

Bicondicional “” (... se e somente se ...)Dados dois enunciados podemos formar um terceiro, dito bicondicional dos dois primeiros, pela ação do conectivo ‘’. Assim, ‘pq’, será dito bicondicional de ‘p’ e ‘q’. Um enunciado dessa forma será considerado verdadeiro se seus constituintes tiverem o mesmo valor lógico, isto é, se ambos forem verdadeiros ou se ambos forem falsos.

Na bicondicional ‘pq’

‘p’ é dito condição necessária e suficiente para ‘q’

‘q’ é dito condição necessária e suficiente para ‘p’

Note-se que o conectivo ‘’ pode ser definido mediante ‘’ e ‘’. Assim a fórmula ‘pq’ equivale à fórmula ‘(pq) (qp)’ .

Problemas envolvendo lógica proposicional1) Maria é magra ou Bernardo é barrigudo Se Lúcia é linda, então César não é careca. Se Bernardo é barrigudo, então César é careca. Ora, Lúcia é linda. Logo:

A) Maria é magra e Bernardo não é barrigudo; (V V = V)

B) Bernardo é barrigudo ou César é careca; (F F = F)

C) César é careca e Maria é magra; (F V = F)

D) Maria não é magra e Bernardo é barrigudo; (F F = F)

E) Lúcia é linda e César é careca. (V F = F)

Resolução:

Proposições Simples:

a) Maria é magra; (V)

b) Bernardo é barrigudo; (F)

c) Lúcia é linda; (V)

d) César é careca. (F)

Proposições Compostas: (Sempre são V, pois estão no enunciado)

(V) a b (F)

(F) b d (F)

(V) c ~d (V)

Problemas envolvendo lógica proposicional2) Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo:

A) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento;

B) Camile e Carla não foram ao casamento;

C) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou;

D) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou;

E) Vera e Vanderléia não viajaram.

Problemas envolvendo lógica proposicional3) Ou Anaís será professora, ou Anelise será cantora, ou Anamélia será pianista. Se Ana for atleta, então Anamélia será pianista. Se Anelise for cantora, então Ana será atleta. Ora, Anamélia não será pianista. Então:

A) Anaís será professora e Anelise não será cantora;

B) Anaís não será professora e Ana não será atleta;

C) Anelise não será cantora e Ana será atleta;

D) Anelise será cantora ouAna será atleta;

E) Anelise será cantora e Anamélia não será pianista.

Problemas envolvendo lógica proposicional4) Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é filha de Alice. Ou Ana é filha de Alice, ou Ênia é filha de Elisa. Se Paula não é filha de Paulete, então Flávia é filha de Fernanda. Mas acontece que Ênia não é filha de Elisa. Então:

A) Paula é filha de Paulete e Flávia é filha de Fernanda;

B) Paula é filha de Paulete e Ana é filha de Alice;

C) Paula não é filha de Paulete e Ana é filha de Alice;

D) Se Ana é filha de Elisa, Flávia é filha de Fernanda;

E) Ênia é filha de Elisa ou Flávia é filha de Fernanda;

Problemas envolvendo lógica proposicional5) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade. Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então:

A) Carlos não é mais velho do que Júlia e João é mais moço do que Pedro;

B) Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a mesma idade;

C) Carlos e João são mais moços do que Pedro;

D) Carlos é mais velho do que Pedro e João é mais moço do que Pedro;

E) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia não têm a mesma idade;

Problemas envolvendo lógica proposicional6) Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à Africa, ou Rui vai à Roma. Se Ana vai à Africa, então Luís compra um livro. Se Luís compra um livro, então Rui vai à Roma. Ora, Rui não vai à Roma. Então:

A) Ana vai à África e Rui não vai à Roma;

B) Celso não compra um carro e Luís não compra o livro;

C) Ana não vai à África e Luís compra um livro;

D) Ana vai à Africa ou Luís compra um livro;

E)Celso compra um carro e Ana não vai à Africa;

Problemas envolvendo lógica proposicional7) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo:

A) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa;

B) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa;

C) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa;

D) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim;

E) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça;