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Sistemas de Equações Lineares e Operações Elementares

Sistemas de equações LinearesUm sistema de equações lineares ou

simplesmente sistema linear é um conjunto de equações da forma

em que e são constantes reais, para e .

ija kb, 1, ,i k m 1, ,j n

Na forma Matricial

Solução do sistema Uma solução de um sistema linear é uma matriz

tal que as equações do sistema são satisfeitas quando substituímos

O conjunto de todas as soluções do Sistema é chamado conjunto solução ou solução geral do sistema.

A é chamada matriz do sistema linear.

Exemplo 1O sistema linear de duas equações e duas

incógnitas

pode ser escrito como

A solução (geral) do sistema acima é 1/3

2 /3X

Resolução de um sistemaUma forma de resolver um sistema linear é

substituir o sistema inicial por outro que tenha o mesmo conjunto solução do primeiro, mas que seja mais fácil de resolver, através de operações elementares:

• Trocar a posição de duas equações do sistema;• Multiplicar uma equação por um escalar

diferente de zero;• Somar a uma equação outra equação

multiplicada por um escalar.

Matriz aumentada

DefiniçãoUma operação elementar sobre as linhas de

uma matriz é uma das seguintes operações:

• Trocar a posição de duas linhas da matriz;

• Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero;

• Somar a uma linha da matriz um múltiplo escalar de outra linha.

Teorema 1Se dois sistemas lineares AX = B e CX = D,

são tais que a matriz aumentada[C ∣ D] é obtida de [A ∣ B] aplicando-se uma

operação elementar, então os dois sistemas possuem as mesmas soluções.

ObservaçãoDois sistemas que possuem o mesmo

conjunto soluao são chamados sistemas equivalentes.

Portanto, segue-se do Teorema 1 que aplicando-se operações elementares às equações de um sistema linear obtemos sistemas equivalentes.

Método de Gauss-JordanConsiste na aplicação de operações

elementares às linhas da matriz aumentada do sistema, até que obtenhamos uma matriz em que todas as linhas não nulas possuam como primeiro elemento não nulo (chamado pivô) o número 1 .

Além disso, se uma coluna contém um pivô,então todos os seus outros elementos terão

que ser iguais a zero.

ExemploUma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando

dois tipos de insumo, A e B.Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 1

grama do insumo A e 2 gramas do insumo B; Para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de

insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de A e 4 gramas de B. O preço de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z é R$2,00, R$3,00 e R$ 5,00, respectivamente. Com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada com 1 kg de A e 2 kg de B, essa indústria arrecadou R$ 2.500,00.

Determine quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos.

Solução

Solução

2 1 22L L L

3 1 32L L L

1 1 1 10002 1 42 3 5

20002500

1 1 1 10000 1 20 3 5

0500

2 2L L

1 1 1 10000 1 20 3 5

0500

1 2 1L L L

3 2 3L L L

1 0 3 10000 1 20 0 5

0500

1 0 3 10000 1 20 0 1

0100

3 315

L L

1 0 0 7000 1 00 0 1

200100

1 3 13L L L

2 3 22L L L

Portanto, foram vendidos 700 kg do produto X, 200 kg do produto Y e 100 kg do produto Z.

Solução

1 0 0 7000 1 00 0 1

200100

Matriz escalonada reduzida

DefiniçãoUma matriz está na forma escalonada reduzida

quando satisfaz as seguintes condições:(a) Todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas não nulas;(b) O pivô de cada linha não nula é igual a 1;(c) O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô da

linha anterior.(d) Se uma coluna contém um pivô, então todos os seus

outros elementos são iguais a zero.

Se uma matriz satisfaz as propriedades (a) e (c), mas não necessariamente (b) e (d), dizemos que ela está na forma escalonada.

( )ij m nA a

Exemplos

Escalonada reduzida Escalonada reduzida

Escalonada Escalonada

ExemploConsidere o sistema

Sua matiz aumentada é

Portanto o sistema dado é equivalente ao sistema

que não possui solução.

Exemplo

1 3 13 90 1 50 2 10

28

1 2 13L L L

3 2 32L L L

1 0 2 30 1 50 0 0

24

ExemploConsidere o sistema

a sua matriz aumentada é

0 0 3 65 15 101 3 1

457

9405

Exemplo

0 0 3 65 15 101 3 1

457

9405

0 0 3 65 15 101 3 1

457

9405

1 3L L

0 0 3 60 0 51 3 1

107

9155

2 1 25L L L 2 2

15

L L 0 0 3 60 0 11 3 1

27

935

1 1 2L L L 0 0 0 00 0 11 3 0

25

032

3 2 33L L L Matriz escalonada reduzida.

Exemplo

0 0 0 00 0 11 3 0

25

032

w y 5 2 3x 2 3z

Assim, a solução geral do sistema é

, R

Obrigado!