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Probabilidade I
Departamento de Estatıstica
Universidade Federal da Paraıba
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 1 / 35
Introducao
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Introducao
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Introducao
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Conceitos Fundamentais
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Historia da Estatıstica no mundo
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Historia da Estatıstica no mundo
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Historia da Estatıstica no mundo
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Historia da Estatıstica no mundo
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Historia da Estatıstica no mundo
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Historia da Estatıstica no mundo
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Historia da Estatıstica no mundo
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Historia da Estatıstica no mundo
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Historia da Estatıstica no mundo
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Historia da Estatıstica no mundo
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Historia da Estatıstica no mundo
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Historia da Estatıstica no mundo
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Introducao
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IntroducaoA Teoria das Probabilidades e o ramo da matematica desenvolvidopara tratar com incertezas (aleatoriedade).
Muitos fenomenos tem a propriedade de a sua observacao, repetidasob condicoes especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmoresultado.
Exemplos:1 O fluxo de corrente eletrica observavel em um circuito simples (Lei
de Ohm: I = E/R).2 O tempo em que uma bola atingira o solo apos cair atraves do
vacuo (Lei da Gravitacao: t =√
2d/g).3 O ındice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Cancer
(IMC = peso/altura2).
Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condicoes sob asquais um experimento seja executado determinam o resultado doexperimento sao apropriados. Tais modelos sao chamados demodelos determinısticos.
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IntroducaoA Teoria das Probabilidades e o ramo da matematica desenvolvidopara tratar com incertezas (aleatoriedade).
Muitos fenomenos tem a propriedade de a sua observacao, repetidasob condicoes especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmoresultado.
Exemplos:1 O fluxo de corrente eletrica observavel em um circuito simples (Lei
de Ohm: I = E/R).2 O tempo em que uma bola atingira o solo apos cair atraves do
vacuo (Lei da Gravitacao: t =√
2d/g).3 O ındice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Cancer
(IMC = peso/altura2).
Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condicoes sob asquais um experimento seja executado determinam o resultado doexperimento sao apropriados. Tais modelos sao chamados demodelos determinısticos.
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IntroducaoA Teoria das Probabilidades e o ramo da matematica desenvolvidopara tratar com incertezas (aleatoriedade).
Muitos fenomenos tem a propriedade de a sua observacao, repetidasob condicoes especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmoresultado.
Exemplos:1 O fluxo de corrente eletrica observavel em um circuito simples (Lei
de Ohm: I = E/R).2 O tempo em que uma bola atingira o solo apos cair atraves do
vacuo (Lei da Gravitacao: t =√
2d/g).3 O ındice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Cancer
(IMC = peso/altura2).
Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condicoes sob asquais um experimento seja executado determinam o resultado doexperimento sao apropriados. Tais modelos sao chamados demodelos determinısticos.
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IntroducaoA Teoria das Probabilidades e o ramo da matematica desenvolvidopara tratar com incertezas (aleatoriedade).
Muitos fenomenos tem a propriedade de a sua observacao, repetidasob condicoes especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmoresultado.
Exemplos:1 O fluxo de corrente eletrica observavel em um circuito simples (Lei
de Ohm: I = E/R).2 O tempo em que uma bola atingira o solo apos cair atraves do
vacuo (Lei da Gravitacao: t =√
2d/g).3 O ındice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Cancer
(IMC = peso/altura2).
Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condicoes sob asquais um experimento seja executado determinam o resultado doexperimento sao apropriados. Tais modelos sao chamados demodelos determinısticos.
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IntroducaoA Teoria das Probabilidades e o ramo da matematica desenvolvidopara tratar com incertezas (aleatoriedade).
Muitos fenomenos tem a propriedade de a sua observacao, repetidasob condicoes especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmoresultado.
Exemplos:1 O fluxo de corrente eletrica observavel em um circuito simples (Lei
de Ohm: I = E/R).2 O tempo em que uma bola atingira o solo apos cair atraves do
vacuo (Lei da Gravitacao: t =√
2d/g).3 O ındice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Cancer
(IMC = peso/altura2).
Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condicoes sob asquais um experimento seja executado determinam o resultado doexperimento sao apropriados. Tais modelos sao chamados demodelos determinısticos.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 19 / 35
IntroducaoA Teoria das Probabilidades e o ramo da matematica desenvolvidopara tratar com incertezas (aleatoriedade).
Muitos fenomenos tem a propriedade de a sua observacao, repetidasob condicoes especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmoresultado.
Exemplos:1 O fluxo de corrente eletrica observavel em um circuito simples (Lei
de Ohm: I = E/R).2 O tempo em que uma bola atingira o solo apos cair atraves do
vacuo (Lei da Gravitacao: t =√
2d/g).3 O ındice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Cancer
(IMC = peso/altura2).
Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condicoes sob asquais um experimento seja executado determinam o resultado doexperimento sao apropriados. Tais modelos sao chamados demodelos determinısticos.
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IntroducaoExistem outros fenomenos cuja observacao, repetida sob condicoesespecificadas, nao conduz sempre ao mesmo resultado.
Exemplos:1 Lancamento de uma moeda.2 Jogo de futebol: SPORT x Nautico.3
Pode parecer impossıvel fazer qualquer afirmacao valida sob taisfenomenos, contudo a experiencia mostra que muitos fenomenosaleatorios exibem uma regularidade estatıstica que os torna passıveisde estudo.
Para tais fenomenos, modelos que estipulam que as condicoesdo experimento determinam apenas o comportamentoprobabilıstico do resultado observavel sao apropriados.
Tais modelos sao chamados modelos probabilısticos.
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IntroducaoExistem outros fenomenos cuja observacao, repetida sob condicoesespecificadas, nao conduz sempre ao mesmo resultado.
Exemplos:1 Lancamento de uma moeda.2 Jogo de futebol: SPORT x Nautico.3
Pode parecer impossıvel fazer qualquer afirmacao valida sob taisfenomenos, contudo a experiencia mostra que muitos fenomenosaleatorios exibem uma regularidade estatıstica que os torna passıveisde estudo.
Para tais fenomenos, modelos que estipulam que as condicoesdo experimento determinam apenas o comportamentoprobabilıstico do resultado observavel sao apropriados.
Tais modelos sao chamados modelos probabilısticos.
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IntroducaoA teoria da probabilidade oferece metodos de quantificacao daschances ou possibilidades de ocorrencia associadas aos diversosresultados de um experimento aleatorio.
Experimento Aleatorio: E qualquer acao ou processo cujo resultadoesta sujeito a incerteza. Isto e, um experimento aleatorio podefornecer diferentes resultados, embora seja repetido da mesmamaneira.
Pergunta: O que os experimentos aleatorios tem em comum?
Resposta:I Cada experimento pode ser repetido indefinidamente sob
condicoes essencialmente inalteradas.
I Embora nao possamos afirmar que resultado particular ocorrera,nos podemos descrever o conjunto de todos os resultadospossıveis do experimento.
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Introducao
Quando o experimento e executado repetidamente, sob asmesmas condicoes, os resultados individuais parecerao ocorrerde uma forma casual (acidental). No entanto, a medida que onumero de repeticoes aumenta, surgem certos padroes nafrequencia de ocorrencia dos resultados.
E esta regularidade (padrao) que torna possıvel construir um modelomatematico para analisar o experimento.
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Introducao
Definicao 1.1: (Espaco Amostral)
E o conjunto de todos os resultados possıveis do experimento.
Observacao 1.1: O espaco amostral e representado aqui por Ω.
Observacao 1.2: O espaco amostral pode ser enumeravel finito ouinfinito, se pode ser colocado em correspondencia bi-unıvoca com osnumeros naturais. Caso contrario, sera nao enumeravel, como a retareal.
Observacao 1.3: Cada resultado possıvel e denominado elemento deΩ e denotado por ω.
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Introducao
Exemplos de experimentos aleatorios:
E1: Jogue um dado e observe a face superior.
E2: Jogue uma moeda tres vezes e observe a sequencia decaras e coroas.
E3: Jogue uma moeda tres vezes e observe ao numero decaras obtidos.
E4: Jogue uma moeda ate obter a primeira cara e observe asequencia obtida.
E5: Jogue uma moeda ate obter a primeira cara e observe onumero de lancametos necessarios.
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IntroducaoExemplos de experimentos aleatorios:
E6: Um lote de 10 pecas contem 3 defeituosas. As pecas saoretiradas uma a uma (sem reposicao) ate que a ultimapeca defeituosa seja encontrada. O numero total depecas retiradas do lote e contado.
E7: Avaliacao de uma nova maquina na Ambev. O tempodecorrido (em horas) ate a falha e registrado.
E8: Avaliacao de perdas na Energisa. O numero de casascom ligacoes clandestinas em uma comunidade eanotado.
E9: Avaliacao do desempenho dos alunos de Probabilidade I.A media final e anotada.
E10: Em um estudo sobre obesidade infantil, escolhe-se dezcriancas cujos pesos sao anotados.
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Introducao
Exercıcio: Descreva um espaco amostral para cada um dosexperimentos descritos anteriormente.
Espacos amostrais:
E1: Ω =.
E2: Ω =, em que k = cara e c = coroa.
E3: Ω =.
E4: Ω =, em que k = cara e c = coroa.
E5: Ω =.
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Introducao
Exercıcio: Descreva um espaco amostral para cada um dosexperimentos descritos anteriormente.
Espacos amostrais:
E6: Ω =
E7: Ω =
E8: Ω =
E9: Ω =
E10: Ω =
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ExercıciosExercıcio 1: Descreva um espaco amostral para cada um dosexperimentos descritos abaixo.
(a) Uma moeda e lancada duas vezes e observam-se asfaces obtidas.
(b) Um dado e lancado duas vezes e a ocorrencia de facepar ou ımpar e observada.
(c) Uma urna contem 10 bolas azuis e 10 vermelhas comdimensoes rigorosamente iguais. Tres bolas saoselecionadas ao acaso com reposicao e as cores saoanotadas.
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Exercıcios(d) Dois dados sao lancados simultaneamente e estamos
interessados na soma das faces observadas.
(e) Em uma cidade, famılias com 3 criancas saoselecionadas ao acaso, anotando-se o sexo de cadauma.
(f) Uma maquina produz 20 medicamentos por hora,escolhe-se um instante qualquer e observa-se o numerode defeituosas na proxima hora.
(g) Uma moeda e lancada consecutivamente ate oaparecimento da primeira cara. As faces observadas saoanotadas.
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Introducao
Definicao 1.2: (Evento)
E qualquer subconjunto de resultados contidos no espaco amostral.
Observacao 1.4: Como regra geral, uma letra maiuscula sera usadapara denotar um evento.Observacao 1.5: Quando um experimento e realizado, diz-se queocorre o evento A se o resultado do experimento estiver contido em A.Observacao 1.6: O espaco amostral Ω e o evento certo e o conjuntovazio e o evento impossıvel.Observacao 1.7: Para um espaco amostral finito, o conjunto de todosos eventos possıveis e dado por 2n.
IMPORTANTE: Escrevemos ω ∈ Ω para indicar que o elemento ωesta em Ω. Escrevemos A ⊂ Ω para indicar que A e umsubconjunto do espaco amostral.
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IntroducaoExercıcio: Descreva o evento associado a cada experimento.
Eventos:
(E1) A =Um numero ımpar ocorre.A =
(E2) =Obtencao de faces iguais.B =
(E7) C =A maquina falha em menos de um dia.C =
(E8) D =Pelo menos quatro casas apresentam ligacoesclandestinas.D =
(E9) E =O Aluno passa na disciplina.E =
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ExercıciosExercıcio 2: Descreva um espaco amostral para cada um dosexperimentos descritos abaixo.
(a) Uma moeda e lancada duas vezes e observam-se asfaces obtidas.
(b) Um dado e lancado duas vezes e a ocorrencia de facepar ou ımpar e observada.
(c) Uma urna contem 10 bolas azuis e 10 vermelhas comdimensoes rigorosamente iguais. Tres bolas saoselecionadas ao acaso com reposicao e as cores saoanotadas.
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Exercıcios(d) Dois dados sao lancados simultaneamente e estamos
interessados na soma das faces observadas.
(e) Em uma cidade, famılias com 3 criancas saoselecionadas ao acaso, anotando-se o sexo de cadauma.
(f) Uma maquina produz 20 pecas por hora, escolhe-se uminstante qualquer e observa-se o numero de defeituosasna proxima hora.
(g) Uma moeda e lancada consecutivamente ate oaparecimento da primeira cara.
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Exercıcio 3
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 34 / 35
Exercıcio 4
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