probabilidade e esperança condicional
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Probabilidade e Esperança Condicional
• Como definir apropriadamente FX(x | Y = y) e E(X | Y = y)?
• Duas situações:– Y discreto– Y contínuo
Caso Discreto
)contínua()|(
)discreta()|()|(
XdxyYxxf
XyYxXxPyYXE
X
x
)(
),()|()|(
yYP
yYxXPyYxXPyYxFX
Propriedades
• P(XB) = yP(XB | Y=y) P(Y=y)
• FX(x) = P(X ≤ x) =yP(X≤ x| Y=y) P(Y=y)
• FX,Y(x,y) = P(X≤ x, Y≤ y) =
t P(X≤ x| Y=t) P(Y=t)
• E(X) = y E(X|Y=y) P(Y=y)
(ou seja, E(X) = E(E(X | Y))
Exemplo
• O número de pessoas que visita uma academia diariamente tem distribuição de Poisson com parâmetro . Cada visitante tem probabilidade p de ser homem, independentemente dos demais visitantes. Qual é a probabilidade de que k homens visitem a academia?
Exemplo
• O número mensal de sinistros em uma dada carteira de seguros tem distribuição de Poisson com parâmetro . O valor de cada sinistro tem distribuição exponencial de média . Qual é o valor esperado para o total de sinistros pagos em um dado mês?
Caso Contínuo
• FX(x | Y = y) e E(X | Y = y) são definidos de modo que as mesmas propriedades anteriores sejam válidas (devidamente adaptadas para Y contínua).
Propriedades (caso contínuo)
• P(XB) = P(XB | Y=y) fY(y)dy
• FX(x) = P(X ≤ x) =P(X≤ x| Y=y) fY(y)dy
• FX,Y(x,y) = P(X≤ x, Y≤ y) =
y P(X≤ x| Y=t) fY(t)dt
• E(X) = E(X|Y=y) fY(y)dy
(ou seja, E(X) = E(E(X | Y))
Caso contínuo
]),[|(lim)|(0
yyyYxXPyYxFy
X
• Caso geral:
• Quando X e Y tem distribuição conjunta contínua:
)(
),()|( ,
yf
yxfyYxf
Y
YXX
Exemplo
• Um ponto de coordenadas (X, Y) é escolhido ao acaso no triângulo da figura. Qual é a distribuição condicional de Y dado X?
1
1
Exemplo
• Em uma cidade, o gerador de luz é ligado em um instante escolhido ao acaso entre 18 horas e meia-noite e desligado em um instante escolhido ao acaso entre o instante em que foi ligado e meia-noite.
a) Em média, quanto tempo ele fica ligado por noite?b) Qual é a probabilidade de que seja desligado depois
das 22 horas?c) Qual é a probabilidade de que seja ligado antes da
novela e desligado depois?
Exemplo
• Se X e Y são independentes e têm densidades fX e fY, qual é a densidade de X+Y?
Exemplo
• Uma moeda tem probabilidade P de dar cara, onde P tem distribuição uniforme em [0, 1]. Qual é a densidade condicional de P dado que X = 1?
Somas e médias de v.a. i.i.d.
• Dada uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. X1, X2, …, Xn , obter a distribuição de:
nn XXXS ...21
n
XXX
n
SX nn
...21
Somas e médias de v.a. i.i.d.
• Em geral, é complicado calcular a distribuição exata de Sn e X
• Fácil calcular médias e variâncias
nn
XXnXnS
EXXEnnEXES
n
n
212
1
11
)(Var)(Var,)(Var)(Var
,
Somas e médias de v.a. i.i.d.
• Quando n, Var(X) 0
• Isto sugere que X tenda a se concentrar em torno de sua média .
• É possível tornar esta afirmativa precisa?
Desigualdade de Markov
• Seja X uma variável aleatória tal que X 0 e EX = m. Então, para todo a>0:
a
m
a
EXaXP )(
Desigualdade de Chebyshev
• Seja X uma variável aleatória tal que EX = e Var(X) = 2. Então, para todo > 0:
2
2
2Var
)|(|
XXP
Lei Fraca dos Grandes Números(Chebyshev, 1867)
• Sejam X1, X2, … v.a. i.i.d, com EX1 = e
Var X1 = 2. Então, para todo > 0,
0)|(|lim
logo;)|(|2
2
XPn
XP
n
Lei Forte dos Grandes Números(Kolmogorov, 1925)
• Sejam X1, X2, … v.a. i.i.d, com EX1 = Então:
• Em consequência, para todo > 0:
1)lim(
XPn
0)|(|lim
XPn
Observações
• Se E|X| = + , então X não é limitada (logo não converge), com probabilidade 1.
• Exemplos– Jogo de São Petersburgo
– X~Cauchy (fX(x) = 1/(1+x2))
Teorema Central do Limite
• Estimativa para P(|X–|) dada pela desigualdade de Chebyshev é extremamente conservativa.
• É possível refiná-la?• Idéia: padronizar X, subtraindo a média e a
variância, de modo a ter média 0 e variância 1.• Resultado: a distribuição da versão padronizada
converge para uma distribuição fixa (a normal).
Teorema Central do Limite
• Sejam X1, X2, … v.a. i.i.d, com EX1 = e Var X1 = 2. A distribuição de
converge para a normal padrão:
dxzXn
P
xz2
2
e2
1)(
)(Xn
Noções de Simulação
• Teorema Fundamental
Seja F uma f.d.a. qualquer e seja U uma v.a. com distribuição uniforme em [0, 1]. A f.d.a da v.a. X = F-1(U) é F.
Exemplos
• Como gerar uma v.a. com distribuição exponencial ?
• Como gerar uma v.a. com distribuição binomial (3; 0,6)?
• Como gerar uma v.a. com distribuição N(60, 102)?
Para gerar v.a. normais
• Algoritmo de Box-Muller
são normais e independentes
sin,cos
2
ln2
2
1
RYRX
U
UR
Método de aceitação/rejeição
• Seja f uma função de densidade de probabilidade de suporte limitado [a, b] e tal que f(x) ≤ M, para todo x [a, b] .
Gerar U ~ U[a, b] e V ~ U [0, 1], independentes, até que f(U) < M.V
Retornar U (que é uma v.a. de densidade f)
Método de aceitação/rejeição
• Método de aceitação/rejeitação
U
MV
Método de aceitação/rejeição
• Sejam f e g funções de densidade de probabilidade de suporte limitado [a, b] e tal que f(x) ≤ Mg(x), para todo x [a, b] .
Gerar U ~ U[a, b] e V ~g, independentes, até que f(U) < M.V
Retornar U (que é uma v.a. de densidade f)
Outros métodos
• Algoritmo de Metrópolis
• Importance Sampling
(MacKay, cap. 29)
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