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Previsão Teórica de fragmentação através da dinâmica de uma população

Daniel Juliano Pamplona da Silva

Dinâmica em Minas

Belo Horizonte

09 de Setembro de 2011

• Modelagem Matemática de Sistemas Biológicos

– Cássius Anderson Miquele de Melo (Unifal) (co-autor)

– Daniel Juliano Pamplona da Silva (Unifal)

– Paulo Augusto Zaitune Pamplin (Unifal)

• Colaboradores externos ao grupo de Pesquisa

– Roberto André Kraenkel (IFT/Unesp) (co-autor)

– Rodrigo Rocha Cuzinatto (co-autor)

Colaboradores

Apresentando o problema

• Fragmento, ilha populacional, mancha: – Região propícia, cercada regiões impróprias a vida.– Região externa dura ou amena, porém desfavorável sempre.

• 1951: Skellam – Existência de tamanho crítico– Fragmento totalmente isolado

• Não há vida se

CA

CA

CA

• se introduzirmos outro fragmento de tamanho

• Existirá vida no sistema neste novo sistema?• E se introduzirmos mais ilhas?• Quantas? Em que condições?

• Tomaremos uma ilha não isolada – Condições amenas entre os fragmentos.

1CA1

; tamanhode fragmento um Dado

Matematizando o modelo• Considerações iniciais

– Movimento individual aleatório– Movimento coletivo bem comportado (difusão)– Responderemos nossas perguntas em 1D– Modelo macroscópico

• Difusão unidimensional - equação do calor

• Equação de Fisher adimensionalizada – 1 D

onde é a densidade populacional

2

2

x

u

t

u

2)( buuxa )(uf

u

uxax

u

t

u)(

2

2

2bu

• modela a heterogeneidade espacial

• Nosso intuito– Condições mínimas para existência de vida– Simplificação: supressão do termo de saturação

• Superposição + separação de variáveis

• Onde satisfaz)(xn

nnn xa

x

)]([2

2

)(xa

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nexctxu )(),(

• Resolvendo parte por parte temos

• Aplicando condições de contorno, continuidade e positividade, temos

0

Reproduzindo a literatura

x

y0a

xaAax

II

nIIII

nnnnn

n

002

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cos )( Região

0 e Regiões

2/L 2/L• Um fragmento isolado: Skellam – 1951

– Um fragmento isolado – 1D

1 , 0

0

aa

L πLC sorvedouro

fonte

L

L

Dois fragmentos

x

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0

sL 2s1L

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2tanhcot

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0

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aLasppLap

dC

5.3L 7.2L 1 e

5.0 ,1

7.2 ,5.2

0

21

p

aa

LL

1 , 021 aLL

• Sistema de dois sorvedouros é viável à vida.

Infinitas ilhas idênticas

• Viabilidade a vida em fragmentos ainda menores

•

s s

LL L

...... p

74.010 CLap74.0

13.12

57.11|

C

C

C

Ln

Ln

Ln

0a

Infinitas ilhas – caso estocástico

• Novo sorteio a cada ponto– Verde (vida)– Vermelho (morte)

• Análise preliminar– uma realização

s s

2L1L 3L

...... p

0a• Gerador estocástico nos

– distribuição lognormal–

• Média Variância• Aproximação computacional

negativo é nunca nL

nL

• Margem de segurança 82,7% 97,4% 99,6%

Média sobre 20 realizações

Aplicação – Reflorestamento ( vida)

• Muitos fragmentos com tamanhos iguais• Continuo plantado• Um único fragmento grande

• Muitos fragmentos de tamanhos diferentes

10 pa

%48

1

%44)5.0(

%41)5.0(

%38)5.0(

6.99%

4.97%

7.81%

C

C

C

1p

Conclusão• Nosso modelo reproduz a literatura

– Um único fragmento isolado

• É possível introduzir extensões ao modelo– Sistema de dois fragmentos: sistema isolado.

• Fonte-sorvedouro (vida num sistema de dois sorvedouros – artigo aceito – Physica A)

– Infinitos fragmentos:• Mesmo tamanho (artigo em preparação)• Distribuição estocástica (esforço computacional).

• Aplicação– Viabilidade a vida em um reflorestamento– Melhor varias manchas de tamanhos diferentes –

artigo publicado – Physica A.

Perspectivas

• Extensões para o modelo– Mais de uma espécie (Sonho do Paulo)– Duas dimensões (Meu próximo projeto)– Efeito Allee.– Infinitas ilhas com tamanhos periódicos.

• Outras aplicações– Modelagem de desmatamento.– Modelagem de queimadas.