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Predicados e Quantificadores
Profa. Sheila Morais de Almeida
DAINF-UTFPR-PG
junho - 2018
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 1 / 57
Este material e preparado usando como referencias os textos dos seguinteslivros.
GERSTING, Judith L.,Mathematical Structures For Computer Science:A Modern Approach to Discrete Mathematics, 6th ed., 2007.
ROSEN, Kenneth H., Discrete Mathematics and its applications, 6thed., 2007.
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 2 / 57
Predicados e Quantificadores
Como expressar a proposicao “Para todo numero inteiro x , o valor de x epositivo.” usando logica proposicional?
Esta proposicao contem duas caracterısticas distintas das anteriores:
• predicados,
• e quantificadores.
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 3 / 57
Predicado
Predicado
O predicado e uma propriedade ou atributo.
Exemplo: x > 0
Predicados podem ser representados por funcoes das variaveis a que sereferem.
Exemplo: P(x) : x e azul.
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 4 / 57
Predicado
Exemplo: Considere o predicado: P(x) : x > 3.
Qual o valor-verdade das proposicoes a seguir?
• P(2)
• P(3)
• P(4)
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 5 / 57
Predicado
Exemplo: Considere o predicado: P(x) : x > 3.
Qual o valor-verdade das proposicoes a seguir?
• P(2) falso
• P(3) falso
• P(4) verdadeiro
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 6 / 57
Predicado
Considere o predicado: R(x , y , z) : x + y = z .
Qual o valor-verdade das proposicoes a seguir?
• R(1, 2, 3) verdadeiro
• R(3, 2, 1) falso
• R(0, 0, 1) falso
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 7 / 57
Predicado
Considere o predicado: R(x , y , z) : x + y = z .
Qual o valor-verdade das proposicoes a seguir?
• R(1, 2, 3) verdadeiro
• R(3, 2, 1) falso
• R(0, 0, 1) falso
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 8 / 57
Quantificadores
Quantificadores
Quantificadores sao expressoes como “para todo”, “para cada”, “paraalgum”, “existe um”, que dizem de alguma forma quantos objetos temuma certa propriedade.
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Quantificadores
Quantificador Universal ∀xLe-se: para todo x , para cada x , todo x .
Exemplo: ∀x(x > 0) representa a senteca:
‘Todo numero x e positivo.”
Quantificador Existencial ∃xLe-se: para algum x , existe um x , pelo menos um x .
Exemplo: ∃x(x > 0) representa a senteca:
“Existe um numero x positivo.”
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Domınio
O valor-verdade de uma expressao depende do domınio da variavel.
Exemplo: ∀x(x ≥ 0)
Domınio: numeros naturais.Valor-verdade: verdadeira.
Domınio: numeros inteirosValor-verdade: falsa. (Contraexemplo: x = −2, x = −10, entre outros.)
Exemplo: ∃x(x > 0)
Se o domınio contem um numero positivo, entao a expressao e verdadeira.Caso contrario, e falsa.
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Domınio
Exemplo: de o valor-verdade das expressoes logicas a seguir.
Domınio: todos os livros da biblioteca da UTFPR - Ponta Grossa
P(x) : x tem capa vermelha.
∀xP(x) falso
∃xP(x) verdadeira (Deve existir algum livro com capa vermelha nabiblioteca!)
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 12 / 57
Domınio
Exemplo: de o valor-verdade das expressoes logicas a seguir.
Domınio: todos os livros da biblioteca da UTFPR - Ponta Grossa
P(x) : x tem capa vermelha.
∀xP(x) falso
∃xP(x) verdadeira(Deve existir algum livro com capa vermelha na biblioteca!)
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 13 / 57
Domınio
De o valor-verdade da expressao logica:
• ∀xP(x), onde P(x) : x e um vegetal.Domınio: todas as arvores frutıferas. verdadeiro
• ∀xP(x), onde P(x) : x e positivo ou negativo.Domınio: numeros inteiros. falso
• ∃xP(x), onde P(x) : x > 3. Domınio: numeros reais. verdadeiro
• ∃xP(x), onde P(x) : x = x + 1. Domınio: numeros reais. falso
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 14 / 57
Domınio
De o valor-verdade da expressao logica:
• ∀xP(x), onde P(x) : x e um vegetal.Domınio: todas as arvores frutıferas. verdadeiro
• ∀xP(x), onde P(x) : x e positivo ou negativo.Domınio: numeros inteiros. falso
• ∃xP(x), onde P(x) : x > 3. Domınio: numeros reais. verdadeiro
• ∃xP(x), onde P(x) : x = x + 1. Domınio: numeros reais. falso
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 15 / 57
Quantificador de Unicidade
Quantificador de Unicidade
O quantificador de unicidade indica que existe exatamente um elementoque satisfaz o predicado.
Denota-se: ∃!xP(x) ou ∃1xP(x).
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 16 / 57
Quantificador de Unicidade
Exemplos
∃!x(2x = 0), no domınio dos numeros reais e verdadeira e x = 0.
∃1x(x2 < 0), no domınio dos numeros reais e falsa.
∃!x(x > 1000), no domınio dos numeros naturais e falsa.
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Quantificador de Domınio Restrito
Pode-se incluir imediatamente apos o quantificador uma notacao abreviadaque limita o domınio.
Exemplos:
• ∀x < 0(x2 > 0)
• ∀y 6= 0(y3 6= 0)
• ∃z > 0(z2 = 2)
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 18 / 57
Quantificador de Domınio Restrito
O quantificador universal de domınio restrito pode ser substituıdo por umconectivo condicional:
• ∀x < 0(x2 > 0) ≡ ∀x(x < 0→ x2 > 0)
• ∀y 6= 0(y3 6= 0) ≡ ∀y(y 6= 0→ y3 6= 0)
O quantificador existencial de domınio restrito pode ser substituıdo poruma conjuncao:
• ∃z > 0(z2 = 2) ≡ ∃z(z > 0 ∧ z2 = 2)
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Prioridade dos Quantificadores
Os quantificadores tem prioridade sobre qualquer conectivo da logicaproposicional:
∃zz > 0 ∧ z2 = 2 6≡ ∃z(z > 0 ∧ z2 = 2)
∃zz > 0 ∧ z2 = 2 ≡ ∃z(z > 0) ∧ z2 = 2
∀xP(x) ∨ Q(x) ≡ ∀x(P(x)) ∨ Q(x)
∀xP(x) ∨ Q(x) 6≡ ∀x(P(x) ∨ Q(x))
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Equivalencias Logicas Quantificadas
Cuidado com as equivalencias entre expressoes quantificadas compostas:
∀x(P(x) ∧ Q(x)) ≡ ∀xP(x) ∧ ∀xQ(x)
∀x(P(x) ∨ Q(x)) 6≡ ∀xP(x) ∨ ∀xQ(x)
∃x(P(x) ∨ Q(x)) ≡ ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x)
∃x(P(x) ∧ Q(x)) 6≡ ∃xP(x) ∧ ∃xQ(x)
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Formulas bem formadas (wffs)
Expressoes devem obedecer regras de sintaxe para serem formulas bemformadas:
• P(x)∀x ∧ ∃y nao e uma wff.
• ∀x(P(x)→ Q(x)) e uma wff.
• (∃x)S(x) ∨ (∀y)T (y) e uma wff.
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Escopo dos Quantificadores
Terminologia
O escopo de um quantificador e o contexto que o mesmo abrange.
Se nao ha parenteses, o escopo e o predicado seguinte. Caso contrario, oescopo e determinado pelo proximo parentese e/ou colchete a direita.
Exemplos
∃xP(X ) ∨ ∀yT (y)
O escopo de ∃x e P(x) e o escopo de ∀y e T (y).
∃x [A(x) ∧ ∀y(B(x , y)→ C (y)]
O escopo de ∃x e A(x) ∧ ∀y(B(x , y)→ C (y).
O escopo de ∀y e B(x , y)→ C (y).
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Variaveis livres
Terminologia
Se uma variavel aparece em alguma formula bem formada e nao faz partede nenhum quantificador, entao e uma variavel livre.
Exemplo: y e uma variavel livre em (∀x)[Q(x , y)→ (∃y)R(x , y)],
porque y ocorre pela primeira vez sem estar acompanhado de umquantificador.
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 24 / 57
Variaveis livres
Exemplo: Considere o domınio de todos os numeros inteiros.
P(x) : x > 0
Qual o valor verdade de P(y) ∧ P(5)?
Qual o valor verdade de P(y) ∨ P(5)?
Observe que, nos dois casos, y e uma variavel livre, nao esta associada aum quantificador.
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 25 / 57
Variaveis livres
Exemplo: Considere o domınio de todos os numeros inteiros.
P(x) : x > 0
Qual o valor verdade de P(y) ∧ P(5)? indefinido
Qual o valor verdade de P(y) ∨ P(5)? verdade
Observe que, nos dois casos, y e uma variavel livre, nao esta associada aum quantificador.
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 26 / 57
Traducao
Muitas frases podem ser escritas por predicados logicos.
Considere a frase: “Todo papagaio e feio.”
E o mesmo que dizer: “Para qualquer coisa, se essa coisa e um papagaio,entao e feio.”
Sejam P(x) : x e um papagaio e F (x) : x e feio.
Simbolicamente: ∀x(P(x)→ F (x)).Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 27 / 57
Traducao
Muitas frases podem ser escritas por predicados logicos.
Considere a frase: “Todo papagaio e feio.”
E o mesmo que dizer: “Para qualquer coisa, se essa coisa e um papagaio,entao e feia.”
Sejam P(x) : x e um papagaio e F (x) : x e feio.
Simbolicamente: ∀x(P(x)→ F (x)).Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 28 / 57
Traducao
Dica: “o quantificador universal e o conectivo de implicacao quase sempreestao juntos.”
Poderıamos substituir, neste contexto, ∀x(P(x)→ F (x)) por∀x(P(x) ∧ F (x))? Nao! nem tudo no mundo e papagaio feio!
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 29 / 57
Traducao
Dica: “o quantificador universal e o conectivo de implicacao quase sempreestao juntos.”
Poderıamos substituir, neste contexto, ∀x(P(x)→ F (x)) por∀x(P(x) ∧ F (x))? Nao! nem tudo no mundo e papagaio feio!
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 30 / 57
Traducao
Considere a frase: “Existe um papagaio feio.”
E o mesmo que dizer: “Existe uma coisa, que e um papagaio e e feia.”
Sejam P(x) : x e um papagaio e F (x) : x e feia.
Simbolicamente: ∃x(P(x) ∧ F (x)).
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 31 / 57
Traducao
Dica: “o quantificador existencial e o conectivo ∧ quase sempre estaojuntos.”
Poderıamos substituir, neste contexto, ∃x(P(x) ∧ F (x)) por∃x(P(x)→ F (x))?
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 32 / 57
Traducao
Poderıamos substituir, neste contexto, ∃x(P(x) ∧ F (x)) por∃x(P(x)→ F (x))?
O que precisa acontecer para que nosso predicado seja verdade?
Basta nao existir papagaios.
Mas se nao existir, entao nao existe um papagaio feio. (Que e o quequerıamos afirmar!).
A implicacao nao traduziu exatamente o que querıamos dizer.
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 33 / 57
Traducao
Considere: M(x) : x e um mamıfero, Q(x) : x e quadrupede,B(x) : x gosta de brincar, onde o domınio sao todos os animais.
Escreva predicados bem formados para as seguintes proposicoes:
1 Todos os mamıferos gostam de brincar.∀x(M(x)→ B(x))
2 Alguns mamıferos quadrupedes gostam de brincar.∃x(M(x) ∧ Q(x) ∧ B(x))
3 Todos que gostam de brincar sao mamıferos nao quadrupedes.∀x(B(x)→ M(x) ∧ ¬Q(x))
4 So mamıferos quadrupedes gostam de brincar.∀x(B(x)→ M(x) ∧ Q(x))
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 34 / 57
Traducao
Considere: M(x) : x e um mamıfero, Q(x) : x e quadrupede,B(x) : x gosta de brincar, onde o domınio sao todos os animais.
Escreva predicados bem formados para as seguintes proposicoes:
1 Todos os mamıferos gostam de brincar.∀x(M(x)→ B(x))
2 Alguns mamıferos quadrupedes gostam de brincar.∃x(M(x) ∧ Q(x) ∧ B(x))
3 Todos que gostam de brincar sao mamıferos nao quadrupedes.∀x(B(x)→ M(x) ∧ ¬Q(x))
4 So mamıferos quadrupedes gostam de brincar.∀x(B(x)→ M(x) ∧ Q(x))
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 35 / 57
Quantificadores Agrupados
Terminologia
Dois quantificadores estao agrupados se um esta no escopo do outro.
Exemplo: ∀x∃y(x + y = 0).
Escopo de ∃y : (x + y = 0).
Escopo de ∀x : ∃y(x + y = 0).
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 36 / 57
Quantificadores Agrupados
Exemplo: o que significam as seguintes expressoes?
Domınio: todos os numeros reais.
∀x∀y(x + y = y + x).A ordem dos termos nao altera o resultado.
∀x∀y∀z(x + (y + z) = x + (y + z)).A ordem das somas nao altera o resultado.
∀x∀y((x > 0) ∧ (y < 0)→ xy < 0).Multiplicacao de numeros com paridades distintas e negativa.
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 37 / 57
Quantificadores Agrupados
Exemplo: o que significam as seguintes expressoes?
Domınio: todos os numeros reais.
∀x∀y(x + y = y + x).A ordem dos termos nao altera o resultado.
∀x∀y∀z(x + (y + z) = x + (y + z)).A ordem das somas nao altera o resultado.
∀x∀y((x > 0) ∧ (y < 0)→ xy < 0).Multiplicacao de numeros com paridades distintas e negativa.
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 38 / 57
Ordem dos Quantificadores
Se os quantificadores nao sao todos universais (ou todos existenciais)entao a ordem dos quantificadores faz diferenca na interpretacao.
Exemplo: seja P(x , y) : x + y = y + x e o domınio dos numeros reais.
Qual o valor verdade para ∀x∀yP(x , y)? verdadeiro
Qual o valor verdade para ∀y∀xP(x , y)? verdadeiro
Exemplo: seja Q(x , y) : x + y = 0 e o domınio dos numeros reais.
Qual o valor verdade para ∀x∃yQ(x , y)? verdadeiro
Qual o valor verdade para ∃y∀xQ(x , y)? falso
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 39 / 57
Ordem dos Quantificadores
Se os quantificadores nao sao todos universais (ou todos existenciais)entao a ordem dos quantificadores faz diferenca na interpretacao.
Exemplo: seja P(x , y) : x + y = y + x e o domınio dos numeros reais.
Qual o valor verdade para ∀x∀yP(x , y)? verdadeiro
Qual o valor verdade para ∀y∀xP(x , y)? verdadeiro
Exemplo: seja Q(x , y) : x + y = 0 e o domınio dos numeros reais.
Qual o valor verdade para ∀x∃yQ(x , y)? verdadeiro
Qual o valor verdade para ∃y∀xQ(x , y)? falso
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 40 / 57
Valor-verdade das Expressoes
Quando uma expressao ∀xP(x) e falsa?
Quando existe um x no domınio que nao satisfaz P(x)
Quando uma expressao ∃xP(x) e falsa?
Quando todo x do domınio nao satisfaz P(x)
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 41 / 57
Valor-verdade das Expressoes
Quando uma expressao ∀xP(x) e falsa?
Quando existe um x no domınio que nao satisfaz P(x)
Quando uma expressao ∃xP(x) e falsa?
Quando todo x do domınio nao satisfaz P(x)
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 42 / 57
Negacao com Quantificadores
Para negar uma expressao ∀xP(x) e suficiente descrever por uma formulabem formada quando essa sentenca e falsa:
¬(∀xP(x)) ≡ ∃x(¬P(X ))
Para negar qualquer expressao da logica de predicados e suficientedescrever por uma formula bem formada quando essa sentenca e falsa:
¬(∃xP(x)) ≡ ∀x(¬P(X ))
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 43 / 57
Negacao com Quantificadores Agrupados
Escreva a negacao de cada uma das sentencas:
• ∀x∀yP(x , y)∃x∃y¬P(x , y).
• ∀x∃yP(x , y)∃x∀x¬P(x , y).
• ∃x∀yP(x , y)∀x∃y¬P(x , y).
• ∃x∃yP(x , y)∀x∀y¬P(x , y).
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 44 / 57
Negacao com Quantificadores Agrupados
Escreva a negacao de cada uma das sentencas:
• ∀x∀yP(x , y)∃x∃y¬P(x , y).
• ∀x∃yP(x , y)∃x∀x¬P(x , y).
• ∃x∀yP(x , y)∀x∃y¬P(x , y).
• ∃x∃yP(x , y)∀x∀y¬P(x , y).
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 45 / 57
Negacao com Quantificadores Agrupados
Negue a sentenca: ∀x∃y(xy = 1).
¬(∀x∃y(xy = 1)) ≡ ∃x¬(∃y(xy = 1))
≡ ∃x∀y(xy 6= 1)
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 46 / 57
Negacao com Quantificadores Agrupados
Negue a sentenca: ∀x∃y(xy = 1).
¬(∀x∃y(xy = 1)) ≡ ∃x¬(∃y(xy = 1))
≡ ∃x∀y(xy 6= 1)
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 47 / 57
Traducao
Considere C (x) : x tem um computador. e F (x , y) : x e y sao amigos.
Domınio: estudantes da UTFPR.
Traduza: ∀x(C (x) ∨ ∃y(C (y) ∧ F (x , y)).
Considere F (x , y) : x e y sao amigos.
Domınio: estudantes da UTFPR.
Traduza: ∃x∀y∀z(F (x , y) ∧ F (x , z) ∧ y 6= z → ¬F (y , z)).
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 48 / 57
Traducao
Considere C (x) : x tem um computador. e F (x , y) : x e y sao amigos.
Domınio: estudantes da UTFPR.
Traduza: ∀x(C (x) ∨ ∃y(C (y) ∧ F (x , y)).
Todos tem um computador ou tem um amigo que tem um computador.
Considere F (x , y) : x e y sao amigos.
Domınio: estudantes da UTFPR.
Traduza: ∃x∀y∀z(F (x , y) ∧ F (x , z) ∧ y 6= z → ¬F (y , z)).
Existe um estudante tal que quaisquer dois amigos dele nao sao amigosentre si.
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 49 / 57
Traducao
Traduza: Se uma pessoa e do sexo feminino e tem filhos, entao ela e maede alguem.
P(x) : x e do sexo feminino.
Q(x) : x tem filhos.
M(x , y) : x e mae de y .
∀x(P(x) ∧ Q(x)→ ∃yM(x , y)).
Como y nao aparece em P(x) ∧ Q(x), podemos reescrever:∀x∃y(P(x) ∧ Q(x)→ M(x , y)).
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 50 / 57
Traducao
Traduza: Se uma pessoa e do sexo feminino e tem filhos, entao ela e maede alguem.
P(x) : x e do sexo feminino.
Q(x) : x tem filhos.
M(x , y) : x e mae de y .
∀x(P(x) ∧ Q(x)→ ∃yM(x , y)).
Como y nao aparece em P(x) ∧ Q(x), podemos reescrever:∀x∃y(P(x) ∧ Q(x)→ M(x , y)).
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 51 / 57
Traducao
Traduza: Se uma pessoa e do sexo feminino e tem filhos, entao ela e maede alguem.
P(x) : x e do sexo feminino.
Q(x) : x tem filhos.
M(x , y) : x e mae de y .
∀x(P(x) ∧ Q(x)→ ∃yM(x , y)).
Como y nao aparece em P(x) ∧ Q(x), podemos reescrever:∀x∃y(P(x) ∧ Q(x)→ M(x , y)).
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 52 / 57
Traducao
Traduza: Se uma pessoa e do sexo feminino e tem filhos, entao ela e maede alguem.
P(x) : x e do sexo feminino.
Q(x) : x tem filhos.
M(x , y) : x e mae de y .
∀x(P(x) ∧ Q(x)→ ∃yM(x , y)).
Como y nao aparece em P(x) ∧ Q(x), podemos reescrever:∀x∃y(P(x) ∧ Q(x)→ M(x , y)).
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 53 / 57
Traducao
Traduza: Todos tem exatamente um melhor amigo.
P(x , y) : x e o melhor amigo de y . Atencao: nao inclua quantificadoresnos predicados!
∀y∃1xP(x , y).
∀y∃x(P(x , y) ∧ (∃zP(z , y)→ z = x)).
∀y∃x(P(x , y) ∧ (∀z(z 6= x → ¬P(z , y)))).
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 54 / 57
Traducao
Traduza: Todos tem exatamente um melhor amigo.
P(x , y) : x e o melhor amigo de y . Atencao: nao inclua quantificadoresnos predicados!
∀y∃1xP(x , y).
∀y∃x(P(x , y) ∧ (∃zP(z , y)→ z = x)).
∀y∃x(P(x , y) ∧ (∀z(z 6= x → ¬P(z , y)))).
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 55 / 57
Traducao
Traduza: Todos tem exatamente um melhor amigo.
P(x , y) : x e o melhor amigo de y . Atencao: nao inclua quantificadoresnos predicados!
∀y∃1xP(x , y).
∀y∃x(P(x , y) ∧ (∃zP(z , y)→ z = x)).
∀y∃x(P(x , y) ∧ (∀z(z 6= x → ¬P(z , y)))).
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 56 / 57
Traducao
Traduza: Todos tem exatamente um melhor amigo.
P(x , y) : x e o melhor amigo de y . Atencao: nao inclua quantificadoresnos predicados!
∀y∃1xP(x , y).
∀y∃x(P(x , y) ∧ (∃zP(z , y)→ z = x)).
∀y∃x(P(x , y) ∧ (∀z(z 6= x → ¬P(z , y)))).
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Predicados e Quantificadores junho - 2018 57 / 57
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