potenciaÇÃo e funÇÃo exponencial prof. andré aparecido da silva anndrepr@yahoo.com.br 1

POTENCIAÇÃO E FUNÇÃO

EXPONENCIAL

prof. André Aparecido da Silvaanndrepr@yahoo.com.br

1

POTENCIAÇÃO

125

1

5

13

2

A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.

Relembrando:

ExpoenteExpoente

BaseBase

PotênciaPotência

POTENCIAÇÃO

3

Exemplo:

• 210 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024

• 34 3 x 3 x 3 x 3 = 81

•

Lembre-se

25

4

5

2

5

2

5

22

4

11

16

81

2

3

2

3

2

3

2

3

2

34

Quando o expoente é par, a potência é sempre positiva.

Lembre-se

8

1

2

1

2

1

2

1

2

13

5

22

27

8

3

2

3

2

3

2

3

23

Quando o expoente é ímpar, a potência tem o mesmo sinal da base.

Casos ParticularesCasos Particulares

2

1

2

11

6

33

3

2

3

21

Expoente 1: : As potências de expoente 1 são iguais a base.

Casos Particulares

15

80

7

44

14

70

Expoente Zero: : As potências de expoente zero são iguais a 1.

Casos Particulares

12

10

8

14

30

Resumindo todo número elevado a potencia 0 é igual a 1

Outros ExemplosOutros Exemplos

25

49

5

72

9

64

343

4

73

9

1

3

12

27

125

3

53

ExemplosExemplos

5

7

5

71

10

09,03,03,03,0 2 0,30,30,30,3xx

09090000

0,090,09

Potência com Expoente Inteiro

Negativo

11

Considere o Quociente:

12

35252 555:5

52 5:5

Pela propriedade do quociente de potência de mesma base temos:

Escrevendo o quociente em forma de fração temos:

3

35

2

5

1

5

1

55555

55

5

5

Temos:Temos:

13

35252 555:5

3

35

2

5

1

5

1

55555

55

5

5

5

252

5

55:5

33

5

15

ResumindoResumindo

14

Na divisão de potencias de mesma base, podemos preservar a base e diminuir os expoentes...

EXEMPLOSEXEMPLOS

15

• 5³ / 5² = 53-2= 5¹ = 5

•1012 / 104 =1012-4 =108

• 65 / 6² = 65-2= 63 = 216

Note ainda que::

16

3

13

3

33

13133

5

15

5

1

5

15

555

Isso significa que pode ser interpretado como inverso de

135

35

ConclusãoA potência com expoente

negativo de um número racional diferente de zero é igual a uma outra potência

que tem a base igual ao inverso da base anterior e o

expoente igual ao oposto do expoente anterior.

17

Fixando:

18

9

1

3

13

22

Inverso

da base

Oposto

do expoente

8

27

2

3

3

233

Inverso

da base

Oposto

do expoente

Fixando:

19

822

1 33

Inverso

da base

Oposto

do expoente

5

1

5

15

11

Inverso

da base

Oposto

do expoente

Em certos casos podemos escrever uma fração como

potência de expoente negativo:

20

22

23

3

1

3

1

9

1

Inverso

da base

Oposto

do expoente

11

55

1

5

1

Inverso

da base

Oposto

do expoente

Exemplos:

21

55

510

10

1

10

1

100000

100001,0

222

2

2

25

10

10

5

10

5

100

2525,0

33

3

2

2

3

8

27

PropriedadesAs propriedades da

potenciação estudadas são válidas

também para potências com

expoente inteiro negativo.

22

Exemplos

23

32525

3

2

3

2

3

2

3

2

5616161

4

5

4

5

4

5

4

5:

4

5

63232

2

3

2

3

2

3

1 24

Potencia com base negativa

Antes, Que tal lembrarmos das regras de sinais!

Observe:

▬ sinal negativo + sinal positivo

Lembre-se:Multiplicação de sinais diferentes, resultado negativo.Multiplicação de sinais iguais, resultado positivo.

1 25

Potencia com base negativaO cálculo de potências com base negativa

é semelhante ao de base positiva.

Exemplos:

(-4)2 = (- 4) .(- 4)

=

+16Expoente par.

Base

Potênciaa)

b)(-3)4 = (-3) .(-3) .(-3) . (-3)

=

+81

Toda potência de base negativa e expoente par, é um número inteiro positivo.

1 26

Potencia com base negativaO cálculo de potências com base negativa

é semelhante ao de base positiva.

Exemplos:

(-5)3 = (-5).

=

-125Expoente ímpar.

Base

a)

b)

Potência

(-1)5 =(-1). (-1). (-1).

(-5).

(-1).

=

-1

Toda potência de base negativa e expoente ímpar, é um número inteiro negativo.

(-5)

(-1) x

1 27

Potencia com base negativa

Por convenção, adotamos as regras:

Exemplos:

O EXPOENTE 1

Toda potência de expoente 1 é sempre igual à base.

a) (+9)1=+9

b) (-13)1=-13

c) (0)1= 0

d)(-10)1= -10

1 28

Potencia com base negativa

Por convenção, adotamos as regras:

Exemplos:

O EXPOENTE 0 (zero)

Toda potência de expoente 0 (zero) e base diferente de 0 (zero) é igual à 1.

a) = 1(-14)0

b)(+27)0= 1

c) (-9)0 = 1

d) (-530)0= 1

1 29

Potencia com base negativa

Devemos dar atenção a duas situações de significados e valores diferentes.

Exemplos:

(-4)2 = (-4). (-4) +16a) =(-4)2 significa o quadrado de -4.

- 42 = - 4. 4 -16b) = -42 significa o oposto do quadrado de 4.

Logo: (- 4)2 ≠ - 42

1 30

Potencia com base negativa

Sempre que trabalhar com potências, tenha atenção as suas propriedades, regras e sinais.

Conclusão:

CUIDADO!!!!Um abuso muito vulgar, é apresentar números que aumentam com o adjetivo sensacionalista de “crescimento exponencial”

É muito provável que 90% das pessoas não sabem o que significa verdadeiramente essa expressão.

Xadrez e Exponenciação

1 33

Função Exponencial

Continuando

• f(x) = 2x é uma função exponencial.

Por meio de uma tabela, podemos obter alguns pontos da função e, a partir deles, esboçar o gráfico.

A tabela

O gráfico da função y(x) 2x

D(f) = R Im (f) = R*+ a = 2, a > 1,

Portanto f é crescenteem todo seu domínio

Comportamento do gráfico da função exponencial

Através função exponencial g(x) = ½x e usando uma tabela, podemos obter alguns pontos da função e, a partir deles, esboçar o gráfico.

A tabela da função g(x) = ½x

Comportamento gráfico da função g(x) = ½x

D(f) = RIm (f) = R*+a = 1/2, 0 < a < 1 Portanto g é decrescenteem todo seu domínio

Resumindo...

Tendo a função f(x) = ax, se “a” for maior que 1 a função será crescente, se “a” for maior que zero e menor que 1 a função será decrescente

Outro Exemplo

Resolvendo o Exemplo

Resolvendo o Exemplo

Resolvendo o exemplo

Resolvendo o exemplo

Resolvendo o exemplo

Resolvendo o exemplo

Resolvendo o exemplo

Resolvendo o exemplo

Questão...

Como ficaria o gráfico desta funçãof(x) = 3x+1 ?

Equação Exponencial

Vamos a resolução

Nossa equação agora é 4x2+ 4x = 412

Aqui as bases são iguais, logo, posso cortar e trabalhar só com os

expoentes...

Vamos a resolução

4x2+ 4x = 412

Temos agora a seguinte equação x2+ 4x =12.

Colocando o 12 para outro lado da igualdade teremos

x2+ 4x -12 = 0 (A = 1, B = 4 e C = 12 )

Resolvendo com Bhaskara

x2+ 4x -12 = 0 (A = 1, B = 4 e C = 12 )

Resolvendo com Bhaskara

x2+ 4x -12 = 0 (A = 1, B = 4 e C = 12 )

Resolvendo com Bhaskara

Outro Exemplo

Vamos primeiramente deixar todos os termos em bases iguais, para isto basta decompor 8 em fatores iguais, então o 8 poderá ser escrito como 23 .

Continuando

Como todas as bases são iguais, agora podemos cortar as bases e trabalhar só com os expoentes.

Continuando

Continuando

Continuando

Substituindo na equação

Terminando a equação

Agora um exemplo com frações

Agora um exemplo com frações

Agora um exemplo com frações

Para inverter numerador e denominador vou deixar com a potencia negativa

Agora um exemplo com frações

Agora cortando as bases teremos…

68

Material elaborado pelo:

Prof. André Aparecido da Silva

Disciplina Matemática.

Disponível no site: www.oxnar.com.br/