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Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
Universidade Salgado de Oliveira – UNIVERSO BH
Engenharia de Produção
Pesquisa Operacional em Sistemas II
Os conceitos e desenvolvimentos apresentados neste arquivo baseiam-se nas referências indicadas e
não substitui os textos originais.
Notas de aula
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
1
Conteúdo
1 O PROBLEMA DA DESIGNAÇÃO ............................................................................................... 3 1.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................................... 3
1.2 ALGORITMO DA DESIGNAÇÃO ......................................................................................... 3 1.3 CASO DA MAXIMIZAÇÃO. .................................................................................................. 3 1.4 EXERCÍCIOS. ........................................................................................................................... 4
2 FILAS ............................................................................................................................................... 9
2.1 FILAS: CONCEITOS BÁSICOS. ............................................................................................. 9 2.1.1 Elementos de uma Fila. .......................................................................................................... 9
2.1.2 Características de uma Fila. .................................................................................................. 10
2.1.3 Variáveis Randômicas. ......................................................................................................... 11
2.1.4 Dinâmica de uma Fila ........................................................................................................... 11
2.1.5 Sistemas Estáveis .................................................................................................................. 13
2.1.6 Dimensionando Filas. ........................................................................................................... 13
2.2 Variáveis Randômicas Fundamentais ...................................................................................... 13 2.2.1 Relações Básicas................................................................................................................... 14
2.2.2 Taxa de Utilização dos Atendentes ...................................................................................... 15 2.2.3 Intensidade de Tráfego ou Número Mínimo de Atendentes ................................................. 15 2.2.4 Fórmulas de Little ................................................................................................................. 15
2.2.5 Resumo das Fórmulas ........................................................................................................... 15
2.2.6 Postulados Básicos. .............................................................................................................. 16
2.3 O Modelo M/M/1 .................................................................................................................... 17
2.3.1 Definições: ............................................................................................................................ 17
2.4 O Modelo M/M/c ..................................................................................................................... 18
2.4.1 Definições: ............................................................................................................................ 18
2.4.2 População Infinita ................................................................................................................. 18
2.5 EXERCÍCIOS .......................................................................................................................... 20
3 TEORIA DOS JOGOS ................................................................................................................... 21
3.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 21
3.2 DEFINIÇÕES .......................................................................................................................... 21
3.3 DETERMINAÇÃO DAS ESTRATÉGIAS ÓTIMAS ............................................................ 29
3.4 ESTRATÉGIA DOMINANTE ............................................................................................... 32 4 INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS ................................................................................ 34
4.1 FATO HISTÓRICO ................................................................................................................ 34
4.2 TEORIA DOS GRAFOS ......................................................................................................... 35 4.3 CONCEITOS BÁSICOS EM TEORIA DOS GRAFOS ........................................................ 35
4.3.1 DEFINIÇÃO DE GRAFO. ................................................................................................... 36 4.3.2 REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA. ............................................................................... 36 4.3.3 DEFINIÇÃO DE GRAFO PONDERADO. ......................................................................... 36 4.3.4 Definição de Grafo Rotulado. ............................................................................................... 36
4.3.5 DEFINIÇÃO DE MULTIGRAFO ....................................................................................... 37 4.3.6 DEFINIÇÃO DE GRAFO DIRECIONADO ....................................................................... 37 4.3.7 REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA ................................................................................ 37 4.3.8 DEFINIÇÃO DE GRAFO BIPARTIDO ............................................................................. 38 4.3.9 DEFINIÇÃO DE GRAFO COMPLETO ............................................................................. 38 4.3.10 DEFINIÇÃO DE GRAFO REGULAR .............................................................................. 39 4.4 REDE ....................................................................................................................................... 40
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
2
4.5 OUTROS CONCEITOS BÁSICOS ........................................................................................ 41 4.5.1 DEFINIÇÃO DE CADEIA DE ARESTAS ......................................................................... 41 4.5.2 DEFINIÇÃO DE CAMINHO .............................................................................................. 41 4.5.3 DEFINIÇÃO DE COMPRIMENTO DE UM CAMINHO .................................................. 42
4.5.4 DEFINIÇÃO DE CICLO ..................................................................................................... 42 4.5.5 DEFINIÇÃO DE CIRCUITO .............................................................................................. 42 4.6 CONEXIDADE ....................................................................................................................... 42
4.6.1 DEFINIÇÃO DE GRAFO CONEXO .................................................................................. 42 4.7 DEFINIÇÃO DE ÁRVORE. ................................................................................................... 43 4.8 REPRESENTAÇÃO DO MODELO USANDO MATRIZ DE ADJACÊNCIA .................... 43 4.8.1 DEFINIÇÃO DE MATRIZ DE ADJACÊNCIA.................................................................. 43
4.9 REPRESENTAÇÃO DO MODELO USANDO A MATRIZ DE INCIDÊNCIA .................. 44 4.9.1 DEFINIÇÃO DE MATRIZ DE INCIDÊNCIA ................................................................... 44 4.10 ANÁLISE DE REDES .......................................................................................................... 44 4.10.1 PROBLEMAS DE EXTENSÃO MÍNIMA ....................................................................... 44 4.10.2 PROBLEMAS DE PERCURSO MÍNIMO. ....................................................................... 45 4.11 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................ 46
5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................... 47
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
3
1 O PROBLEMA DA DESIGNAÇÃO Esse capítulo tem como fonte Silva (1998) e Andrade (2002) conforme referências indicadas. 1.1 INTRODUÇÃO
É um caso especial do modelo de transportes em que cada origem tem uma unidade
disponível e cada destino necessita também de uma unidade. Exemplos: escalar vendedores para
regiões de vendas e máquinas para diversos locais.
Antes de aplicar o algoritmo de solução, é preciso verificar se o modelo está equilibrado. No
problema de designação o modelo está equilibrado quando o número de origens for igual ao número
de destinos. Se o modelo não estiver equilibrado, deve - se incluir origens ou destinos auxiliares
com custo de transferência igual a zero.
1.2 ALGORITMO DA DESIGNAÇÃO
Passo 1: Subtrair de cada linha seu menor valor. Em seguida fazer o mesmo com as colunas.
Passo 2: Designar origens para destinos nas células em que aparece o elemento nulo. Cada
designação efetuada invalida os outros zeros na linha e na coluna da designação estabelecida. Dê
preferência a linhas ou colunas que tenham apenas um zero disponível. Se a designação não se
completar, vá para o passo 3.
Passo 3: Cobrir os zeros da tabela com o menor número de linhas possível, da seguinte forma:
a) Marcar as linhas sem designação;
b) Nas linhas marcadas, marque as colunas com zeros;
c) Marcar as linhas com designação nas colunas marcadas;
d) Voltar a marcar as colunas com zeros nas linhas marcadas até que não seja possível marcar
novas linhas ou colunas;
e) Riscar as linhas não marcadas e as colunas marcadas.
Passo 4: Determinar o menor valor dentre os números não cobertos de todos os elementos da tabela
e:
a) Os elementos não cobertos ficam diminuídos deste número;
b) Os elementos no cruzamento de coberturas ficam aumentados desse número;
c) Os outros elementos permanecem iguais.
Passo 5: Voltar ao passo 2.
1.3 CASO DA MAXIMIZAÇÃO.
No caso em que o objetivo é a maximização, o modelo deve ser substituído por outro de
minimização. Isto pode ser feito multiplicando a função objetivo por -1, ou transformando o quadro
num quadro de perdas (complemento em relação a um valor fixo – escolher o maior valor).
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1.4 EXERCÍCIOS.
1. Resolva o problema de designação:
Destinos Origens 1 2 3 4
1 10 23 8 9 2 4 5 6 7 3 12 10 10 8 4 6 4 9 7
2. Resolva o problema de designação:
Destinos Origens 1 2 3 4
1 6 8 10 9 2 4 3 6 5 3 7 9 12 6
3. Resolva o problema de designação, onde o símbolo X indica a impossibilidade da designação da origem para o destino correspondente:
Destinos Origens 1 2 3
1 6 X 8 2 4 9 3 3 5 6 4 4 8 10 12
4. Quatro locais L1, L2, L3 e L4 necessitam de um equipamento. Existem quatro equipamentos disponíveis um em cada um dos depósitos D1, D2, D3 e D4. As quilometragens entre os locais necessitados e os depósitos estão no quadro:
Locais Depósitos L1 L2 L3 L4
D1 100 120 130 140 D2 80 70 120 90 D3 100 80 100 110 D4 90 90 120 80
Determine um programa de expedição de quilometragem mínima. 5. Resolva o problema anterior, supondo que não seja possível expedir do armazém 1 para o local 3.
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5
6. Uma fábrica possui quatro locais L1, L2, L3 e L4 para receber três novos equipamentos (E1, E2 e E3). A operação desses equipamentos gera um fluxo de materiais cujo custo de manuseio depende do local da instalação, e estão no quadro a seguir:
Locais Equipamentos L1 L2 L3 L4
E1 10 4 8 6 E2 6 4 9 10 E3 5 7 8 9
Designar os equipamentos para os possíveis locais, de modo a minimizar o custo total de manuseio de materiais. 7. Suponha no problema anterior que não seja possível designar o E1 para o local L2. Qual seria a solução do problema? 8. Uma empresa deseja operar diretamente em quatro regiões. Para isso, contratou e treinou quatro vendedores. A empresa tem conhecimento dos mercados dessas regiões através de representantes. A partir dessas informações, o departamento de R. H. montou um quadro de eficiência para os vendedores baseado no perfil profissional de cada um deles. O resultado e outras informações relevantes estão nos quadros a seguir: Potencial de vendas mensais em milhares de unidades monetárias: Região Vendas
1 100 2 150 3 120 4 250
Capacidade estimada para cada vendedor em cada região %
Vendedor Região 1 2 3 4
1 60 80 70 65 2 70 60 80 60 3 80 40 60 70 4 60 90 95 85
Baseado nesta estimativa, designar os vendedores para as regiões de modo a maximizar o retorno mensal total de vendas.
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9. Uma empresa tem disponível nos fornecedores quatro tipos de robôs que fazem uma sequência de operações padronizadas. Um estudo feito em colaboração com os fornecedores revelou os lucros anuais gerados pela instalação de um robô em cada uma das três unidades produtoras da empresa, após descontados os custos de instalação, manutenção e depreciação dos equipamentos (em 1.000 u.m.).
Unidades produtoras Robô U1 U2 U3 R1 6 10 5 R2 5 8 7 R3 8 10 8 R4 7 9 9
A empresa deseja adquirir um tipo de robô para cada instalação produtora, de modo a maximizar o lucro total no ano devido a essa operação. 10. Suponha no problema anterior que o robô R3 não sirva a U1. Qual seria então a solução do problema? 11. Resolva o problema de designação:
Destinos Origens 1 2 3 4
1 9 18 10 10 2 5 7 8 6 3 10 18 9 10 4 8 6 8 5
12. Resolva o problema de designação:
Destinos Origens 1 2 3 4
1 7 7 9 10 2 5 5 8 8 3 8 10 11 5
13. Resolva o problema de designação, onde o símbolo X indica a impossibilidade da designação da origem para o destino correspondente:
Destinos Origens 1 2 3
1 6 6 8 2 4 9 3 3 5 X 4 4 8 10 12
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14. Uma empresa deseja operar diretamente em quatro regiões. Para isso, contratou e treinou quatro vendedores. A empresa tem conhecimento dos mercados dessas regiões através de representantes. A partir dessas informações, o departamento de R. H. montou um quadro de eficiência para os vendedores baseado no perfil profissional de cada um deles. O resultado e outras informações relevantes estão nos quadros a seguir:
Potencial de vendas mensais em milhares de unidades monetárias: Região 1 2 3 Vendas 180 120 150 Capacidade estimada para cada vendedor em cada região %
Vendedor Região 1 2 3
1 60 80 70 2 70 60 80 3 80 40 60
Baseado nesta estimativa, designar os vendedores para as regiões de modo a maximizar o
retorno mensal total de vendas. Respostas 1. Origem Destino Custo = 24
1 3 2 1 3 4 4 2
2. Origem Destino Custo = 15
1 1 2 2 3 4 4 3
3. Origem Destino Custo = 15
1 1 2 3 3 2 4 4
4. Origem Local km = 350
1 1 2 2 3 3 4 4
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8
5. Origem Local km = 350
1 1 2 2 3 3 4 4
6. Equipamento Local Custo = 15
1 4 2 2 3 1 4 3
7. Equipamento Local Custo = 15
1 4 2 2 3 1 4 3
8. Região Vendedor Vendas = 508,50
1 2 2 3 3 1 4 4
9. Robôs Unidade
Produtiva Lucro = 27
1 2 2 X 3 1 4 3
10. Robôs Unidade
Produtiva Lucro = 25
1 1 2 X 3 2 4 3
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2 FILAS
Esse capítulo tem como fonte Prado (2004) e Andrade (2002) conforme referências indicadas.
� Do dia-a-dia (banco, supermercado, salão de beleza, cinema, pedágio etc...).
� Ambientes de produção.
� Abstratas (pedidos de manufatura, pilha de papéis com solicitações de reparo de máquinas).
� Enfileiradas ou dispersas
� Filas não são simpáticas ( o ideal é chegar ao local de serviço e ser imediatamente atendido).
� Filas são dispendiosas (custo).
� Procurar o melhor dimensionamento (“paradoxo da sobrevivência”).
� É antieconômico superdimensionar um sistema para que nunca existam filas.
� Balanceamento adequado que permita um atendimento aceitável pelo melhor custo e melhor
benefício.
TEORIA DAS FILAS : É um método analítico que aborda o assunto por meio de fórmulas
matemáticas. Já a simulação é uma técnica que, usando o computador digital, procura montar um
modelo que melhor represente o sistema em estudo.
2.1 FILAS: CONCEITOS BÁSICOS.
2.1.1 Elementos de uma Fila.
População → clientes (transação ou entidade) que aguardam algum tipo de serviço.
Atendimento: é constituído de um ou mais servidores (atendentes ou canais de serviços).
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2.1.2 Características de uma Fila.
a) Clientes e Tamanho da População.
Um cliente é proveniente da população. Para efeito prático, uma população muito grande é
considerada infinita. Quando a população é muito grande, a chegada de um novo cliente a uma fila
não afeta a taxa de chegada de clientes subseqüentes (as chegadas são independentes). Quando a
população é pequena o efeito existe e pode ser considerável.
b) Processo de Chegada.
Exemplo: Em uma praça de pedágio chegam 20 automóveis por minuto ou 1 automóvel a
cada 3 segundos. Trata-se de um valor médio.
λ = 20 clientes por minuto (ritmo de chegada)
IC = 3 segundos (intervalo médio)
Nesse exemplo pode-se quantificar o processo de chegada dizendo que a taxa média de
chegada é de 20 veículos por minuto ou que o intervalo médio entre as chegadas é de 3 segundos.
Mas além dos valores médios é necessário também mostrar como os valores se distribuem em
torno da média. Assim, para caracterizar corretamente um processo de chegada devemos lançar mão
de uma distribuição de freqüência, tal como a distribuição normal, a de Poisson, a exponencial, etc.
Um tipo raro de processo de chegada é o regular (não existe nenhuma variação entre os
valores para os intervalos entre chegadas). Esta situação ocorre apenas em processos altamente
automatizados.
Existem situações em que o ritmo de chegada sofre variações durante o dia.
c) Processo de Atendimento
Também descrito por valores médios. Um atendente pode atender 6 veículos por minuto ou
que gasta 10 segundos para atender um veículo. Também é preciso usar as distribuições de
probabilidades para descrever corretamente.
Processos de atendimento regulares também são raros na prática.
µ = 6 clientes por minuto (ritmo médio de atendimento)
TA = 10 segundos por cliente (tempo ou duração média do serviço ou atendimento)
d) Número de Servidores
O mais simples sistema de filas é aquele de um único servidor que pode atender um único
cliente de cada vez. Conforme o aumento do ritmo de chegada, a qualidade do serviço pode ser
mantida pelo aumento do número de servidores.
e) Disciplina da Fila
É a regra que define qual o próximo a ser atendido. O mais comum é que o primeiro da fila é
atendido primeiro, isto é, o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido (FIFO – First In First Out).
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Existem outras disciplinas como, por exemplo, o último a chegar é o primeiro a ser atendido (LIFO
– Last In First Out), serviço por ordem de prioridade, serviço randômico, etc.
f) Tamanho Médio da Fila
g) Tamanho Máximo da Fila
Os sistemas são dimensionados para uma certa quantidade máxima de clientes em espera, este
dimensionamento geralmente é feito baseando-se em experiência real. Quando a demanda cresce,
amplia-se o sistema também baseando-se em experiência real.
h) Tempo Médio de Espera na Fila
O ideal é que não exista tempo de espera, mas nem sempre é a melhor situação do ponto de
vista econômico.
2.1.3 Variáveis Randômicas.
Quando nos referimos a filas usamos variáveis randômicas. Assim, para as principais
variáveis existe um valor médio e uma distribuição de probabilidades, que mostra as chances de
ocorrências dos valores.
2.1.4 Dinâmica de uma Fila
a) Chegada de clientes
No período de meia hora chegaram 12 pessoas. Os intervalos entre chegadas, a partir do
instante zero estão registrados no quadro seguinte (com valores em minutos):
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 3 6 9 12 17 18 19 23 24 28 29 31
A linha Cliente identifica a ordem de chegada dos clientes. A linha Intervalo identifica o
intervalo de tempo entre as chegadas. A linha Momento indica o instante da chegada do novo
cliente, obtido a partir de acumulações da linha intervalo acrescido de 1, para significar o início do
próximo intervalo de tempo.
O valor médio dos intervalos acima é de 2,5 minutos, o ritmo médio de chegada é de 24
clientes por hora.
IC = 30/12 = 2,5 minutos
λ = 60/2,5 = 24 clientes por hora
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b) Atendimento
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
O tempo médio de atendimento é de 2,0 minutos e o servidor tem uma capacidade de atender
30 clientes por hora.
TA = 24/12 = 2 minutos por atendimento
µ = 60/2 = 30 clientes por hora
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Tempo na Fila 0 0 0 0 0 3 4 0 3 1 3 2
A figura seguinte ilustra a dinâmica da fila.
O último cliente saiu do atendimento no final do 35º minuto.
Conclusões:
Total de clientes atendidos: 12
Tempo total da fila: 16 minutos
Tempo Médio na Fila = 16/12 = 1,33 minutos
Número Médio na Fila = 16/35 = 0,46 cliente
Observe que a capacidade de atendimento (µ) é superior ao ritmo de chegada (λ) e mesmo
assim formam-se filas. Se a abordagem fosse feita apenas pelas médias não teríamos a formação de
fila. Caso o processo fosse regular, o tempo total de atendimento dos clientes seria de 32 minutos,
mas como ele é aleatório o tempo total foi de 35 minutos.
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
13
O dimensionamento dos sistemas tenta minimizar esses efeitos pela modificação de fluxos,
pela colocação de mais atendentes, pela utilização de melhores atendentes, etc. Também deve se
observar o custo do atendimento.
2.1.5 Sistemas Estáveis
A abordagem matemática de filas da Teoria das Filas exige que exista estabilidade no fluxo de
chegada e no processo de atendimento, ou seja, os valores de λ e µ devem manter-se constantes no
tempo. Se isso não ocorrer deve-se usar simulação por computador. Em um banco o fluxo de
chegada de clientes varia durante o dia e não possível analisar pela Teoria das Filas. Em fábricas
que funcionam 24 horas ininterruptamente temos geralmente uma situação estável.
Sistemas estáveis:
� Fluxo médio de entrada (λ) constante;
� Ritmo médio de atendimento (µ) constante e
� µ > λ
Se µ não for maior que λ, então o tamanho da fila aumentará infinitamente.
2.1.6 Dimensionando Filas.
Dimensionar sistemas com o objetivo de prestar melhor atendimento aos clientes ou para
obter uma redução de custos do funcionamento do sistema.
2.2 Variáveis Randômicas Fundamentais
λ = Ritmo médio de chegada.
µ = Ritmo médio de atendimento.
c = Capacidade de Atendimento ou Quantidade de Atendentes.
� Variáveis Referentes ao Sistema
TS = Tempo médio de permanência no sistema
NS = Número médio de clientes no sistema
� Variáveis Referentes ao Processo de Chegada
λ = Ritmo médio de chegada.
IC = Intervalo médio entre chegadas.
Por definição: IC = 1/ λ
� Variáveis Referentes à Fila.
TF = Tempo médio de permanência na fila.
NF = Número médio de clientes na fila.
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
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� Variáveis Referentes ao Processo de Atendimento.
TA = Tempo médio de atendimento ou de serviço.
c = Capacidade de atendimento ou quantidade de atendentes.
NA = Número médio de clientes que estão sendo atendidos.
µ = Ritmo médio de atendimento.
Por definição: TA = 1/ µ
A figura seguinte mostra a localização das variáveis.
2.2.1 Relações Básicas
NS = NF + NA
TS = TF + TA
É possível demonstrar que NA = λ/µ = TA/IC. E assim:
NS = NF + NA = NF + (λ/µ) = NF + TA/IC
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
15
2.2.2 Taxa de Utilização dos Atendentes
Para o caso de “uma fila/um atendente”, chamamos de taxa de utilização do atendente a
expressão ρ = λ/µ.
No caso de uma fila/vários atendentes, a expressão fica ρ = λ/cµ.
A taxa de utilização (ρ) representa a fração média do tempo em que cada servidor está
ocupado.
Como estudaremos apenas sistemas estáveis (os atendentes sempre serão capazes de atender
ao fluxo de chegada, ou seja λ<µ) teremos sempre que ρ < 1.
2.2.3 Intensidade de Tráfego ou Número Mínimo de Atendentes
ICTAi == µλ
O valor de i é o valor inteiro que se obtém e é medido em “erlangs”. Na prática representa o
número mínimo de atendes necessários para atender um dado fluxo de tráfego.
2.2.4 Fórmulas de Little
J. D. C. Little demonstrou que em um sistema estável de filas temos:
NF = λTF e NS = λTS
2.2.5 Resumo das Fórmulas
Intervalo entre chegadas: IC = 1/λ
Tempo de atendimento: TA = 1/ µ
Taxa de utilização dos atendentes: ρ = λ/cµ
Intensidade de Tráfego (número mínimo de atendentes): ICTAi == µλ
Relações entre Fila, Sistema e Atendimento:
NS = NF + NA
NA = λ/µ
NS = NF + NA = NF + (λ/µ) = NF + TA/IC
TS = TF + TA
NA = ρ = λ/µ
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
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Fórmulas de Little:
NF = λTF
NS = λTS
2.2.6 Postulados Básicos.
A figura seguinte apresenta alguns postulados básicos que se aplicam a quaisquer sistemas de filas
nos quais existe estabilidade ou seja λ<µ.
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
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2.3 O Modelo M/M/1
� Segue a Distribuição de Poisson ou a Exponencial Negativa.
� Tem um único atendente.
2.3.1 Definições:
λ = Ritmo Médio de Chegada.
IC = Intervalo Médio entre Chegadas = 1/ λ.
TA = Tempo Médio de Atendimento ou de Serviço. TA = 1/ µ.
µ = Ritmo Médio de Atendimento de cada atendente.
População Infinita (quando a população é muito grande).
Principais variáveis randômicas:
Nome Descrição Fórmula
NF Número Médio de clientes na Fila
)(
2
λµµλ
−=NF
NS Número Médio de clientes no Sistema λµ
λ−
=NS
TF Tempo Médio que o Cliente fica na fila. )( λµµ
λ−
=TF
TS Tempo Médio que o cliente fica no sistema λµ −
= 1TS
Pn Probabilidade de existirem n clientes no Sistema n
nP
−=
µλ
µλ
1
Taxa de Utilização: Relação entre o ritmo de chegada e o ritmo médio de atendimento:
µλρ =
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18
Observação: Sistemas estáveis exigem λ < µ ou ρ < 1. Quando ρ tende para 1 a fila tende a
aumentar infinitamente pois
ρρ
λµµλ
−=
−=
1)(
22
NF
2.4 O Modelo M/M/c
� Tem uma única fila e diversos servidores.
� Chegada e atendimento seguem a distribuição de Poisson ou a Distribuição Exponencial
Negativa.
� Supõe-se que a capacidade de atendimento de cada um dos servidores é a mesma (µ).
2.4.1 Definições:
λ = Ritmo Médio de Chegada.
IC = Intervalo Médio entre Chegadas = 1/ λ.
TA = Tempo Médio de Atendimento ou de Serviço em cada atendente. Por definição TA = 1/ µ.
µ = Ritmo Médio de Atendimento de cada atendente.
c = capacidade de atendimento ou quantidade de atendentes.
Taxa de Utilização: Relação entre o ritmo de chegada e o ritmo médio de atendimento: µλρc
=
2.4.2 População Infinita
O uso de gráficos facilita o estudo do modelo M/M/c. O gráfico seguinte permite obter o
número médio de clientes na fila (NF) em função do fator de utilização e tendo como parâmetro a
quantidade de servidores c.
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
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O próximo gráfico permite obter o número médio de clientes no sistema (NS)
Para ambos os gráficos a taxa de utilização é µλρc
=
Após usar os gráficos, as outras variáveis randômicas fundamentais podem ser obtidas pelas
fórmulas de Little:
TF = NF/λ
TS = NS/λ
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20
2.5 EXERCÍCIOS
1) Uma fábrica possui um depósito de ferramentas onde os operários vão receber as ferramentas especiais para a realização de uma determinada tarefa. Verificou-se que o ritmo de chegada (λ) é de uma chegada por minuto e o ritmo de atendimento (µ) é de 1,2 atendimentos por minuto (seguem o modelo marcoviano M/M/1). A fábrica paga $9,00 por hora ao atendente e $18,00 por hora ao operário. Determine: a) O custo horário do sistema. (Resposta: $99,00 por hora) b) A fração do dia em que o atendente não trabalha. (Resposta: 16%) 2) Contratação de um reparador. Uma empresa deseja contratar um reparador para efetuar manutenção em suas máquinas, que estragam a um ritmo de 3 falhas por hora. Para tal, tem duas opções: um reparador lento, que é capaz de consertar a um ritmo médio de 4 falhas por hora ou um reparador rápido , que é capaz de consertar a um ritmo médio de 6 falhas por hora. O salário/hora do reparador lento é $3,00 e o do rápido é de $5,00. Qual contratação deve ser efetuada para que o custo total (reparador mais máquinas paradas) seja mínimo? Sabe-se que uma máquina parada implica um custo horário de $5,00. (Resposta: contratar o operador rápido) 3) Filas sequenciais em uma fábrica. Calcular as filas que ser formam em cada servidor.
(Resposta: 1,33; 0,17 e 0,01 ) 4) Uma cooperativa agrícola prevê um crescimento na chegada de caminhões a seu terminal de descarga. O pátio de estacionamento, onde os caminhões permanecem, comporta seis caminhões. A cooperativa acha aceitável que um caminhão aguarde na fila sua vez de descarregar no máximo 0,75h. Como a equipe de descarga tem condições de descarregar quatro caminhões por hora em média, deseja-se saber: a) Qual a taxa média de chegada que faz com que o tempo médio de espera seja igual ao máximo admissível? (Resposta: 3 caminhões por hora) b) Para essa taxa de chegadas, qual a probabilidade de que o pátio não seja suficiente? (Resposta:0,10) 5) Em um sistema de uma fila e um canal, foram medidos a taxa de ocupação (0,8) e o tempo médio gasto na fila (15 min). Determine as seguintes probabilidades: a) De ocorrer 10 chegadas por hora; (0,0898) b) De que ocorram 12 atendimentos por hora e (0,066) c) De formar uma fila com 10 clientes. (0,0215)
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
21
3 TEORIA DOS JOGOS Esse capítulo tem como fonte Tavares (2012), Kolman & Hill (2006) e Bronson (1985)
conforme referências indicadas.
3.1 INTRODUÇÃO
Segundo Tavares (2012) o termo jogo é mais conhecido por sua relação com os esportes e
suas competições, entretanto, esse termo também está relacionado a outras situações e assume
importância fundamental como instrumento de análise estratégica nas empresas.
A Teoria dos jogos é uma área relativamente nova da matemática aplicada que tenta analisar
situações de conflito e fornece uma base para a tomada racional de decisão. É um novo campo de
estudos de interações estratégicas entre diversos agentes (empresas, por exemplo).
As empresas interagem em um ambiente de interdependência estratégica e devem estar atentas
ao ambiente interno e às estratégias dos concorrentes. O comportamento estratégico é decisivo para
o sucesso de uma empresa.
Um jogo é uma situação de competição em que cada um dos jogadores tenta alcançar seu
objetivo em um conflito direto com outros jogadores. Cada jogador faz tudo o que é possível para
ganhar o máximo para si mesmo.
Jogos de azar – são jogos em que os resultados e vitórias são determinados somente pelas leis
das probabilidades e não podem ser afetadas por quaisquer ações dos jogadores. Exemplo: roleta
(não exige qualquer habilidade do jogador).
Uma aplicação prática da teoria dos jogos pode ser a solução para os casos em que uma
empresa se encontra diante de alternativas estratégicas.
Uma empresa que não reconhece o cenário de interdependência estratégica em que se encontra
inserida adota uma visão equivocada da realidade que pode provocar problemas irreparáveis.
Os jogos de estratégias podem ser considerados ferramentas de análise econômica para
analisar as estratégias das empresas em situações do seu cotidiano. É uma ferramenta considerada
eficiente e recebem um tratamento formal pela teoria dos jogos.
3.2 DEFINIÇÕES
Conceito de jogo: Conforme Tavares (2012) pode-se definir jogo como a “representação
formal de uma situação em que alguns indivíduos interagem em um cenário de interdependência
estratégica”.
Interdependência estratégica: o resultado de cada ação dependerá das ações dos demais
jogadores envolvidos.
Teoria dos jogos: “É a análise quantitativa de qualquer situação que envolva pelo menos duas
partes em conflito, com o objetivo de indicar as estratégias ótimas para cada uma delas e alcançar os
melhores resultados possíveis” (Tavares, 2012).
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
22
Informações fundamentais de um jogo:
a) Os competidores;
b) As normas (tudo que pode ser feito pelos competidores, as informações que eles detêm);
c) As consequências (a cada ação dos competidores o que acontece?)
d) Os payoffs (também denominadas matrizes de ganhos, ou de pagamentos, refletem as
consequências das ações dos competidores).
Jogos com apenas um jogador são chamados de jogos contra a natureza (que não têm interesse
em maximizar lucros ou competir). Exemplo: na agricultura, o sucesso na colheita de um produto
agrícola pode depender da ocorrência ou não de chuva que é determinada pelo acaso. Um jogador é
o agricultor e o outro é a Natureza.
As regras: Demarcam as ações que podem ser empreendidas pelos jogadores. O conjunto de
regras é caracterizado pelas seguintes informações:
• A relação dos jogadores (competidores);
• A hipótese de que cada jogador procura maximizar seus interesses de maneira
racional;
• Todas as ações possíveis de cada jogador;
• Os ganhos de cada jogador para todas as estratégias que podem ser implementadas.
Consequências ou resultado das ações dos jogadores: O conjunto de estratégia dos
jogadores utilizado durante o jogo, gera consequências para cada um deles. As consequências são
resultados que podem ser expressos ou representados pelos ganhos (payoffs).
Os payoffs: São estabelecidos em decorrência dos resultados alcançados pelas ações dos
jogadores.
Na vida real a determinação de payoffs confiáveis pode ser feita por meio de pesquisas de
mercado.
O conhecimento disponível para os jogadores desempenha um papel muito importante na
teoria dos jogos.
Jogos de informação perfeita: o jogador tem conhecimento das jogadas que foram utilizadas
pelos seus oponentes e conhece toda a história pregressa daquele jogo.
Jogos de informação imperfeita: o jogador conhece as estratégias disponíveis para seus
oponentes mas não tem pleno conhecimento das estratégias que foram utilizadas por eles.
Jogos de informação completa: os jogadores envolvidos na disputa conhecem os payoffs a
serem obtidos por todos os outros jogadores.
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
23
Segundo Tavares (2010), pode parecer pouco realista que uma empresa conheça o que seu
concorrente vai alcançar em termos de payoff, mas observa que o fluxo e a troca de informações na
atualidade ocorrem instantaneamente. O autor observa também que a obtenção dessas informações
tem um custo associado. Mas, por questões estratégicas, nem sempre os payoffs são de
conhecimento comum, pois existem situações em que omitir uma informação pode trazer resultados
positivos para uma determinada empresa. Entretanto, se os jogadores são racionais e cada um sabe
que o outro é racional, eles terão plena noção de quando o seu oponente diz a verdade ou apenas
blefando.
Uma ação de um jogador é a manifestação de suas vontades em termos reais, isto é, uma
atitude de cooperação ou de competição.
Jogos cooperativos: jogos em que os acordos são permitidos.
Jogos não-cooperativos: os acordos não são possíveis.
Como os jogos podem ser compostos por várias ações, o conceito de estratégia tem grande
importância na teoria dos jogos e pode assumir algumas versões:
� Estratégia é um plano contingente completo ou uma regra de decisão que especifica
como o jogador agirá em todas as circunstâncias possíveis com as quais ele pode se
defrontar.
� Estratégia é o conjunto de ações a ser executado ao longo do jogo em resposta às
ações dos seus oponentes.
� Estratégia é um “programa de jogo” predeterminado, o qual diz quais ações devem
ser tomadas em resposta a toda possível estratégia que os outros vierem a utilizar.
Jogos de estratégia: são disputas nas quais os jogadores, interagindo em um ambiente de
interdependência, devem atuar tendo em mente uma estratégia a ser colocada em prática para cada
resposta dada pelos demais jogadores.
Exemplo: Dilema dos Prisioneiros (http://www.teoriadosjogos.net/teoriadosjogos/list-
trechos.asp?id=29
É um jogo muito famoso que representa bem o dilema entre cooperar e trair. A polícia prende
dois suspeitos de um crime A e B, mas como não tem provas suficientes para a condenação, separa
os prisioneiros em salas diferentes e oferece aos prisioneiros o seguinte acordo:
a) Se apenas um dos prisioneiros confessar (trair o outro prisioneiro) ele ficará livre e o
que não confessar cumprirá 10 anos.
b) Se ambos não confessarem (cooperação entre os prisioneiros), eles ficarão presos
apenas por 1 ano.
c) Se ambos confessarem (trair o outro), cada um ficará preso 5 anos.
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
24
Como eles não podem conversar, cada prisioneiro faz a escolha sem saber da escolha do outro.
Que decisão tomar? Qual a melhor opção colaborar ou trair?
Representação matricial:
Prisioneiro A
Colaborar (não confessar) Trair (confessar)
Prisioneiro B Colaborar (não confessar) 1;1 10;0
Trair (confessar) 0;10 5;5
Fonte: Tavares, 2012.
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
25
Nossa abordagem enfatizará os jogos com dois competidores usualmente chamados de R e C.
Se R tem m movimentos possíveis (ou curso de ação) e que C tem n movimentos, pode-se formar
uma matriz mxn nomeando suas linhas de cima para baixo com as jogadas de R e nomeando as
colunas, da esquerda para a direita, com as jogadas de C. O elemento aij, na linha i e na coluna j,
indica a quantidade (dinheiro ou algum outro item de valor) recebida por R se R realiza sua i-ésima
jogada e C sua j-ésima jogada. O elemento aij é chamado de pagamento e a matriz A = [aij] é
chamada matriz de pagamentos (para R). Estes jogos são chamados de jogos de duas pessoas.
Também o chamaremos de jogos matriciais.
Também é possível construir uma matriz que represente os pagamentos efetuados para C, mas
para uma classe de jogos chamados de jogos de soma constante, a soma dos pagamentos para R e
para C é constante para todos os pares mn de jogadas de RC. Quanto mais R ganha, menos C ganha
(ou mais C perde), e vice versa.
Jogo de soma zero – é um jogo de soma constante em a quantidade ganha por um jogador e
igual a quantidade perdida pelo outro jogador. Para esses é suficiente estudar apenas a matriz de
pagamentos para R.
No estudo dos jogos matriciais, considera-se que os dois jogadores são igualmente hábeis, que
cada um deles joga tão bem quanto seja possível jogar e que cada jogador realiza sua jogada sem
saber qual será a jogada de seu oponente.
Exemplo 1: Considere um jogo de cara ou coroa entre dois jogadores R e C, cada um deles
tem uma moeda na mão. Cada jogador escolhe um lado da moeda sem saber a escolha do seu
oponente. Se ambos os jogadores mostrarem o mesmo lado da moeda, então R ganha $1 de C; em
caso contrário, C ganha $1 de R. Construir a matriz de pagamentos.
Exemplo 2: Há dois fornecedores, as empresas R e C, de um novo tipo especializado de pneu
que tem 100.000 clientes. Cada empresa pode anunciar seu produto na TV ou em jornais. Uma
empresa de propaganda determina que, se ambas as empresas anunciarem na TV, então a empresa R
obterá 40.000 clientes (e a empresa C obterá 60.000 clientes). Se ambas anunciarem em jornais,
então cada uma obterá 50.000 clientes. Se R anunciar em jornais e C na TV, então R obterá 60.000
clientes (e C obterá 40.000 clientes). Se R anunciar na TV e C anunciar em jornais, então cada um
deles obterá 50.000 clientes.
Este é um jogo de soma constante, para o qual a soma dos clientes de R e C é sempre igual a
população total dos 100.000 compradores deste tipo de pneu. Construir a matriz de pagamentos.
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
26
Observe a seguinte matriz de pagamentos:
C
C1 C2 C3 C4
L1 8 2 9 5
R L2 6 5 7 8
L3 7 3 − 4 7
Em que, L1, L2 e L3 são as jogadas do jogador R e C1, C2, C3 e C4 as jogadas do jogador C.
Se o jogador R escolher a jogada L2, ele garante a vitória em pelo menos 5 pontos que é o menor
elemento da segunda linha da matriz, independente da jogada do jogador C. Se o jogador C escolher
a jogada C2, ele garante que perderá não mais que 5 pontos que é o maior elemento da segunda
coluna, independente da jogada do jogador R.
Assim, o melhor curso de ação do jogador R é escolher a jogada que maximizará seus
pagamentos certos, independente do que o jogador C faça. O melhor curso de ação do jogador C é
escolher a jogada que minimizará suas perdas certas, independente da escolha do jogador R.
A tabela seguinte apresenta essa análise de modo mais detalhado.
C
C1 C2 C3 C4 Mínimios
L1 8 2 9 5 2
R L2 6 5 7 8 5
L3 7 3 − 4 7 − 4
Máximos 8 5 9 8
R escolhe a jogada L2 – maximin - maximiza o mínimo ganho de cada opção - valor maximin.
C escolhe a jogada C2 – minimax - minimiza a máxima perda de cada opção - valor minimax.
Definição: Se a matriz de pagamentos de um jogo matricial contém um elemento ars, que é ao
mesmo tempo o mínimo da linha r e o máximo da coluna s, então ars é chamado de ponto de sela.
Além disso, ars é chamado de valor do jogo. Se o valor de um jogo de soma zero é zero, o jogo é
chamado imparcial .
Definição: Um jogo matricial é dito estritamente determinado se sua matriz de pagamentos
tem um ponto de sela.
Observação: Um jogo pode ter mais do que um ponto de sela.
Exemplo 3: Considere o jogo com matriz de pagamentos
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
27
C
0 −3 −1 3
R 3 2 2 4
1 4 0 6
O jogo tem ponto de sela?
C Mínimios das linhas
0 −3 −1 3 −3
R 3 2 2 4 2
1 4 0 6 0
Máximos das colunas 3 4 2 6
O elemento a23 é o ponto de sela para o jogo e o jogo é estritamente determinado.
O que acontece se R escolher a segunda jogada?
O que acontece se C escolher a terceira jogada?
Exemplo 4: Faça a mesma análise para o jogo do exemplo 2.
Exemplo 5: Considere o jogo com a matriz de pagamentos.
−−
−
354
423
161
Verifique se há ponto de sela. (Resposta: não.)
Exemplo 6: Verifique se o jogo com a matriz de pagamentos A tem ponto de sela.
−=4646
2316
4545
A
Resposta: vários pontos de sela com valor 4.
Exercício: Verifique se o jogo do exemplo 1 é um jogo estritamente determinado.
Nos jogos que não são estritamente determinados cada jogador tenta determinar seu melhor
curso de ação. O jogador R tenta maximizar seus ganhos e o jogador C tenta minimizar suas perdas.
Uma estratégia para um jogador é uma decisão para a escolha da jogada.
Como o jogo é jogado repetidamente, cada jogador fará cada jogada com uma determinada
frequência relativa.
Definição: Suponha um jogo matricial com uma matriz de pagamentos mxn. Seja pi, 1 ≤ i ≤ m,
a probabilidade de um jogador escolher a i-ésima linha da matriz de pagamentos. Seja qj, 1 ≤ j ≤ n, a
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
28
probabilidade do outro jogador escolher a j-ésima coluna da matriz de pagamentos. O vetor
[ ]mpppp ...21= é chamado de uma estratégia para o jogador R; o vetor
=
nq
q
q
q...
2
1
é chamado
de uma estratégia para o jogador C
Obs.: ∑∑ == 1 e 1 ji qp
Se um jogo um jogo matricial é estritamente determinado, então as estratégias ótimas dos
jogadores são estratégias que têm uma componente igual a 1 e todas as outras iguais a zero. Essas
estratégias são chamadas de estratégias puras. Uma estratégia que não é pura é chamada de
estratégia mista. No exemplo 3, a estratégia pura para R é [ ]010=p e a estratégia pura para C é
=
0
1
0
0
q .
Definição: Ganho esperado. E(p,q) = pAq, onde A é a matriz de pagamentos.
Exemplo 7: Considere um jogo matricial com matriz de pagamentos
−−
=304
322A .
Se
=4
3
4
1p e
=
3
13
13
1
q são as estratégias para R e C, respectivamente, então qual o ganho
esperado para R ? (Resposta: ½). Qual o significado desse valor?
E se
=4
1
4
3p e
=03
23
1
q são as estratégias para R e C, respectivamente, então qual o ganho
esperado para R ? (Resposta: -1/6). Qual o significado desse valor?
Definição: Uma estratégia para um jogador R é dita ótima se ela garante maior ganho possível
para R, independente do que seu oponente possa fazer. Da mesma maneira, uma estratégia para o
jogador C é dita ótima se ela garante o menor ganho possível para R, independente do que R faça.
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
29
Definição: Se p e q são estratégias ótimas para R e C, respectivamente, então o ganho
esperado para R, v = E(p,q), é chamado de valor do jogo. Se o valor de um jogo de soma zero é
zero, o jogo é dito imparcial .
3.3 DETERMINAÇÃO DAS ESTRATÉGIAS ÓTIMAS
O principal objetivo da teoria dos jogos é determinar as estratégias ótimas para cada jogador.
Desta forma, ao serem definidas as probabilidades de cada alternativa, o jogador deve selecioná-las
seguindo esta probabilidade, de modo aleatório, para que sua estratégia não seja detectada pelo
outro jogador.
Considere um jogo matricial com matriz de pagamentos 2x2
=
2221
1211
aa
aaA
Com estratégia [ ]21 ppp = para o jogador R e
=
2
1
q
qq para o jogador C e que o jogo não
seja estritamente determinado.
Agora vamos determinar uma estratégia ótima para R:
� Se C joga sua primeira coluna, o ganho esperado de R é a11p1 + a21p2.
� Se C joga sua segunda coluna, o ganho esperado de R é a12p1 + a22p2.
� Se v é o menor dos ganhos esperados:
vpapa
vpapa
≥+≥+
222121
221111
O jogador R procura tornar v o maior possível, isto é, R procura encontrar p1, p2 e v tais que v
seja máximo e
0,0,0
1
0
0
21
21
222121
221111
≥≥≥=+
≥−+≥−+
vpp
pp
vpapa
vpapa
A adição de uma constante k a todos os elementos de A, não modifica as estratégias ótimas
para R e C e o valor do jogo é k mais o valor do jogo anterior. Assim, é possível supor que,
adicionando uma constante apropriada a todos os elementos da matriz de pagamentos, todo
elemento de A é positivo e v também é positivo. Dividindo-se cada uma das restrições por v e
fazendo v
py i
i = , conclui-se que
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
30
2121
2121
1111
yyv
vyy
vv
p
v
ppp
+=⇒=+⇒=+⇒=+
Logo, v é máximo se e somente se y1+y2 é mínimo. O problema de R agora pode ser
enunciado da seguinte maneira:
a sujeito
Minimizar 21 yy +
0,0
1
1
21
222112
221111
≥≥≥+≥+
yy
yaya
yaya
Que é um problema de programação linear.
O problema de C, encontrar q1, q2 e u, tais que u seja mínimo e
0,0,0
1
21
21
222121
212111
≥≥≥=+
≤+≤+
uqq
uqaqa
uqaqa
Fazendo u
qx i
i = , conclui-se que
2121
2121
1111
xxu
uxx
uu
q
u
qqq
+=⇒=+⇒=+⇒=+
Logo u é mínimo se e somente se x1+x2 é máximo, e o problema de C será:
a sujeito
Maximizar 21 x x +
0,0
1
1
21
222121
212111
≥≥≤+≤+
xx
xaxa
xaxa
Generalizando:
Seja A = [aij]mxn a matriz de pagamentos, p1, p2, ..., pm estratégias de R e q1, q2, ...,qn
estratégias de C.
Problema de R
a sujeito
...Minimizar 21 myyy +++
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
31
0
1...
....................................................
1...
1...
2211
2222112
1221111
≥≥+++
≥+++≥+++
i
mmnnn
mm
mm
y
yayaya
yayaya
yayaya
Problema de C
a sujeito
...Maximizar 21 nxxx +++
0
1...
....................................................
1...
1...
2211
2222121
1212111
≥≤+++
≤+++≤+++
i
nmnmm
nn
nn
x
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
Teorema Fundamental dos Jogos Matriciais: Todo jogo matricial tem uma solução. Isto é, há
estratégias ótimas para R e C. Além disso, v = u.
Observe que os problemas de R e C são problemas de programação linear na forma padrão e
são problemas duais. Resolvendo-se pelo método simplex, o quadro final apresentará as estratégias
ótimas de R e C.
Exercício 1: Determinar as estratégias ótimas para R e C do jogo de soma zero do exemplo 1.
Qual o significado dos resultados? O jogo é imparcial?
(Resposta: estratégias
2
12
1
e 2
1
2
1).
Exercício 2: Determinar as estratégias ótimas para R e C de um jogo matricial com matriz de
pagamentos
−31
52
(Resposta: estratégias
9
19
8
e 9
7
9
2).
Exercício 3: Determinar estratégias ótimas para R e C de um jogo com matriz de pagamentos
−−
213
032
Verifique se o jogo é imparcial. Caso não seja, para quem o jogo é vantajoso?
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
32
(Resposta: valor do jogo = 3, o jogo não é imparcial; estratégias [ ]2/12/1;
3/2
3/1
0
).
3.4 ESTRATÉGIA DOMINANTE
Algumas vezes é possível resolver um jogo matricial reduzindo-se o tamanho da matriz de
pagamentos A. Se cada elemento da linha r de A é menor ou igual ao elemento correspondente da
linha s, então a linha r é dita recessiva e a linha s domina a linha r. Se cada elemento da coluna r de
A é maior ou igual ao elemento correspondente na coluna s, então a coluna r é recessiva e a coluna
s domina a coluna r.
Exemplo 8: Na matriz de pagamentos
−
423
430
312
a primeira linha é recessiva; a terceira linha domina a primeira linha.
Exercício 4: Verifique a existência de linhas ou colunas dominantes na matriz de pagamentos
−−−
125
333
342
Exercício 5: Analise a seguinte afirmativa:
Em uma matriz com linha ou coluna recessiva é possível retirar essa linha ou coluna recessiva
de modo a diminuir a matriz de pagamentos.
Exercício 6: Determine as estratégias ótimas para o jogo com a seguinte matriz de pagamentos
−−
=403
422
312
A
Resposta:
=7
4
7
30p e
=0
7/5
7/2
q
Considere um jogo matricial com matriz de pagamentos
−=
304
322A
Se [ ]4/34/1=p e
=3/1
3/1
3/1
q , calcular o ganho esperado de X. Resposta: ½.
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
33
Se [ ]4/14/3=p e
=0
3/2
3/1
q , calcular o ganho esperado de X. Resposta: −1/6.
7) Considere um jogo com matriz de pagamentos
−−
=213
032A
Determinar as estratégias p e q.
Obs.: Adicionar um número a todos os elementos da matriz de modo que todos os números fiquem
positivos.
Resposta: [ ]2/12/1=p
=3/2
3/1
0
q
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
34
4 INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS Esse capítulo tem como fonte Goldbarg e Luna (2000) e Bronson (1985) conforme referências indicadas.
4.1 FATO HISTÓRICO
Um funcionário encarregado de verificar o estado das estradas, deseja planejar a sua rota de inspeção. Idealmente, esta rota deveria iniciar na capital e percorrer cada estrada exatamente uma vez, retornando ao ponto de partida. Existe tal rota?
Este problema foi estudado pela primeira vez no século XVIII (1736) por Leonhard
Euler(1707-1783). A situação estudada por Euler ficou imortalizada como o Problema das Pontes de Königsberg.
Situação real – o problema
O objetivo é percorrer exatamente uma vez todas as sete pontes da cidade que conectam as
duas ilhas entre si e as margens do rio, voltando ao ponto de partida.
A
C D
B
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
35
O modelo
Um multigrafo, com 4 vértices e sete arestas. Sair de um vértice, percorrer todas as arestas do grafo, uma única vez cada.
NESTE CASO, É IMPOSSÍVEL!
4.2 TEORIA DOS GRAFOS
É um dos ramos de maior aplicação na ciência da computação. Trata-se de uma área cada vez mais ativa entre matemáticos e profissionais da computação
Grafo ≠ gráfico representativo de funções
Grafo = Estrutura composta de vértices e arestas
4.3 CONCEITOS BÁSICOS EM TEORIA DOS GRAFOS
Diversos problemas de programação linear, inclusive os problemas de transporte, podem ser
modelados como problemas de fluxo de redes. Algoritmos específicos para determinados tipos de problemas podem ser mais convenientes para a sua solução do que algoritmos mais genéricos.
Antes de continuar, serão apresentadas algumas definições da teoria dos grafos.
A o
C o o D
o B
ArestaVértice
Grafo não orientado
1
2
4 5
3
1
2 3
4Grafo Orientado
Dígrafo
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
36
4.3.1 DEFINIÇÃO DE GRAFO.
Um grafo é uma estrutura de abstração que representa um conjunto de elementos denominados vértices (ou nós) e suas relações de interdependência ou arestas.
4.3.2 REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA.
Denominado por N o conjunto de vértices da estrutura, e por M o conjunto das arestas ou ligações entre os vértices, um grafo pode ser representado por: G = (N,M).
Exemplo: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e M = {a, b, c, d, e, f}
4.3.3 DEFINIÇÃO DE GRAFO PONDERADO.
Um grafo G = (N,M) é ponderado se existem valores numéricos associados a suas arestas ou nós.
4.3.4 Definição de Grafo Rotulado.
Um grafo G = (N,M) é rotulado se existem atribuições associadas a seus nós (tanto numéricas como alfabéticas).
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
37
4.3.5 DEFINIÇÃO DE MULTIGRAFO
Um grafo G = (N, M) é um multígrafo se existem mais de uma aresta ligando o mesmo par de vértices.
4.3.6 DEFINIÇÃO DE GRAFO DIRECIONADO
Um grafo é dito direcionado quando o sentido das ligações entre os vértices é importante. Nesse caso normalmente as arestas são chamadas por arcos.
4.3.7 REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA
Denominando por N o conjunto de vértices da estrutura, e por M o conjunto dos pares ordenados do produto cartesiano n x n das ligações existentes em G, um grafo Orientado é também representado por G = (N, M).
Os grafos direcionados também são chamados de orientados. Convenção: G = (N, A) – representará os grafos não direcionados. G = (V, E) – representará os grafos direcionados.
Outra significativa classe é denominada grafos bipartidos. Esse tipo de estrutura pode representa situações como as geradas por alocação de pessoas a tarefas, ferramentas a máquinas etc.
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4.3.8 DEFINIÇÃO DE GRAFO BIPARTIDO
Um grafo G é dito bipartido quando seu conjunto de Nós, N, pode ser dividido em dois conjuntos N1 e N2 tais que N1 ∩ N2 = ∅ e N1 ∪ N2 = N e somente existem arestas em G ligando algum nó de N1 com algum nó de N2 e vice-versa.
4.3.9 DEFINIÇÃO DE GRAFO COMPLETO
Um grafo G é dito completo se existir ao menos uma ligação associada a cada par de vér-tices. No caso não orientado isso significa exatamente uma ligação.
Os grafos completos não orientados são também denominados cliques e denotados como Kn onde n representa o número de nós do grafo completo.
Por analogia os grafos completos bipartidos são denotados por Kpq, sendo p e q as cardina-lidades das duas partições do grafo.
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4.3.10 DEFINIÇÃO DE GRAFO REGULAR
O grau de um vértice de um grafo é o número de arestas incidentes no vértice. Um grafo G é dito regular de grau r se cada vértice em G possuir o grau r. (*) O maior grau de G é denominado ∆(G).
Alguns autores fazem distinção entre o conceito de grau para grafos orientados e não orientados. No caso dos grafos orientados o grau pode ser decomposto em duas parcelas: o grau interno ou o número de arcos chegando ao nó, e o grau externo, ou o número de arcos partindo do nó. Essas parcelas do grau do nó são denominadas semigrau. No caso dos grafos direcionados a soma do semigrau interior d(i)+ e exterior d(i)-, conduz ao valor final do grau do nó. A expressão para a obtenção do grau em grafos orientados é:
d(i) = d(i)- + d(i)+
No caso da figura podemos calcular o grau do vértice 4 da seguinte forma:
d(4) = d(4)- + d(4)+ = -2+ +2 = 4
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4.4 REDE
Definimos uma rede R = (E, V, F) como um grafo direcionado G = (E, V) atravessado por um Fluxo F = {f1,f2, ...,fm} que circula em suas m arestas. Em uma rede normalmente dois nós são destacados: o nó fonte e o nó sumidouro. Qualquer tipo de rede pode ser reduzida a uma rede com apenas um nó fonte e um nó sumidouro, mesmo que artificialmente configurados. Os arcos da rede podem ser limitados em capacidade em relação ao fluxo. Esses mesmos arcos podem impor custos à circulação do fluxo. De uma forma geral, uma rede poderia ser representada como na figura seguinte. Os nós são representados pelos círculos e os arcos pelas setas. O sentido convencional do fluxo está indicado pelas setas (o grafo de substrato é direcionado).
onde:
lij = limite inferior (ou mínimo) para o fluxo no arco i-j. Lij = limite superior (ou máximo) para o fluxo no arco i-j. Cij = custo de circulação da unidade de fluxo no arco i-j.
A figura seguinte representa uma rede valorada.
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4.5 OUTROS CONCEITOS BÁSICOS
Um dos pontos mais fundamentalmente associados à noção de grafos é o conceito de ligação entre vértices. De fato, o modelo é, basicamente, uma estrutura adequada a representar topologicamente formas de conexão. É, portanto, indispensável esclarecer como os vértices podem estabelecer vínculos ou ligações através das denominadas arestas ou arcos. Nesse sentido, existem duas formas específicas de entender vizinhança entre nós e arestas, uma para o caso dos grafos direcionados e outra para os não direcionados.
4.5.1 DEFINIÇÃO DE CADEIA DE ARESTAS
Dizemos que uma cadeia de arestas é uma seqüência de arestas em que todas são distintas (não repetidas).
4.5.2 DEFINIÇÃO DE CAMINHO
Um caminho é urna seqüência de arestas em que todos os nós visitados são distintos.
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4.5.3 DEFINIÇÃO DE COMPRIMENTO DE UM CAMINHO
Em um grafo G não ponderado, o comprimento de um caminho é o número de arestas desse caminho.
Em um grafo G ponderado, o comprimento de um caminho é a soma dos pesos das arestas desse caminho.
4.5.4 DEFINIÇÃO DE CICLO
Em um grafo G, um ciclo é uma cadeia fechada, ou seja, que inicia e termina em um mesmo nó.
4.5.5 DEFINIÇÃO DE CIRCUITO
Quando o grafo G é orientado, alguns autores denominam por circuito a seqüência distinta de arcos que repete o último nó visitado.
4.6 CONEXIDADE
4.6.1 DEFINIÇÃO DE GRAFO CONEXO
G é conexo se para todo par de vértices existe pelo menos uma cadeia entre eles.
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4.7 DEFINIÇÃO DE ÁRVORE.
Um grafo é denominado por árvore se for conexo e não possuir ciclos.
4.8 REPRESENTAÇÃO DO MODELO USANDO MATRIZ DE ADJACÊNCIA
Trata-se de Uma representação bastante simples. O grafo é expresso em uma matriz A = [aij] através dos nós e de suas relações de vizinhança. As linhas e as colunas da matriz estão associadas aos nós do grafo. A matriz é, normalmente, boleana, ou seja, seus elementos são 0 e 1. Quando existem arestas paralelas, o valor de aij pode passar a representar o número de arcos paralelos.
4.8.1 DEFINIÇÃO DE MATRIZ DE ADJACÊNCIA
Uma matriz n x m A = [aij] é denominada como de adjacência do grafo G = (N,M) se: aij = 1 ↔ existe a ligação (i,j) aij = 0 ↔ não existe a ligação (i,j)
011000
101000
110111
001010
001100
001000
6
5
4
3
2
1
654321
Grafo G e sua Matriz de adjacência
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4.9 REPRESENTAÇÃO DO MODELO USANDO A MATRIZ DE INCIDÊNCIA
Nesse caso as colunas da matriz correspondem às arestas do grafo e as linhas aos nós.
4.9.1 DEFINIÇÃO DE MATRIZ DE INCIDÊNCIA
Uma matriz n x m A = [aij] é denominada como de incidência do grafo G = (N, M) se, para todo arco j que liga o nó k ao nó l temos:
aij = +1↔ i = k aij = -1↔ i = l (para grafo direcionado, senão aij = 1) aij = 0 nos outros casos
−−
−−
1000
0100
1111
0010
0001
5
4
3
2
14321 uuuu
Grafo direcionado e sua matriz de incidência.
1000
0100
1111
0010
0001
5
4
3
2
14321 uuuu
Grafo não direcionado e sua matriz de incidência.
4.10 ANÁLISE DE REDES
4.10.1 PROBLEMAS DE EXTENSÃO MÍNIMA
Um problema de extensão mínima envolve um conjunto de nós e um conjunto de ramos
propostos, nenhum deles orientado. Cada ramo proposto possui um custo não negativo associado. O objetivo é construir uma rede conexa contendo todos os nós e tal que a soma dos custos associados aos ramos realmente utilizados seja mínima.
O problema de extensão mínima é sempre resolvido por meio de uma árvore. Uma árvore de
extensão mínima pode ser obtida selecionando-se inicialmente qualquer nó e determinando-se ramo incidente no nó selecionado que possui o menor custo (os empates são decididos arbitrariamente). Este ramo é aceito como parte da rede final. A rede é então completada de forma iterativa. A cada estágio do processo iterativo a atenção é focalizada sobre os nós já interligados.
Se os custos forem todos distintos a árvore de mínima extensão é única e é produzida pelo
algoritmo acima com qualquer escolha de nó inicial.
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4.10.2 PROBLEMAS DE PERCURSO MÍNIMO.
Um problema de percurso mínimo envolve uma rede conexa dotada de custos não negativos associados a cada um dos ramos. Um nó é designado como fonte e outro como sumidouro. O objetivo é determinar um percurso interligando a fonte e o sumidouro, tal que a soma dos custos associados aos ramos do percurso seja mínima. Os problemas de percurso mais barato são resolvidos por meio do seguinte algoritmo no qual todos os empates são decididos arbitrariamente.
Algoritmo para problemas do percurso mínimo
Passo 1: Construir uma lista principal registrando os nós em ordem crescente de custo e sob cada nó os ramos incidentes. Cada ramo sob um determinado nó é escrito com este nó como sendo o primeiro. Omite-se da lista qualquer ramo que tenha a fonte como segundo nó ou o sumidouro como seu primeiro nó. Passo 2: Assinalar com asterisco (*) o nó fonte e atribuir o valor 0. Localizar o ramo de menor custo e assinalar com um círculo. Assinalar com um asterisco (*) o segundo nó desse ramo e alocar a este nó um valor igual ao custo do ramo. Eliminar da lista principal todos os outros ramos que possuem o nó recém assinalado com asterisco como segundo nó. Passo 3: Se o nó recém assinalado com asterisco for o sumidouro, ir para o passo 5. Caso contrário, ir para o passo 4. Passo 4: Considerar, na lista principal corrente, todos os nós assinalados com asterisco (*) sob os quais haja ramos não marcados por círculos. Para cada um destes nós, adicionar ao valor que lhe é alocado o custo do ramo de menor custo não marcado por círculo sob o nó em pauta. Designar a menor destas somas por M e circunda-se o ramo cujo custo contribuiu para M. Assinalar com asterisco (*) o segundo nó deste ramo e alocar a ele o valor M. Excluir da lista principal todos os outros ramos que possuam o nó recém assinalado por asterisco como segundo nó. Ir para o passo 3. Passo 5: Z é o valor alocado ao sumidouro. Um percurso de custo mínimo é obtido recursivamente começando com o sumidouro, pela inclusão no percurso de cada um dos ramos circundados, cujo segundo nó pertença ao percurso.
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4.11 EXERCÍCIOS
1) Uma companhia transportadora deve movimentar 50 unidades de um produto de Los Angeles para New York. A tabela 1 fornece os custos de transporte (em dólares por unidade) entre vários depósitos da companhia. Os elementos em branco na tabela significam os transportes que não podem ser realizados entre os depósitos correspondentes. Determinar o esquema de transporte de menor custo. Resolver o problema como um problema de percurso mínimo. Tabela 1 – Custo de transporte em dólares por unidade Los Angeles São Francisco Phoenix Laramie St. Louis Chicago New York Los Angeles 7 8 39 95 São Francisco 7 22 17 36 85 Phoenix 8 22 14 25 27 Laramie 17 14 31 19 St. Louis 39 25 31 14 20 Chicago 36 27 19 14 13 New York 95 85 20 13 Resposta: Los Angeles → Phoenix → Chicago → New York, custo = 48 2) Use a tabela 1 para determinar o esquema de transporte de menor custo entre Phoenix e New York. Resolver o problema como um problema de percurso mínimo. Resposta: Phoenix → Chicago → New York, custo = 40 3) Use a tabela 1 para determinar o esquema de transporte de menor custo entre São Francisco e New York. Resolver o problema como um problema de percurso mínimo. Resposta: São Francisco → Chicago → New York, custo = 49 4) Determinar a matriz de adjacência e de incidência dos seguintes grafos. a)
b)
5) Representar o grafo que tem a seguinte matriz de adjacência a) 1 2 3 4 b) 1 2 3 4 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 2 1 0 1 1 2 1 0 1 0 3 0 1 0 0 3 1 1 0 1 4 1 1 0 0 4 0 0 1 0
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5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANDRADE, E. L., Introdução à Pesquisa Operacional: Métodos e Modelos para Análise de
Decisões. 3ª. Edição. LTC Editora. Rio de Janeiro, 2002.
BRONSON, R. .Pesquisa Operacional, McGraw-Hill ,1985
GOLDBARG, M. C. & LUNA, H. P. L. Otimização Combinatória e Programação Linear, Campus,
2000.
KOLMAN, B. & HILL, R. Introdução à álgebra linear: com aplicações. LTC Editora. Rio de
Janeiro, 2006.
PRADO, Darci Santos do. Teoria das Filas e Simulação. Editora de Desenvolvimento Gerencial.
Série Pesquisa Operacional. Vol.2. 2ª. Edição. Belo Horizonte - MG. 2004
SILVA, Ermes Medeiros et al.. Pesquisa Operacional. Atlas, 1998.
TAVARES, Jean Max. Teoria dos jogos: aplicada à estratégia empresarial. Rio de Janeiro: LTC,
2012.
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