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Relatório Técnico
Implementação de controle H2 e H-infinito usando LabView aplicado a um sistema de levitação magnética
Daniel Siqueira e Vilma A. Oliveira
Departamento de Engenharia Elétrica Escola de Engenharia de São Carlos,USP
13566-590, São Carlos, SP dansique@sel.eesc.usp.br, vilmao@sel.eesc.usp.br
São Carlos, junho de 2003
Índice
Resumo 3 1 - Introdução 4 2 - Modelagem 5
2.1 - Modelagem do sistema de suspensão 5 2.2 - Modelagem da Incerteza 7
3 - Técnicas de Controle Robusto H2 e H-infinito 8 3.1 - Condições de robustez 10 3.2 - Projeto do controlador 12
3.2.1 - Escolha das funções de ponderação 12 4 - Resultados de Simulações 16 5 - Discretização e Implementação Experimental dos Controladores 17
5.1 - Técnicas de Discretização 17 5.2 - Aparato experimental 19
6 - Resultados Experimentais 21 7 - Conclusão 26 Apêndice 27
Rotina MATLAB do controlador H2 27 Referências Bibliográficas 29
2
Resumo
Este relatório técnico apresenta a implementação de controladores para um sistema de suspensão
magnética seguindo as técnicas de controle robusto H2 e H-infinito em uma plataforma LabView. O
objetivo é empregar estas técnicas para melhorar o desempenho do sistema , O controle robusto
amplia a região de estabilidade do sistema e melhora o desempenho em relação a rejeição a ruídos,
perturbações e variações paramétricas na planta quando comparado com controle do tipo avanço de
fase. Resultados de simulação e experimentais são apresentados.
3
1 - Introdução
O sistema de suspensão magnética possui várias aplicações práticas importantes, como em
rolamentos e mancais magnéticos e transportes de alta velocidade. Um exemplo de aplicação é
mostrado em [1], onde são apresentadas as vantagens de se construir veículos de transporte
utilizando suspensão magnética, e é realizada a construção do protótipo de um veículo em escala
laboratorial. Este sistema é interessante também por ser altamente instável, proporcionando assim
uma clara verificação do resultado da ação de controle a ser implementada. O protótipo em escala
laboratorial a ser utilizado neste trabalho é mostrado na Figura 1. Trata-se basicamente de uma bola
de metal que deve ser mantida a uma distância da bobina através de equilíbrio entre a força
gravitacional e a força eletromagnética. O diagrama esquemático do sistema é mostrado na Figura
2.
0z
Figura 1 – Protótipo sistema de suspensão.
Figura 2 – Representação do sistema de suspensão magnética.
4
2 - Modelagem
2.1 - Modelagem do sistema de suspensão O modelo do sistema de suspensão magnética pode ser encontrado em [2], sendo obtido a partir de
(1)-(3). 2
02( , )
2 (1 / )L if z ia z a
−=
+ (1)
2
2 ( , )d zm mg f zdt
= + i (2)
( ( ) )d L z iv Ridt
= + (3)
onde é a força eletromagnética, i é a corrente na bobina, .. é a tensão aplicada, e (.,.)f v (.)L R
são a indutância e a resistência da bobina, a é uma constante e )()0( ∞0 −= LL
(
(z
L Estas equações
são não-lineares, mas podem ser linearizadas em torno de um ponto de equilíbrio , que é o
ponto para o qual temos . As equações linearizadas em torno de , (4) e (5),
são mostradas a seguir.
), 00 iz
), 00 i0 0i( , )mg f z= −
ll
diu Ri Ldt
= + (4)
2
2 12 ( , )ll l l l
d zm f z i k zdt
= = − lk i (5)
onde
0 01 2
0[ (1 / ) ]L ik
a z a=
+
20 0
2 2 30[ (1 / ) ]
L ika z a
=+
0lz z z= −
0li i i= −
0u v Ri= −
e é uma constante que aproxima no ponto de equilíbrio. L (.)L
Os parâmetros do protótipo do sistema de suspensão magnética utilizado neste trabalho são
apresentados na Tabela 1.
5
Tabela 1 – Parâmetros do sistema de suspensão magnética.
Massa da esfera metálica m [kg] 22,6 x 10-3
Resistência da bobina R [Ω] 21,0
Indutância da bobina aproximada L [H] 0,520
Indutância da bobina no ponto de operação L0 [H] 24,9 x 10-3
Corrente da bobina no ponto de operação 0i [A] 0,570
Posição da bola no ponto de operação 0z [m] 4,5 x 10 -3
Constante a a [m] 6,72 x 10 –3
Constante k1 1k [N/A] 0,770
Constante k2 2k [N/m] 39,6
Máxima tensão aplicada à bobina maxV [V] 24,0
Ganho do sensor de posição c1 [V/m] -1736
Faixa de atuação linear do sensor de posição [m] (3,5 – 5,5) x 10 –3
Ganho PWM ka [V/V] 2,1
Faixa de atuação linear do PWM [V] 0 – 10
A partir de (1)-(5), utilizando transformada de Laplace, obtém-se a representação em blocos do
sistema mostrada na Figura 3 e também a função de transferência para o sistema (6).
LsR +1
2
1ms1k
1
2
kk
- +
v i z
Figura 3 – Representação em blocos do sistema de suspensão linearizado.
RkLskRmsLmsk
sGSS22
231)(
+−+−
= . (6)
A malha do sistema para implementação do controlador apresenta um sensor, que será
representado por um ganho c1 , um PWM, que será representado por um ganho k e com o
controlador, que será representado pela função de transferência K(s). O diagrama em blocos do
sistema em malha fechada é mostrado na Figura 4.
a
6
K(s) ka Gss(s)
c1
-
Gn(s)
Figura 4 – Representação em blocos do sistema em malha fechada.
Portando, a planta nominal G , conforme a representação da Figura 2, é representada pela função
de transferência (14).
n
RkLskRmsLmskck
sG an
2223
11)(−−+
−= . (14)
Uma outra forma de obtenção da função de transferência é através do comando linmod do
MATLAB. Este comando gera uma representação para o sistema, que pode ser na forma de equação
de espaço de estados ou função de transferência a partir de um modelo criado no ambiente
SIMULINK. Maiores detalhes a respeito do Toolbox do programa MATLAB utilizado em sistemas
de controle e do ambiente SIMULINK podem ser vistos em [3] e [4]. O modelo criado em ambiente
SIMULINK, a partir das equações não-lineares do sistema é mostrado na Figura 5.
Figura 5 – Modelo para o sistema no ambiente SIMULINK.
Este modelo é formado por uma função não-linear, que representa (1), e por outros blocos de ganho,
integradores, blocos de saturação e malhas de realimentação que representam o restante da dinâmica
do sistema. Os resultados obtidos utilizando-se o comando linmod foram coerentes com a função de
transferência obtida por linearização, mostrando a validade de ambos os procedimentos.
2.2 - Modelagem da Incerteza Uma questão muito importante para a aplicação do sistema de suspensão magnética a sistemas de
transporte é a sensibilidade com relação a variações na massa. Portanto, é necessário que esta
incerteza paramétrica seja incluída na modelagem da planta. A variação da massa é modelada como
7
uma incerteza multiplicativa W adicionada à planta nominal , para a obtenção da
planta real , segundo (15) e a Figura 6.
)(serr )(sGn
)(sGr
)())()(1()( sGssWsG nerrr ∆+= , 1)( ≤∆ s . (15)
Gn(s)
Werr(s) ∆(s)
Gr(s)
+ +
Figura 6 – Modelo de incerteza multiplicativa.
Em um sistema de transporte, geralmente a massa é aumentada de uma massa de carga, portanto, a
massa real é a massa nominal acrescida da massa adicional rm mm mδ , como a seguir
mmm nr δ+= (16)
A massa adicional pode ter seu valor máximo definido em termos de uma porcentagem da massa
nominal. Para a determinação de W , é obtida a função de transferência real a partir de
e então, considerando o pior caso, temos (17).
)(serr )(sGr
rm
)()()()(
sGsGsGsW
n
nrerr
−= . (17)
A partir de e da modelagem do erro são realizados os projetos dos controladores
robustos, conforme será mostrado em seguida. Deve-se ter em vista que a linearização do sistema
de suspensão magnética é realizada para o ponto de equilíbrio, sendo válida para uma região
restrita, e que outros componentes como o PWM e o sensor de posição também apresentam uma
faixa restrita de atuação linear.
)(sGn
3 - Técnicas de Controle Robusto H2 e H-infinito
Os projetos dos controladores robustos empregados neste trabalho seguem as técnicas H2 e H-
infinito. Estas técnicas de projeto são concebidas no domínio da freqüência no contexto de
otimização no espaço de funções de transferência de uma função objetivo dada em termos das
normas H2 ou H-infinito. As normas H2 e H-infinito de funções de transferência são definidas em
(18) e (19), respectivamente.
)(sup)( jwTjwT zww
zw =∞
(18)
8
2/1*
02
)))()((1()( dwjwTjwTtraçojwT zwzwzw ∫=∞
π. (19)
O projeto de controladores robustos visa encontrar um controlador que além de tornar estável
o sistema nominal, apresente robustez de estabilidade e robustez de desempenho. Robustez de
desempenho significa que o sistema deve manter o desempenho especificado mesmo com erros de
modelagem na planta nominal, desde que estes erros estejam dentro de um certo limite. Robustez de
estabilidade significa que a estabilidade será mantida mesmo com erros de modelagem e ruídos de
sensor.
)(sK
Os erros de modelagem em geral estão presentes principalmente na modelagem para altas
freqüências, devido ao fato dos efeitos de modos de alta ordem e não-linearidades serem
desprezados. Para moldar as especificações de desempenho e estabilidade e também os erros de
modelagem, o projeto é realizado em termos de uma planta aumentada como na Figura 7, que
inclui a planta nominal e as funções de ponderação, conforme mostrado na Figura 7.
G
nG
y
z1
w z3
e u
-
K(s)
Gn(s)
W1 (s)
W3 (s)
Planta aumentada G(s)
controlador
W2 (s) z2
Figura 7 – Diagrama da planta aumentada com controlador.
As funções de ponderação representam as especificações de projeto e erros de modelagem,
restringindo as saídas , e da planta aumentada, conforme apresentado resumidamente a
seguir:
1z 2z 3z
• : pondera o sinal de erro , atuando sobre a sensibilidade do sistema. A sensibilidade S
deve assumir valor baixo, especialmente nas baixas freqüências, para que o sistema rejeite
perturbações externas, apresente pequeno erro de regime e tenha desempenho insensível a variações
na planta. Portanto, a função W , que reflete as especificações de desempenho, deve apresentar um
valor alto em baixas freqüências;
1W 1z
1
S
9
• 2W 2: pondera , ou seja, o sinal de controle. Para isso atua sobre o ganho do controlador e na
sensibilidade S do sistema. A função W está ligada a limitações no sinal de entrada da planta G ,
tais como tensões ou correntes máximas suportadas pela planta.
2z
2 n
• : pondera , a saída da planta G , atuando sobre a sensibilidade complementar 3W 3z n T do
sistema. Para que o sistema rejeite ruídos do sensor e seja estável mesmo com erros de modelagem,
T deve assumir valores baixos em altas freqüências. Portanto W , que molda a condição de
estabilidade, deve ter valores altos para altas freqüências.
3
A sensibilidade e a sensibilidade complementar S T de um sistema são definidas,
respectivamente, por (20) e (21). 1))()(1()( −+= sKsGsS n (20)
1))()(1)(()()(1)( −+=−= sGsKsGsKsSsT nn . (21)
As especificações de desempenho e estabilidade em termos da função sensibilidade , da
limitação do sinal de entrada da planta nominal e da sensibilidade complementar
S
T podem ser
descritas da seguinte forma: 1
11 ou 1 −<< WSSW , (22)
122 ou 1 −<< WKSKSW e (23)
133 ou 1 −<< WTTW . (24)
Para que tais especificações sejam atingíveis, devemos respeitar a condição (25)
113
11 >+ −− WW . (25)
E o problema de controle H2 ou H-infinito pode ser formulado em termos da minimização da
função objetivo 2zwT dada por T , ou em termos de encontrar um
=
TWKSWSW
zw
3
2
1
: γ tal que
γ≤∞zwT , minimizando
∞zwT . No caso de ∞→γ , , ou seja, o controlador
obtido utilizando a técnica H-infinito aproxima-se do controlador obtido utilizando a técnica H
HainitoH KK →−inf
2, o
que pode ser visto com maiores detalhes em [5].
3.1 - Condições de robustez As condições de robustez garantem que o sistema manterá a estabilidade e especificações de
desempenho desejadas mesmo no caso do sistema apresentar incertezas. As incertezas empregadas
10
neste trabalho serão do tipo (17), conforme apresentado anteriormente, e as condições de robustez
são escritas em termos das incertezas e das funções e S T do sistema nominal. A condição de
robustez de estabilidade pode ser obtida do critério de Nyquist. Apenas para simplificação será
considerado que não ocorre envolvimento do ponto crítico 01 j+− , conforme mostrado na Figura
8, mas tal condição não é necessária.
-1+j0
|1+K(jw)Gn(jw)|
|Wim(jw) K(jw)Gn(jw)|
K(jw)Gn(jw)
Im
Re 0
Figura 8 – Condição de robustez de estabilidade a partir do diagrama de Nyquist.
A função de transferência em malha aberta do sistema nominal com o controlador é dado por
, enquanto que para o sistema real, que contém uma incerteza multiplicativa W , temos
. Supondo o sistema nominal estável em malha fechada e o número de
pólos do sistema real o mesmo do sistema nominal, a condição para que não ocorra envolvimento
do ponto crítico é mostrada em (26), de acordo com o observado na Figura 8.
)()( sKsGn
)()( sKsGn
err
)()( sKsGW nerr+
)0,1( j−
)()(1)()( jwKjwGjwKjwGW nnerr +< . (26)
A partir desta condição pode-se obter a condição de robustez de estabilidade (27).
1)( <jwTWerr , . (27) w∀
Esta condição é garantida em termos da função de ponderação W se a condição (28) for
respeitada.
)(3 s
)()(3 jwWjwW err≥ . (28)
A condição de robustez de desempenho visa garantir que as especificações de desempenho
sejam garantidas mesmo para o sistema perturbado. A especificação de desempenho está ligada à
função sensibilidade S, que é modificada no caso de existirem incertezas, sendo neste caso dada por
(29).
TWS
SWKGS
WKGS
errernern +=
+=
++=
11)1(11~
. (29)
11
Devido à variação na sensibilidade para a planta real, a função W deve ser mais restritiva para
garantir o desempenho desejado para o sistema real, respeitando (30).
)(1 s
1)(~)(1 <jwSjwW . (30)
De (29), a variação na sensibilidade será pequena se 1)()( <<jwTjwWerr , o que pode ser feito
utilizando uma função W3 também mais restritiva.
A especificação de desempenho pode ser vista como um bloco adicional na planta
aumentada, um bloco de incertezas representando restrições às funções de ponderação. Neste
trabalho, as restrições são incorporadas nas próprias funções de ponderação de forma implícita. A
teoria de controle robusto pode ser vista com maiores detalhes em [1], [6] e [7], sendo que em [7],
além da teoria, são apresentadas as funções do MATLAB para controle robusto.
3.2 - Projeto do controlador O ponto de partida para o projeto é a função de transferência do sistema nominal, G , que para
o sistema de suspensão magnética é dado por (14). Outro ponto importante é a modelagem da
incerteza a ser considerada no projeto.Neste trabalho considera-se uma incerteza na massa da
esfera que em aplicação a sistemas de transporte como em [1], pode ser entendida como a massa de
carga. Portanto, o valor da massa real é modelado como
)(sn
mmm nr δ+= , com nm1,00 m ≤≤ δ . A
função de transferência para o sistema real será obtida através do modelo em ambiente SIMULINK
mostrado na Figura 5, com o valor da massa modificado. Foi encontrada então a seguinte função
para representar a incerteza em termos de um erro multiplicativo.
1588714.009415.010949,5
)()()()( 2
2420
−+−⋅
=−
=−
sss
sGsGsGsW
n
nrerr .
3.2.1 - Escolha das funções de ponderação
Uma das etapas mais importantes do projeto é a escolha das funções de ponderação W , W e W ,
descritas anteriormente. Os critérios para a escolha das funções de ponderação a serem utilizadas
foram os seguintes:
1 2 3
• : a função escolhida deve, além de limitar S, estabelecer um ganho mínimo do controlador
para a estabilidade do sistema, devido às características deste. Este ganho também não pode ser
muito elevado, pois poderia levar à saturação do PWM, levando a uma queda no desempenho ou
instabilidade do sistema. O posicionamento do pólo também deve proporcionar uma velocidade
1W
12
satisfatória ao sistema. Pode ser escolhido um pólo menor, com um ganho maior, mas isso pode
levar à saturação do PWM, ou um pólo maior com um ganho menor, mas isto prejudica a rejeição
de perturbações, aumentando o erro de regime para uma perturbação do tipo degrau. Deve respeitar
o critério de robustez de desempenho.
• : a função escolhida deve ter módulo suficientemente grande para limitar o ganho do
controlador, evitando a saturação do PWM, mas esse módulo não deveria ser grande demais, para
não prejudicar o desempenho do sistema, pois esta função é conflitante com a função W . O pólo e
o zero devem ser escolhidos de forma a limitar a faixa do controlador para melhorar a rejeição a
ruídos. Essa faixa, porém deve ser suficientemente grande para não prejudicar a velocidade do
sistema ou o avanço de fase proporcionado pelo controlador em aproximadamente 20
radianos/segundo.
2W
1
• : a função escolhida deve minimizar o pico de ressonância da função sensibilidade
complementar, conforme proposto em [1], a fim de evitar um comportamento muito oscilatório do
sistema, o que poderia levar à instabilidade. Não deve apresentar módulo muito elevado, pois assim
diminui o ganho em baixas freqüências, sendo assim também conflitante com W . O zero e o pólo
foram então escolhidos de forma a minimizar o pico de ressonância, localizado por volta de 30
radianos/segundo. Deve também respeitar a condição de robustez de estabilidade.
3W
1
As funções escolhidas são apresentadas a seguir em (31)-(33).
1.025.2
1 +=
sW (31)
15009.00045.0
2 ++
=s
sW (32)
1909.1095.0
3 ++
=s
sW . (33)
A escolha das funções de ponderação não é trivial, pois não existem muitas especificações
quantitativas para direcionar a escolha, sendo condição (28), que impõe um mínimo para o módulo
da função W ,3
W
a mais clara de ser observada. As funções (31)-(33) foram obtidas após várias
tentativas, ajustes, simulações no ambiente SIMULINK e testes para verificar se o projeto estava
atendendo às condições de robustez. A Figura 9 mostra o teste da robustez de estabilidade, no qual
pode ser observado que a curva que representa o módulo da função T está abaixo das curvas que
representam e W , satisfazendo as condições de estabilidade (24) e (27). Também pode ser
observado que a condição (28) não é respeitada, pois temos um intervalo para o qual
err 3
13
)()( 3 jwWjwWerr ≥ . A escolha de W3 , foi realizada desta forma para não prejudicar o avanço de
fase proporcionado pelo controlador e o desempenho do sistema, uma vez que isto não implica
perda de estabilidade, a qual é garantida por (27).
101
Bode Magnitude Diagram
Frequencia (rad/sec)
Mag
nitu
de (d
B)
100
10
210
310
4-150
-100
-50
0
50
100T1/W31/Werr
Figura 9 – Teste de robustez de estabilidade.
A Figura 10 mostra o teste da robustez de desempenho, mostrando a função sensibilidade para o
sistema nominal e para o sistema real. Para o sistema real, a função S é modificada, mas continua
abaixo da linha de 0 Db, atendendo a condição (22) e garantindo o desempenho especificado.
10 -2 10 -1 100 101 102 103 104-80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10
0
frequencia(Hz)
magnitude(D
b)
W1SnominalW1Sreal
Figura 10 – Teste de robustez de desempenho.
14
A partir das funções de ponderação e da planta nominal, o controlador foi calculado
utilizando o programa MATLAB. Os principais comandos utilizados foram augtf para obtenção da
planta aumentada, h2lqg para o cálculo do controlador H2 e hinf para a obtenção do controlador H-
infinito. A rotina empregada para obtenção do controlador H2 pode ser vista no Apêndice.
Os controladores obtidos segundo as técnicas H2 e H-infinito são apresentados a seguir, em
(34) e (35), respectivamente.
101129374556
12112938465
1047,2s10475,2s1011,5s10474,4s10278,2s705s10016,1s10879.1s1088,8s10,6141s10128,12623s)(
2 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+
=sKH (34)
101129374556
12112938465
nfinito 1049,2s10495,2s10144,5s10501,4s1029,2s706s10029,1s10899,1s10972,8s1063,1s1014,12648s)(
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+
=− sK iH (35)
Estas funções de transferência mostram que os controladores projetados através das técnicas H2 e
H-infinito são bastante semelhantes, visto que as funções de ponderação utilizadas são as mesmas e
neste caso temos a situação ∞→γ , portanto conforme visto anteriormente .
Percebe-se também que estas funções de transferência são de alta ordem, o que dificulta a
implementação, que deve ser realizada digitalmente. Esta é uma desvantagem dos controladores
robustos em relação ao controlador clássico.
HainitoH KK →−inf
Para a realização das simulações, visando resultados mais próximos dos esperados para o
sistema real, não foi utilizado o modelo linear, mas sim o modelo não-linear. O diagrama do sistema
montado em SIMULINK é apresentado na Figura 11.O bloco suspensão magnética é o da Figura 5.
As simulações foram realizadas dentro da faixa de atuação linear deste sensor.
Figura 11 – Diagrama do sistema de suspensão magnética com controlador.
Foram observadas diferenças significativas entre as respostas para o modelo linear e o
modelo não-linear do sistema de suspensão magnética, e isto representou um problema no projeto
dos controladores, pois nem sempre um controlador que apresentava um bom desempenho para o
modelo linear, para o qual a teoria de projeto de controladores foi desenvolvida apresentava um
bom desempenho para o modelo não-linear. A escolha das funções de ponderação se mostrou
complicada devido à não-linearidade, pois muitas vezes uma alteração nestas funções implicava
uma resposta diferente da esperada no modelo não-linear.
15
4 - Resultados de Simulações
Para analisar o desempenho dos controladores foram simuladas várias situações que podem
ocorrer na prática para um sistema do tipo considerado. Para comparação, foram realizadas
simulações para os controladores robustos e também para o sistema com um controlador do tipo
avanço de fase, que já se encontrava implementado. O projeto de controladores avanço de fase está
fora do escopo deste trabalho, e toda a teoria a respeito deste assunto pode ser vista em [8]. A
função de transferência do controlador avanço de fase é dada por (36).
)002.01()068.01(53.0)(
sssKavanço +
+= (36)
A Figura 12 apresenta a resposta do sistema, inicialmente em equilíbrio a um degrau de perturbação
de amplitude 50mV, que varia o valor de i0 a partir do instante de tempo t = 0,1s.
Figura 12 – Resposta do sistema a uma perturbação em i . 0
A Figura 13 apresenta a resposta do sistema na presença de ruído branco no sensor. Essa é uma
situação bastante comum na prática, inclusive para o sensor utilizado no protótipo em estudo.
Figura 13 – Comportamento do sistema na presença de ruído branco no sensor.
16
A Figura 14 mostra o comportamento do sistema para uma variação de 10% na massa da esfera, que
conforme dito anteriormente, também é uma situação que pode ocorrer na prática para alguns tipos
de aplicações do sistema.
Figura 14 – Comportamento do sistema para uma variação paramétrica na planta.
Os resultados apresentados mostraram que os controladores robustos apresentaram
desempenhos muito semelhantes, pois suas funções de transferência também são semelhantes,
conforme já discutido. Na Figura 12, observa-se que os controladores robustos apresentaram melhor
rejeição a perturbações do tipo degrau na planta, levando a um erro de regime muito menor em
relação ao controlador clássico. O sistema com o controlador avanço de fase tornou-se instável com
perturbações de amplitude menor que aquelas necessárias para levar os controladores robustos à
instabilidade. A Figura 13 mostra que ruídos de alta freqüência gerados pelo sensor apresentaram
menor influência na saída para o sistema com os controladores robustos que para caso do
controlador clássico. Da Figura 14, observa-se que os controladores robustos foram menos sensíveis
às modificações nos parâmetros da planta. Os controladores robustos mantiveram a estabilidade do
sistema para variações bem superiores em relação ao controlador clássico.
A partir destas observações, podemos afirmar que o desempenho dos controladores robustos
foi superior ao desempenho do controlador avanço em muitos aspectos importantes, principalmente
se este sistema for aplicado em um mecanismo de transporte. Levando em conta as considerações
para escolha das funções peso que foram apresentadas anteriormente, pode-se realizar modificações
nas funções de ponderação no caso de ser desejável a melhora de algum aspecto do resultado.
5 - Discretização e Implementação Experimental dos Controladores
5.1 - Técnicas de Discretização
17
As técnicas de controle robusto levam a controladores de ordem elevada, igual à soma das ordens
da planta e das funções de ponderação, e a implementação de controladores de ordem elevada não é
viável de maneira analógica, devendo ser realizada digitalmente. Para a realização digital de
controladores projetados no domínio da freqüência deve-se passar da representação no domínio s
para a representação no domínio . Existem vários métodos para realizar esta transformação e
neste trabalho será utilizado o método Tustin, que é um caso especial de transformação bilinear,
através da regra (37). Este método apresenta a propriedade de preservar a norma H-infinito e se o
tempo de amostragem for escolhido adequadamente, leva a resultados muito satisfatórios.
z
112
+−
=zz
Ts (37)
onde T é o tempo de amostragem, em segundos. Esse tempo é um parâmetro muito importante na
discretização, e deve ser da ordem de 10 vezes menor que as constantes de tempo do sistema para
que o resultado seja satisfatório. O dispositivo responsável pela realização do controlador deve ser
rápido o suficiente para realizar todas as operações necessárias para cada amostra dentro do tempo
de amostragem.
Funções de transferência no domínio z representam sistemas discretos e podem ser obtidas a
partir da discretização dos sistemas contínuos e possuem a forma (38).
nn
nn
zbzbzazaa
zuzyzD −−
−−
++++++
==...1...
)()()( 1
1
110 . (38)
A função de transferência pode ser implementada através de blocos de atraso (registradores)
que representam a variável . O diagrama de blocos desta forma de representação é mostrado na
Figura 15.
)(zD
1−z
Figura 15 – Diagrama de blocos do sistema discreto na forma de função de transferência.
18
Outra forma de representação de sistemas discretos é por meio de equações de espaço de estado
discretas, como (39).
)()()()()()1(
kdukCxkykHukGxkx
+=+=+
. (39)
A realização desta representação se dá por meio de blocos de estado, sendo mostrada na Figura16.
Figura 16 – Diagrama de blocos do sistema discreto na forma de espaço de estado.
A teoria de controle digital pode ser vista com mais detalhes em [9] e [10], sendo que o
último apresenta também uma introdução a respeito do programa LABVIEW, que será utilizado
neste trabalho.
5.2 - Aparato experimental O sistema de suspensão magnética apresenta constante de tempo por volta de 20 ms, e com
base no que foi apresentado na introdução a respeito do tempo de amostragem, foi determinado que
este deveria ser de cerca de 1ms. Utilizou-se o programa LABVIEW para a implementação dos
controladores, já que este seria capaz de trabalhar com este tempo de amostragem e se encontrava à
disposição, assim como a placa de aquisição e o microcomputador necessário. Outro motivo para a
escolha foi a facilidade de uso, pois este programa permite a realização do controlador por meio
gráfico. A configuração básica do hardware do sistema a ser utilizado para a realização do controle
digital é mostrada na Figura 17.
19
ConversorD/A
Amplificador de Potência
Conversor A/D
Sistema de Suspensão Magnética Sensor de Posição
Placa de Aquisição
UC
P Processador
Figura 17 – Configuração básica do sistema empregado na implementação dos controladores.
O sistema de aquisição utiliza produtos da empresa National Instruments. A placa de
aquisição é da família 6020E, de 12 bits com 16 entradas analógicas a 100000 amostras por
segundo, 2 canais de saídas analógicas, porta digital I/O TTL de 8 bits e 2 timers de 24 bits. Esta
placa é instalada no barramento PC-ISA de microcomputadores e configurada para operar na região
de memória de I/O do microcomputador. Os sinais de entrada e saída são disponibilizados via um
conector de 50 vias, que é conectado a uma placa da família SC 20-50 para realizar a interface entre
as linhas da placa 6020E e condicionadores de sinal 5B, que são basicamente isoladores de proteção
e amplificadores, fixados em um módulo 5B41. Esta configuração é mostrada na Figura 18.
Placa 6020E
Condicionadores de sinal 5Be módulo 5B41
Conector50 vias
PC
Placa SC20-50
Entradas Analógicas
Saídas Analógicas Amplificador
de Potência
Sistema de Suspensão Magnética
Sensor de Posição
Figura 18 – Diagrama de ligações da placa 6020E a condicionadores de sinal.
As entradas analógicas foram conectadas aos condicionadores de sinal 5B, cuja tensão de
entrada é de 610V e tensão de saída é 65V, apresentando ganho de 0,5. Foi utilizado apenas um
condicionador de sinal, que corresponde ao canal 0. As saídas analógicas foram obtidas do conector
de 50 vias, através dos pinos 23 e 20, que correspondem a AOGND e DAC0OUT. O esquema de
pinagem do conector é mostrado na Figura 19.
20
1 2 3 4 5 6 7 9 9 10
11 1213 1415 1617 1819 2021 2223 2425 2627 2829 3031 3233 3435 3637 3839 4041 4243 4445 4647 4849 50
AOGND
DAC0OUTDAC1OUT
GPCTR1_OUTPFI6/WFTRIG
AIGND ACH0ACH1ACH2ACH3ACH4ACH5ACH6ACH7
ACH8ACH9ACH10 ACH11ACH12ACH13ACH14ACH15
AIGND
AISENSEEXTREFDGND
DIO0DIO1DIO2DIO3
DGND
DIO4DIO5DIO6DIO7+ 5V
+ 5V SCANCLKEXTSTROBE PFI0/TRIG1
PHI1/TRIG2 PFI2/CONVERTPFI3/GPCTR1_SOURCE PFI4/GPCTR1_GATE
PFI5/UPDATE PFI7/STARTSCAN
PFI8/GPCTR0_SOURCE PFI9/GPCTR0_GATE
GPCTR0_OUT FREQ_OUT Figura 19 – Esquema de pinagem do conector 50 vias.
6 - Resultados Experimentais
As representações dos controladores no domínio s foram convertidas para o domínio z, com
tempo de amostragem igual a 1ms, utilizando o programa MATLAB.. A função de transferência do
controlador avanço de fase no domínio s (36) está apresentada novamente abaixo para fácil
referência e a função de transferência no domínio z encontrada é apresentada em (40).
)002.01()068.01(53.0)(
sssKavanço +
+=
1
1
6065,0108,1429,14
)()()( −
−
−−
==z
zzuzyzKavanço . (40)
Este controlador foi testado em ambiente SIMULINK, e os resultados obtidos foram semelhantes ao
do controlador contínuo, mostrando a validade da discretização.
Para os controladores robustos, inicialmente foi utilizada a representação por função de
transferência e a função c2d com o método Tustin para realizar a transformação do domínio s para o
domínio z. Entretanto, foi observado que esse método de transformação provocava erros devido à
alta ordem dos controladores robustos. Foi usada então a representação por espaço de estados e
novamente o método Tustin para a obtenção da representação do controlador no domínio z via a
21
função bilin do MATLAB. Através do diagrama de bode e de simulações no ambiente SIMULINK
verificou-se a validade do método e do tempo de amostragem, pois os resultados foram muito
próximos daqueles obtidos para o sistema contínuo. As representações para o controlador H2 e H-
infinito são dadas, respectivamente, por (41) e (42). A discretização dos controladores utilizando
MATLAB realizada neste trabalho pode ser vista na rotina apresentada no Apêndice.
[
samostragemdetempodC
H
EEEE
EG
001,014,1
133,000563,0220,00493,00217,000758,0707,012,22
5,223,28
5,16
826,0785,1622,700408,0546,6680,1248,0871,0410,00918,00405,00141,0001000
00205,0568,800400,0917,00304,000085,0134,000565,00221,0156,0977,00551,0181,4177,09173,6585,1656,0723,0
==
−−−=
−
−−
=
−−−−−−−
−−−−
=
]
]
(41)
[
samostragemdetempodC
H
G
001,0151,1
0284,00114,00144,000094,000586,000225,04,68
01,74,16
30,32,130,22
876,00523,0106,00094,0100,00157,0103,0875,00122,000657,000670,000281,0
157,00725,0895,000591,00295,000677,00763,00308,00388,0866,00384,000704,0353,0143,0180,000307,0914,00187,0
0547,0220,0277,00217,0129,0888,0
==
−−−−−=
−−
=
−−−−−−
−−−
−−−−−−
=
(42)
A partir da representação do controlador no domínio discreto e tendo como base as Figuras
15 e 16, foram desenvolvidos os controladores no programa LABVIEW. A Figura 20 mostra a
configuração utilizada para o controlador, que permite acompanhar se as operações necessárias
estão sendo executadas dentro do tempo de amostragem, e também gerar arquivos de dados para
análise dos resultados.
22
Figura 20 – Diagrama do controlador utilizando o programa LABVIEW.
Neste programa os canais de entrada e saída são definidos, a entrada é multiplicada por 2 para
compensar o ganho do condicionador de sinal e são introduzidos os valores correspondentes à
corrente e posição de equilíbrio, que podem ser alterados durante a execução do programa. A
lógica de controle deve ser inserida no espaço indicado. A Figura 21 mostra a lógica de controle
para o controlador avanço de fase, obtida a partir da Figura 15. A lógica para os controladores
robustos, que foi obtida a partir da Figura 16, não será apresentada por motivo de espaço, pois os
controladores são de sexta ordem, sendo necessários seis registradores e uma série de blocos de
adição e multiplicação representando as matrizes.
Figura 21 – Lógica de controle para o controlador avanço de fase.
23
O controlador avanço de fase implementado foi capaz de realizar a suspensão da esfera de
metal. Comparando (40) com (38), os valores dos parâmetros utilizados na lógica de controle da
Figura 21 são dados : a ,29,140 = 08,141 −=a , 6065,01 −=b
Para os controladores robustos, devido ao alto ganho em baixas freqüências dos controladores
robustos, a corrente da bobina precisou ser monitorada para que a esfera fosse colocada em seu
ponto de equilíbrio quando a corrente estivesse próxima da corrente de equilíbrio. Para uma melhor
análise do desempenho dos controladores, foi realizado o teste a seguir, e a partir dos valores
gerados pelo programa de controle foram feitos gráficos utilizando o programa MATLAB.
Para verificar a resposta do sistema a perturbações, a esfera foi colocada em sua posição de
equilíbrio e foi alterado o valor da tensão de regime no LABVIEW, simulando uma perturbação
tipo degrau de 0,1 V em todos os casos. Foram gravados em arquivos os valores da tensão de
controle e da tensão de saída do sensor, a partir dos quais foram gerados gráficos utilizando o
programa MATLAB. As Figuras 22-24 mostram os resultados obtidos.
Figura 22 – Resposta do sistema com controlador avanço de fase digital para perturbação degrau.
Figura 23 – Resposta do sistema com controlador H2 digital para perturbação degrau.
24
Figura 24 – Resposta do sistema com controlador Hinfinito digital para perturbação degrau.
Os resultados obtidos experimentalmente corresponderam aos obtidos nas simulações. Os
controladores robustos apresentaram menor ruído na tensão de controle e também rejeição a
perturbações tipo degrau, o que é não ocorre com o controlador avanço de fase.
Como continuação deste trabalho, serão realizados ajustes nos projetos para melhorar o
desempenho, através de modificações nas funções de ponderação W . Também devem ser
realizados outros testes práticos para avaliar melhor o desempenho dos controladores robustos,
como resposta a variações nos parâmetros da planta (massa da esfera, por exemplo).
25
7 - Conclusão
Os controladores robustos possibilitaram melhora do desempenho do sistema em relação ao
desempenho com controlador clássico, conforme proposto. A grande dificuldade encontrada neste
projeto foi a não-linearidade da planta, que dificultou a previsão dos resultados para certas
mudanças nos controladores. Essa não-linearidade , principalmente a saturação do módulo PWM
impossibilita o aumento do ganho em baixas freqüências, que melhoraria o desempenho do sistema.
Além disso, a não-linearidade dificultou o projeto dos controladores, pois foram aplicadas técnicas
de controle linear, e o desempenho nas simulações utilizando o modelo não-linear geralmente não
foi o esperado, sendo difícil prever o resultado de alterações no projeto. A implementação digital
dos controladores utilizando o programa LABVIEW apresentou resultados satisfatórios, sendo
possível na prática melhorar o desempenho do sistema com os controladores robustos.
Agradecimentos
O primeiro autor agradece ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico
(CNPq) pela bolsa de iniciação científica recebida para o desenvolvimento deste trabalho.
26
Apêndice
Rotina MATLAB do controlador H2 close all; clear; %limpeza de variáveis clc; ka=2.1; %ft planta k1=0.77; kf=-0.000576; c1=1/kf; L=0.52; m=0.0226; R=21; k2=39.6; num=-ka*k1*c1; den=[L*m R*m -k2*L -k2*R]; sys1=tf(num,den); zw1=[]; zw1=zw1'; pw1=[-.1]; pw1=pw1'; kw1=2.25; [numw1,denw1] = ZP2TF(zw1,pw1,kw1); sysw1=TF(numw1,denw1) zw2=[-20]; zw2=zw2'; pw2=[-150]; pw2=pw2'; kw2=.0045; [numw2,denw2] = ZP2TF(zw2,pw2,kw2); sysw2=TF(numw2,denw2) zw3=[-20]; zw3=zw3'; pw3=[-190]; pw3=pw3'; kw3=.095; [numw3,denw3] = ZP2TF(zw3,pw3,kw3); sysw3=TF(numw3,denw3) [TSS_] = AUGTF(sys1,sysw1,sysw2,sysw3); %calculo controlador [SS_CP,SS_CL]=H2LQG(TSS_); [ac,bc,cc,dc]=ssdata(SS_CP); %espaco de estados do controlador syskc=ss(ac,bc,cc,dc); Ts=0.001; %passando para digital
27
[syskd]=bilin(syskc,1,'Tustin',Ts); %espaço de estados do controlador discreto [adi,bdi,cdi,ddi,ts]=ssdata(syskd); %KG % testes de condições sysf1=series(sys1,syskc); %T sysf2=feedback(sysf1,1); %1+KG sysf3=parallel(sysf1,1); %KS sysks=series(inv(sysf3),syskc) figure(1) bodemag(inv(sysf3),inv(sysw1),inv(sysf3)*sqrt(2)) legend('S','1/w1','raiz2*S') figure(2) bodemag(sysks,inv(sysw2),0.001,10000) legend('KS','1/w2') figure(3) bodemag(sysf2,inv(sysw3),0.001,10000) legend('T','1/w3') [a,b,c,d]=linmod('mtestetf') %sistema real - simulink [numr2,denr2]=ss2tf(a,b,c,d); sysr2=tf(numr2,denr2); wer2=(sysr2-sys1)/sys1; figure(5) %robustez de estabilidade bodemag(sysf2,inv(sysw3),inv(wer2) legend('T','1/w3','1/wer') W=logspace(-2,4,100); %robustez de desempenho condn=inv(sysf3)*sysw1; conda=sys1*wer2*syskc*inv(sysf3) [ncondn,dcondn]=tfdata(condn); [nconda,dconda]=tfdata(conda); [MAG1,PHASE1,W1] = BODE(ncondn,dcondn,W); [MAG2,PHASE2,W2] = BODE(nconda,dconda,W); MAGDB1 = 20*log10(MAG1); MAGDB2 = 20*log10(MAG2+MAG1); figure(6) semilogx(W1,MAGDB1,'r',W2,MAGDB2,'b') legend('W1Snominal','W1Sreal') xlabel('frequencia(Hz)') ylabel('magnitude(Db)') run testecontr; %teste simulink – saída/tempo figure(7) sim('testecontr') plot(tempo,saida)
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Referências Bibliográficas
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1998. Tese (Doutorado), Escola Politécnica, Universidade de São Paulo.
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Escola de Engenharia de São Carlos, 2001.
[3] Grace, A; Laub, A. J.; Little, J. N.; Thompson, C. M., Control System Toolbox User Guide. The
MathWorks, Inc., 1996.
[4] The MathWorks, Inc; Using Simulink. The MathWorks, 1997.
[5] Doyle, J.C.; Glover, K. Robust and Optimal Control. Prentice Hall, 1996.
[6] Zhou, K., Essentials of Robust Control. Prentice Hall, 1998.
[7] Chiang, R. Y.; Safonov M. G., Robust Control Toolbox User Guide. The MathWorks, Inc.,
1996.
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Addison-Wesley Publishing Company, 1994.
[9] Ogata, K., Discrete Time Control Systems. 2ed. Prentice Hall, 1995.
[10] Phillips, C. L.; Nagle, H. T., Digital Control System Analysis and Design.3ed. Prentice Hall,
1995.
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