Relatório Técnico

Implementação de controle H2 e H-infinito usando LabView aplicado a um sistema de levitação magnética

Daniel Siqueira e Vilma A. Oliveira

Departamento de Engenharia Elétrica Escola de Engenharia de São Carlos,USP

13566-590, São Carlos, SP dansique@sel.eesc.usp.br, vilmao@sel.eesc.usp.br

São Carlos, junho de 2003

Índice

Resumo 3 1 - Introdução 4 2 - Modelagem 5

2.1 - Modelagem do sistema de suspensão 5 2.2 - Modelagem da Incerteza 7

3 - Técnicas de Controle Robusto H2 e H-infinito 8 3.1 - Condições de robustez 10 3.2 - Projeto do controlador 12

3.2.1 - Escolha das funções de ponderação 12 4 - Resultados de Simulações 16 5 - Discretização e Implementação Experimental dos Controladores 17

5.1 - Técnicas de Discretização 17 5.2 - Aparato experimental 19

6 - Resultados Experimentais 21 7 - Conclusão 26 Apêndice 27

Rotina MATLAB do controlador H2 27 Referências Bibliográficas 29

2

Resumo

Este relatório técnico apresenta a implementação de controladores para um sistema de suspensão

magnética seguindo as técnicas de controle robusto H2 e H-infinito em uma plataforma LabView. O

objetivo é empregar estas técnicas para melhorar o desempenho do sistema , O controle robusto

amplia a região de estabilidade do sistema e melhora o desempenho em relação a rejeição a ruídos,

perturbações e variações paramétricas na planta quando comparado com controle do tipo avanço de

fase. Resultados de simulação e experimentais são apresentados.

3

1 - Introdução

O sistema de suspensão magnética possui várias aplicações práticas importantes, como em

rolamentos e mancais magnéticos e transportes de alta velocidade. Um exemplo de aplicação é

mostrado em [1], onde são apresentadas as vantagens de se construir veículos de transporte

utilizando suspensão magnética, e é realizada a construção do protótipo de um veículo em escala

laboratorial. Este sistema é interessante também por ser altamente instável, proporcionando assim

uma clara verificação do resultado da ação de controle a ser implementada. O protótipo em escala

laboratorial a ser utilizado neste trabalho é mostrado na Figura 1. Trata-se basicamente de uma bola

de metal que deve ser mantida a uma distância da bobina através de equilíbrio entre a força

gravitacional e a força eletromagnética. O diagrama esquemático do sistema é mostrado na Figura

2.

0z

Figura 1 – Protótipo sistema de suspensão.

Figura 2 – Representação do sistema de suspensão magnética.

4

2 - Modelagem

2.1 - Modelagem do sistema de suspensão O modelo do sistema de suspensão magnética pode ser encontrado em [2], sendo obtido a partir de

(1)-(3). 2

02( , )

2 (1 / )L if z ia z a

−=

+ (1)

2

2 ( , )d zm mg f zdt

= + i (2)

( ( ) )d L z iv Ridt

= + (3)

onde é a força eletromagnética, i é a corrente na bobina, .. é a tensão aplicada, e (.,.)f v (.)L R

são a indutância e a resistência da bobina, a é uma constante e )()0( ∞0 −= LL

(

(z

L Estas equações

são não-lineares, mas podem ser linearizadas em torno de um ponto de equilíbrio , que é o

ponto para o qual temos . As equações linearizadas em torno de , (4) e (5),

são mostradas a seguir.

), 00 iz

), 00 i0 0i( , )mg f z= −

ll

diu Ri Ldt

= + (4)

2

2 12 ( , )ll l l l

d zm f z i k zdt

= = − lk i (5)

onde

0 01 2

0[ (1 / ) ]L ik

a z a=

+

20 0

2 2 30[ (1 / ) ]

L ika z a

=+

0lz z z= −

0li i i= −

0u v Ri= −

e é uma constante que aproxima no ponto de equilíbrio. L (.)L

Os parâmetros do protótipo do sistema de suspensão magnética utilizado neste trabalho são

apresentados na Tabela 1.

5

Tabela 1 – Parâmetros do sistema de suspensão magnética.

Massa da esfera metálica m [kg] 22,6 x 10-3

Resistência da bobina R [Ω] 21,0

Indutância da bobina aproximada L [H] 0,520

Indutância da bobina no ponto de operação L0 [H] 24,9 x 10-3

Corrente da bobina no ponto de operação 0i [A] 0,570

Posição da bola no ponto de operação 0z [m] 4,5 x 10 -3

Constante a a [m] 6,72 x 10 –3

Constante k1 1k [N/A] 0,770

Constante k2 2k [N/m] 39,6

Máxima tensão aplicada à bobina maxV [V] 24,0

Ganho do sensor de posição c1 [V/m] -1736

Faixa de atuação linear do sensor de posição [m] (3,5 – 5,5) x 10 –3

Ganho PWM ka [V/V] 2,1

Faixa de atuação linear do PWM [V] 0 – 10

A partir de (1)-(5), utilizando transformada de Laplace, obtém-se a representação em blocos do

sistema mostrada na Figura 3 e também a função de transferência para o sistema (6).

LsR +1

2

1ms1k

1

2

kk

- +

v i z

Figura 3 – Representação em blocos do sistema de suspensão linearizado.

RkLskRmsLmsk

sGSS22

231)(

+−+−

= . (6)

A malha do sistema para implementação do controlador apresenta um sensor, que será

representado por um ganho c1 , um PWM, que será representado por um ganho k e com o

controlador, que será representado pela função de transferência K(s). O diagrama em blocos do

sistema em malha fechada é mostrado na Figura 4.

a

6

K(s) ka Gss(s)

c1

-

Gn(s)

Figura 4 – Representação em blocos do sistema em malha fechada.

Portando, a planta nominal G , conforme a representação da Figura 2, é representada pela função

de transferência (14).

n

RkLskRmsLmskck

sG an

2223

11)(−−+

−= . (14)

Uma outra forma de obtenção da função de transferência é através do comando linmod do

MATLAB. Este comando gera uma representação para o sistema, que pode ser na forma de equação

de espaço de estados ou função de transferência a partir de um modelo criado no ambiente

SIMULINK. Maiores detalhes a respeito do Toolbox do programa MATLAB utilizado em sistemas

de controle e do ambiente SIMULINK podem ser vistos em [3] e [4]. O modelo criado em ambiente

SIMULINK, a partir das equações não-lineares do sistema é mostrado na Figura 5.

Figura 5 – Modelo para o sistema no ambiente SIMULINK.

Este modelo é formado por uma função não-linear, que representa (1), e por outros blocos de ganho,

integradores, blocos de saturação e malhas de realimentação que representam o restante da dinâmica

do sistema. Os resultados obtidos utilizando-se o comando linmod foram coerentes com a função de

transferência obtida por linearização, mostrando a validade de ambos os procedimentos.

2.2 - Modelagem da Incerteza Uma questão muito importante para a aplicação do sistema de suspensão magnética a sistemas de

transporte é a sensibilidade com relação a variações na massa. Portanto, é necessário que esta

incerteza paramétrica seja incluída na modelagem da planta. A variação da massa é modelada como

7

uma incerteza multiplicativa W adicionada à planta nominal , para a obtenção da

planta real , segundo (15) e a Figura 6.

)(serr )(sGn

)(sGr

)())()(1()( sGssWsG nerrr ∆+= , 1)( ≤∆ s . (15)

Gn(s)

Werr(s) ∆(s)

Gr(s)

+ +

Figura 6 – Modelo de incerteza multiplicativa.

Em um sistema de transporte, geralmente a massa é aumentada de uma massa de carga, portanto, a

massa real é a massa nominal acrescida da massa adicional rm mm mδ , como a seguir

mmm nr δ+= (16)

A massa adicional pode ter seu valor máximo definido em termos de uma porcentagem da massa

nominal. Para a determinação de W , é obtida a função de transferência real a partir de

e então, considerando o pior caso, temos (17).

)(serr )(sGr

rm

)()()()(

sGsGsGsW

n

nrerr

−= . (17)

A partir de e da modelagem do erro são realizados os projetos dos controladores

robustos, conforme será mostrado em seguida. Deve-se ter em vista que a linearização do sistema

de suspensão magnética é realizada para o ponto de equilíbrio, sendo válida para uma região

restrita, e que outros componentes como o PWM e o sensor de posição também apresentam uma

faixa restrita de atuação linear.

)(sGn

3 - Técnicas de Controle Robusto H2 e H-infinito

Os projetos dos controladores robustos empregados neste trabalho seguem as técnicas H2 e H-

infinito. Estas técnicas de projeto são concebidas no domínio da freqüência no contexto de

otimização no espaço de funções de transferência de uma função objetivo dada em termos das

normas H2 ou H-infinito. As normas H2 e H-infinito de funções de transferência são definidas em

(18) e (19), respectivamente.

)(sup)( jwTjwT zww

zw =∞

(18)

8

2/1*

02

)))()((1()( dwjwTjwTtraçojwT zwzwzw ∫=∞

π. (19)

O projeto de controladores robustos visa encontrar um controlador que além de tornar estável

o sistema nominal, apresente robustez de estabilidade e robustez de desempenho. Robustez de

desempenho significa que o sistema deve manter o desempenho especificado mesmo com erros de

modelagem na planta nominal, desde que estes erros estejam dentro de um certo limite. Robustez de

estabilidade significa que a estabilidade será mantida mesmo com erros de modelagem e ruídos de

sensor.

)(sK

Os erros de modelagem em geral estão presentes principalmente na modelagem para altas

freqüências, devido ao fato dos efeitos de modos de alta ordem e não-linearidades serem

desprezados. Para moldar as especificações de desempenho e estabilidade e também os erros de

modelagem, o projeto é realizado em termos de uma planta aumentada como na Figura 7, que

inclui a planta nominal e as funções de ponderação, conforme mostrado na Figura 7.

G

nG

y

z1

w z3

e u

-

K(s)

Gn(s)

W1 (s)

W3 (s)

Planta aumentada G(s)

controlador

W2 (s) z2

Figura 7 – Diagrama da planta aumentada com controlador.

As funções de ponderação representam as especificações de projeto e erros de modelagem,

restringindo as saídas , e da planta aumentada, conforme apresentado resumidamente a

seguir:

1z 2z 3z

• : pondera o sinal de erro , atuando sobre a sensibilidade do sistema. A sensibilidade S

deve assumir valor baixo, especialmente nas baixas freqüências, para que o sistema rejeite

perturbações externas, apresente pequeno erro de regime e tenha desempenho insensível a variações

na planta. Portanto, a função W , que reflete as especificações de desempenho, deve apresentar um

valor alto em baixas freqüências;

1W 1z

1

S

9

• 2W 2: pondera , ou seja, o sinal de controle. Para isso atua sobre o ganho do controlador e na

sensibilidade S do sistema. A função W está ligada a limitações no sinal de entrada da planta G ,

tais como tensões ou correntes máximas suportadas pela planta.

2z

2 n

• : pondera , a saída da planta G , atuando sobre a sensibilidade complementar 3W 3z n T do

sistema. Para que o sistema rejeite ruídos do sensor e seja estável mesmo com erros de modelagem,

T deve assumir valores baixos em altas freqüências. Portanto W , que molda a condição de

estabilidade, deve ter valores altos para altas freqüências.

3

A sensibilidade e a sensibilidade complementar S T de um sistema são definidas,

respectivamente, por (20) e (21). 1))()(1()( −+= sKsGsS n (20)

1))()(1)(()()(1)( −+=−= sGsKsGsKsSsT nn . (21)

As especificações de desempenho e estabilidade em termos da função sensibilidade , da

limitação do sinal de entrada da planta nominal e da sensibilidade complementar

S

T podem ser

descritas da seguinte forma: 1

11 ou 1 −<< WSSW , (22)

122 ou 1 −<< WKSKSW e (23)

133 ou 1 −<< WTTW . (24)

Para que tais especificações sejam atingíveis, devemos respeitar a condição (25)

113

11 >+ −− WW . (25)

E o problema de controle H2 ou H-infinito pode ser formulado em termos da minimização da

função objetivo 2zwT dada por T , ou em termos de encontrar um

=

TWKSWSW

zw

3

2

1

: γ tal que

γ≤∞zwT , minimizando

∞zwT . No caso de ∞→γ , , ou seja, o controlador

obtido utilizando a técnica H-infinito aproxima-se do controlador obtido utilizando a técnica H

HainitoH KK →−inf

2, o

que pode ser visto com maiores detalhes em [5].

3.1 - Condições de robustez As condições de robustez garantem que o sistema manterá a estabilidade e especificações de

desempenho desejadas mesmo no caso do sistema apresentar incertezas. As incertezas empregadas

10

neste trabalho serão do tipo (17), conforme apresentado anteriormente, e as condições de robustez

são escritas em termos das incertezas e das funções e S T do sistema nominal. A condição de

robustez de estabilidade pode ser obtida do critério de Nyquist. Apenas para simplificação será

considerado que não ocorre envolvimento do ponto crítico 01 j+− , conforme mostrado na Figura

8, mas tal condição não é necessária.

-1+j0

|1+K(jw)Gn(jw)|

|Wim(jw) K(jw)Gn(jw)|

K(jw)Gn(jw)

Im

Re 0

Figura 8 – Condição de robustez de estabilidade a partir do diagrama de Nyquist.

A função de transferência em malha aberta do sistema nominal com o controlador é dado por

, enquanto que para o sistema real, que contém uma incerteza multiplicativa W , temos

. Supondo o sistema nominal estável em malha fechada e o número de

pólos do sistema real o mesmo do sistema nominal, a condição para que não ocorra envolvimento

do ponto crítico é mostrada em (26), de acordo com o observado na Figura 8.

)()( sKsGn

)()( sKsGn

err

)()( sKsGW nerr+

)0,1( j−

)()(1)()( jwKjwGjwKjwGW nnerr +< . (26)

A partir desta condição pode-se obter a condição de robustez de estabilidade (27).

1)( <jwTWerr , . (27) w∀

Esta condição é garantida em termos da função de ponderação W se a condição (28) for

respeitada.

)(3 s

)()(3 jwWjwW err≥ . (28)

A condição de robustez de desempenho visa garantir que as especificações de desempenho

sejam garantidas mesmo para o sistema perturbado. A especificação de desempenho está ligada à

função sensibilidade S, que é modificada no caso de existirem incertezas, sendo neste caso dada por

(29).

TWS

SWKGS

WKGS

errernern +=

+=

++=

11)1(11~

. (29)

11

Devido à variação na sensibilidade para a planta real, a função W deve ser mais restritiva para

garantir o desempenho desejado para o sistema real, respeitando (30).

)(1 s

1)(~)(1 <jwSjwW . (30)

De (29), a variação na sensibilidade será pequena se 1)()( <<jwTjwWerr , o que pode ser feito

utilizando uma função W3 também mais restritiva.

A especificação de desempenho pode ser vista como um bloco adicional na planta

aumentada, um bloco de incertezas representando restrições às funções de ponderação. Neste

trabalho, as restrições são incorporadas nas próprias funções de ponderação de forma implícita. A

teoria de controle robusto pode ser vista com maiores detalhes em [1], [6] e [7], sendo que em [7],

além da teoria, são apresentadas as funções do MATLAB para controle robusto.

3.2 - Projeto do controlador O ponto de partida para o projeto é a função de transferência do sistema nominal, G , que para

o sistema de suspensão magnética é dado por (14). Outro ponto importante é a modelagem da

incerteza a ser considerada no projeto.Neste trabalho considera-se uma incerteza na massa da

esfera que em aplicação a sistemas de transporte como em [1], pode ser entendida como a massa de

carga. Portanto, o valor da massa real é modelado como

)(sn

mmm nr δ+= , com nm1,00 m ≤≤ δ . A

função de transferência para o sistema real será obtida através do modelo em ambiente SIMULINK

mostrado na Figura 5, com o valor da massa modificado. Foi encontrada então a seguinte função

para representar a incerteza em termos de um erro multiplicativo.

1588714.009415.010949,5

)()()()( 2

2420

−+−⋅

=−

=−

sss

sGsGsGsW

n

nrerr .

3.2.1 - Escolha das funções de ponderação

Uma das etapas mais importantes do projeto é a escolha das funções de ponderação W , W e W ,

descritas anteriormente. Os critérios para a escolha das funções de ponderação a serem utilizadas

foram os seguintes:

1 2 3

• : a função escolhida deve, além de limitar S, estabelecer um ganho mínimo do controlador

para a estabilidade do sistema, devido às características deste. Este ganho também não pode ser

muito elevado, pois poderia levar à saturação do PWM, levando a uma queda no desempenho ou

instabilidade do sistema. O posicionamento do pólo também deve proporcionar uma velocidade

1W

12

satisfatória ao sistema. Pode ser escolhido um pólo menor, com um ganho maior, mas isso pode

levar à saturação do PWM, ou um pólo maior com um ganho menor, mas isto prejudica a rejeição

de perturbações, aumentando o erro de regime para uma perturbação do tipo degrau. Deve respeitar

o critério de robustez de desempenho.

• : a função escolhida deve ter módulo suficientemente grande para limitar o ganho do

controlador, evitando a saturação do PWM, mas esse módulo não deveria ser grande demais, para

não prejudicar o desempenho do sistema, pois esta função é conflitante com a função W . O pólo e

o zero devem ser escolhidos de forma a limitar a faixa do controlador para melhorar a rejeição a

ruídos. Essa faixa, porém deve ser suficientemente grande para não prejudicar a velocidade do

sistema ou o avanço de fase proporcionado pelo controlador em aproximadamente 20

radianos/segundo.

2W

1

• : a função escolhida deve minimizar o pico de ressonância da função sensibilidade

complementar, conforme proposto em [1], a fim de evitar um comportamento muito oscilatório do

sistema, o que poderia levar à instabilidade. Não deve apresentar módulo muito elevado, pois assim

diminui o ganho em baixas freqüências, sendo assim também conflitante com W . O zero e o pólo

foram então escolhidos de forma a minimizar o pico de ressonância, localizado por volta de 30

radianos/segundo. Deve também respeitar a condição de robustez de estabilidade.

3W

1

As funções escolhidas são apresentadas a seguir em (31)-(33).

1.025.2

1 +=

sW (31)

15009.00045.0

2 ++

=s

sW (32)

1909.1095.0

3 ++

=s

sW . (33)

A escolha das funções de ponderação não é trivial, pois não existem muitas especificações

quantitativas para direcionar a escolha, sendo condição (28), que impõe um mínimo para o módulo

da função W ,3

W

a mais clara de ser observada. As funções (31)-(33) foram obtidas após várias

tentativas, ajustes, simulações no ambiente SIMULINK e testes para verificar se o projeto estava

atendendo às condições de robustez. A Figura 9 mostra o teste da robustez de estabilidade, no qual

pode ser observado que a curva que representa o módulo da função T está abaixo das curvas que

representam e W , satisfazendo as condições de estabilidade (24) e (27). Também pode ser

observado que a condição (28) não é respeitada, pois temos um intervalo para o qual

err 3

13

)()( 3 jwWjwWerr ≥ . A escolha de W3 , foi realizada desta forma para não prejudicar o avanço de

fase proporcionado pelo controlador e o desempenho do sistema, uma vez que isto não implica

perda de estabilidade, a qual é garantida por (27).

101

Bode Magnitude Diagram

Frequencia (rad/sec)

Mag

nitu

de (d

B)

100

10

210

310

4-150

-100

-50

0

50

100T1/W31/Werr

Figura 9 – Teste de robustez de estabilidade.

A Figura 10 mostra o teste da robustez de desempenho, mostrando a função sensibilidade para o

sistema nominal e para o sistema real. Para o sistema real, a função S é modificada, mas continua

abaixo da linha de 0 Db, atendendo a condição (22) e garantindo o desempenho especificado.

10 -2 10 -1 100 101 102 103 104-80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10

0

frequencia(Hz)

magnitude(D

b)

W1SnominalW1Sreal

Figura 10 – Teste de robustez de desempenho.

14

A partir das funções de ponderação e da planta nominal, o controlador foi calculado

utilizando o programa MATLAB. Os principais comandos utilizados foram augtf para obtenção da

planta aumentada, h2lqg para o cálculo do controlador H2 e hinf para a obtenção do controlador H-

infinito. A rotina empregada para obtenção do controlador H2 pode ser vista no Apêndice.

Os controladores obtidos segundo as técnicas H2 e H-infinito são apresentados a seguir, em

(34) e (35), respectivamente.

101129374556

12112938465

1047,2s10475,2s1011,5s10474,4s10278,2s705s10016,1s10879.1s1088,8s10,6141s10128,12623s)(

2 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+

=sKH (34)

101129374556

12112938465

nfinito 1049,2s10495,2s10144,5s10501,4s1029,2s706s10029,1s10899,1s10972,8s1063,1s1014,12648s)(

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+

=− sK iH (35)

Estas funções de transferência mostram que os controladores projetados através das técnicas H2 e

H-infinito são bastante semelhantes, visto que as funções de ponderação utilizadas são as mesmas e

neste caso temos a situação ∞→γ , portanto conforme visto anteriormente .

Percebe-se também que estas funções de transferência são de alta ordem, o que dificulta a

implementação, que deve ser realizada digitalmente. Esta é uma desvantagem dos controladores

robustos em relação ao controlador clássico.

HainitoH KK →−inf

Para a realização das simulações, visando resultados mais próximos dos esperados para o

sistema real, não foi utilizado o modelo linear, mas sim o modelo não-linear. O diagrama do sistema

montado em SIMULINK é apresentado na Figura 11.O bloco suspensão magnética é o da Figura 5.

As simulações foram realizadas dentro da faixa de atuação linear deste sensor.

Figura 11 – Diagrama do sistema de suspensão magnética com controlador.

Foram observadas diferenças significativas entre as respostas para o modelo linear e o

modelo não-linear do sistema de suspensão magnética, e isto representou um problema no projeto

dos controladores, pois nem sempre um controlador que apresentava um bom desempenho para o

modelo linear, para o qual a teoria de projeto de controladores foi desenvolvida apresentava um

bom desempenho para o modelo não-linear. A escolha das funções de ponderação se mostrou

complicada devido à não-linearidade, pois muitas vezes uma alteração nestas funções implicava

uma resposta diferente da esperada no modelo não-linear.

15

4 - Resultados de Simulações

Para analisar o desempenho dos controladores foram simuladas várias situações que podem

ocorrer na prática para um sistema do tipo considerado. Para comparação, foram realizadas

simulações para os controladores robustos e também para o sistema com um controlador do tipo

avanço de fase, que já se encontrava implementado. O projeto de controladores avanço de fase está

fora do escopo deste trabalho, e toda a teoria a respeito deste assunto pode ser vista em [8]. A

função de transferência do controlador avanço de fase é dada por (36).

)002.01()068.01(53.0)(

sssKavanço +

+= (36)

A Figura 12 apresenta a resposta do sistema, inicialmente em equilíbrio a um degrau de perturbação

de amplitude 50mV, que varia o valor de i0 a partir do instante de tempo t = 0,1s.

Figura 12 – Resposta do sistema a uma perturbação em i . 0

A Figura 13 apresenta a resposta do sistema na presença de ruído branco no sensor. Essa é uma

situação bastante comum na prática, inclusive para o sensor utilizado no protótipo em estudo.

Figura 13 – Comportamento do sistema na presença de ruído branco no sensor.

16

A Figura 14 mostra o comportamento do sistema para uma variação de 10% na massa da esfera, que

conforme dito anteriormente, também é uma situação que pode ocorrer na prática para alguns tipos

de aplicações do sistema.

Figura 14 – Comportamento do sistema para uma variação paramétrica na planta.

Os resultados apresentados mostraram que os controladores robustos apresentaram

desempenhos muito semelhantes, pois suas funções de transferência também são semelhantes,

conforme já discutido. Na Figura 12, observa-se que os controladores robustos apresentaram melhor

rejeição a perturbações do tipo degrau na planta, levando a um erro de regime muito menor em

relação ao controlador clássico. O sistema com o controlador avanço de fase tornou-se instável com

perturbações de amplitude menor que aquelas necessárias para levar os controladores robustos à

instabilidade. A Figura 13 mostra que ruídos de alta freqüência gerados pelo sensor apresentaram

menor influência na saída para o sistema com os controladores robustos que para caso do

controlador clássico. Da Figura 14, observa-se que os controladores robustos foram menos sensíveis

às modificações nos parâmetros da planta. Os controladores robustos mantiveram a estabilidade do

sistema para variações bem superiores em relação ao controlador clássico.

A partir destas observações, podemos afirmar que o desempenho dos controladores robustos

foi superior ao desempenho do controlador avanço em muitos aspectos importantes, principalmente

se este sistema for aplicado em um mecanismo de transporte. Levando em conta as considerações

para escolha das funções peso que foram apresentadas anteriormente, pode-se realizar modificações

nas funções de ponderação no caso de ser desejável a melhora de algum aspecto do resultado.

5 - Discretização e Implementação Experimental dos Controladores

5.1 - Técnicas de Discretização

17

As técnicas de controle robusto levam a controladores de ordem elevada, igual à soma das ordens

da planta e das funções de ponderação, e a implementação de controladores de ordem elevada não é

viável de maneira analógica, devendo ser realizada digitalmente. Para a realização digital de

controladores projetados no domínio da freqüência deve-se passar da representação no domínio s

para a representação no domínio . Existem vários métodos para realizar esta transformação e

neste trabalho será utilizado o método Tustin, que é um caso especial de transformação bilinear,

através da regra (37). Este método apresenta a propriedade de preservar a norma H-infinito e se o

tempo de amostragem for escolhido adequadamente, leva a resultados muito satisfatórios.

z

112

+−

=zz

Ts (37)

onde T é o tempo de amostragem, em segundos. Esse tempo é um parâmetro muito importante na

discretização, e deve ser da ordem de 10 vezes menor que as constantes de tempo do sistema para

que o resultado seja satisfatório. O dispositivo responsável pela realização do controlador deve ser

rápido o suficiente para realizar todas as operações necessárias para cada amostra dentro do tempo

de amostragem.

Funções de transferência no domínio z representam sistemas discretos e podem ser obtidas a

partir da discretização dos sistemas contínuos e possuem a forma (38).

nn

nn

zbzbzazaa

zuzyzD −−

−−

++++++

==...1...

)()()( 1

1

110 . (38)

A função de transferência pode ser implementada através de blocos de atraso (registradores)

que representam a variável . O diagrama de blocos desta forma de representação é mostrado na

Figura 15.

)(zD

1−z

Figura 15 – Diagrama de blocos do sistema discreto na forma de função de transferência.

18

Outra forma de representação de sistemas discretos é por meio de equações de espaço de estado

discretas, como (39).

)()()()()()1(

kdukCxkykHukGxkx

+=+=+

. (39)

A realização desta representação se dá por meio de blocos de estado, sendo mostrada na Figura16.

Figura 16 – Diagrama de blocos do sistema discreto na forma de espaço de estado.

A teoria de controle digital pode ser vista com mais detalhes em [9] e [10], sendo que o

último apresenta também uma introdução a respeito do programa LABVIEW, que será utilizado

neste trabalho.

5.2 - Aparato experimental O sistema de suspensão magnética apresenta constante de tempo por volta de 20 ms, e com

base no que foi apresentado na introdução a respeito do tempo de amostragem, foi determinado que

este deveria ser de cerca de 1ms. Utilizou-se o programa LABVIEW para a implementação dos

controladores, já que este seria capaz de trabalhar com este tempo de amostragem e se encontrava à

disposição, assim como a placa de aquisição e o microcomputador necessário. Outro motivo para a

escolha foi a facilidade de uso, pois este programa permite a realização do controlador por meio

gráfico. A configuração básica do hardware do sistema a ser utilizado para a realização do controle

digital é mostrada na Figura 17.

19

ConversorD/A

Amplificador de Potência

Conversor A/D

Sistema de Suspensão Magnética Sensor de Posição

Placa de Aquisição

UC

P Processador

Figura 17 – Configuração básica do sistema empregado na implementação dos controladores.

O sistema de aquisição utiliza produtos da empresa National Instruments. A placa de

aquisição é da família 6020E, de 12 bits com 16 entradas analógicas a 100000 amostras por

segundo, 2 canais de saídas analógicas, porta digital I/O TTL de 8 bits e 2 timers de 24 bits. Esta

placa é instalada no barramento PC-ISA de microcomputadores e configurada para operar na região

de memória de I/O do microcomputador. Os sinais de entrada e saída são disponibilizados via um

conector de 50 vias, que é conectado a uma placa da família SC 20-50 para realizar a interface entre

as linhas da placa 6020E e condicionadores de sinal 5B, que são basicamente isoladores de proteção

e amplificadores, fixados em um módulo 5B41. Esta configuração é mostrada na Figura 18.

Placa 6020E

Condicionadores de sinal 5Be módulo 5B41

Conector50 vias

PC

Placa SC20-50

Entradas Analógicas

Saídas Analógicas Amplificador

de Potência

Sistema de Suspensão Magnética

Sensor de Posição

Figura 18 – Diagrama de ligações da placa 6020E a condicionadores de sinal.

As entradas analógicas foram conectadas aos condicionadores de sinal 5B, cuja tensão de

entrada é de 610V e tensão de saída é 65V, apresentando ganho de 0,5. Foi utilizado apenas um

condicionador de sinal, que corresponde ao canal 0. As saídas analógicas foram obtidas do conector

de 50 vias, através dos pinos 23 e 20, que correspondem a AOGND e DAC0OUT. O esquema de

pinagem do conector é mostrado na Figura 19.

20

1 2 3 4 5 6 7 9 9 10

11 1213 1415 1617 1819 2021 2223 2425 2627 2829 3031 3233 3435 3637 3839 4041 4243 4445 4647 4849 50

AOGND

DAC0OUTDAC1OUT

GPCTR1_OUTPFI6/WFTRIG

AIGND ACH0ACH1ACH2ACH3ACH4ACH5ACH6ACH7

ACH8ACH9ACH10 ACH11ACH12ACH13ACH14ACH15

AIGND

AISENSEEXTREFDGND

DIO0DIO1DIO2DIO3

DGND

DIO4DIO5DIO6DIO7+ 5V

+ 5V SCANCLKEXTSTROBE PFI0/TRIG1

PHI1/TRIG2 PFI2/CONVERTPFI3/GPCTR1_SOURCE PFI4/GPCTR1_GATE

PFI5/UPDATE PFI7/STARTSCAN

PFI8/GPCTR0_SOURCE PFI9/GPCTR0_GATE

GPCTR0_OUT FREQ_OUT Figura 19 – Esquema de pinagem do conector 50 vias.

6 - Resultados Experimentais

As representações dos controladores no domínio s foram convertidas para o domínio z, com

tempo de amostragem igual a 1ms, utilizando o programa MATLAB.. A função de transferência do

controlador avanço de fase no domínio s (36) está apresentada novamente abaixo para fácil

referência e a função de transferência no domínio z encontrada é apresentada em (40).

)002.01()068.01(53.0)(

sssKavanço +

+=

1

1

6065,0108,1429,14

)()()( −

−

−−

==z

zzuzyzKavanço . (40)

Este controlador foi testado em ambiente SIMULINK, e os resultados obtidos foram semelhantes ao

do controlador contínuo, mostrando a validade da discretização.

Para os controladores robustos, inicialmente foi utilizada a representação por função de

transferência e a função c2d com o método Tustin para realizar a transformação do domínio s para o

domínio z. Entretanto, foi observado que esse método de transformação provocava erros devido à

alta ordem dos controladores robustos. Foi usada então a representação por espaço de estados e

novamente o método Tustin para a obtenção da representação do controlador no domínio z via a

21

função bilin do MATLAB. Através do diagrama de bode e de simulações no ambiente SIMULINK

verificou-se a validade do método e do tempo de amostragem, pois os resultados foram muito

próximos daqueles obtidos para o sistema contínuo. As representações para o controlador H2 e H-

infinito são dadas, respectivamente, por (41) e (42). A discretização dos controladores utilizando

MATLAB realizada neste trabalho pode ser vista na rotina apresentada no Apêndice.

[

samostragemdetempodC

H

EEEE

EG

001,014,1

133,000563,0220,00493,00217,000758,0707,012,22

5,223,28

5,16

826,0785,1622,700408,0546,6680,1248,0871,0410,00918,00405,00141,0001000

00205,0568,800400,0917,00304,000085,0134,000565,00221,0156,0977,00551,0181,4177,09173,6585,1656,0723,0

==

−−−=

−

−−

=

−−−−−−−

−−−−

=

]

]

(41)

[

samostragemdetempodC

H

G

001,0151,1

0284,00114,00144,000094,000586,000225,04,68

01,74,16

30,32,130,22

876,00523,0106,00094,0100,00157,0103,0875,00122,000657,000670,000281,0

157,00725,0895,000591,00295,000677,00763,00308,00388,0866,00384,000704,0353,0143,0180,000307,0914,00187,0

0547,0220,0277,00217,0129,0888,0

==

−−−−−=

−−

=

−−−−−−

−−−

−−−−−−

=

(42)

A partir da representação do controlador no domínio discreto e tendo como base as Figuras

15 e 16, foram desenvolvidos os controladores no programa LABVIEW. A Figura 20 mostra a

configuração utilizada para o controlador, que permite acompanhar se as operações necessárias

estão sendo executadas dentro do tempo de amostragem, e também gerar arquivos de dados para

análise dos resultados.

22

Figura 20 – Diagrama do controlador utilizando o programa LABVIEW.

Neste programa os canais de entrada e saída são definidos, a entrada é multiplicada por 2 para

compensar o ganho do condicionador de sinal e são introduzidos os valores correspondentes à

corrente e posição de equilíbrio, que podem ser alterados durante a execução do programa. A

lógica de controle deve ser inserida no espaço indicado. A Figura 21 mostra a lógica de controle

para o controlador avanço de fase, obtida a partir da Figura 15. A lógica para os controladores

robustos, que foi obtida a partir da Figura 16, não será apresentada por motivo de espaço, pois os

controladores são de sexta ordem, sendo necessários seis registradores e uma série de blocos de

adição e multiplicação representando as matrizes.

Figura 21 – Lógica de controle para o controlador avanço de fase.

23

O controlador avanço de fase implementado foi capaz de realizar a suspensão da esfera de

metal. Comparando (40) com (38), os valores dos parâmetros utilizados na lógica de controle da

Figura 21 são dados : a ,29,140 = 08,141 −=a , 6065,01 −=b

Para os controladores robustos, devido ao alto ganho em baixas freqüências dos controladores

robustos, a corrente da bobina precisou ser monitorada para que a esfera fosse colocada em seu

ponto de equilíbrio quando a corrente estivesse próxima da corrente de equilíbrio. Para uma melhor

análise do desempenho dos controladores, foi realizado o teste a seguir, e a partir dos valores

gerados pelo programa de controle foram feitos gráficos utilizando o programa MATLAB.

Para verificar a resposta do sistema a perturbações, a esfera foi colocada em sua posição de

equilíbrio e foi alterado o valor da tensão de regime no LABVIEW, simulando uma perturbação

tipo degrau de 0,1 V em todos os casos. Foram gravados em arquivos os valores da tensão de

controle e da tensão de saída do sensor, a partir dos quais foram gerados gráficos utilizando o

programa MATLAB. As Figuras 22-24 mostram os resultados obtidos.

Figura 22 – Resposta do sistema com controlador avanço de fase digital para perturbação degrau.

Figura 23 – Resposta do sistema com controlador H2 digital para perturbação degrau.

24

Figura 24 – Resposta do sistema com controlador Hinfinito digital para perturbação degrau.

Os resultados obtidos experimentalmente corresponderam aos obtidos nas simulações. Os

controladores robustos apresentaram menor ruído na tensão de controle e também rejeição a

perturbações tipo degrau, o que é não ocorre com o controlador avanço de fase.

Como continuação deste trabalho, serão realizados ajustes nos projetos para melhorar o

desempenho, através de modificações nas funções de ponderação W . Também devem ser

realizados outros testes práticos para avaliar melhor o desempenho dos controladores robustos,

como resposta a variações nos parâmetros da planta (massa da esfera, por exemplo).

25

7 - Conclusão

Os controladores robustos possibilitaram melhora do desempenho do sistema em relação ao

desempenho com controlador clássico, conforme proposto. A grande dificuldade encontrada neste

projeto foi a não-linearidade da planta, que dificultou a previsão dos resultados para certas

mudanças nos controladores. Essa não-linearidade , principalmente a saturação do módulo PWM

impossibilita o aumento do ganho em baixas freqüências, que melhoraria o desempenho do sistema.

Além disso, a não-linearidade dificultou o projeto dos controladores, pois foram aplicadas técnicas

de controle linear, e o desempenho nas simulações utilizando o modelo não-linear geralmente não

foi o esperado, sendo difícil prever o resultado de alterações no projeto. A implementação digital

dos controladores utilizando o programa LABVIEW apresentou resultados satisfatórios, sendo

possível na prática melhorar o desempenho do sistema com os controladores robustos.

Agradecimentos

O primeiro autor agradece ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico

(CNPq) pela bolsa de iniciação científica recebida para o desenvolvimento deste trabalho.

26

Apêndice

Rotina MATLAB do controlador H2 close all; clear; %limpeza de variáveis clc; ka=2.1; %ft planta k1=0.77; kf=-0.000576; c1=1/kf; L=0.52; m=0.0226; R=21; k2=39.6; num=-ka*k1*c1; den=[L*m R*m -k2*L -k2*R]; sys1=tf(num,den); zw1=[]; zw1=zw1'; pw1=[-.1]; pw1=pw1'; kw1=2.25; [numw1,denw1] = ZP2TF(zw1,pw1,kw1); sysw1=TF(numw1,denw1) zw2=[-20]; zw2=zw2'; pw2=[-150]; pw2=pw2'; kw2=.0045; [numw2,denw2] = ZP2TF(zw2,pw2,kw2); sysw2=TF(numw2,denw2) zw3=[-20]; zw3=zw3'; pw3=[-190]; pw3=pw3'; kw3=.095; [numw3,denw3] = ZP2TF(zw3,pw3,kw3); sysw3=TF(numw3,denw3) [TSS_] = AUGTF(sys1,sysw1,sysw2,sysw3); %calculo controlador [SS_CP,SS_CL]=H2LQG(TSS_); [ac,bc,cc,dc]=ssdata(SS_CP); %espaco de estados do controlador syskc=ss(ac,bc,cc,dc); Ts=0.001; %passando para digital

27

[syskd]=bilin(syskc,1,'Tustin',Ts); %espaço de estados do controlador discreto [adi,bdi,cdi,ddi,ts]=ssdata(syskd); %KG % testes de condições sysf1=series(sys1,syskc); %T sysf2=feedback(sysf1,1); %1+KG sysf3=parallel(sysf1,1); %KS sysks=series(inv(sysf3),syskc) figure(1) bodemag(inv(sysf3),inv(sysw1),inv(sysf3)*sqrt(2)) legend('S','1/w1','raiz2*S') figure(2) bodemag(sysks,inv(sysw2),0.001,10000) legend('KS','1/w2') figure(3) bodemag(sysf2,inv(sysw3),0.001,10000) legend('T','1/w3') [a,b,c,d]=linmod('mtestetf') %sistema real - simulink [numr2,denr2]=ss2tf(a,b,c,d); sysr2=tf(numr2,denr2); wer2=(sysr2-sys1)/sys1; figure(5) %robustez de estabilidade bodemag(sysf2,inv(sysw3),inv(wer2) legend('T','1/w3','1/wer') W=logspace(-2,4,100); %robustez de desempenho condn=inv(sysf3)*sysw1; conda=sys1*wer2*syskc*inv(sysf3) [ncondn,dcondn]=tfdata(condn); [nconda,dconda]=tfdata(conda); [MAG1,PHASE1,W1] = BODE(ncondn,dcondn,W); [MAG2,PHASE2,W2] = BODE(nconda,dconda,W); MAGDB1 = 20*log10(MAG1); MAGDB2 = 20*log10(MAG2+MAG1); figure(6) semilogx(W1,MAGDB1,'r',W2,MAGDB2,'b') legend('W1Snominal','W1Sreal') xlabel('frequencia(Hz)') ylabel('magnitude(Db)') run testecontr; %teste simulink – saída/tempo figure(7) sim('testecontr') plot(tempo,saida)

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Referências Bibliográficas

[1] Bittar, A., Controle da Suspensão Eletromagnética do Protótipo de um Veículo. São Paulo,

1998. Tese (Doutorado), Escola Politécnica, Universidade de São Paulo.

[2] Oliveira, V. A.; Aguiar, M. L.; Vargas, J. B., Sistemas de Controle: Aulas de Laboratório.

Escola de Engenharia de São Carlos, 2001.

[3] Grace, A; Laub, A. J.; Little, J. N.; Thompson, C. M., Control System Toolbox User Guide. The

MathWorks, Inc., 1996.

[4] The MathWorks, Inc; Using Simulink. The MathWorks, 1997.

[5] Doyle, J.C.; Glover, K. Robust and Optimal Control. Prentice Hall, 1996.

[6] Zhou, K., Essentials of Robust Control. Prentice Hall, 1998.

[7] Chiang, R. Y.; Safonov M. G., Robust Control Toolbox User Guide. The MathWorks, Inc.,

1996.

[8] Franklin, G. F.; Powell, J. D.; Emami-Naeini, A., Feedback Control of Dynamic Systems.

Addison-Wesley Publishing Company, 1994.

[9] Ogata, K., Discrete Time Control Systems. 2ed. Prentice Hall, 1995.

[10] Phillips, C. L.; Nagle, H. T., Digital Control System Analysis and Design.3ed. Prentice Hall,

1995.

29