planejamento e otimização de experimentos€¦ · planejamento fatorial fatores ou variáveis •...

Planejamento e Otimização de

Experimentos

Planejamentos Fatoriais

Prof. Dr. Anselmo E de Oliveira

anselmo.quimica.ufg.br

anselmo.disciplinas@gmail.com

Planejamento Fatorial

Fatores ou Variáveis

• Temperatura

• Pressão

• Concentração

• Tempo

• Solvente

• Fluxo/Vazão

• Agitação/Rotação

• Catalisador

Níveis

• 25 e 50 oC

• 1, 5, 10 atm

• ppm, %, m/v

• 1 min, 2 e 6 h

• Puro ou mistura

• 10 e 20 mL/h

• 100 e 200 rpm

• A, B, ...

Planejamento Fatorial

• Selecionar um número fixo de níveis para uma das variáveis (fatores) experimentos com todas as combinações possíveis

Exemplo

n1 = 2

n2 = 3

n3 = 5

Fatorial n1 x n2 x n3 = 2 x 3 x 5 = 30 experimentos

n1 = n2 = n3 = 2 Fatorial 23 = 8 experimentos

Planejamento Fatorial em dois níveis

Exemplo de uma planta piloto

Variáveis Quantitativas

o temperatura, T

• 160 oC (-)

• 180 oC (+)

o concentração, C

• 20% (-)

• 40% (+)

Variável Qualitativa

o catalisador, K

• A (-)

• B (+)

Resposta

o rendimento químico

Variáveis

• T /oC • C /% • K

• 160 • 20 • A

• 180 • 40 • B

Níveis

• Fatorial 2N, com N o número de variáveis N = 3 Fatorial 23 8 experimentos

• Matriz de Planejamento

experimento Temperatura T /oC

Concentração C /%

Catalisador K

Rendimento

𝒚 /g

1 160 20 A 60

2 180 20 A 72

3 160 40 A 54

4 180 40 A 68

5 160 20 B 52

6 180 20 B 83

7 160 40 B 45

8 180 40 B 80

• Distribuição Normal

– Amostra • aleatória

• representativa

• Planejamento Fatorial

• aleatoriedade

– experimentos realizados de modo aleatório

• representatividade

– combinação de todos os possíveis níveis dos fatores

Matriz de Planejamento

experimento Temperatura T /oC

Concentração C /%

Catalisador K

Rendimento

𝒚 /g

1 - - - 60

2 + - - 72

3 - + - 54

4 + + - 68

5 - - + 52

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

Matriz de Planejamento

Rendimento 𝒚 /g

(1) 60

abc 80

existem quatro medidas dos efeitos da temperatura

Efeitos Principais: Temperatura

efeito de uma fator é a mudança na resposta quando passamos no nível - para o nível + desse fator

experimento C K 𝒚

3 - + - 54

4 + + - 68

5 - - + 52

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

diferença nos rendimentos depende apenas da temperatura

• Medidas individuais dos efeitos quando a temperatura muda de 160 para 180 oC

experimento T C K 𝒚

1 - - - 60

2 + - - 72

3 - + - 54

4 + + - 68

5 - - + 52

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

72 – 60 = 12

68 – 54 = 14

83 – 52 = 31

80 – 45 = 35

• Efeito principal da temperatura

aumentando a temperatura de 160 para 180 oC, o rendimento da reação aumenta 23 g, em média

𝑻 = 𝟐𝟑

1 - - - 60

2 + - - 72

3 - + - 54

4 + + - 68

5 - - + 52

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

efeito mais acentuado

O efeito da temperatura depende do tipo do catalisador

Sinergismo

Efeitos Principais: Concentração

• Medidas individuais dos efeitos quando a concentração muda de 20 para 40%

existem quatro medidas dos efeitos da concentração

experimento T K 𝒚

2 + - - 72

4 + + - 68

5 - - + 52

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

diferença nos rendimentos depende apenas da concentração

1 - - - 60

2 + - - 72

3 - + - 54

4 + + - 68

5 - - + 52

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

𝟓𝟒 − 𝟔𝟎 = −𝟔

𝟔𝟖 – 𝟕𝟐 = −𝟒

𝟒𝟓 – 𝟓𝟐 = −𝟕

𝟖𝟎 – 𝟖𝟑 = −𝟑

• Efeito principal da concentração

aumentando a concentração de 20 para 40%, o rendimento da reação diminui 5 g, em média

𝑪 = −𝟓

1 - - - 60

2 + - - 72

3 - + - 54

4 + + - 68

5 - - + 52

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

−𝟔

−𝟒

−𝟕

−𝟑

os efeitos individuais da concentração não indicam efeito sinérgico

Efeitos Principais: Catalisador

• Medidas individuais dos efeitos quando o catalisador muda de A para B

existem quatro medidas dos efeitos do catalisador

experimento T C 𝒚

2 + - - 72

3 - + - 54

4 + + - 68

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

diferença nos rendimentos depende apenas do tipo de catalisador

1 - - - 60

2 + - - 72

3 - + - 54

4 + + - 68

5 - - + 52

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

𝟓𝟐 – 𝟔𝟎 = −𝟖

𝟖𝟑 – 𝟕𝟐 = +𝟏𝟏

𝟒𝟓 – 𝟓𝟒 = −𝟗

𝟖𝟎 – 𝟔𝟖 = 𝟏𝟐

• Efeito principal do catalisador

a mudança do catalisador de A para B aumenta o rendimento da reação em 1,5 g, em média

1 - - - 60

2 + - - 72

3 - + - 54

4 + + - 68

5 - - + 52

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

os efeitos individuais do catalisador indicam que há efeito sinérgico com a temperatura

Diferença entre duas médias

• Efeito principal

resposta média para o nível +

resposta média para o nível –

• Efeito da temperatura

1 - - - 60 y1

2 + - - 72 y2

3 - + - 54 y3

4 + + - 68 y4

5 - - + 52 y5

6 + - + 83 y6

7 - + + 45 y7

8 + + + 80 y8

• Efeito da concentração

1 - - - 60 y1

2 + - - 72 y2

3 - + - 54 y3

4 + + - 68 y4

5 - - + 52 y5

6 + - + 83 y6

7 - + + 45 y7

8 + + + 80 y8

• Efeito do catalisador

1 - - - 60 y1

2 + - - 72 y2

3 - + - 54 y3

4 + + - 68 y4

5 - - + 52 y5

6 + - + 83 y6

7 - + + 45 y7

8 + + + 80 y8

• Efeitos principais

T = 23

C = -5

K = 1,5

Efeitos de interação

• Entre dois fatores – T = 23, porém o efeito da temperatura é muito

maior com o catalisador B do que com o A

variáveis temperatura e catalisador não se comportam aditivamente INTERAGEM

INTERAÇÃO = diferença entre o efeito médio da temperatura com o catalisador A e com o catalisador B

• Interação entre a temperatura e o catalisador, TK

experimento T C K

1 - - - 60

2 + - - 72

3 - + - 54

4 + + - 68

5 - - + 52

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

Temperatura Catalisador

• Vimos que um efeito é uma diferença entre médias

usar como nível + os resultados aonde a temperatura e o catalisador apresentam os mesmos níveis

experimento T C K

1 - - - 60 y1

2 + - - 72 y2

3 - + - 54 y3

4 + + - 68 y4

5 - - + 52 y5

6 + - + 83 y6

7 - + + 45 y7

8 + + + 80 y8

usar como nível – os resultados aonde a temperatura e o catalisador apresentam níveis diferentes

Temperatura Concentração

usar como nível + os resultados aonde a temperatura e a concentração apresentam os mesmos níveis experimento T C K

1 - - - 60 y1

2 + - - 72 y2

3 - + - 54 y3

4 + + - 68 y4

5 - - + 52 y5

6 + - + 83 y6

7 - + + 45 y7

8 + + + 80 y8

usar como nível – os resultados aonde a temperatura e a concentração apresentam níveis diferentes

𝑻𝑪 = 𝟏, 𝟓

Concentração Catalisador

usar como nível + os resultados aonde a concentração e o catalisador apresentam os mesmos níveis experimento T C K

1 - - - 60 y1

2 + - - 72 y2

3 - + - 54 y3

4 + + - 68 y4

5 - - + 52 y5

6 + - + 83 y6

7 - + + 45 y7

8 + + + 80 y8

usar como nível – os resultados aonde a concentração e o catalisador apresentam níveis diferentes

𝑪𝑲 = 𝟎

• Efeitos secundários TK = 10 TC = 1,5 CK = 0

efeito caracteriza o sinergismo entre as variáveis Temperatura e Catalisador

efeitos caracterizam a falta de sinergismo entre a variável Concentração e as variáveis Temperatura e Catalisador

Interação entre três fatores

• De modo similar ao que pode ser aplicado para o cálculo de qualquer efeito, o nível + para a consideração do efeito médio resulta dos produtos dos contrastes de cada fator, em cada experimento, que apresentem sinal +. Idem para o nível –

– - + +

– - - -

Interação entre três fatores

• interação entre temperatura, concentração e catalisador

experimento T C K

1 - - - 60 y1

2 + - - 72 y2

3 - + - 54 y3

4 + + - 68 y4

5 - - + 52 y5

6 + - + 83 y6

7 - + + 45 y7

8 + + + 80 y8

Representação Gráfica

+11 -8

(-) (+)

temperatura (oC) 160 180

60 (1)

54 (3)

45 (7) 80 (8)

68 (4)

83 (6)

72 (2)

52 (5)

• Efeitos principais

• Interação entre dois fatores

• Interação entre três fatores

Interpretação dos Resultados

• Média = 64,25

• T = 23

• C = -5

• K = 1,5

• TC = 1,5

• TK = 10

• CK = 0

• TCK = 0,5

o efeito principal de uma variável deve ser interpretado individualmente apenas quando há evidência de que a variável não interage com outras variáveis

o efeito médio da concentração, C, é o de reduzir o rendimento em cerca de 5 g

Interpretação dos Resultados

• Os efeitos da temperatura, T, e do catalisador, K, não podem ser avaliados separadamente devido à grande interação TK (= 10). Esse efeito decorre da sensibilidade à mudança de temperatura pelos dois catalisadores

temperatura (oC)

(-) (+)

160 180

48,5 81,5

57 70 +13

-8,5 +11,5

a troca do catalisador A por B, a 160 oC, levará a conclusões diferentes se esse mesmo experimento for conduzido a 180 oC: • 160 oC: A melhor que B • 180 oC: B melhor que A

Cálculo dos Erros

• Efeitos significativos

Variações entre os experimentos realizados nas mesmas condições experimentais

Variabilidade total que afeta os experimentos realizados em diferentes condições experimentais

Aleatoriedade da ordem de realização dos experimentos

Cálculo dos Erros

• Experimento etapas 1

4 . . .

Repetição de um experimento genuíno

realização de todas as etapas, novamente

Cálculo dos Erros

• experimentos genuínos

n-ésima replicata do experimento i

graus de liberdade

estimativa conjunta da variância:

Cálculo dos Erros

experimento y1 y2

1 59 61 60

2 74 70 72

3 50 58 54

4 69 67 68

5 50 54 52

6 81 85 83

7 46 44 45

8 79 81 80

com = 8 graus de liberdade

as replicatas também são realizadas de modo aleatório

𝒔𝟐 =𝟏

𝟖𝟔𝟒 = 𝟖

Cálculo dos Erros

• O que interessa é o erro dos efeitos

Efeito principal

resposta média para o nível +

resposta média para o nível –

Cálculo dos Erros

Assumindo que os erros são independentes

• cada termo é uma média de 8 observações (replicatas)

• variância da média é 𝑠𝑚é𝑑𝑖𝑎2 =

usando s2 (= 8) como estimativa de s2

𝒔𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐𝟐 = 𝒔𝟐 𝒚 + ± 𝒚 − = 𝒔𝟐 𝒚 + + 𝒔𝟐 𝒚 −

𝒔𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐𝟐 =

𝝈𝟐

𝟖+𝝈𝟐

𝟖=𝝈𝟐

𝒔𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐𝟐 =

𝟒= 𝟐

Cálculo dos Erros

• Logo, o erro estimado para cada efeito é

Para a média, a variância da média é 𝑠𝑚é𝑑𝑖𝑎2 =

N = 8 x 2 = 16

s = s = 2,8 (estimativa conjunta da variância)

𝒔𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐 = 𝟐 = 𝟏, 𝟒

𝒔𝒎é𝒅𝒊𝒂𝟐 =

𝟐, 𝟖

𝟏𝟔→ 𝒔𝒎é𝒅𝒊𝒂 = 𝟎, 𝟕

Cálculo dos Erros

• M = 64,25 0,7

• T = 23 1,4

• C = -5,0 1,4

• K = 1,5 1,4

• TC = 1,5 1,4

• TK = 10,0 1,4

• CK = 0,0 1,4

• TCK = 0,5 1,4

exceto T, C e TK os outros efeitos podem ser gerados por ruídos

Gráficos Normais

• Normal probability plot

Estimar se um conjunto de dados se distribui normalmente

Fatorial sem replicatas

interação

seleção

Gráficos Normais

• Probabilidade de ocorrência, P

Gráficos Normais

• Frequência acumulada

Gráficos Normais

• Gráfico de Probabilidade Normal

Gráficos Normais

Riccardo Manzini, Mauro Gamberi, Alberto Regattieri, (2005) "Design and control of a flexible order-picking system (FOPS): A new integrated approach to the implementation of an expert system", Journal of Manufacturing Technology Management, Vol. 16 Iss: 1, pp.18 - 35

Blocagem

• Blocking

23 = 8 experimentos mistura homogênea

um reagente/material não é suficiente para a realização dos 8 experimentos

Blocagem

experimento

Bloco I 123 = -

experimento 1 2 3

1 - - -

4 + + -

6 + - +

7 - + +

experimento 1 2 3

2 + - -

3 - + -

5 - - +

8 + + +

Bloco II 123 = +

Blocagem

experimento 1 2 3

1 - - -

4 + + -

6 + - +

7 - + +

experimento 1 2 3

2 + - -

3 - + -

5 - - +

8 + + +

a idéia é confundir (confounding) a interação entre os três fatores, com a diferença nas misturas

variável 4 Blocagem

123 = 4

Operação Evolucionária (EVOP)

planta piloto

grande escala

condições ótimas

quando as mudanças não são grandes, ou bruscas

pequenas mudanças no nível de operação das variáveis

Operação Evolucionária

2K pontos (centrado na melhor condição

experimental)

ciclo: após uma medida em cada

ponto vários ciclos

efeitos e interações podem apresentar

um efeito significativo na

resposta

mudar as condições de operação para

melhorar a resposta

fase é completada quando a melhoria

nas condições é completada

Planejamento Fatorial Fracionário

k fatores 2k experimentos

alguns efeitos são desprezíveis

fração dos 2k experimentos

• É empregado quando existem muitas variáveis no sistema, ou

o processo tende a ser conduzido por alguns dos efeitos

principais e de interação

• Pode ser projetado em planejamentos maiores no

subconjunto dos fatores significativos

• É possível combinar os experimentos de dois, ou mais,

planejamentos fracionários para montar, sequencialmente,

um planejamento maior para estimar os efeitos dos fatores e

das combinações de interesse.

Redundância em um Planejamento

k = 7 27 = 128 experimentos

Quantos efeitos resultam?

combinações simples de n elementos tomados

k a k, sem repetição (elementos distintos)

média = 1

efeitos principais (n = 7, k = 1)

efeitos secundários (n = 7, k = 2)

efeitos terciários (n = 7, k = 3)

n = 7, k = 4

n = 7, k = 5

n = 7, k = 6

n = 7, k = 7

128 efeitos

𝑐7,1 = 7

𝑐7,2 = 21 𝑐7,3 = 35

𝑐7,4 = 35 ...

𝑐7,7 = 1

se k não é pequeno (< 3) há uma tendência à

redundância em um fatorial 2k

Redundância e o Número de Efeitos

Fatorial 23-1

23 = 8 experimentos

• três fatores; dois níveis

• possível: 4 experimentos

23-1 = 4 experimentos

experimento

experimento ABC

Gerador

ABC gerador

• ABC = +

• ABC = -

• I = ABC : relação de definição

Efeitos p/ gerador I = ABC

efeitos principais

experimento

efeitos de interação

não se pode diferenciar entre

– A e BC

– B e AC

– C e AB

• estimativas

o A = 𝓁A + 𝓁BC

o B = 𝓁B + 𝓁AC

o C = 𝓁C + 𝓁AB

• ou

o 𝓁A A + BC

o 𝓁B B + AC

o 𝓁C C + AB

Meia Fração

relação de definição I = ABC

multiplicando por A pela esquerda

A.I = A.ABC

A = A2BC A2 = I

A = BC

a meia fração I = +ABC é a fração principal

Efeitos p/ gerador I = -ABC

calcule os efeitos principais e os de interação

experimento

Construção das meias frações: 23-1

1. Montar o planejamento completo 2k-1

fatorial 22

experimento A B

fatorial 23-1 ; I = ABC

A B C = AB

fatorial 23-1 ; I = -ABC

A B C = -AB

2. Adicionar o k-ésimo fator de

acordo com o gerador

Resolução

I = ABC planejamento de resolução III, 2𝐼𝐼𝐼3−1

I = ABCD planejamento de resolução IV, 2𝐼𝑉4−1

I = ABCDE planejamento de resolução V, 2𝑉5−1

Em geral, é o tamanho da menor palavra na

relação de definição

Projeção de frações em fatoriais

Qualquer planejamento fatorial fracionário de resolução

R, contém planejamentos fatoriais completos em

qualquer subconjunto R-1 de fatores

existem vários fatores de interesse

potencial, mas acredita-se que apenas

R-1 desses fatores têm efeitos

importantes

fatorial fracionário de resolução R

Exemplo: velocidade de filtração

A = temperatura

B = pressão

C = concentração de formaldeído

D = taxa de agitação

resposta: velocidade de filtração (gal/h)

fatorial completo 24 = 16 experimentos

experimento 𝒚

(1) 45

abc 65

ad 100

abd 104

acd 86

bcd 70

abcd 96

A = 21,625

C = 9,875

D = 14,625

AC = -18,125

AD = 16,625

Planejamento Fatorial Completo 24

experimento A B C

1 - - -

2 + - -

3 - + -

4 + + -

5 - - +

6 + - +

7 - + +

8 + + +

D = ABC y

- 45 (1)

+ 100 ad

+ 45 bd

- 65 ab

+ 75 cd

- 60 ac

- 80 bc

+ 96 abcd

• efeitos principais

A.I = A.ABCD

A = A2BCD

A = BCD

B.I = B.ABCD

B = AB2CD

B = ACD

C.I = C.ABCD

C = ABC2D

C = ABD

D.I = D.ABCD

D = ABCD2

D = ABC

24-1 com gerador I = ABCD, 𝟐𝑰𝑽𝟒−𝟏

interações de dois fatores

AB.I = AB.ABCD

AB = A2B2CD

AB = CD

AC.I = AC.ABCD

AC = A2BC2D

AC = BD

AD.I = AD.ABCD

AD = A2BCD2

AD = BC

fatorial 23 = 7 efeitos

o 3 principais

o 3 de 2ª ordem

o 1 de 3ª ordem

fatorial 24-1 = 7 efeitos

o 4 principais

o 3 de 2ª ordem

estimativa do efeito principal A

estimativa do efeito de interação AB

45 (1)

100 ad

96 abcd

𝓁A = 19

𝓁B = 1,5

𝓁C = 14

𝓁D = 16,5

𝓁AB = -1

𝓁AC = -18,5

𝓁AD = 19

como o efeito de B é pequeno (𝓁B), espera-se pouca

interação entre B e A, C e D. Logo 𝓁AC AC e 𝓁AD AD

Fatorial 24

• A = 21,625

• C = 9,875

• D = 14,625

• AC = -18,125

• AD = 16,625

desse modo, tem-se um fatorial 24-1 projetado em

um fatorial 23, com os fatores A, C e D

(-) (+)

AC: A(-) A(+)

• C(-) 45 65

• C(+) 80 60

AD: A(-) A(+)

• D(-) 45 65

• D(+) 45 100

com base na tabela do

planejamento, como fica

o cubo de respostas?

45 (1)

100 ad

96 abcd

Modelo

Velocidade de filtração

(gal/h)

Fatorial Fracionário 2k-p

2k-p experimentos = 1

2𝑝 fração do planejamento 2k

2k-2 experimentos = 1

4 fração de 2k

• p geradores independentes

• a relação de definição completa consiste de todas as

colunas que são iguais à coluna identidade, I

ex: k = 6, p = 2 26-2

geradores: I = ABCE (E = ABC)

I = BCDF (F = BCD)

I = ADEF

𝟐𝑰𝑽𝟔−𝟐

geradores: I = ABCE (E = ABC)

I = BCDF (F = BCD)

I = ADEF • para A

A.I = A.ABCE = A.BCDF = A.ADEF

A = A2BCE = ABCDF = A2DEF

A = BCE = ABCDF = DEF

• para AB

AB.I = AB.ABCE = AB.BCDF = AB.ADEF

AB = A2B2CE = AB2CDF = A2BDEF

AB = CE = ACDF = BDEF

Fatorial Fracionário 𝟐𝑰𝑽𝟔−𝟐

experimento A B C D

1 - - - -

2 + - - -

3 - + - -

4 + + - -

E = ABC F = BCD

Fatorial Fracionário 𝟐𝑰𝑽𝟔−𝟐

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