os testes de hipóteses podem ser: paramétricos e...
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Prof. Lorí Viali, Dr.Prof. Lorí Viali, Dr.Prof. Lorí Viali, Dr.Prof. Lorí Viali, Dr.http://www.pucrs.br/famat/viali/http://www.pucrs.br/famat/viali/http://www.pucrs.br/famat/viali/http://www.pucrs.br/famat/viali/
viali@pucrs.brviali@pucrs.brviali@pucrs.brviali@pucrs.brCurso: Engenharia de Processos e de Sistemas de Produção - Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamentode Estatística
Objetivos
Testar o valor hipotético de um
parâmetro (testes paramétricos) ou de
relacionamentos ou modelos (testes não
paramétricos).
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Os testes de hipóteses podemser:
Paramétricose
Não Paramétricos.
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Testes não-paramétricos
Um teste não paramétrico testa outras
situações que não parâmetros populacionais.
Estas situações podem ser relacionamentos,
modelos, dependência ou independência e
aleatoriedade.
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Envolvem parâmetros populacionais.
Um parâmetro é qualquer medida que
descreve uma população.
Testes paramétricos
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µ (a média)
σ2 (a variância)
σ (o desvio padrão)
π (a proporção)
Os principais parâmetros são:
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(1) Formular a hipótese nula (H0)
H0 : θ = θ0
Expressar em valores aquilo que deve sertestado;
Esta hipótese é sempre de igualdade;
Deve ser formulada com o objetivo de serrejeitada.
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(2) Formular a hipótese alternativa (H1)
(Testes simples)
H1: θ = θ1
(Testes compostos)
H1: θ > θ0 (teste unilateral à direita)
θ < θ0 (teste unilateral à esquerda)
θ ≠ θ0 (teste bilateral) .
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(3) Definir um valor crítico (α)
Isto envolve definir um ponto de corte a
partir do qual a hipótese nula será rejeitada(aceita a hipótese alternativa).
Esta hipótese é de fato a expressão
daquilo que ser quer provar.
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(4) Calcular a estatística teste
A estatística teste é obtida através dosdados amostrais, isto é, ela é a evidênciaamostral;
A forma de cálculo depende do tipo de testeenvolvido, isto é, do modelo teórico oumodelo de probabilidade.
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(5) Tomar uma decisão
A estatística teste e o valor crítico são
comparados e a decisão de aceitar ourejeitar a hipótese nula é formulada;
Se for utilizado um software estatísticopode-se trabalhar com a significância doresultado (p-value) ao invés do valor crítico.
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(6) Formular uma conclusão
Expressar em termos do problema (pesquisa)
qual foi a conclusão obtida;
Não esquecer que todo resultado baseado emamostras está sujeito a erros e que geralmente
apenas um tipo de erro é controlado.
PopulaçãoPopulaçãoPopulaçãoPopulação::::ValorValorValorValor dodododoparâmetroparâmetroparâmetroparâmetro
QualQualQualQual éééé aaaa diferençadiferençadiferençadiferença entreentreentreentre oooovalorvalorvalorvalor observadoobservadoobservadoobservado dadadadaestatísticaestatísticaestatísticaestatística eeee oooo valorvalorvalorvalorhipotéticohipotéticohipotéticohipotético dadadada parâmetro?parâmetro?parâmetro?parâmetro?
Não rejeitar a Não rejeitar a Não rejeitar a Não rejeitar a hipótesehipótesehipótesehipótese
AmostraAmostraAmostraAmostra:::: ValorValorValorValordadadada estatísticaestatísticaestatísticaestatística....
Rejeitar a Rejeitar a Rejeitar a Rejeitar a hipótesehipótesehipótesehipótese
Decisão a Decisão a Decisão a Decisão a ser tomadaser tomadaser tomadaser tomada
QuestãoQuestãoQuestãoQuestão a ser a ser a ser a ser feitafeitafeitafeita
Diferença Diferença Diferença Diferença pequenapequenapequenapequena
Diferença Diferença Diferença Diferença grandegrandegrandegrande
Em resumo
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DispõemDispõemDispõemDispõem----sesesese dededede duasduasduasduas moedasmoedasmoedasmoedas comcomcomcom aparênciasaparênciasaparênciasaparências
idênticas,idênticas,idênticas,idênticas, sósósósó quequequeque umaumaumauma (M(M(M(M1111)))) éééé equilibrada,equilibrada,equilibrada,equilibrada, istoistoistoisto é,é,é,é,
P(Cara)P(Cara)P(Cara)P(Cara) ==== P(Coroa)P(Coroa)P(Coroa)P(Coroa) ==== 50505050%%%%,,,, enquantoenquantoenquantoenquanto quequequeque aaaa outraoutraoutraoutra
((((MMMM2222)))) éééé viciadaviciadaviciadaviciada dededede taltaltaltal formaformaformaforma quequequeque favorecefavorecefavorecefavorece caracaracaracara nananana
proporçãoproporçãoproporçãoproporção dededede 80808080%%%%,,,, ouououou seja,seja,seja,seja, P(Cara)P(Cara)P(Cara)P(Cara) ==== 80808080%%%%
enquantoenquantoenquantoenquanto quequequeque P(Coroa)P(Coroa)P(Coroa)P(Coroa) ==== 20202020%%%%....
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Supõem-se que uma das moedas é
lançada e que com base na variável
X = número de caras,
deve-se decidir qual delas foi lançada. Neste
caso o teste a ser feito envolve as seguintes
hipóteses:
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H0 : A moeda lançada é a equilibrada (M1)
(p = 50%)
H1: A moeda lançada é a viciada (M2)(p = 80%)
p = proporção de caras.
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Tem-se que tomar a decisão de apontar qual
foi a moeda lançada, baseado apenas em uma
amostra de, por exemplo, 5 lançamentos. Lembrar
que a população de lançamentos possíveis é, neste
caso, infinita.
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A decisão, é claro, estará sujeita a erros,
pois se estará tomando a decisão em condições
de incerteza, isto é, baseado em uma amostra
de apenas 5 lançamentos das infinitas
possibilidades.
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A decisão será baseada nas distribuições
amostrais das duas moedas.
A tabela mostra as probabilidades de se obter
os valores: x = 0, 1, 2, 3, 4 e 5, da variável X =
número de caras, em uma amostra de n = 5,
lançamentos de cada uma das moedas.
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SobSobSobSob HHHH0000 XXXX ~~~~ B(B(B(B(5555;;;; 0000,,,,5555))))
AssimAssimAssimAssim::::
32x
5
2
1
x
55,0
x
5
5,05,0x
5qp
x
n)xX(P
55
x5xxnx
=
=
=
=
=
== −−
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Sob H1 X ~ B(5; 0,8)
Assim:
31254x
5
5
4
x
5
5
1
5
4
x
5
8,02,0x
5qp
x
n)xX(P
x5
xx5x
x5xxnx
=
=
=
=
=
==
−
−−
55
xxxx P(X = x) sob HP(X = x) sob HP(X = x) sob HP(X = x) sob H 0000 P(X = x) sob HP(X = x) sob HP(X = x) sob HP(X = x) sob H 1111
0 1/32 → 3,125% 1/3125 → 0,032%
1 5/32 →15,625% 20/3125 → 0,640%
2 10/32 → 31,250% 160/3125 → 5,120%
3 10/32 → 31,250% 640/3125 → 20,480%
4 5/32 → 15,625% 1280/3125 → 40,960%
5 1/32 → 3,125% 1024/3125 → 32,768%
TotalTotalTotalTotal 1 1 1 1 →→→→ 100%100%100%100% 1111→→→→ 100%100%100%100%
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Para poder aceitar ou rejeitar H0 e como
conseqüência, rejeitar ou aceitar H1, é necessário
estabelecer uma regra de decisão, isto é, é
necessário estabelecer para que valores da
variávelX iremos rejeitar H0
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Desta forma, estabelecendo-se que se vai
rejeitar H0, se a moeda der um número de
caras igual a 4 ou 5, pode-se então determinar
as probabilidades de tomar as decisões
corretas ou erradas.
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Assim o conjunto de valores que
levará a rejeição da hipótese nula será
denominado de região crítica (RC) e, neste
caso, este conjunto é igual a:
RC = { 4, 5 }
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A faixa restante de valores da
variável é denominada de região de
aceitação ou de não-rejeição (RA) e, neste
caso, este conjunto vale:
RA = { 0, 1, 2 , 3 }
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Então se H0 for rejeitada porque X
assumiu o valor 4 ou 5, pode-se estar
cometendo um erro. A probabilidade de se
cometer este erro é igual a probabilidade de
ocorrência destes valores sob H0, isto é:
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α = P(Erro do Tipo I ) =
= P(Rejeitar H0 / H0 é verdadeira) =
= P(X = 4 ou 5 / p = 0,50) =
= 5/32 + 1/32 = 6/32 = 18,75% =
= Nível de significância do teste.
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O outro tipo de erro possível de ser
cometido é aceitar H0 quando ela é falsa,
que é denominado de erro do tipo II.
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β = P(Erro do Tipo II) =
P(Aceitar H0 | H0 é falsa) =
P(X = 0, 1 , 2 ou 3 | p = 80%) =
1/3125 + 20/3125 + 160/3125 + 640/3125 =
821/3125 = 26262626,,,,27272727%%%%
xxxx P(X = x) sob HP(X = x) sob HP(X = x) sob HP(X = x) sob H0000 P(X = x) sob HP(X = x) sob HP(X = x) sob HP(X = x) sob H1111
0 1/32 → 3,125% 1/3125 1/3125 1/3125 1/3125 →→→→ 0,032%0,032%0,032%0,032%
1 5/32 →15,625% 20/3125 20/3125 20/3125 20/3125 →→→→ 0,640%0,640%0,640%0,640%
2 10/32 → 31,250% 160/3125 160/3125 160/3125 160/3125 →→→→ 5,120%5,120%5,120%5,120%
3333 10/32 10/32 10/32 10/32 →→→→ 31,250%31,250%31,250%31,250% 640/3125 → 20,480%
4444 5/32 5/32 5/32 5/32 →→→→ 15,625%15,625%15,625%15,625% 1280/3125 → 40,960%
5555 1/32 1/32 1/32 1/32 →→→→ 3,125%3,125%3,125%3,125% 1024/3125 → 32,768%
TotalTotalTotalTotal 1 1 1 1 →→→→ 100%100%100%100% 1111→→→→ 100%100%100%100%αααα = 5/32 + 1/32= 5/32 + 1/32= 5/32 + 1/32= 5/32 + 1/326/32= 18,75%6/32= 18,75%6/32= 18,75%6/32= 18,75%
ββββ = (1+20+160+640)/3125= (1+20+160+640)/3125= (1+20+160+640)/3125= (1+20+160+640)/3125821/3125= 26,27%821/3125= 26,27%821/3125= 26,27%821/3125= 26,27%
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Reali-dade
DecisãoAceitar HAceitar HAceitar HAceitar H 0000 Rejeitar HRejeitar HRejeitar HRejeitar H 0000
HHHH0000 éééé
verdaverdaverdaverda----deiradeiradeiradeira
Decisão corretaDecisão corretaDecisão corretaDecisão correta
1 - α = P(Aceitar H0 / H0 é verdadeira)
Erro do Tipo IErro do Tipo IErro do Tipo IErro do Tipo Iα = P(Cometer Erro do tipoI) = P(Rejeitar H0 / H0 éverdadeira) = Nível designificância do teste
HHHH0000 é é é é falsafalsafalsafalsa
Erro do Tipo IIErro do Tipo IIErro do Tipo IIErro do Tipo IIβ = P(Cometer Erro do
tipo II) = P(Aceitar H0 / H0 é falsa) = P(Aceitar H0
/ H1 é verdadeira)
Decisão corretaDecisão corretaDecisão corretaDecisão correta
1 - β = P(Rejeitar H0 /
H0 é falsa) = Poder do
teste.
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Uma urna contém quatro fichas das quais θθθθ são
azuis e 4444 ---- θθθθ são vermelhas. Para testar a hipótese
nula de que θθθθ ==== 2222 contra a alternativa de θθθθ ≠≠≠≠ 2222,
retiram-se duas fichas ao acaso e sem reposição.
Rejeita-se a hipótese nula se as duas fichas forem da
mesma cor. Determine o nível de significância e o
poder do teste....
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Espaço amostra
SSSS ==== {{{{ VVVVVVVV,,,, AA,AA,AA,AA, AAAAVVVV,,,, VVVVAAAA }}}}
Região Crítica
Região deNão Rejeição
Sob H0 : θ = 2
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O erro do tipo I é a probabilidade de
rejeitar H0 quando ela é verdadeira, neste caso
ele é a probabilidade de retirarmos duas fichas da
mesma cor, quando a urna tem duas de cada cor.
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Sob H0 : θ = 2
α = P(Erro do Tipo I ) =
= P(Rejeitar H0 / H0 é verdadeira) =
= P(VV, AA / θ = 2) =
===
=+=+=
3
1
12
412
2
12
2
3
1.
4
2
3
1.
4
2
%33,33
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O poder do teste é a probabilidade de
Rejeitar H0 quando ela é falsa, é uma decisão
correta. É calculada sob a região crítica. Neste
caso é a:
P( VV, AA | H0 é falsa )
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Mas
1- β = P( VV, AA / H0 é falsa ) =
= P( VV, AA / H1 é verdadeira) =
= P( VV, AA / θ ≠ 2 ) .
Assim devemos analisar quatro situações:
θ = 0, θ = 1, θ = 3 e θ = 4
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Isto é:
θ = 4
θ = 3
θ = 1
θ = 0
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EntãoEntãoEntãoEntão::::1- β = P(P(P(P( VVVVVVVV,,,, AAAAAAAA |||| θθθθ ≠≠≠≠ 2222 )))) ====
= P(P(P(P( VVVVVVVV,,,, AAAAAAAA |||| θθθθ ==== 0000 )))) =
Neste caso
θ = 0
%100103
3.
4
4==+=
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θ = 1
Neste caso
Então:
1- β = P( VV, AA | θ ≠ 2) =
= P( VV, AA | θ = 2) =
%502
10
3
2.
4
3==+=
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θ = 3
Neste caso
Então:1- β = P( VV, AA | θ ≠ 2 ) =
= P( VV, AA | θ = 3) =
%502
1
3
2.
4
30 ==+=
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θ = 4
Neste caso
Então:
1- β = P( VV, AA / θ ≠ 2 ) =
= P( VV, AA / θ = 0 ) =
%10013
3.
4
40 ==+=
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Em Resumo, tem-se:
θ β 1 - β α
0 0% 100%
1 50% 50%
2 - - 33,33%
3 50% 50%
4 0% 100%
99
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θ
β1 −
Poder do Teste
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Erro do Tipo II
θ
β
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Um dado é lançado seis vezes para testar
a hipótese nula de que P(F1) = 1/6 contra a
alternativa de que P(F1) > 1/6 Rejeita-se a
hipótese nula se X = “número de faces um for
maior ou igual a quatro”. Determinar o nível
de significância e o poder do teste....
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Espaço amostra
SSSS ==== {{{{ 0000,,,, 1111,,,, 2222,,,, 3333,,,, 4444,,,, 5555,,,, 6666 }}}}
Região de Não Região de Não Região de Não Região de Não RejeiçãoRejeiçãoRejeiçãoRejeição
RegiãoRegiãoRegiãoRegião dedededeRejeiçãoRejeiçãoRejeiçãoRejeição(Crítica)(Crítica)(Crítica)(Crítica)
HHHH0000 :::: pppp ==== 1111////6666
HHHH0000 :::: pppp >>>> 1111////6666
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O erro do tipo I é a probabilidade de
rejeitar H0 quando ela é verdadeira, neste
caso ele é a probabilidadeprobabilidadeprobabilidadeprobabilidade dededede obtermosobtermosobtermosobtermos XXXX ≥≥≥≥ 4444,,,,
quandoquandoquandoquando nnnn ==== 6666 eeee pppp ==== 1111////6666....
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Sob H0 : p = 1/6
α = P(Erro do Tipo I ) =
= P(Rejeitar H0 | H0 é verdadeira) =
= P(X ≥ 4 | p = 1/6) =
==++=
=
+
+
=
6
406
6
1
6
5.6
6
25.15
6
5
6
16
6
6
5
6
15
6
6
5
6
14
6
6666
061524
%87,0
1010
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O poder do teste é a probabilidade de
Rejeitar H0 quando ela é falsa, é uma decisão
correta. É calculada sob a região crítica. Neste
caso é P(X ≥ 4 | H0 é falsa) .
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Mas1- β = P(X ≥ 4 | H0 é falsa ) =
= P(X ≥ 4 | H1 é verdadeira) =
= P(X ≥ 4 | p > 1/6 ) .
Neste caso, o poder do teste é uma
função de p. Vamos avaliar esta função
para alguns valores de “p”.
pppp 1111---- β pppp 1111---- β pppp 1111---- β
0,200,200,200,20 1,70 0,550,550,550,55 44,15 0,900,900,900,90 98,41
0,250,250,250,25 3,76 0,600,600,600,60 54,43 0,950,950,950,95 99,78
0,300,300,300,30 7,05 0,650,650,650,65 64,71 1,001,001,001,00 100,00
0,350,350,350,35 11,74 0,700,700,700,70 74,43
0,400,400,400,40 17,92 0,750,750,750,75 83,06
0,450,450,450,45 25,53 0,800,800,800,80 90,11
0,500,500,500,50 34,3734,3734,3734,37 0,850,850,850,85 95,27Curso: Engenharia de Processos e de Sistemas de Produção - Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamentode Estatística
Poder do Teste x Erro do Tipo II
β−1
p
β
Umaamostra
Independentes
MédiaProporçãoVariância
Duasamostras
DependentesDiferençade médias
Diferença de médias
Diferença de proporções
Igualdade de variâncias
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1111
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Média ( µ )
Proporção ( π )
Variância ( σ2 )
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H0: µ = µ0
H1: µ > µ0 (teste unilateral/unicaudal à direita)
µ < µ0(teste unilateral/unicaudal à esquerda)
µ ≠ µ0 (teste bilateral/bicaudal) .
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Neste caso a variável teste é:
nX
X XXZ
σ
µ−=
σ
µ−=
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Z > zc
(teste unilateral/unicaudal à direita)
Z < zc
(teste unilateral/unicaudal à esquerda)
|Z| > zc
(teste bilateral/bicaudal) .
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Φ(zc ) = 1− α
(teste unilateral/unicaudal à direita)
Φ(zc ) = α
(teste unilateral/unicaudal à esquerda)
Φ(zc ) = α/2 ou Φ(zc ) = 1− α/2
(teste bilateral/bicaudal) .
Onde zc é tal que:
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A experiência passada mostrou que as notas de
Probabilidade e Estatística, estão normalmente
distribuídas com média µ = 5,5 e desvio padrão σ =
2,0. Uma turma de n = 64 alunos deste semestre
apresentou uma média de 5,9. Teste a hipótese de este
resultado mostra uma melhora de rendimento a uma
significância de 5%.
1212
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Trata-se de um teste unilateral à direita
com σ conhecido.
Hipóteses:
H0: µ = 5,5
H1: µ > 5,5
DadosDadosDadosDados::::
σ = 2,0 n = 64
= 5,9 α = 5%X
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Então:nX
X XXZ
σ
µ−=
σ
µ−=
60,10,2
2,34,05,59,5XZ
80,2
640,2
n
===−
=µ−
=σ
A variável teste é:
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O valor crítico zc é tal que: Φ(zc ) = 1- α =1 – 0,05 = 95%. Então zc = Φ−1(0,95) = 1,645.Assim RC = [1,645; ∞)
Decisão e Conclusão:
Como z = 1,60 ∉ RC ou 1,60 < 1,645, AceitoAceitoAceitoAceito
HHHH0000, isto é, a 5% de significância nãonãonãonão se pode
afirmar que os resultados desta turma são melhores.
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60,1
%5α =
);645,1[ ∞=RCRegião de Não Rejeição
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Opção:
Trabalhar com a significância do resultado
obtido (1,60), isto é, o valor-p. Para isto, deve-se
calcular P(Z > 1,60), isto é, p = P(Z > 1,60) =1 – Φ(1,60) = Φ(-1,60) = 5,48%.
Como a significância do resultado
(5,48%) é maior que a significância do teste
(5%) não é possível rejeitar a hipótese nula.
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Neste caso a variável teste é:
n
sX
X
n
XX
tµ
σ̂
µ1
−=
−=−
1313
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tn-1 > tc
(teste unilateral/unicaudalà direita)
tn-1 < tc
(teste unilateral/unicaudalà esquerda)
|tn-1| > tc
(teste bilateral/bicaudal) .
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P(t < tc ) = 1− α
(teste unilateral/unicaudalà direita)
P(t < tc ) = α
(teste unilateral/unicaudal à esquerda)
P(t < tc ) = α/2 ou P(t > tc ) = α/2
(teste bilateral/bicaudal) .
Onde tc é tal que:
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Suponha que a sua empresa comprou
um lote de lâmpadas. Você precisa testar, a
5% de significância, a afirmação do
fabricante de que a duração média das
lâmpadas é maior que 800 horas.
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Para isto você usa uma amostra de 36
lâmpadas e encontra uma média 820 horas
com desvio de 70 horas. Isto confirma a
afirmação do fabricante?
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Trata-se de um teste unilateral à direita
com σ desconhecido.
HipótesesHipótesesHipótesesHipóteses::::
H0: µ = 800 horas
H1: µ > 800 horas
DadosDadosDadosDados::::
n = 36= 820 horas
s = 70 horas
α = 5%
X
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Então:
714,170
12020800820Xt
670
3670
ns35 ===
−=
µ−=
A variável teste é:
ns
X
X1n
X
ˆ
Xt
µ−=
σ
µ−=−
1414
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O valor crítico tc é tal que: P(T > tc) = 1- α
Então tc = 1,690. Assim RC = [1,690; ∞)
DecisãoDecisão ee ConclusãoConclusão::
Como t = 1,714 ∈ RC ou
1,714 > 1,690, Rejeito H0, isto é, a 5% de
significância, pode-se afirmar que a duração
média das lâmpadas é superior a 800 horas.
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714,1
%5α =
); 690,1[RC ∞=Região de Não Rejeição
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Opção:
Trabalhar com a significância do
resultado obtido (1,714), isto é, o valor-p.
Para isto, deve-se calcular P(T35 > 1,714).
Utilizando o Excel, tem-se:Como a significância do resultado (4,77%) é
menor que a significância do teste (5%) é possível
rejeitar a hipótese nula.
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Vimos que a probabilidade de cometer erro do
tipo I é determinada ou fixada. Já a probabilidade
do erro do tipo II normalmente não é determinada,
pois a hipótese alternativa fornece um conjunto
infinito de opções.
Entretanto se supormos valores para a hipótese
alternativa a probabilidade β de se cometer erro II
pode ser determinada.
1515
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A probabilidade de erro II depende do valor
real de θ (parâmetro sendo testado). Ela será
grande para pequenos afastamentos e pequena para
grandes afastamentos.
Se os valores de β forem plotados em função
do parâmetro suposto θ teremos uma curva
representando os valores de do erro do tipo II.
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Hipóteses:
H0: µ = 5,5
H1: µ > 5,5
DadosDadosDadosDados::::
σ = 2,0 n = 64
= 5,9 α = 5%X
Determinar a curva do erro do tipo II
para os dados do problema das notas da turma
de Estatística.
Tem-se:
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Devemos determinar:
β = P(Aceitar Ho | Ho é falsa) .
Mas:
)3225,6X(P)5,5.645,1X(P
)5,5.645,1X(P)645,15,5X
(P
)645,1µX
(P)645,1Z(Pβ
640,2
640,2
640,2
nσ
<=+<=
=+<=<−
=
=<−
=<=
µµµµ ββββ µµµµ ββββ µµµµ ββββ5,55,55,55,5 95,00 6,26,26,26,2 59,68 6,96,96,96,9 12,40
5,65,65,65,6 92,58 6,36,36,36,3 51,79 7,07,07,07,0 8,77
5,75,75,75,7 89,34 6,46,46,46,4 43,84 7,17,17,17,1 6,00
5,85,85,85,8 85,20 6,56,56,56,5 36,13 7,2 3,96
5,95,95,95,9 80,09 6,66,66,66,6 28,94 7,3 2,53
6,06,06,06,0 74,05 6,76,76,76,7 22,51 7,4 1,59
6,16,16,16,1 67,1867,1867,1867,18 6,86,86,86,8 16,98 7,57,57,57,5 0,930,930,930,93
β para α = 5%, n = 64 e s = 2,0
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Erro do tipo II para α = 5%, n = 64
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1616
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H0: µ = µ0
H1: µ ≠ µ0
Considere as hipóteses:
e suponha que avariabilidade σ éconhecida.
Para determinar β (probabilidade de erro do
tipo II) suponhamos que a hipótese nula é falsa e
determinamos a distribuição de Z0.
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Vamos supor que a média verdadeira é
µ1 = µ + δ, δ > 0. Como H1 é verdadeira Z0 édistribuído como:
σ
nδZ
δX
)δ(XµXX
nσ
nσ
1
nσ
1
nσ
X
X0
µ
µ
σ
µZ
+=+=
====
-
----
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Logo a distribuição de Z0 é:
)1 ,σ
nδ(N~Z0
As distribuições de Z0 sob H0 e H1
são mostradas na próxima lâmina.
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Sob H0Sob H1
)1 ,σ
nδ(N
σ
nδ0 Z0Z 2/αZ 2/α−
)1 ,0(N
β
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Note-se que se H1 é verdadeira, o erro
do tipo II só vai ocorrer quando o valor de
Z0 estiver na região de aceitação, isto é,
quando -za/2 ≤ Z0 ≤ za/2 onde )1 ,σ
nδ(N~Z0
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Esta probabilidade é determinada por:
)σ
nδ()
σ
nδ(β zz 2/α2/α -- Φ−Φ=
se o teste é bilateral e por:
)σ
nδ(β zα -Φ=
se o teste é unilateral
1717
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A CCOCCOCCOCCO (CCCCurva CCCCaracterística de OOOOperação) é
representada em um diagrama, onde no eixo nas
abscissas é registrado o valor dddd ==== |δδδδ | / σσσσ e no eixo
das ordenadas a probabilidade de erro do tipo II (β).
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Esta probabilidade em função de “d”é:
)nd()nd(β zz 2/α2/α --- ΦΦ=
se o teste é bilateral e por:
)nd(β zα -Φ=
se o teste é unilateral
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CCOs a 5% para um teste bilateral
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CCOs a 5% para um teste unilateral
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CCOs a 1% para um teste bilateral
1818
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CCOs a 1% para um teste unilateral
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H0 : π = π0
H1 : π > π0 (teste unilateral/unicaudal à direita)
π < π0 (teste unilateral/unicaudalà esquerda)
π ≠ π0 (teste bilateral/bicaudal) .
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Neste caso a variável teste é:
n
)1(
PPZ
P
P
π−π
π−=
σ
µ−=
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Z > z0
(teste unilateral/unicaudalà direita)
Z < z0
(teste unilateral/unicaudalà esquerda)
|Z| > z0
(teste bilateral/bicaudal) .
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Afirma-se que 40% dos alunos de uma
universidade são fumantes. Uma amostra de
225 estudantes selecionados ao acaso mostrou
que apenas 72 eram fumantes. Teste a 1% a
hipótese de que a afirmação foi exagerada.
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Trata-se de um teste unilateral à
esquerda para a proporção. A variável teste é:
DadosDadosDadosDados::::
f = 72n = 225
p =72/225=32%
α = 1%
Hipóteses:
H0: π = 40%
H1: π < 40%
1919
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Então:n
)1(
PPZ
P
P
π−π
π−=
σ
µ−=
45,20326,0
08,0
225
)40,01(40,0
40,032,0PZ
P
P −=−
=−
−=
σ
µ−=
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O valor crítico zc é tal que: Φ(zc ) = α =
= 0,01 = 1%. Então zc = Φ−1(0,01) =
= -2,33. Assim RC = (-∞;-2,33]
Decisão e Conclusão:Como z = -2,45 ∈ RC ou
-2,45 < -2,33. RejeitoRejeitoRejeitoRejeito H0, isto é, a 1% designificância posso afirmar que a afirmação éexagerada..
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45,2−
%1α =
Região de Não Rejeição]33,2;(RC −−∞=
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Opção:
Trabalhar com a significância do
resultado obtido (-2,45), isto é, o valor-p. Para
isto, deve-se calcular P(Z < -2,45), isto é,
p = P(Z < -2,45) = Φ(-2,45) = 0,71%.
Como a significância do resultado
(0,71%) é menor que a significância do teste
(1%) éééééééé possívelpossívelpossívelpossívelpossívelpossívelpossívelpossível rejeitar a hipótese nula.
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HHHH0000 :::: σσσσ2222 ====
HHHH1111 :::: σσσσ2222 >>>>
(teste(teste(teste(teste unilateral/unilateral/unilateral/unilateral/unicaudalunicaudalunicaudalunicaudal àààà direita)direita)direita)direita)
σσσσ2222 <<<<
(teste(teste(teste(teste unilateral/unilateral/unilateral/unilateral/unicaudalunicaudalunicaudalunicaudal àààà esquerda)esquerda)esquerda)esquerda)
σσσσ2222 ≠≠≠≠
(teste(teste(teste(teste bilateral/bicaudal)bilateral/bicaudal)bilateral/bicaudal)bilateral/bicaudal) ....
σ20
σ20
σ20
σ20
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Neste caso a variável teste é:
σ
−=χ − 2
22
1ns)1n(
2020
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((((teste unilateral/unicaudal à direita)
(teste unilateral/unicaudal à esquerda)
(teste bilateral/bicaudal) .
χ>χ −22
c1n
χ<χ −22
c1n
ou 2222c1nc1n χ<χχ>χ −−
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((((teste unilateral/unicaudalà direita)
(teste unilateral/unicaudalà esquerda)
(teste bilateral/bicaudal) .
α-1 ) 2 2 χχ(Pc1n
=<−
α ) 2 2 χχ(Pc1n
=>−
2/α ) 2 2 ou 2/α ) 2 2 χχ(Pχχ(Pc1nc1n
=>=<−−
Onde é tal que:
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O fabricante de uma certa marca de surdina
de carro divulga que as suas peças tem uma
variância de 0,8 anos. Uma amostra aleatória de
16161616 peças mostrou uma variância de umumumum ano.
Utilizando uma significância de 5%, teste se a
variânciade todas as peças é superior a 0,8 anos.
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Trata-se de um teste unilateral à direita
para a variância.
HipótesesHipótesesHipótesesHipóteses::::
H0: σ2 = 0,8 anos
H1: σ2 > 0,8 anos
DadosDadosDadosDados::::
n = 16s = 1 ano
α = 5%
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Então:
A variável teste é:
σs
χ 2
2
1n
)1n(2 −=
−
75,188,0
15
8,0
1).116(s)1n(2
22
15==
−=
σ
−=χ
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O valor crítico c2c é tal que:
P(c2 > c2c ) = a = 5%. Então:
c2c = 24,996. Assim: RC = [24,996; ∞)
Decisão e Conclusão:Como χ2
15 = 18,75 ∉ RC ou18,75 < 24,996, AceitoAceitoAceitoAceito HHHH0000, isto é, a 5% designificância, nãonãonãonão se pode afirmar que avariância é maior que 0,80 anos.
2121
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75,18
%5α =
); 996,24[RC ∞=Região de Não Rejeição
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Opção:
Trabalhar com a significância do
resultado obtido (18,75), isto é, o valor-p.
Para isto, deve-se calcular P(χ215 > 18,75).
Utilizando o Excel, tem-se:
Como a significância do resultado obtido
(22,59%) é maior que a significância do teste (5%)
não é possível rejeitar a hipótese nula.
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Independentes
DependentesTeste “t” para amostrasemparelhadas
Variâncias
Conhecidas
Variâncias
Desconhecidas
Teste “z”
Supostasiguais
Supostasdiferentes
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2222
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Diferença entre duas médias
(µ1 - µ2 = ∆)
Diferença entre duas proporções
(π1 - π2 = ∆)
Igualdade entre duas variâncias
( )σσ 2Y
2X =
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Neste caso a variável teste é:
mn
YXYXZ
σσσ
µ2Y
2XYX
YX
+
∆−−=
−−=
−
−
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Z > zc
(teste unilateral/unicaudalà direita)
Z < zc
(teste unilateral/unicaudalà esquerda)
|Z| > zc
(teste bilateral/bicaudal) .
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Φ(zc ) = 1− α
(teste unilateral/unicaudalà direita)
Φ(zc ) = α
(teste unilateral/unicaudal à esquerda)
Φ(zc ) = α/2 ou Φ(zc ) = 1− α/2
(teste bilateral/bicaudal) .
Onde zc é tal que:
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Uma grande empresa quer comprar peças de
dois fornecedores diferentes. O fornecedor “AAAA”
alega que a durabilidade é de 1000 horas com
desvio de 120 horas, enquanto que o fornecedor
“BBBB” diz que a duração média é de 1050 horas com
desvio padrão de 140140140140 horas.
2323
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Para testar se a durabilidade de “BBBB” é
realmente maior, duas amostras de tamanho nnnn ====
mmmm ==== 64646464, de cada um dos fornecedores, foram
obtidas. A duração média da amostra AAAA foi de
995995995995 horas e a BBBB foi de 1025102510251025. Qual a conclusão a
5% de significância?
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Trata-se de um teste unilateral à
esquerda com σ1 e σ2 conhecidos.
Hipóteses:
H0: µ1 = µ2
H0: µ1 < µ2
DadosDadosDadosDados::::
n = m = 64
σ1 = 120; σ2 = 140
= 995 e = 1025
α = 5%
X Y
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Então:
A variável teste é:
mn
YXYXZ
σσσ
µ2Y
2XYX
YX
+
∆−−=
−−=
−
−
30,1
6464
01025995
mn
YXZ
140120σσ 222Y
2X
−=
+
−−=
+
∆−−=
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OO valorvalor críticocrítico zzcc éé taltal queque:: Φ(zc ) = α =
= 0,05 = 5%. Então zc = Φ−1(0,05) == -1,645. Assim RC = (- ∞; -1,645]
Decisão e Conclusão:Como z = -1,30 ∉ RC ou -1,30 > -1,645,
AceitoAceitoAceitoAceito HHHH0000, isto é, a 5% de significância nãonãonãonão se
pode afirmar que a média de AAAA é menor que a média
de BBBB
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30,1−%5α =
];645,1;(RC −−∞= Região de Não Rejeição
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Opção:Trabalhar com a significância do resultado
obtido (-1,30), isto é, o valor-p. Para isto, deve-se
calcular P(Z < -1,30), isto é, p = P(Z < -1,30) =
Φ(-1,30) = 9,68%.
Como a significância do resultado
(9,68%) é maior que a significância do teste (5%)
não é possível rejeitar a hipótese nula.
2424
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Neste caso a variável teste é:
m
1
n
1s
YXYX
σ̂
µt
YX
YXυ
+
∆−−=
−−=
−
−
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Onde s é dado por:
2mn
)1m()1n(s
ss 2Y
2X
−+
−+−=
e v é dado por: n + m - 2
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Um relatório da defesa do consumidor
mostrou que um teste com oitooitooitooito pneus da marca AAAA
apresentaram uma vida média de 37500375003750037500 kmkmkmkm com
um desvio padrão de 3500350035003500 kmkmkmkm e que dozedozedozedoze de uma
marca concorrente BBBB, testados nas mesmas
condições, tiveram uma durabilidade média de
41400414004140041400 kmkmkmkm com variabilidade de 4200420042004200 kmkmkmkm.
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Supondo que as variânciasvariânciasvariânciasvariâncias
populacionaispopulacionaispopulacionaispopulacionais sejamsejamsejamsejam asasasas mesmasmesmasmesmasmesmas e admitindo
uma significânciasignificânciasignificânciasignificância dededede 5555%%%%, verifique se é
possível afirmar que as duas marcas diferemdiferemdiferemdiferem
quanto a durabilidade média. E se a
significância fosse 1111%%%% qual seria a
conclusão?
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Trata-se de um teste “t” bilateral com σ1
e σ2 supostamente iguais.
Hipóteses:
H0: µ1 = µ2
H0: µ1 ≠ µ2
DadosDadosDadosDados::::
n = 8; m = 12
sA = 3500; sB = 4200
= 37500; = 41400
α = 5% ;
X Y
σσ 2B
2A =
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Onde:
A variável teste é:
m
1
n
1.s
YXYX
σ̂
µt
YX
YX2mn
+
∆−−=
−−=
−
−−+
2mn
)1m()1n(s
SS 2B
2A
−+
−+−=
2525
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Então:
129,2
12
1
8
19651,4012
04130037500
m
1
n
1.S
YXt18
−=
=
+
−−=
+
∆−−=
9651,40122128
.11.7s 42003700 22
=−+
+=
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O valor crítico tc é tal que: P(|Τ18| > tc ) =
= α = 0,05 = 5%. Então tc = T−1(0,9750) = 2,101.
Assim RC = (- ∞; -2,101]∪[ 2,101; + ∞)
Decisão e Conclusão:
Como t = -2,129 ∈RC ou -2,129 < -2,101,
Rejeito H0, isto é, a 5% de significância posso
afirmar que a vida média das duas marcas difere.
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%5,22
α= %5,2
2
α=
Região de Não Rejeição
);101,2[]101,2;(RC +∞−−∞= U
129,2−182128
2mnν
=−+=
=−+===tt 18ν
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O valor crítico tc é tal que: P(|T18| > tc ) == α = 0,01 = 1%. Então tc = T-1(0,9950) == 2,878. Assim RC = (- ∞; -2,878]∪[ 2,878; + ∞)
Decisão e Conclusão:
Como t = -2,129 ∉RC ou -2,129 > -2,878,
AceitoAceitoAceitoAceito HHHH0000, isto é, a 1% de significância nãonãonãonão
posso afirmar que a vida média das duas
marcas difere.
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Neste caso a variável teste é:
mn
YXYX
ssσ̂
µt
2Y
2XYX
YXυ
+
∆−−=
−−=
−
−
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Onde v é dado por:
1m
2Y
1n
2X
2Y
2X
υ
m
S
n
S
m
S
n
S
22
2
−+
−
=
+
2626
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tv > tc
(teste unilateral/unicaudal à direita)tv < tc
(teste unilateral/unicaudal à esquerda)
|tv| > tc
(teste bilateral/bicaudal) .
Rejeita-se a hipótese nula se:
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P(tv < tc ) = 1− α
(teste unilateral/unicaudal à direita)
P(tv < tc ) = α
(teste unilateral/unicaudal à esquerda)
P(tv < tc ) = α/2 ou P(tv > tc ) = α/2
(teste bilateral/bicaudal) .
Onde tc é tal que:
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Uma empresa fabrica transistores do tipo A
e do tipo B. A marca AAAA, mais cara, é
supostamente pelopelopelopelo menosmenosmenosmenos 60606060 horas mais durável
do que a marca BBBB. Um usuário quer saber se vale
a pena pagar mais pela marca A e resolve testar
se, de fato, ela é mais durável.
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Testa 20202020 itens de AAAA encontrando uma vida
média de 1000100010001000 horashorashorashoras com desvio de 60606060 horashorashorashoras,
enquanto que 20202020 itens da marca BBBB apresentam
uma vida média de 910910910910 horashorashorashoras com desvio de 40404040
horashorashorashoras. Qual a conclusão a 5555%%%% de significância?
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Trata-se de um teste “t” unilateral àdireita com σ1 e σ2 supostamentedesiguais.
Hipóteses:
H0: µ1 - µ2 = 60
H0: µ1 - µ2 > 60
DadosDadosDadosDados::::n = m = 20
sA = 60; sB = 40
= 1000; = 910
α = 5% ;X Y
σσ 2B
2A ≠
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Onde:
A variável teste é:
mn
YXYX
ssσ̂
µt
2Y
2XYX
YXυ
+
∆−−=
−−=
−
−
( ) ( )1m
2Y
1n
2X
2Y
2X
υmSnS
m
S
n
S
22
2
−+
−
=
+
2727
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E:
861,1
2020
609101000
mn
YX
4060sst
222Y
2X
υ =
+
−−=
+
∆−−=
33
120
2
120
2
22
υ
2040
2060
20
40
20
60
22
2
≅
−+
−
=
+
Curso: Engenharia de Processos e de Sistemas de Produção - Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamentode Estatística
O valor crítico tc é tal que: P(T33 > tc ) =
= α = 0,05 = 5%. Então tc = T-1(0,95) =
1,692. AssimAssimAssimAssim RCRCRCRC ==== [[[[ 1111,,,,692692692692;;;; ++++ ∞∞∞∞ ))))
Decisão e Conclusão:
Como t = 1,861 ∈RC ou 1,861 > 1,692,
RejeitoRejeitoRejeitoRejeito HHHH0000, isto é, a 5% de significância posso
afirmar que a vida média da marca é pelomenos 60 horas maior que a marca B.
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%5=α
); 692,1[RC ∞=861,1
Região de Não Rejeição
tt 33=ν
33
120
2
120
2
22
υ
2040
2060
2040
2060
22
2
≅
−+
−
=
+
Curso: Engenharia de Processos e de Sistemas de Produção - Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamentode Estatística
H0 : π1 – π2 = ∆
H1 : π1 – π2 > ∆
(teste unilateral/unicaudal à direita)π1 – π2 < ∆
(teste unilateral/unicaudal à esquerda)
π1 – π2 ≠ ∆
(teste bilateral/bicaudal) .
Teste para a diferença entre duas proporções:
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Neste caso a variável teste é:
m
)P1(P
n
)P1(P
PP
ˆ
PP Z
2211
21
P 2P 1
P 2P 121
−+
−
∆−−=
=σ
µ−−=
−
−
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Z > zc
(teste unilateral/unicaudalà direita)
Z < zc
(teste unilateral/unicaudalà esquerda)
|Z| > zc
(teste bilateral/bicaudal) .
Rejeita-se a hipótese nula se:
2828
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Φ(zc ) = 1− α
(teste unilateral/unicaudalà direita)
Φ(zc ) = α
(teste unilateral/unicaudal à esquerda)
Φ(zc ) = α/2 ou Φ(zc ) = 1 - α/2
(teste bilateral/bicaudal) .
Onde zc é tal que:
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A reitoria de uma grande universidade
entrevistou 600 alunos, 350 mulheres e 250 homens,
para colher a opinião sobre a troca do sistema de
avaliação da universidade. Da amostra 140
mulheres e 115 homens estavam a favor. Teste a 5%
se existe diferença significativa de opinião entre
homens e mulheres.
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Trata-se de um teste bilateral para a
proporção.
Hipóteses:
H0: π1 = π2
H0: π1 ≠ π2
DadosDadosDadosDados::::
n = 350; m = 250
p1 = 140/350 = 40%
p2 = 115/250 = 46%
α = 5% ;
Curso: Engenharia de Processos e de Sistemas de Produção - Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamentode Estatística
A variável teste é:
21,202718,0
06,0
250
)46,01(46,0
350
)40,01(40,0
046,040,0m
)1(
n
)1( Z
PPPPPP
2211
21
−=−
=
=−
+−
−−=
=−
+−
∆−−=
Curso: Engenharia de Processos e de Sistemas de Produção - Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamentode Estatística
O valor crítico zc é tal que: P(|Ζ| > zc ) =
= α = 0,05 = 5%. Então zc = Φ−1(0,05) =-1,96. Assim RC = (- ∞; -1,96]∪[ 1,96; + ∞)
DecisãoDecisão ee ConclusãoConclusão::
ComoComo zz == --22,,2121 ∈∈RCRC ouou --22,,2121 << --11,,9696,,
RejeitoRejeitoRejeitoRejeitoRejeitoRejeitoRejeitoRejeito HHHHHHHH00000000,, istoisto é,é, aa 55%% dede significânciasignificância possoposso
afirmarafirmar queque asas opiniõesopiniões diferemdiferem entreentre homenshomens ee
mulheresmulheres..Curso: Engenharia de Processos e de Sistemas de Produção - Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamentode Estatística
%5,22
α= %5,2
2=
α
RegiãoRegiãoRegiãoRegiãoRegiãoRegiãoRegiãoRegião dededededededede NãoNãoNãoNãoNãoNãoNãoNão RejeiçãoRejeiçãoRejeiçãoRejeiçãoRejeiçãoRejeiçãoRejeiçãoRejeição
);96,1[]96,1;(RC +∞−−∞= U
21,2−
2929
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H0 : =
H1 : > (teste unilateral/unicaudal à direita)
< (teste unilateral/unicaudalà esquerda)
≠ (teste bilateral/bicaudal) .
σ22
σ22
σ22
σ22
σ21
σ21
σ21
σ21
Teste para a igualdade de duas variâncias:
Curso: Engenharia de Processos e de Sistemas de Produção - Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamentode Estatística
Neste caso a variável teste é:
SS
F 2Y
2X
1m ,1n =−−
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((((teste unilateral/unicaudal à direita)
(teste unilateral/unicaudal à esquerda)
(teste bilateral/bicaudal) .
f F c1-m 1,-n >
f F c1-m 1,-n <
f F ou f F c1-m 1,-nc1-m 1,-n <>
Rejeita-se a hipótese nula se:
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Onde Fn-1;m-1 é tal que:
((((teste unilateral/unicaudal à direita)
(teste unilateral/unicaudal à esquerda)
(teste bilateral/bicaudal) .
α=>− ) F F(P c1-m ,1n
α=<− ) F F(P c1-m ,1n
2/ ) F F(P ou 2/ ) F F(P c1-m ,1nc1-m ,1n α=<α=> −−
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O desvio padrão de uma dimensão particular
de um componente de metal é satisfatório para a
montagem do componente. Um novo fornecedor
está sendo considerado e ele será preferível se o
desvio padrão é menor do que o do atual
fornecedor. Uma amostra de 100 itens de cada
fornecedor é obtido.
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Fornecedor atual: s12 = 0,0058
Novo fornecedor: s22 = 0,0041
A empresa deve trocar de fornecedor se for
considerado uma significância de 5%?
3030
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Trata-se de um teste unilateral à direita
para a igualdade de variâncias.
Hipóteses:
H0: σ12 = σ2
2
H0: σ12 > σ2
2
DadosDadosDadosDados::::
n = m = 100
s12 = 0,0058
s22 = 0,0041
α = 5%
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A variável teste é:
SS
22
21 F =
Que apresenta uma
distribuição F com “n – 1” g.l.
no numerador e “m – 1” g.l.
no denominador.
Então:41,1
0041,0
0058,0 fss
22
21 ===
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O valor crítico fc é tal que: P(|F| > fc ) =
= α = 0,05 = 5%. Então fc = F−1(0,05) =1,39. Assim RC = [ 1,39; + ∞)
Decisão e Conclusão:
Como f = 1,41 ∈RC ou 1,41 < 1,39,
RejeitoRejeitoRejeitoRejeito HHHH0000, isto é, a 5% de significância
posso afirmar que a variância do fornecedor
atual é maior do que a do novo fornecedor.Curso: Engenharia de Processos e de Sistemas de Produção - Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamentode Estatística
%5α =
41,1); 39,1[RC ∞=Região de Não Rejeição
39,1FF 99;991-m1;-n ==
Curso: Engenharia de Processos e de Sistemas de Produção - Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamentode Estatística Curso: Engenharia de Processos e de Sistemas de Produção - Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamentode Estatística
H0 : µD = ∆
H1 : µD > ∆
(teste unilateral/unicaudal à direita)µD < ∆
(teste unilateral/unicaudal à esquerda)
µD ≠ ∆
(teste bilateral/bicaudal) .
3131
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Neste caso a variável teste é:
nD
Dυ S
DD
Dσ̂
µt
∆−=
−=
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Onde :
1n
dnd
1n
)dd(s
n
dd
22i
2i
i
−
∑ −=
−
∑ −=
∑=
e v é dado por: n –1 = m – 1.
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tn-1 > tc
(teste unilateral/unicaudal à direita)
tn-1 < tc
(teste unilateral/unicaudal à esquerda)
|tn-1| > tc
(teste bilateral/bicaudal) .Curso: Engenharia de Processos e de Sistemas de Produção - Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamentode Estatística
P(tn-1 < tc ) = 1− α
(teste unilateral/unicaudalà direita)
P(tn-1 < tc ) = α
(teste unilateral/unicaudal à esquerda)
P(tn-1 < tc ) = α/2 ou P(tn-1 > tc ) = α/2
(teste bilateral/bicaudal)
Onde tc é tal que:
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Um laboratório possui dois
equipamentos de precisão. O diretor
suspeita que existe uma pequena diferença
de calibração entre os dois (ele não sabe em
qual deles) de modo que um tende a dar
leituras um pouco maiores do que o outro.
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Ele propõe testar os dois aparelhos
através da leitura de 10 medidas (tabela na
próxima lâmina) em cada um dos aparelhos.
Faça o teste adequado a uma significância
de 5%.
3232
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Aparelho A Aparelho B12,2 12,512,1 12,210,55 10,5713,33 13,3211,42 11,4710,30 10,3012,32 12,3613,27 13,29
11,93 11,9112,50 12,61
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Uma vez que as amostras não são
independentes, trata-se do teste “t” para
amostras emparelhadas.
Hipóteses:
H0: µD = 0
H1: µD ≠ 0
DadosDadosDadosDados::::
n = m = 10
α = 5%
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Onde:
A variável teste é:
nD
D1n S
DD
Dσ̂
µt
∆−=
−=−
1n
n
1n
)d(s
nd
ddd
d
22i
2i
i
−
−=
−
−=
=
∑∑
∑
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A B di di2
12,2 12,5 0,30 0,090012,1 12,2 0,10 0,010010,55 10,57 0,02 0,000413,33 13,31 -0,02 0,000411,42 11,44 0,02 0,000410,30 10,30 0,00 0,000012,32 12,36 0,04 0,001613,27 13,29 0,02 0,000411,93 11,90 -0,03 0,000912,50 12,61 0,11 0,0121
-- -- 0,560,560,560,56 0,11620,11620,11620,1162
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Tem-se:
A variável teste é:
824,10971,0
10.056,00056,0Dt
100971,0
nS D
1n ==−
=∆−
=−
0560,010
56,0
nd
d i ===∑
0971,0110
.101162,0
1n
ns
056,0dd 222i =
−
−=
−
−=
∑
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O valor crítico zc é tal que: P(|T| > tc )
= α = 0,05 = 5%. Então tc = T−1(0,05) =
= 2,262. Assim RC = [2,262; + ∞].
DecisãoDecisão ee ConclusãoConclusão::Como t = 1,824 ∉ RC ou 1,824 < 2,262,
AceitoAceitoAceitoAceito HHHH0000, isto é, a 5% de significância nãonãonãonão se
pode afirmar que as leituras são diferentes.
3333
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%5α =
); 262,2[RC ∞=824,1RegiãoRegiãoRegiãoRegiãoRegiãoRegiãoRegiãoRegião dededededededede NãoNãoNãoNãoNãoNãoNãoNão RejeiçãoRejeiçãoRejeiçãoRejeiçãoRejeiçãoRejeiçãoRejeiçãoRejeição
tt 9=ν
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A prova χ² de uma amostra é aplicada
quando se está interessado no número de
indivíduos, objetos ou respostas que se enquadram
em categorias (duas ou mais). Deve comprovar se
existe diferença significativa entre o número
observado em determinada categoria e o número
esperado, baseado na hipótese de nulidade.
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O método usado é comparar frequências
observadas com esperadas de acordo com a
hipótese de nulidade. A hipótese de nulidade pode
ser testada por:
∑-
-
k
1i i
22
1k E
)EO(χ ii
=
=
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Se há concordância entre os valores
observados e os esperados, as diferenças
(Oi - Ei) serão pequenas e χ2 será também
pequeno. Se as divergências, entretanto,
forem grandes, o valor de χ2, será também
grande.
3434
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A distribuição amostral de χ2, sob Ho,
calculada pela fórmula anterior, segue uma
distribuição qui-quadrado com um número de
graus de liberdade igual a “k-1” sendo “k” o
número de categorias em que a variável foi
classificada.
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Verificar se existe influência do dia da
semana sobre o número de acidentes que ocorrem
em um trevo rodoviário. Foram anotados 140
acidentes de acordo com o dia da semana (ver
tabela).
DiaDiaDiaDia Número de acidentesNúmero de acidentesNúmero de acidentesNúmero de acidentes
SegundaSegundaSegundaSegunda 16
TerçaTerçaTerçaTerça 25
QuartaQuartaQuartaQuarta 16
QuintaQuintaQuintaQuinta 19
SextaSextaSextaSexta 27
SábadoSábadoSábadoSábado 10
DomingoDomingoDomingoDomingo 27272727
Acidentes no trevo “Boa Viagem”
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H0: O número de acidentes é igual
H1: O número de acidentes é diferente
DadosDadosDadosDados::::
n = 140 k = 7
α = 5% gl = k – 1 = 6
DiaDiaDiaDia ObservadosObservadosObservadosObservados EsperadosEsperadosEsperadosEsperados (O(O(O(O iiii –––– EEEEiiii))))2222/ E/ E/ E/ Eiiii
SegundaSegundaSegundaSegunda 16 20 0,80
TerçaTerçaTerçaTerça 25 20 1,25
QuartaQuartaQuartaQuarta 16 20 0,80
QuintaQuintaQuintaQuinta 19 20 0,05
SextaSextaSextaSexta 27 20 2,45
SábadoSábadoSábadoSábado 10 20 5,00
DomingoDomingoDomingoDomingo 27 20 2,45
TotalTotalTotalTotal 140140140140 140140140140 12,8012,8012,8012,80
CálculoCálculoCálculoCálculo dodododo XXXX2222
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Tem-se que:
∑-
-
k
1i i
22
1k E
)EO(χ ii
=
=
Então:
80,12ii7
1i i
22
6 E
)EO(χ ==
=
∑-
Valor observado do Qui-Quadrado
3535
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80,12
%5α =
); 59,12[RC ∞=Região de Não Rejeição
χ 26
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O valor crítico é tal que
Assim, este valor éééé::::
χ 2
6 %5)xχ(P 2t
2
6=>
59,12x 2t =
Decisão e Conclusão:
Como ∈ RC ou 12,80 > 12,59,
RejeitoRejeitoRejeitoRejeito HHHH0000, isto é, a 5% de significância se pode
afirmar que os acidentes dependemdependemdependemdependem do dia dasemana.
80,12x 2c =
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Opção:
Trabalhar com a significância do
resultado obtido (12,80), isto é, o valor-p.
Para isto, deve-se calcular P(χ26 > 12,80).
Utilizando o Excel, tem-se:
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Como a significância do resultado obtido
(4,63%) é menor que a significância do teste
(5%) é possível rejeitar a hipótese nula.
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