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MR 0720 - Simulação

Aula 3Modelagem utilizando a transformada de Laplace

Método Analítico de ModelagemHá três estágios para gerar analiticamente um modelo matemático e simulá-lo:

1. Especificar o sistema e imaginar um modelo físico, cujo comportamento se ajuste suficientemente bem ao comportamento do sistema real. Neste estágio, as simplificações são assumidas e as variáveis de entrada e saída são escolhidas. Exemplo: assumir em um circuito elétrico que seus componentes sejam puramente resistivos, indutivos ou capacitivos, desprezando, por exemplo, a pequena indutância existente nos resistores.

2. Derivar um modelo matemático p/ representar o modelo físico, isto é, escrever as equações de movimento do modelo físico. Para tanto, as leis físicas apropriadas são aplicadas p/ gerar um conjunto de equações diferenciais ordinárias nas variáveis de entrada e saída. Neste curso a palavra “movimento” seráusada em um contexto geral p/ denotar a variação de qualquer variável física.

3. Tendo-se disponível o modelo, pode-se estudar seu comportamento dinâmico, através da solução das equações diferenciais.

Método Analítico de ModelagemAssumir relações lineares de causa e efeito entre variáveis físicas.Uma equação diferencial ordinária linear tem a seguinte forma:

( )tfyBdtdyB

dtydB

dtydB

dtydB

xAdtdxA

dtxdA

dtxdA

dtxdA

n

n

nn

n

n

n

n

nn

n

n

=++++++

++++++

−

−

−

−

−

−

LL

L

012

2

21

1

1

012

2

21

1

1

As variáveis x,y etc. são função exclusiva da variável independente (t). Os coeficientes A, B etc. podem variar com t mas não com x, y etc. O termo f(t) pode variar com t de qualquer maneira, mas nãopode envolver x, y etc. Nenhum produto de variáveis dependentes ou de suas derivadas pode estar presente, tais como x*y, x2, x*(dx/dt) etc. Exemplo de uma equação diferencial ordinária linear:

( ) 32

2

54143 txtsendtdx

dtxd

=++

Método Analítico de ModelagemSe os coeficientes A, B etc. são constantes, a equação é dita invariante no tempo ou de coeficientes constantes.Freqüentemente, a descrição de um sistema não-linear pode ser aproximada por equações lineares. As vantagens são:

A análise de um sistema linear pode normalmente ser efetuada por métodos analíticos, sem a necessidade de métodos numéricos;Quando uma equação linear é resolvida, a solução é geral, valendo p/ todas as magnitudes do movimento.

Função de TransferênciaA função de transferência relaciona algebricamente a saída de um sistema à sua entrada. Esta função permite a separação da entrada, do sistema, e da saída em três partes separadas e distintas, o que não ocorre com a equação diferencial. A função de transferência permitirá também combinar algebricamente representações matemáticas de subsistemas para obter uma representação total do sistema.

Função de TransferênciaDado uma equação diferencial de ordem n, linear, invariante no tempo e condições iniciais nulas, considerando r(t) sinal de entrada (ou de referência), c(t) sinal de saída (ou variável controlada) e A e B seus coeficientes,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

1 1 01

1

1 1 01

n n

n nn n

m m

m mm m

d c t d c t dc tA A A A c t

dt dt dtd r t d r t dr t

B B B B r tdt dt dt

−

− −

−

− −

+ + + + =

+ + + +

L

L

Aplicando a transformada de Laplace a ambos os lados da equação,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

11 1 0

11 1 0

n nn n

m mm m

A s C s A s C s A sC s A C s

B s R s B s R s B sR s B R s

−−

−−

+ + + + =

+ + + +

L

L

Função de TransferênciaFormamos agora a relação entre a transformada de Laplace da saída pela da entrada,

( ) ( )( )

11 1 0

11 1 0

m mm m

n nn n

C s B s B s B s BG sR s A s A s A s A

−−

−−

+ + + += =

+ + + +L

L

Chamamos G(s) de função de transferência do sistema (para condições iniciais nulas)

ExemploObter a função de transferência representada por,

( )( ) ( )tt

t rcdtdc

=+ 2

( ) ( ) ( )sss RCsC =+ 2Solução:

( )( )

( ) ( )21+

==sR

CG

s

ss

FT para sistemas elétricos

Indutor

Ω

Componente Tensão-corrente Corrente-tensão Tensão-cargaImpedânciaZ(s) = V(s)/I(s)

AdmitânciaY(s) = I(s)/V(s)

FT sistemas mecânicos em translaçãoComponente

Força-velocidade

Força-deslocamento

ImpedânciaZm(s)=F(s)/X(s)

Mola

Amortecedor viscoso

Massa

Nota: Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste livro: f ( t ) = N (newtons), x( t ) = m (metros), ν( t ) = m/s (metros/segundo), K =N/ m (newtons/metro), f ν = N.s/ m (newton-segundo/ metro), M =kg (quilogramas = newton.segundo2 / metro).

ComponenteForça-velocidade

Força-deslocamento

ImpedânciaZm(s)=F(s)/X(s)

Mola

Amortecedor viscoso

Massa

Nota: Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste livro: f ( t ) = N (newtons), x( t ) = m (metros), ν( t ) = m/s (metros/segundo), K =N/ m (newtons/metro), f ν = N.s/ m (newton-segundo/ metro), M =kg (quilogramas = newton.segundo2 / metro).

FT sistemas mecânicos em rotação

Mola

Amortecedor viscoso

ComponenteTorque -velocidadeangular

Torque -deslocamentoangular

Impedância

Zm(s) = T(s) / θ(s)

Nota: Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste livro: T ( t ) = N.m (newton.metro), Θ( t ) = rad (radianos), ω( t ) = rad/s (radianos /segundo), K =N.m /rad (newton.metro / radiano), D ν = N.m.s/ rad (newton.metro.segundo/ radiano), J =kg.m2

(quilograma.metro2 = newton.metro.segundo2 / radiano).

Inércia

Mola

Amortecedor viscoso

ComponenteTorque -velocidadeangular

Torque -deslocamentoangular

Impedância

Zm(s) = T(s) / θ(s)

Nota: Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste livro: T ( t ) = N.m (newton.metro), Θ( t ) = rad (radianos), ω( t ) = rad/s (radianos /segundo), K =N.m /rad (newton.metro / radiano), D ν = N.m.s/ rad (newton.metro.segundo/ radiano), J =kg.m2

(quilograma.metro2 = newton.metro.segundo2 / radiano).

Inércia

Modelagem circuito elétricoExercício 1 - Dado o circuito abaixo, determine a equação diferencial que representa o sistema e sua função de transferência, considerar a entrada como v(t) e a saída VC(t).

( )( ) ( ) ( )

0

1 tt

t t t

diL Ri i dt vdt C

+ + =∫Mudando a variável de corrente p/ carga temos:

( ) ( )( ) ( )tt

tt vqCdt

dqR

dtqd

L =++1

2

2

A partir da relação tensão-carga em um capacitor tirado da tabela, temos:

( ) ( )( ) ( )tvv

dtdv

RCdtvd

LC tCtCtC =++2

2

Aplicando a transformada de Laplace,

( ) ( ) ( )ssC VVRCsLCs =++ 12

( )( )

( )2

1

1C s

ss

V LCG RV s sL LC= =

+ +

( ) ( )tCt Cvq =

Modelagem circuito elétricoExercício 1 - Podemos simplificar a determinação da função de transferência se calcularmos primeiramente a transformada dos elementos do circuito elétrico. Em seguida aplicamos a Lei de Kirchhoff

( ) ( )ss ICs

RLsV

++=

1

( )( )

Cs

VI sCs 1=

( )( )

( )2

1

1C s

ss

V LCG RV s sL LC= =

+ +

Modelagem sistema mecânico translaçãoExercício 2 - Obter a função de transferência, X(s)/F(s), p/ o sistema,

Aplicando-se a 2ª Lei de Newton

( ) ( )( ) ( )tt

tv

t fKxdtdx

fdtxd

M =++2

2

( ) ( ) ( ) ( )sssvs FKXsXfXMs =++2

( ) ( ) ( )ssv FXKsfMs =++2

( )( )

( ) ( )KsfMsFX

Gvs

ss ++

== 2

1

Modelagem sistema mecânico translação

Exercício 3 - Obter a função de transferência, X2(s)/F(s), p/ o sistema,

Modelagem sistema mecânico translação

a. Forças atuando sobre M1 devidas somente ao movimento de M1;

b. forças atuando sobre M1 devidas somente ao movimento de M2;

c. todas as forças atuando sobre M1

Exercício 3

Modelagem sistema mecânico translação

a. Forças atuando sobre M2 devidas somente ao movimento de M2;

b. forças atuando sobre M2 devidas somente ao movimento de M1;

c. todas as forças atuando sobre M2

Exercício 3

Modelagem sistema mecânico translaçãoExercício 3 Escrevendo as equações de movimento transformadas por Laplace,

temos:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 02322

212

221212

1

323

321

=++++++−

=+−++++

s

a

vvsv

svs

b

vv

XkksffsMXksf

sFXksfXkksffsM

( ) ( )

( )

( )( )22

22

3

3

ksfabksf

FX

sGv

v

s

s

+−

+==

Modelagem sistema mecânico rotaçãoExercício 4 - Obter a função de transferência, θ2(s)/T(s), p/ o sistema,

Modelagem sistema mecânico rotaçãoExercício 4

a. Torques sobreJ1 devidossomente ao movimento de J1;

b. torques sobreJ1 devidossomente ao movimento de J2;

c. diagrama finalde corpo livrepara J1

Modelagem sistema mecânico rotaçãoExercício 4

a. Torques sobreJ2 devidossomente ao movimento de J2;

b. torques sobreJ2 devidossomente ao movimento de J1;

c. diagrama finalde corpo livrepara J2

Modelagem sistema mecânico rotaçãoExercício 4

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0222

21

2112

1

=+++−

=−++

s

b

s

sss

a

ksDsJk

TkksDsJ

θθ

θθ

( )( ) ( )

( ) ( )ssss

s Tkk

abtemosdosubstituin

kb

=−→= 222

1 θθθ

θ

( )

( )2

2

kabk

T ss

−=

θ