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Tipos de flexãoTensões normais na flexão
Exercícios
Momento fletor
17 de outubro de 2016
Momento fletor
Tipos de flexãoTensões normais na flexão
Exercícios
Momento fletor
Tipos de flexãoTensões normais na flexão
Exercícios
Tipos de flexão
1 De acordo com os esforços simples atuantes na seçãotransversal
Flexão Pura: somente momento fletor, demais esforços nulos.
Flexão Simples:momento fletor e o esforço cortante.
Momento fletor
Tipos de flexãoTensões normais na flexão
Exercícios
Flexão Composta:momento fletor e esforço normal.
Momento fletor
Tipos de flexãoTensões normais na flexão
Exercícios
2 De acordo com a direção dos momentos fletores atuantes
ES→ interseção do plano das cargas com a seção transversal(eixo y)a rotação acontece em torno do eixo perpendicular ao eixo desolicitação (eixo z)
Momento fletor
Tipos de flexãoTensões normais na flexão
Exercícios
De acordo com a direção dos momentos fletores atuantes
Flexão normal ou reta→ O ES coincide com um dos eixosprincipais de inércia.
Flexão oblíqua→ o ES e o eixo de rotação não coincidem comos eixos principais de inércia.
Momento fletor
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Exercícios
Resumindo:
1 De acordo com os esforços simples atuantes na seçãotransversal
Flexão Pura→ somente M→ Res Mat1
Flexão Simples→ M e Q→ Res Mat1Flexão composta→ M e N
2 De acordo com a direção dos momentos fletores atuantesFlexão reta→ ES ≈ eixos principais→ Res Mat1
Flexão Oblíqua→ ES , eixos principais
Momento fletor
Tipos de flexãoTensões normais na flexão
Exercícios
Momento fletorTensões normais na flexão
17 de outubro de 2016
Momento fletor
Tipos de flexãoTensões normais na flexão
Exercícios
Tensões normais na flexão
Mecanismo de flexão
Linhas longitudinais (fibras longitudinais ao eixo) assumem oaspecto curvo. O eixo deformado à flexão é a linha elástica.Linhas transversais (seções transversais) permanecem planas e⊥ao eixo deformado→ sofrem rotação em torno do eixo localz.
Momento fletor
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Exercícios
Superfície neutra→ camada situada em um plano horizontalque, na configuração inicial, mantém o comprimento L(εx = 0→ σx = 0).
Momento fletor
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Exercícios
Tensões normais na flexão
Mecanismo de flexão
Linha neutra (LN)→ interseção da superfície neutra com a seçãotransversal.
M > 0
{
Fibras superiores à LN são comprimidas/ encurtadasFibras inferiores à LN são tracionadas/ alongadas
Momento fletor
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Exercícios
Seja o elemento de volume genérico, limitado pelas seçõesSe e Sd, decomprimento elementardx. Na configuração deformada,dθ é oângulo entreSe e Sd, o ponto O é o centro de curvatura eOM = ON = ρ é o raio de curvatura da linha elástica na superfícieneutra.
Momento fletor
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Exercícios
Considerandods ≃ dx para vigas horizontais ou de pequena inclinaçãoe para pequenas deformações. A curvatura é:
κ =1ρ=
dθds≃
dθdx
Momento fletor
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Exercícios
du = dθy
εx =dudx =
dθdx y
σx = Eεx = E dθdx y
Momento fletor
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Exercícios
σx = Eεx = E dθdx y
dθdx → constante
⇓
σx = ky
k = E dθdx
Momento fletor
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Exercícios
σx = ky (1)
k = Edθdx
Para calculark e determinar a posição da LN, sabe-se que o esforçonormal é nulo, ou seja:
N =∫
AσxdA = 0 (2)
Combinando a equação 2 com a equação 1, tem-se:
N =∫
AσxdA =
∫
AKydA = K
∫
AydA = 0
Momento fletor
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Exercícios
N =∫
AσxdA =
∫
AKydA = K
∫
AydA = 0
⇒ Geometria das massas: a origem do eixo y, que define a posição daLN, coincide com a ordenada do baricentro, definida por:
y =
∫
AydA
A= 0
Conclui-se, então, que a LN passa pelo baricentro da seção.
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Exercícios
dFx
dFydFz
..x
y
z
dF
y z
PMz =
∫
AσxydA
σx = ky =⇒Mz =∫
AkyydA = k
∫
Ay2 dA
︸ ︷︷ ︸
Iz
=⇒ k = MI
⇓
σx =MI y
Momento fletor
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Exercícios
Observações:
σx =MI y
1 Sólido de tensões
LN
C’
C
B’
BA’
A’
D
D’
o
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Exercícios
2 Cálculo das Tensões Extremas (Máximas)
LN
C’
C
B’
BA’
A’
D
D’
o
σx =MI y
y = −ds→ σs =MI
(−ds) = −M
I/ds
y = di→ σi =MI
(di) =M
I/di
FazendoWs = I/ds e Wi = I/di tem-se:
σs = −M/Wsσ =M/Wi⇓
σmax =M/W
Momento fletor
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Exercícios
Exercícios
1- A viga representada na figura tem seção constante, retangular combase de 20 cm e altura de 40 cm. Dados L= 4 m; a= 1,0 m e P= 120kN, calcular as tensões máximas de tração e compressão.Resposta: 22,5 MPa (tração e compressão).
Momento fletor
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Exercícios
Para a viga da Figura tem a seção transversal mostrada ao seu lado,com momento de inércia em relação ao eixo-z igual aJz = 48,7×106
mm 4. Pede-se:
(a) Os diagramas de esforços internos. Indique as seções e os valoresdos esforços máximos.
(b) As tensões máximas de tração e compressão.
Momento fletor
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Exercícios
11 - Calcular o valor máximo admissível deq na viga da figura, paratensões admissíveis 140 MPa à tração e 84 MPa à compressão, sendoa seção transversal constante mostrada (dimensões em cm). Resposta:21,3 kN/m
���������������
���������������
���������������
���������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
2,54
2,54
10,16
2,54 25,4
1,2m 2m 2m 1,2m
B DEAC
Momento fletor
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Exercícios
12 - A viga da figura tem seção constante em duplo T assimétrico(mom. de inércia em relação à LN 7570 cm4), que pode ser colocadona posição 1 (⊤ ) ou 2 (⊥ ). Dadosσt =150 MPa eσc = 120 MPa,calcularqadm na posição mais eficiente (aquela que suporta maiorcarga).Resposta: 18,55 kN/m na posição 2.
��������
��������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
3m
A B
q
G. 7,65cm
13,60cm
Momento fletor
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Exercícios
2 - Uma comporta de madeira de alturah = 5,5 m é constituída devigas verticais AB de espessurae = 300 mm, simplesmente apoiadasno topo e no fundo. Determinar a tensão máxima de flexão nas vigas,considerando que o peso especifico da água seja 10 kN/m3.Resposta: 7,1 MPa
Momento fletor
Tipos de flexãoTensões normais na flexão
Exercícios
A haste da figura tem diâmetro de 12 mm e peso de 80 N/m.Determine as tensões normais máximas de flexão na seção Bprovocada pelo seu peso próprio.Resposta:±190,098 MPa .
Momento fletor
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Exercícios
14 - Foram propostas duas soluções para o projeto de uma viga.Determinar qual delas suportará um momentoM = 150 kNm com amaior eficiência. Qual é a tensão normal máxima? Com queporcentagem ele é mais eficiente?Resposta:σ = 74,7MPa; percentual de eficiência= 53,0 %
Momento fletor
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