modelos matemáticos para descrição das redes de reação · do sistema validade restrita a ......
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Modelos Matemáticos para Descrição das Redes de Reação
Prof. Maria Alice Zarur Coelho
Programa de Pós-graduação em Tecnologia de Processos Químicos e Bioquímicos
Escola de Química UFRJ
O que são modelos?
Como são obtidos?
Qual sua relevância na prática laboratorial e industrial?
Cinética...Balanço de massa...Transferência de massa...Transferência de energia...
Como...Modelo 4: C = a*t / ((b*t**2)+(d*t)+e)
C = (967,546)*t/(((-0,000052)*t**2)+((0,960842)*t)+(0,364028))
t
C
0
200
400
600
800
1000
1200
0 10 20 30 40 50 60
Modelo 1: C = [ (1-a) * k * t](1/1-a)
Modelo 2: C = k * (1 – e -t/ττττ )
Modelo 3: C = a * ln (t) + b
Modelo 4: C = (a * t) / [(b * t2) + (c * t) + d ]
Modelo 5: C = (a * t) / (b + t)
Relevância....
! Previsão de desempenho (produtividade, rendimento, etc.)! Otimização de processos! Projeto de unidades (extrapolação de escala...)! Controle de sistemas
Sistemas biológicos
Alta complexidadeSimultaneidade de fenômenos bioquímicosProcessos de dinâmica populacional:
efeitos cooperativos e/ou de competição inerentes a coletivos de indivíduos em geral
Alguns fatos que tornam mais árdua a modelagem de sistemas biológicos são:
(i) Em nível celular" ocorrência de redes de reações metabólicas envolvendo dezenas ou centenas de reações químicas ou enzimáticas;" desconhecimento de várias reações destas redes metabólicas; e" dificuldade técnica e/ou econômica para determinar experimentalmente os parâmetros envolvidos (constantes cinéticas, coeficientes estequiométricos, etc.);
(ii) Em nível populacional" dificuldade de medir a distribuição de propriedades entre os indivíduos;" dificuldade de identificar fenômenos cooperativos colaboração ou de competição inter ou intraespecíficos;" necessidade de controle rigoroso das condições experimentais para garantir a reprodutibilidade dos resultados;
Classificação dos Modelos
Fenomenológicos x Empíricos
Representação matemática com base em leis e fenômenos conhecidos
Caráter mais geral
Simples correlações...Tentam relacionar variáveisdo sistema
Validade restrita a faixa de observações
Estruturados x Não- Estruturados
População
Componentes Celulares
Não - Estruturados Estruturados
Distribuídos Células são representadas como um componente único, uniformemente distribuídas no espaço, que interagem com o ambiente
Múltiplos componentes celulares (RNA, DNA, proteínas...), uniformemente distribuídos, interagindo entre eles
Segregados Células são representadas como um componente único, formando uma mistura heterogénea
Células são compostas por múltiplos componentes e formam uma suspensão heterogénea
Determinísticos x Estocásticos
Modelos Determinísticos:o Alterações no sistema não são consideradas...o Desempenho do modelo depende apenas das condições iniciais do sistema
Modelos Estocásticos:o Fenômenos relacionados a variações temporais, como nascimentos, morte, transformações e evoluçãoo Processos que sofrem a influência de flutuações rápidas, independentes e aleatórias
função estocástica - pode ser aproximada por um ruído branco ξξξξ(t)
Reatores Ideais
o Batelada
o Batelada Alimentada
o Contínuo
( ) fiRiR rVCVdtd =
fii r
dtdC =
( ) fiiifR
i rCCVF
dtdC +−=
Modelo Clássico - Monod
Variáveis: SParâmetros: µ, Ks
)(max
SKS
s+= µµ
Função hiperbólica (descrita em 1942)Similar a isoterma de adsorção de Langmuir (1918) e
a cinética enzimática de Henri-Michaelis-Menten (1902)
Parâmetros sem significado físico...Alguns atribuem a crescimento limitado pela taxa
do transporte mediado pela permease da membrana celular.
µmax (T-1)= taxa máxima de crescimento quando S >> Ks
hipérbole
cinética de ordem zero
cinética de primeira ordem
Matematicamente, Ks (M / L) éo valor da concentração do nutriente limitante na qual a velocidade específica de crescimento (µ) é metade do seu valor máximo
Validade do Modelo de Monod:
Aplicável a:Populações com crescimento equilibrado, i.e,
Fase Exponencial de Crescimento
Modificações do Modelo de Monod:
( ) XkSK
Sr es
x
−
+= maxµ metabolismo
endógeno
Outros ModelosModelos de Crescimento
Tessier:
Moser:
Contois:
( )sKSe−−= 1maxµµ
( ) 1max 1 −−+= λµµ SKs
SXBS+
= maxµµ altas densidades celulares
Sistemas de transporte da membrana podem sofrer alterações...
(pressão osmótica, força iônica, etc.)
Inibição pelo Substrato...
... e por Produto
presença de Múltiplos Nutrientes Limitantes
iS KSSKS
2max ++= µµ
PKK
SKS
i
i
S ++= maxµµ
...22
2
11
1max SK
SSK
Sss ++
= µµ
Remoção Biológica de Nitrogênio em Reator Batelada Sequencial
FdtdV =
)( BHBABABA XXf
VF
dtdX
+⋅−=
))(1(
)()(
BHBABAODOD
OD
NONO
NO
SS
SH
BHBABAODOD
OD
NHNH
NHNONONOa
NO
XXfSK
KKS
SKS
Sm
XXfKS
SKS
SYSSVF
dtdS
+−
+
+
+
⋅−
+
+
+
+
+−⋅=
η
β
)()( BHBABAEODOD
OD
NHNH
NHANHNHa
NH XXfkKS
SKS
SSS
VF
dtdS
+
+
+
+
−−⋅= µ
))(1(
)(
BHBABANONO
NO
ODOD
ODg
ODOD
OD
SS
SHSSa
S
XXfKS
SKS
KKS
S
KSSmSS
VF
dtdS
+−
+
+
+
+
×
+
−−⋅=
η
))(1( BHBABABH XXf
VF
dtdX
+−⋅−=
Modelo de Monod e a Transferência de Massa
Sendo:
KL = coeficiente de transferência de massa;a = razão entre a área interfacial e o volume;X/ρcel = razão volumétrica entre células e suspensão.
Smeio
célula Sfilme de líquido
S < Smeio ( )SSXaKr meiocel
Lmassatransf −
=
ρ.
Como a taxa de consumo de substrato é dada por:
Obtemos:
onde
( )SKSq
qs +
= max
appsmeio
meio
KSs
,max +
= µµ
SXL
celsapps YaK
KK ρµmax, +=
SXYq µ= altera valor de Ks
Outros Efeitos Ambientais# pH# Temperatura
#Atividade da água# Pressão hidrostática
( )[ ]pHpHmm −−= 2,7833,01µµ
µm,T = velocidade específica de crescimento a dada Tref (oC)
k = constante cujo valor é proposto é: 0,1075 - Nitrosomonas0,0625 - Nitrobacter
( )[ ]refmm TTkT
−= expµµ
)15( 04,0)7( 53,159,11 −+−+= TpHkfaixa de validade: 7 < pH < 8,5 e 15 < T < 25 oC
Modelos Metabólicos
$ Modelos cinéticos estruturados$ Incorporam aspectos do metabolismo celular
• Viabilidade Celular
VDVS
RVV XKX
SKSX
VF
dtdX
−
+
µ+−=
VDNVNV XKX
VF
dtdX
+−=
( ) VS
RS/X
f XSK
SY
1SSVF
dtdS
+
µ−−=
VS
RX/P XSK
SYPVF
dtdP
+
µ+−=
Segrega a biomassa através da atividade metabólica
( )[ ]RRO
OD PPexp
)y1(y
K2
2 dcb
a+−
+=
• Ciclo Celular
• “START”, ocorrido na fase G1, dá início a uma etapa de divisão.• A etapa limitante de velocidade para o progresso do ciclo celular é a do
crescimento e síntese de proteínas • As células-filhas são menores que as mães e possuem fase G1 maior
G1
G2
SM
START
tempo maior para que as filhas completem o ciclo de divisão
Modelo BPM
nascimentomorte
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )
21 22
1,,−
Ρ−
−=z
DPBBBB
C
eafSfDOfDOSaB ρ( ) ( )( ) ( )( ) ( )afSfDOfDOSaD
kkkkk DDDDDk −−+= 11,, ρα
( ) ( ) ( ) ( )[ ]afSfDOfDOSaA AAAAA −+= 1,, ρα( ) ( ) ( )[ ] ( )afSfDOfDOSaI IIIII −+= 1,, ρα
ativasinativas
( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]tantan
VF
aLtan
attan
AINA
AA ,,,, −=
∂∂+
∂∂ ( ) ( )[ ] ( )tanDOSaIDOSaD AA ,,,,, +−
( ) ( ) ( ) ( )tanDOSaAdatanDOSaB IA ,,,,,,0
++ ∫∞
( ) ( ) ( )[ ]tantanVF
ttan
IINI
I ,,, −=∂
∂ ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )tanDOSaItanDOSaADOSaD AII ,,,,,,,, ++−
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )tanDOSaDtanDOSaDtantanVF
ttan
IIAADIND
D ,,,,,,,,, ++−=∂
∂
( ) ( ) ( )[ ] ( )∫∞
−++Κ−−=
000 ,,
1daDOSan
eSSMNtStS
VF
dttdS
ADOO
S
SINOλ
µµ
Modelos Morfologicamente Estruturados
Taxa de produção de Cefalosporina C
Síntese enzimática: induzida por metioninaintracelular e reprimida por glicose
( ) hDhhg
mh XkXmgXgkg
dtdX −−
+= ,βµ
( ) sDshs XkXgXmg
dtdX −−= )(, γβ
aDsa XkXg
dtdX −= )(γ
+
+
+=gK
gmK
mkkmggm
1211),(β
++=
gKgkkg
g2221)(γ
Modelos para Fase Estacionária• Exaustão de nutrientes
Xkdtda
a−=
to eXX µ=
( )oestaca
o XXka −=µ
oa
oestac ak
XX µ+=
consumo do nutriente a é proporcional a concentração celular
crescimento exponencial ocorre até o início da faseestacionária (t=0 no início da fase exponencial)
ao = concentração do nutriente a no instante t=0;Xestac = tamanho máximo da população
Dependência linear de Xestac
com ao é usualmente observada
• Produção de toxinas
( )[ ]toxinaconcfXkdtdX .1−= ( )tCbk
dtdX
X−= 11
Xqdt
dCt = ∫= tt dtXqC 0
( )∫−= t dtXqbXkdtdX
01
Ct = 0 em t = 0
( )∫−== teff dtXqbk
dtdX
X 011µ
∴∴∴∴
∫= t dtXqb 0
1
Cessa o crescimento
bCt 1=
Conc. de toxina a partir da qual cessa o crescimento
Taxa de formação da toxina proporcional aconcentração celular
Fase de Morte
# Pouco estudada... processos industriais baseiam-se essencialmente na fase exponencial# População heterogênea – células em diferentes estágios de crescimento... distinção mais pronunciada nas fases de desaceleração e morte!!!# Lise celular - permite manutenção do tamanho da população na fase estacionária
decaimento exponencial
tkestac
deXX −=
Cinética de Formação de ProdutoAssociada ao crescimento:
Semi-associada ao crescimento (Ludecking - Piret ):
Não associada ao crescimento:
dtdXrp α=
XdtdXrp βα +=
Xrp β=
Exemplos
Produção de Álcoolassociada ao crescimento
Exemplos
Produção de Penicilina(metabólito secundário)
não associada ao crescimento
Produção de Biopolímeros
( ) XSKS
dtdX
S
+
= maxµ
dtdX
YdtdS
SX /
1−=
XdtdX
dtdP βα +=
0,0
4,0
8,0
12,0
16,0
20,0
Glu
cose
(g L-1)
0 ,0
0,2
0,4
0,6
0 2 4 6 8 10
T ime (days)
EPS
(g L-1
)
G 5 pH7 (observed) G 5 pH7 (modelled)G 15 pH7 (observed) G 15 pH7 (modelled)
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5B
iom
ass
(g L-1)
Bio
mas
s(g
L-1 )
Glu
cose
(gL-1
)EP
S (g
L-1 )
α = 0
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