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Modelagem da estrutura de covariancia na analise demedidas repetidas
Marisol Garcıa PenaSergio Arciniegas Alarcon
Universidade de Sao PauloEscola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”
Departamento de Ciencias Exatas
Estatıstica e Experimentacao Agronomica
Piracicaba, Agosto de 2012
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 1 / 32
Sumario
1 Introducao
2 Descricao dos dados
3 Modelo Misto para medidas repetidas
4 Estruturas de covarianciaSimples - SIMSimetrica Composta - CSAutoregressiva de Ordem 1 - AR(1)Autoregressiva com efeito aleatorio para individuos - AR(1)+REToeplitz - TOEPNao estruturada - UN
5 PROC MIXED do SAS
6 Comparacao
7 Efeitos da estrutura da covariancia
8 Referencias Bibliograficas
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 2 / 32
Introducao
Modelo Linear Misto ⇒ Efeitos fixos + Efeitos aleatorios⇓ ⇓
E [Y ] V [Y ]
Medidas repetidas ⇒ Observacoes coletadas em diferentes tempos,individuos alocados ao acaso nos grupos de tratamentos
Efeitos fixos ⇒ Tratamentos e tempo
Efeitos aleatorios ⇒ Variacao entre e dentro de individuos
As observacoes no mesmo individuo em diferentes tempos geralmenteestao correlacionadas
As observacoes em diferentes individuos assumem independencia (de-pende do delineamento)
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 3 / 32
Introducao
Modelo Linear Misto ⇒ Efeitos fixos + Efeitos aleatorios⇓ ⇓
E [Y ] V [Y ]
Medidas repetidas ⇒ Observacoes coletadas em diferentes tempos,individuos alocados ao acaso nos grupos de tratamentos
Efeitos fixos ⇒ Tratamentos e tempo
Efeitos aleatorios ⇒ Variacao entre e dentro de individuos
As observacoes no mesmo individuo em diferentes tempos geralmenteestao correlacionadas
As observacoes em diferentes individuos assumem independencia (de-pende do delineamento)
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 3 / 32
Introducao cont.
Modelo misto para medidas repetidas⇓
Permite analisar os efeitos fixos de tempo e tratamento, tambem acovariancia entre observacoes do mesmo individuo em diferentes tempos
Passos
1 Modelagem da estrutura media
2 Especificar um modelo para a estrutura da covariancia dos dados
3 Mınimos Quadrados Generalizados
4 Inferencias
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 4 / 32
Introducao cont.
Modelo misto para medidas repetidas⇓
Permite analisar os efeitos fixos de tempo e tratamento, tambem acovariancia entre observacoes do mesmo individuo em diferentes tempos
Passos
1 Modelagem da estrutura media
2 Especificar um modelo para a estrutura da covariancia dos dados
3 Mınimos Quadrados Generalizados
4 Inferencias
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 4 / 32
Introducao cont.
Modelo misto para medidas repetidas⇓
Permite analisar os efeitos fixos de tempo e tratamento, tambem acovariancia entre observacoes do mesmo individuo em diferentes tempos
Passos
1 Modelagem da estrutura media
2 Especificar um modelo para a estrutura da covariancia dos dados
3 Mınimos Quadrados Generalizados
4 Inferencias
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 4 / 32
Descricao dos dados
Comparar efeitos de dois medicamentos A, B e um placebo, P, sobre acapacidade respiratoria CR.
24 pacientes foram alocados em cada um dos grupos de tratamento.
CR foi medida antes de comecar o tratamento, CRbase.
Foram considerados tempos de 1 hora, total de 8 horas (8 tempos).
Analise ⇒ PROC MIXED
Medicamento
Paciente
Hora
CRbase
CR
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Descricao dos dados
Comparar efeitos de dois medicamentos A, B e um placebo, P, sobre acapacidade respiratoria CR.
24 pacientes foram alocados em cada um dos grupos de tratamento.
CR foi medida antes de comecar o tratamento, CRbase.
Foram considerados tempos de 1 hora, total de 8 horas (8 tempos).
Analise ⇒ PROC MIXED
Medicamento
Paciente
Hora
CRbase
CR
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 5 / 32
Descricao dos dados cont.
Medias das medidas repetidas de CR para cada grupo de medicamento
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 6 / 32
Modelo Misto para medidas repetidas
Assumimos um DIC para pacientes en g grupos de tratamentos con ni ,individuos alocados no grupo i .
Assume-se que ha t medicoes no tempo igualmente espacadas sobrecada individuo.
Yijk ⇒ Valor da resposta medida no tempo k do individuo j no grupoi , i = 1, . . . , g ; j = 1, . . . , ni ; k = 1, . . . , t.
Erros normalmente distribuıdos.
Parte Fixa ⇒ E [Yijk ] = µijk ⇒ Modelado como uma funcao do trata-mento, do tempo e outras covariaveis de efeito fixo.
Parte Aleatoria⇒ Especifica a estrutura de covariancia das observacoes.
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 7 / 32
Modelo Misto para medidas repetidas cont.
cov(Yijk ,Yi ′j ′l ) = 0, se i 6= i′
ou j 6= j′
cov(Yijk ,Yijl ) = σkl , σ2k = σkk (Covariancia nao estruturada)
Modelo Misto para Capacidade Respiratoria - CR
Yijk = µ + λxij + αi + dij + τk + (ατ)ik + eijk (1)
λ Coeficiente fixo da covariavel xij = CRbase para o paciente j nogrupo i
αi Parametro correspondente ao medicamento i
τk Parametro correspondente a hora k
(ατ)ik Interacao medicamento i e hora k
dij N(0, σ2d ) Paciente j , grupo i
eijk N(0, σ2e )
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 8 / 32
Modelo Misto para medidas repetidas cont.
cov(Yijk ,Yi ′j ′l ) = 0, se i 6= i′
ou j 6= j′
cov(Yijk ,Yijl ) = σkl , σ2k = σkk (Covariancia nao estruturada)
Modelo Misto para Capacidade Respiratoria - CR
Yijk = µ + λxij + αi + dij + τk + (ατ)ik + eijk (1)
λ Coeficiente fixo da covariavel xij = CRbase para o paciente j nogrupo i
αi Parametro correspondente ao medicamento i
τk Parametro correspondente a hora k
(ατ)ik Interacao medicamento i e hora k
dij N(0, σ2d ) Paciente j , grupo i
eijk N(0, σ2e )
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 8 / 32
Modelo Misto para medidas repetidas cont.
E (Yijk) = µ + λxij + αi + τk + (ατ)ik
V (Yijk) = σ2d + σ2
e
cov(Yijk ,Yijl ) = σ2d + cov(eijk , eijl )
Modelo Misto para Capacidade Respiratoria - CR. Matricialmente
Y = Xβ + ZU + e (2)
X Matriz de coeficientes conhecidos dos parametros de efeito fixoµ, λ, αi , τk , (ατ)ikβ Vetor de parametros de efeito fixo
Z Matriz de coeficientes (zeros e uns) do efeito aleatorio do pacientedijU Vetor de parametros de efeitos aleatorios dije Vetor de erros eijk
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 9 / 32
Modelo Misto para medidas repetidas cont.
E (Yijk) = µ + λxij + αi + τk + (ατ)ik
V (Yijk) = σ2d + σ2
e
cov(Yijk ,Yijl ) = σ2d + cov(eijk , eijl )
Modelo Misto para Capacidade Respiratoria - CR. Matricialmente
Y = Xβ + ZU + e (2)
X Matriz de coeficientes conhecidos dos parametros de efeito fixoµ, λ, αi , τk , (ατ)ikβ Vetor de parametros de efeito fixo
Z Matriz de coeficientes (zeros e uns) do efeito aleatorio do pacientedijU Vetor de parametros de efeitos aleatorios dije Vetor de erros eijk
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 9 / 32
Modelo Misto para medidas repetidas cont.
G = V (U) e R = V (e)
V (Y) = ZGZ′ + R
⇓ ⇓entre pac. dentro pac.
da estrutura de cov.
X, Z, R e e correspondem ao individuo j no grupo i , notado por Xij , Zij ,Rij , eij
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 10 / 32
Modelo Misto para medidas repetidas cont.
G = V (U) e R = V (e)
V (Y) = ZGZ′ + R
⇓ ⇓entre pac. dentro pac.
da estrutura de cov.
X, Z, R e e correspondem ao individuo j no grupo i , notado por Xij , Zij ,Rij , eij
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 10 / 32
Estruturas de covariancia
Representar V(Y) como uma funcao de um numero pequeno de para-metros usando G e R (Rij).
Estruturas referem-se ao padrao da covariancia das medidas no mesmoindividuo.
Geralmente, as covariancias entre 2 observacoes no mesmo indiviudoso dependem da distancia dos tempos entre as medicoes, chamado delag e a variancia e constante sobre o tempo.
Assumindo que as medicoes sao igualmente espacadas⇒ lag entre Yijk
e Yijl e |k − l |corrXXX (lag)
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 11 / 32
Estrutura Simples - SIM
cov(Yijk ,Yijl ) = 0 se k 6= l , V (Yijk) = σ2SIM
Observacoes independentes ainda no mesmo individuo e variancia ho-mogenea
corrSIM(lag) = 0
A estrutura nao e realista para a maioria de dados de medidas repetidas,pois especifica que as observacoes no mesmo paciente sao independen-tes.
G = 0 e R = σ2SIM I Modelo 2
dij = 0 (σ2d = 0), cov(eijk , eijl ) = 0 para k 6= l e V (eijk) = σ2
SIM Modelo 1
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 12 / 32
Estrutura Simples - SIM
cov(Yijk ,Yijl ) = 0 se k 6= l , V (Yijk) = σ2SIM
Observacoes independentes ainda no mesmo individuo e variancia ho-mogenea
corrSIM(lag) = 0
A estrutura nao e realista para a maioria de dados de medidas repetidas,pois especifica que as observacoes no mesmo paciente sao independen-tes.
G = 0 e R = σ2SIM I Modelo 2
dij = 0 (σ2d = 0), cov(eijk , eijl ) = 0 para k 6= l e V (eijk) = σ2
SIM Modelo 1
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 12 / 32
Estrutura Simples - SIM
cov(Yijk ,Yijl ) = 0 se k 6= l , V (Yijk) = σ2SIM
Observacoes independentes ainda no mesmo individuo e variancia ho-mogenea
corrSIM(lag) = 0
A estrutura nao e realista para a maioria de dados de medidas repetidas,pois especifica que as observacoes no mesmo paciente sao independen-tes.
G = 0 e R = σ2SIM I Modelo 2
dij = 0 (σ2d = 0), cov(eijk , eijl ) = 0 para k 6= l e V (eijk) = σ2
SIM Modelo 1
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 12 / 32
Estrutura Simetrica Composta - CS
cov(Yijk ,Yijl ) = σ2CS ,b se k 6= l , V (Yijk) = σ2
CS ,b + σ2CS ,w
Observacoes no mesmo individuo tem covariancia e variancia homogeneas
corrCS (lag) =σ2CS ,b
σ2CS ,b + σ2
CS ,w
A correlacao nao depende do valor do lag
As correlacoes entre 2 observacoes sao iguais para todos os pares deobservacoes no mesmo individuo.
G = σ2CS ,bI e R = σ2
CS ,w I Modelo 2
σ2d = σ2
CS ,d , cov(eijk , eijl ) = 0 para k 6= l e V (eijk) = σ2CS ,b+σ2
CS ,w Mod.1
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 13 / 32
Estrutura Simetrica Composta - CS
cov(Yijk ,Yijl ) = σ2CS ,b se k 6= l , V (Yijk) = σ2
CS ,b + σ2CS ,w
Observacoes no mesmo individuo tem covariancia e variancia homogeneas
corrCS (lag) =σ2CS ,b
σ2CS ,b + σ2
CS ,w
A correlacao nao depende do valor do lag
As correlacoes entre 2 observacoes sao iguais para todos os pares deobservacoes no mesmo individuo.
G = σ2CS ,bI e R = σ2
CS ,w I Modelo 2
σ2d = σ2
CS ,d , cov(eijk , eijl ) = 0 para k 6= l e V (eijk) = σ2CS ,b+σ2
CS ,w Mod.1
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 13 / 32
Estrutura Simetrica Composta - CS
cov(Yijk ,Yijl ) = σ2CS ,b se k 6= l , V (Yijk) = σ2
CS ,b + σ2CS ,w
Observacoes no mesmo individuo tem covariancia e variancia homogeneas
corrCS (lag) =σ2CS ,b
σ2CS ,b + σ2
CS ,w
A correlacao nao depende do valor do lag
As correlacoes entre 2 observacoes sao iguais para todos os pares deobservacoes no mesmo individuo.
G = σ2CS ,bI e R = σ2
CS ,w I Modelo 2
σ2d = σ2
CS ,d , cov(eijk , eijl ) = 0 para k 6= l e V (eijk) = σ2CS ,b+σ2
CS ,w Mod.1
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 13 / 32
Estrutura Simetrica Composta - CS cont.
G = 0 e R = σ2CS ,w I + σ2
CS ,bJ Modelo 2
σ2d = 0, cov(eijk , eijl ) = σ2
CS ,b para k 6= l e V (eijk) = σ2CS ,b + σ2
CS ,w Mod.1
Esta estrutura implica correlacao nao negativa entre pares de observacoesdentro de individuos.
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 14 / 32
Estrutura Autoregressiva de Ordem 1 - AR(1)
cov(Yijk ,Yijl ) = σ2AR(1) ρ
|k−l |AR(1)
se k 6= l , V (Yijk) = σ2AR(1)
Covariancias entre observacoes no mesmo individuo nao sao iguais, mastendem para cero enquanto aumenta o lag.
corrAR(1)(lag) = ρlagAR(1)
Observacoes no mesmo individuo mas com maiores intervalos de tempo,serao independentes, isto nao e realista.
G = 0 e Rij = σ2AR(1) ρ
|k−l |AR(1)
Modelo 2
σ2d = 0, cov(eijk , eijl ) = σ2
AR(1) ρ|k−l |AR(1)
Modelo 1
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 15 / 32
Estrutura Autoregressiva de Ordem 1 - AR(1)
cov(Yijk ,Yijl ) = σ2AR(1) ρ
|k−l |AR(1)
se k 6= l , V (Yijk) = σ2AR(1)
Covariancias entre observacoes no mesmo individuo nao sao iguais, mastendem para cero enquanto aumenta o lag.
corrAR(1)(lag) = ρlagAR(1)
Observacoes no mesmo individuo mas com maiores intervalos de tempo,serao independentes, isto nao e realista.
G = 0 e Rij = σ2AR(1) ρ
|k−l |AR(1)
Modelo 2
σ2d = 0, cov(eijk , eijl ) = σ2
AR(1) ρ|k−l |AR(1)
Modelo 1
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 15 / 32
Estrutura Autoregressiva de Ordem 1 - AR(1)
cov(Yijk ,Yijl ) = σ2AR(1) ρ
|k−l |AR(1)
se k 6= l , V (Yijk) = σ2AR(1)
Covariancias entre observacoes no mesmo individuo nao sao iguais, mastendem para cero enquanto aumenta o lag.
corrAR(1)(lag) = ρlagAR(1)
Observacoes no mesmo individuo mas com maiores intervalos de tempo,serao independentes, isto nao e realista.
G = 0 e Rij = σ2AR(1) ρ
|k−l |AR(1)
Modelo 2
σ2d = 0, cov(eijk , eijl ) = σ2
AR(1) ρ|k−l |AR(1)
Modelo 1
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Estrutura Autoregressiva com efeito aleatorio paraindividuos (pacientes) - AR(1)+RE
cov (Yijk ,Yijl ) = σ2AR(1)+RE ,b + σ2
AR(1)+RE ,w ρ|k−l |
AR(1)+RE
V (Yijk) = σ2AR(1)+RE ,b + σ2
AR(1)+RE ,w
corrAR(1)+RE (lag) =σ2AR(1)+RE ,b + σ2
AR(1)+RE ,w ρlagAR(1)+RE
σ2AR(1)+RE ,b
+ σ2AR(1)+RE ,w
Covariancia entre observacoes do mesmo individuo e resultado de duasfontes
G = σ2AR(1)+RE ,bI e Rij Modelo 2
σ2d = σ2
AR(1)+RE ,b ; cov (eijk , eijl ) = σ2AR(1)+RE ,w ρ
|k−l |Modelo 1
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 16 / 32
Estrutura Autoregressiva com efeito aleatorio paraindividuos (pacientes) - AR(1)+RE
cov (Yijk ,Yijl ) = σ2AR(1)+RE ,b + σ2
AR(1)+RE ,w ρ|k−l |
AR(1)+RE
V (Yijk) = σ2AR(1)+RE ,b + σ2
AR(1)+RE ,w
corrAR(1)+RE (lag) =σ2AR(1)+RE ,b + σ2
AR(1)+RE ,w ρlagAR(1)+RE
σ2AR(1)+RE ,b
+ σ2AR(1)+RE ,w
Covariancia entre observacoes do mesmo individuo e resultado de duasfontes
G = σ2AR(1)+RE ,bI e Rij Modelo 2
σ2d = σ2
AR(1)+RE ,b ; cov (eijk , eijl ) = σ2AR(1)+RE ,w ρ
|k−l |Modelo 1
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 16 / 32
Estrutura Autoregressiva com efeito aleatorio paraindividuos (pacientes) - AR(1)+RE
cov (Yijk ,Yijl ) = σ2AR(1)+RE ,b + σ2
AR(1)+RE ,w ρ|k−l |
AR(1)+RE
V (Yijk) = σ2AR(1)+RE ,b + σ2
AR(1)+RE ,w
corrAR(1)+RE (lag) =σ2AR(1)+RE ,b + σ2
AR(1)+RE ,w ρlagAR(1)+RE
σ2AR(1)+RE ,b
+ σ2AR(1)+RE ,w
Covariancia entre observacoes do mesmo individuo e resultado de duasfontes
G = σ2AR(1)+RE ,bI e Rij Modelo 2
σ2d = σ2
AR(1)+RE ,b ; cov (eijk , eijl ) = σ2AR(1)+RE ,w ρ
|k−l |Modelo 1
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 16 / 32
Toeplitz (TOEP)
cov (Yijk ,Yijl ) = σTOEP,|k−l | ; V (Yijk) = σ2TOEP
Covariancia depende unicamente do lag
corrTOEP(lag) =σTOEP,|lag|
σ2TOEP
G = 0; R⇒ diag. princ.(σ2TOEP
).
Elementos da sub-diagonal |k − l | = lag sao σTOEP,|k−l | ⇒ linha k,coluna l .
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 17 / 32
Toeplitz (TOEP)
cov (Yijk ,Yijl ) = σTOEP,|k−l | ; V (Yijk) = σ2TOEP
Covariancia depende unicamente do lag
corrTOEP(lag) =σTOEP,|lag|
σ2TOEP
G = 0; R⇒ diag. princ.(σ2TOEP
).
Elementos da sub-diagonal |k − l | = lag sao σTOEP,|k−l | ⇒ linha k,coluna l .
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 17 / 32
Toeplitz (TOEP)
cov (Yijk ,Yijl ) = σTOEP,|k−l | ; V (Yijk) = σ2TOEP
Covariancia depende unicamente do lag
corrTOEP(lag) =σTOEP,|lag|
σ2TOEP
G = 0; R⇒ diag. princ.(σ2TOEP
).
Elementos da sub-diagonal |k − l | = lag sao σTOEP,|k−l | ⇒ linha k,coluna l .
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 17 / 32
Nao Estruturada - UN
cov (Yijk ,Yijl ) = σUN,kl
E completamente geral
Sem padrao na matriz de covariancias
Numero grande de parametros.
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 18 / 32
PROC MIXED do SAS
proc mixed data = CR;
class medicamento paciente hr;
model CR = CRbase medicamento hr medicamento*hr;
Minimos Quadrados para o modelo
Yijk = µ + λxij + αi + dij + τk + (ατ)ik + eijk
V (Y) = σ2I ⇒ G = 0 e R = σ2I
random e/ou repeated⇒Estrutura de cov. ⇒ REML ou ML estima-tiva dos parametros.
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 19 / 32
PROC MIXED do SAS
proc mixed data = CR;
class medicamento paciente hr;
model CR = CRbase medicamento hr medicamento*hr;
Minimos Quadrados para o modelo
Yijk = µ + λxij + αi + dij + τk + (ατ)ik + eijk
V (Y) = σ2I ⇒ G = 0 e R = σ2I
random e/ou repeated⇒Estrutura de cov. ⇒ REML ou ML estima-tiva dos parametros.
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 19 / 32
PROC MIXED do SAS
proc mixed data = CR;
class medicamento paciente hr;
model CR = CRbase medicamento hr medicamento*hr;
Minimos Quadrados para o modelo
Yijk = µ + λxij + αi + dij + τk + (ατ)ik + eijk
V (Y) = σ2I ⇒ G = 0 e R = σ2I
random e/ou repeated⇒Estrutura de cov. ⇒ REML ou ML estima-tiva dos parametros.
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 19 / 32
PROC MIXED no SAS cont.
type = tipo de estrutura ⇒ G ou R
r e rcorr (repeated) ⇒ imprime a forma de R ⇒ cov. ou corr.
g e gcorr (random) ⇒ imprime a forma de G ⇒ cov. ou corr.
v e vcorr (random) ⇒ imprime a forma de V = ZGZ′+R
Saıda basica
Tabela ⇒ estimativas dos parametros ⇒ estruturaTabela testes ⇒ efeitos fixos.
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 20 / 32
PROC MIXED no SAS cont.
Alem do programa utilizado em geral para medidas repetidas devem seracrescentados o seguintes comandos:
1 Simples
repeated/type = simple subject=paciente(medicamento);
2 Simetrica composta
Opcao 1G = σ2
CS ,bI e R = σ2CS ,w I
random paciente(medicamento);
Opcao 2G = 0 e Rij = σ2
CS ,w I + σ2CS ,bJ
repeated/type=cs subject=paciente(medicamento) r rcorr;
3 AR(1)
repeated/type=ar(1) subject=paciente(medicamento) r
rcorr;
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 21 / 32
PROC MIXED no SAS cont.
Alem do programa utilizado em geral para medidas repetidas devem seracrescentados o seguintes comandos:
1 Simples
repeated/type = simple subject=paciente(medicamento);
2 Simetrica composta
Opcao 1G = σ2
CS ,bI e R = σ2CS ,w I
random paciente(medicamento);
Opcao 2G = 0 e Rij = σ2
CS ,w I + σ2CS ,bJ
repeated/type=cs subject=paciente(medicamento) r rcorr;
3 AR(1)
repeated/type=ar(1) subject=paciente(medicamento) r
rcorr;
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 21 / 32
PROC MIXED no SAS cont.
Alem do programa utilizado em geral para medidas repetidas devem seracrescentados o seguintes comandos:
1 Simples
repeated/type = simple subject=paciente(medicamento);
2 Simetrica composta
Opcao 1G = σ2
CS ,bI e R = σ2CS ,w I
random paciente(medicamento);
Opcao 2G = 0 e Rij = σ2
CS ,w I + σ2CS ,bJ
repeated/type=cs subject=paciente(medicamento) r rcorr;
3 AR(1)
repeated/type=ar(1) subject=paciente(medicamento) r
rcorr;
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 21 / 32
PROC MIXED no SAS cont.
4 Autoregressiva com efeito aleatorio para paciente (individuos)-AR(1)+RE
random paciente(medicamento);
repeated/type=ar(1) subject=paciente(medicamento);
random ⇒ G = σ2AR(1)+RE ,bI.
repeated ⇒ define Rij autorregressivo com parametro σ2AR(1)+RE ,w e
ρAR(1)+RE .random int/subject=paciente(medicamento) v vcorr;
5 Toeplitz (G = 0)
repeated/type=toep subject=paciente(medicamento) r
rcorr;
6 Nao estruturada (UN)
repeated/type=un subject=paciente(medicamento) r rcorr;
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 22 / 32
PROC MIXED no SAS cont.
4 Autoregressiva com efeito aleatorio para paciente (individuos)-AR(1)+RE
random paciente(medicamento);
repeated/type=ar(1) subject=paciente(medicamento);
random ⇒ G = σ2AR(1)+RE ,bI.
repeated ⇒ define Rij autorregressivo com parametro σ2AR(1)+RE ,w e
ρAR(1)+RE .random int/subject=paciente(medicamento) v vcorr;
5 Toeplitz (G = 0)
repeated/type=toep subject=paciente(medicamento) r
rcorr;
6 Nao estruturada (UN)
repeated/type=un subject=paciente(medicamento) r rcorr;
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 22 / 32
PROC MIXED no SAS cont.
4 Autoregressiva com efeito aleatorio para paciente (individuos)-AR(1)+RE
random paciente(medicamento);
repeated/type=ar(1) subject=paciente(medicamento);
random ⇒ G = σ2AR(1)+RE ,bI.
repeated ⇒ define Rij autorregressivo com parametro σ2AR(1)+RE ,w e
ρAR(1)+RE .random int/subject=paciente(medicamento) v vcorr;
5 Toeplitz (G = 0)
repeated/type=toep subject=paciente(medicamento) r
rcorr;
6 Nao estruturada (UN)
repeated/type=un subject=paciente(medicamento) r rcorr;
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 22 / 32
PROC MIXED no SAS cont.
Saıda basica para estrutura CS
Estimat. de param. de covariancia (REML)Parametros Individuo EstimativaCS Paciente(medicamento) 0.2063Erro 0.0631
Testes dos efeitos fixosF. de V. g.l. Num. g.l. Den. F Tipo III Valor-pCRbase 1 68 76.42 0.0001Medic. 2 68 7.24 0.0014hr 7 483 38.86 0.0001Medic.*hr 14 483 7.11 0.0001
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 23 / 32
Comparacao das estruturas
Busca-se uma estrutura com bom ajuste para estimativas da UN.
Estimativas de cov. e corr. para dados de CR - med. rep.Nao estruturada
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T80.226 0.216 0.211 0.204 0.175 0.163 0.128 0.1680.893 0.259 0.233 0.243 0.220 0.181 0.156 0.1950.880 0.908 0.254 0.252 0.219 0.191 0.168 0.2040.784 0.892 0.915 0.299 0.240 0.204 0.190 0.2260.688 0.807 0.813 0.822 0.286 0.232 0.204 0.2470.675 0.698 0.745 0.735 0.855 0.258 0.214 0.2450.516 0.590 0.643 0.670 0.733 0.812 0.270 0.2330.642 0.701 0.742 0.755 0.845 0.882 0.820 0.299
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 24 / 32
Comparacao das estruturas cont.
Estimativas de variancias, covariancias e correlacoes para CR - REML Med.Rep.
Tipo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8
Simples - cov 0.267 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Simples - corr 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
CS - cov 0.269 0.206 0.206 0.206 0.206 0.206 0.206 0.206
CS - corr 1.0 0.766 0.766 0.766 0.766 0.766 0.766 0.766
AR(1) - cov 0.266 0.228 0.195 0.167 0.143 0.123 0.105 0.090
AR(1) - corr 1.0 0.856 0.733 0.629 0.538 0.461 0.394 0.338
AR(1)+RE - cov 0.268 0.230 0.209 0.198 0.192 0.189 0.187 0.186
AR(1)+RE - corr 1.0 0.858 0.780 0.739 0.716 0.705 0.698 0.694
TOEP - cov 0.266 0.228 0.216 0.207 0.191 0.183 0.169 0.158
TOEP - corr 1.0 0.858 0.811 0.777 0.716 0.686 0.635 0.593
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 25 / 32
Comparacao das estruturas cont.
(a) CS
(b) AR(1) (c) AR(1)+REMGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 26 / 32
Comparacao das estruturas cont.
Criterio de informacao de Akaike - (AIC); Criterio Bayesiano deSchwarz (SBC)
AIC = l(
θ)− q; SBC = l
(θ)− (q/2) log (N∗) .
l(
θ)⇒ logaritmo da verossimilhanca ou verossimilhanca restrita.
q ⇒ Numero de parametros na matriz de covariancias.
p ⇒ Numero de parametros de efeito fixo.
N∗ ⇒ Numero total de observacoes (N, para ML e N − p paraREML).
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 27 / 32
Comparacao das estruturas cont.
Criterio de informacao de Akaike - (AIC); Criterio Bayesiano deSchwarz (SBC)
AIC = l(
θ)− q; SBC = l
(θ)− (q/2) log (N∗) .
l(
θ)⇒ logaritmo da verossimilhanca ou verossimilhanca restrita.
q ⇒ Numero de parametros na matriz de covariancias.
p ⇒ Numero de parametros de efeito fixo.
N∗ ⇒ Numero total de observacoes (N, para ML e N − p paraREML).
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 27 / 32
Comparacao das estruturas cont.
AIC e SBC para as estruturas de covarianciaNome AIC SBC
1. Simples -459.5 -461.62. Simetrica composta -175.6 -179.93. Autorregressiva (1) -139.5 -143.84. Autorregressiva (1) + RE -126.5 -132.95. Toeplitz -121.9 -139.26. Nao estruturada -110.1 -187.7
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 28 / 32
Efeitos da estrutura de covariancia sobre o teste F
Simples e CS ⇒ Produz valores F grandes ⇒ variacao entre indivi-duos=0 ou constante.
AR(1) ⇒ subestima cov. entre observacoes com intervalo distante⇒ valores F pequenos.
AR(1)+RE, Toeplitz e UN ⇒ valores F similares para ef. fixos.
Estimativas de combinacoes lineares sao iguais para qualquer estruturaexceto:
1 Dados desbalanceados.2 Covariavel que varia com o tempo.3 Tendencia polinomial ⇒ efeitos do tempo.
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 29 / 32
Efeitos da estrutura de covariancia sobre o teste F
Simples e CS ⇒ Produz valores F grandes ⇒ variacao entre indivi-duos=0 ou constante.
AR(1) ⇒ subestima cov. entre observacoes com intervalo distante⇒ valores F pequenos.
AR(1)+RE, Toeplitz e UN ⇒ valores F similares para ef. fixos.
Estimativas de combinacoes lineares sao iguais para qualquer estruturaexceto:
1 Dados desbalanceados.2 Covariavel que varia com o tempo.3 Tendencia polinomial ⇒ efeitos do tempo.
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 29 / 32
Efeitos da estrutura de covariancia sobre o teste F
Simples e CS ⇒ Produz valores F grandes ⇒ variacao entre indivi-duos=0 ou constante.
AR(1) ⇒ subestima cov. entre observacoes com intervalo distante⇒ valores F pequenos.
AR(1)+RE, Toeplitz e UN ⇒ valores F similares para ef. fixos.
Estimativas de combinacoes lineares sao iguais para qualquer estruturaexceto:
1 Dados desbalanceados.2 Covariavel que varia com o tempo.3 Tendencia polinomial ⇒ efeitos do tempo.
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 29 / 32
Efeitos da estrutura de covariancia sobre o teste F
Simples e CS ⇒ Produz valores F grandes ⇒ variacao entre indivi-duos=0 ou constante.
AR(1) ⇒ subestima cov. entre observacoes com intervalo distante⇒ valores F pequenos.
AR(1)+RE, Toeplitz e UN ⇒ valores F similares para ef. fixos.
Estimativas de combinacoes lineares sao iguais para qualquer estruturaexceto:
1 Dados desbalanceados.2 Covariavel que varia com o tempo.3 Tendencia polinomial ⇒ efeitos do tempo.
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 29 / 32
Efeitos da estrutura de covariancia sobre erros padrao
Dados balanceados⇒ estimativas de contrastes iguais⇒ erros padraodiferentes.
No exemplo:
V (YA.1 − YA.k) =[σ1,1 + σk,k − 2σ1,k ]
24
σk,l = cov (yijk , yijl )⇒ numero pequeno de parametros.
Estrutura simples ⇒ dados independentes com homogeneidade devariancia (erros maiores).
Estrutura simetrica composta⇒ variacion entre e dentro⇒ e.p. funcaodo comp. de var. dentro de individuos. Nao sao apropriadas.
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 30 / 32
Efeitos da estrutura de covariancia sobre erros padrao
Dados balanceados⇒ estimativas de contrastes iguais⇒ erros padraodiferentes.
No exemplo:
V (YA.1 − YA.k) =[σ1,1 + σk,k − 2σ1,k ]
24
σk,l = cov (yijk , yijl )⇒ numero pequeno de parametros.
Estrutura simples ⇒ dados independentes com homogeneidade devariancia (erros maiores).
Estrutura simetrica composta⇒ variacion entre e dentro⇒ e.p. funcaodo comp. de var. dentro de individuos. Nao sao apropriadas.
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 30 / 32
Efeitos da estrutura de covariancia sobre erros padrao
Dados balanceados⇒ estimativas de contrastes iguais⇒ erros padraodiferentes.
No exemplo:
V (YA.1 − YA.k) =[σ1,1 + σk,k − 2σ1,k ]
24
σk,l = cov (yijk , yijl )⇒ numero pequeno de parametros.
Estrutura simples ⇒ dados independentes com homogeneidade devariancia (erros maiores).
Estrutura simetrica composta⇒ variacion entre e dentro⇒ e.p. funcaodo comp. de var. dentro de individuos. Nao sao apropriadas.
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 30 / 32
Efeitos da estrutura de covariancia sobre erros padrao
Dados balanceados⇒ estimativas de contrastes iguais⇒ erros padraodiferentes.
No exemplo:
V (YA.1 − YA.k) =[σ1,1 + σk,k − 2σ1,k ]
24
σk,l = cov (yijk , yijl )⇒ numero pequeno de parametros.
Estrutura simples ⇒ dados independentes com homogeneidade devariancia (erros maiores).
Estrutura simetrica composta⇒ variacion entre e dentro⇒ e.p. funcaodo comp. de var. dentro de individuos. Nao sao apropriadas.
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 30 / 32
Efeitos da estrutura de covariancia sobre erros padrao
Estrutura autorregressiva - AR(1) ⇒ subestima a correlacao entre ob-servacoes ⇒ intervalos de tempo distantes (corr → 0)
Estruturas AR(1)+RE, Toeplitz e UN:
1 Variancia entre individuos. Mesmo padrao com o lag aumentando.2 Erros padrao seguem uma tendencia como funcao do lag.3 Nas tres estruturas ⇒ e.p(lag maior)>e.p(lag menor)
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 31 / 32
Efeitos da estrutura de covariancia sobre erros padrao
Estrutura autorregressiva - AR(1) ⇒ subestima a correlacao entre ob-servacoes ⇒ intervalos de tempo distantes (corr → 0)
Estruturas AR(1)+RE, Toeplitz e UN:
1 Variancia entre individuos. Mesmo padrao com o lag aumentando.2 Erros padrao seguem uma tendencia como funcao do lag.3 Nas tres estruturas ⇒ e.p(lag maior)>e.p(lag menor)
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 31 / 32
Referencias
CNAAN, A., LAIRD, N.M., SLASOR, P. Using the general linearmixed model to analyze unbalanced repeated measures andlongitudinal data. Statistics in Medicine, v.16, p.2349-2380, 1997.
DIGGLE, P.J. An approach to the analysis of repeated measures.Biometrics, v.44, p.959-971, 1988.
DIGGLE, P.J., LIANG, K-Y, ZEGER, S.L. Analysis of LongitudinalData. Oxford University Press: New York, 1994.
LITTELL, R. C., PENDERGAST, J., NATARAJAN, R. Tutorial inBiostatistics. Modelling covariance structure in the analysis of repeatedmeasures data. Statistics in Medicine, v.19, p.1793-1819, 2000.
MGP-SAA (ESALQ/USP) Estrutura de covariancia Piracicaba, Agosto de 2012 32 / 32
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