modelagem conjunta da média e variância utilizando glm · fatorial fracionado. um projeto...

XXIV Encontro Nac. de Eng. de Produção - Florianópolis, SC, Brasil, 03 a 05 de nov de 2004

ENEGEP 2004 ABEPRO 1597

Modelagem conjunta da média e variância utilizando GLM

Patrícia Klaser Biasoli ( UFRGS ) patybiasoli@producao.ufrgs.br

Flávio Sanson Fogliatto ( UFRGS ) ffogliatto@producao.ufrgs.br

Resumo

A modelagem conjunta de média e variância tem se mostrado particularmente relevante na obtenção de processos e produtos robustos. Nesse contexto, deseja-se minimizar a variabilidade das respostas simultaneamente com o ajuste dos fatores, tal que se obtenha a média da resposta próxima ao valor alvo. Nos últimos anos foram desenvolvidos diversos procedimentos de modelagem conjunta de média e variância, dentre eles a utilização do GLM e de projetos fatoriais fracionados. O objetivo deste artigo é revisar o estado-da-arte da bibliografia sobre projetos fatoriais fracionados e GLM, bem como apresentar uma síntese da metodologia de modelagem conjunta da média e variância apresentada por Nelder e Lee (1998), ilustrada através de um exemplo numérico. Palavras chave: GLM, Fatorial fracionado, Modelagem conjunta de média e variância 1. Introdução A modelagem conjunta da média e variância têm se mostrado bastante útil no contexto atual de mercado, onde exigências por otimização de produtos e processos, redução dos custos e melhoria da qualidade e produtividade se fazem crescentes. Essa modelagem é utilizada para otimizar a variável de resposta, e, assim, obter processos e produtos robustos. Nela, deseja-se minimizar a variabilidade das respostas simultaneamente com o ajuste dos fatores, de forma a se obter a média da variável de resposta próxima a um valor alvo pré-determinado. Nos últimos anos foram desenvolvidos diversos procedimentos de modelagem conjunta de média e variância, dentre eles a utilização de GLM (Generalized Linear Models – Modelos Lineares Generalizados) e de projetos fatoriais fracionados.

A necessidade da modelagem do efeito de fatores de controle sobre a variabilidade das variáveis de resposta foi originalmente proposta por Taguchi, no contexto de planejamentos robustos (TAGUCHI et al., 1990). A proposta de Taguchi, à parte sua relevância histórica, foi objeto de críticas, já que resulta em experimentos com um grande número de rodadas e com matrizes experimentais onde a importância das interações entre os fatores controláveis é desconsiderada (GUNTER, 1987; BOX, 1988). Com o intuito de aperfeiçoar a proposta de modelagem conjunta de média e variância inicialmente desenvolvida por Taguchi, alguns autores sugeriram procedimentos baseados na utilização de projetos fatoriais fracionados, com dados modelados através de GLM.

Esse trabalho tem como objetivo revisar o estado-da-arte da literatura sobre projetos fatoriais fracionados e sobre a modelagem via GLM. Além disso, são apresentadas diferentes propostas de modelagem conjunta da média e variância e suas respectivas críticas, conforme apresentadas na literatura. Por fim, apresenta-se um exemplo numérico para ilustrar os conceitos teóricos abordados. No restante deste trabalho, o efeito dos fatores de um projeto experimental sobre a media será designado por efeito de localização e o efeitos dos fatores sobre a variância será designado por efeito de dispersão.

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2. Referencial Teórico Nesta seção é apresentada uma introdução aos projetos fatoriais fracionados e aos modelos lineares generalizados (GLM). O objetivo é fornecer uma base teórica para a compreensão das modelagens apresentadas e exemplificadas nas demais seções deste trabalho.

Um projeto fatorial mk completo requer que todas as combinações de m níveis de k fatores sejam testadas experimentalmente (BOX; HUNTER, 2000). Assim, o número de ensaios aumenta rapidamente à medida que aumenta o número de fatores. Por exemplo, uma repetição completa de um fatorial 26 requer 64 ensaios. Dos 63 graus de liberdade disponíveis neste exemplo, apenas 21 correspondem a efeitos principais e interações de 1a ordem; os demais correspondem a interações de maior ordem, usualmente de difícil interpretação física. Box et al. (1978) demonstram que os efeitos em um experimento possuem certa hierarquia. Assim, é razoável supor que interações de maior ordem não sejam significativas, o que permitiria obter informações acerca dos efeitos principais e interações de baixa ordem a partir de uma fração do experimento fatorial completo. Um projeto com essas características é denominado projeto fatorial fracionado. Um projeto fatorial mk fracionado é usualmente designado por mk-p, onde p indica o grau de fracionamento.

Fatoriais fracionados são utilizados em diferentes circunstâncias. Por exemplo, quando se assume a priori que algumas interações não são significativas ou quando se deseja identificar quais variáveis têm influência sob a variável resposta, sem um maior detalhamento sobre a forma do efeito (BOX; HUNTER, 2000). De forma simplificada, o procedimento para definir projetos fracionados consiste em dividir o projeto completo em dois ou mais blocos, confundindo uma ou mais interações de ordem superior com fatores principais ou interações de menor ordem. Posteriormente, executa-se apenas um dos blocos, escolhido aleatoriamente. Termos confundidos devido ao fracionamento estarão vinculados, e não permitirão distinguir o efeito de dois ou mais fatores na análise dos dados. Assim, recomenda-se que efeitos importantes sejam vinculados a interações de ordem superior e não significativa.

Dados oriundos de projetos fracionados são tipicamente analisados somente quanto há efeito dos fatores de controle sobre a média da variável de resposta, já que a ausência de replicações das rodadas experimentais dificulta a modelagem do efeito de fatores de controle sobre a variância. A partir do trabalho seminal de Box e Meyer (1986), diversos autores propuseram procedimentos para a modelagem da média e variância da variável resposta a partir de dados oriundos de projetos fracionados; tais procedimentos são discutidos mais adiante neste artigo.

Modelos lineares e não lineares são baseados na suposição de que as variáveis de resposta são normalmente distribuídas, o que nem sempre se verifica na prática. Os modelos lineares generalizados (GLMs), desenvolvidos por Nelder e Wedderburn (1972), permitem o ajuste de modelos de regressão quando a variável resposta pertencer à família exponencial de distribuições, que contempla, além da distribuição Normal, as distribuições Binomial, Geométrica, Binomial Negativa, Exponencial, Gamma e Normal Inversa. Além disso, tais modelos admitem não-homogeneidade na variância da variável de resposta.

Todas as distribuições pertencentes à família exponencial possuem a mesma função de densidade de probabilidade, definida como ( ) ( ){ }φφθθφθ ,)()(exp,; ycabyyf +−= , onde a(.), b(.) e c(.) são funções específicas; o parâmetro θ é o parâmetro de localização natural ou canônico e φ é freqüentemente designado como parâmetro de dispersão ou escala. O parâmetro de escala φ é suposto conhecido para cada observação (CORDEIRO, 1986). A função ( )a φ é a forma generalizada de ( ) .wa φ φ= , onde w é um peso conhecido a priori.

Modelos de GLM são definidos por 3 componentes: distribuição da variável resposta, preditor

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linear e função de ligação. Tais componentes são detalhados a seguir.

Distribuição da variável resposta: os GLMs podem ser utilizados quando se tem uma única variável resposta Y e, associado a ela, um conjunto de variáveis explicativas

1 2, ,..., kx x x . Consideram-se 1 2, ,..., ny y y observações independentes da variável Y, com médias 1 2, ,..., nµ µ µ . As observações yi são aleatórias (componente aleatório do GLM) e seguem uma distribuição pertencente à família exponencial (MYERS et al., 2002), com um parâmetro desconhecido e com média de uma distribuição de probabilidade pertencente a família exponencial (CORDEIRO, 1986). Além disso, assume-se que existe apenas um termo de erro no modelo (MCCULLAGH; NELDER, 1983) e que a variância

( )2 1, 2,...,i i nσ = é função da média iµ (MYERS et al., 2002).

Preditor linear: os regressores (variáveis explicativas) x1, x2,...., xk entram no modelo na forma de uma soma linear, dando origem ao vetor de preditores lineares (vetor das médias

iµ ), que é a porção sistemática do modelo, definida como 01

´k

i ii

xη β β=

= = +∑x β , onde

η , chamado preditor linear, é um vetor 1n × ; ( )1' ,..., kx x=x é um vetor de regressores e

β ( )1 2, ,..., 'kβ β β= é um vetor de k parâmetros a serem estimados, onde k n< . A função linear η dos parâmetros em β chama-se preditor linear (CORDEIRO, 1986).

Função de Ligação: o GLM é encontrado através da função de ligação ( )i igη µ= , i = 1,

2, ..., n., onde ( ).g é a função de ligação utilizada. Esta função faz a ligação entre a média (componente aleatório) e o preditor linear (porção sistemática do modelo), por meio de uma função conhecida ( ).g , ou seja, ( ) '

i i ig µ η= = x β (MYERS et al., 2002), onde ix é o vetor das variáveis regressoras para a i-ésima observação; e β é o vetor de parâmetros desconhecidos ou coeficientes de regressão.

A função de ligação ( )g ⋅ é responsável pela transformação da média da população, e não dos dados (COSTA, 2003). Existem diversas possibilidades de escolha da função de ligação; entretanto, essa escolha depende do problema de modelagem em particular e, pelo menos em teoria, cada observação pode apresentar uma função de ligação diferente. Se a função de ligação selecionada for igual ao parâmetro de localização da distribuição ( i iη θ= ), o preditor linear modela diretamente o parâmetro canônico θ e a função de ligação iη é denominada de ligação canônica (MCCULLAGH; NELDER, 1983). Segundo Cordeiro (1986), o parâmetro canônico caracteriza uma distribuição de probabilidade membro da família exponencial. Ligações canônicas para distribuições de probabilidade usuais são apresentadas na Tabela 1.

3. Propostas para a Modelagem conjunta de Média e Variância A literatura apresenta diversas propostas para a modelagem de média e variância a partir de dados oriundos de experimentos fracionados. A primeira, e uma das mais referenciadas por outros autores, foi desenvolvida por Box e Meyer (1986). Os autores propõem identificar os efeitos de localização através do papel de probabilidade da Normal. Posteriormente, deve-se realizar um experimento fatorial completo com repetição dos fatores com efeito sobre a média da variável de resposta. Depois de eliminar esses efeitos de localização através do cálculo das estimativas e analisando os resíduos, o planejamento pode ser reexaminado para detectar efeitos de dispersão ativos. O termo “eliminar efeitos”, será utilizado nesse trabalho para definir o procedimento de identificação dos efeitos e incorporação destes em outro modelo, neste caso, para a variância.

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Distribuição Ligação Canônica Normal i iη µ= Ligação identidade

Binomial ln( (1 ))i iP Pη = − Ligação logística

Poisson ln( )i iη µ= Ligação logarítmica

Exponencial 1i iη µ= Ligação recíproca

Gamma 1i iη µ= Ligação recíproca Fonte: Myers, Montgomery e Vining (2002)

Tabela 1: Funções de Ligação Canônica para algumas distribuições de probabilidade

Essa metodologia fornece uma maneira econômica de identificar um pequeno número de efeitos de localização e dispersão significativos. Depois de ajustar o modelo, Box e Meyer (1986) recomendam a estimação por mínimos quadrados para um ajuste mais preciso e apresentam estes estimadores em seu trabalho. Nelder e Lee (1998) consideram que ferramentas gráficas são muito úteis, mas deveriam ser utilizadas com métodos mais formais desde o inicio da análise. Se apenas métodos gráficos são utilizados, importantes efeitos intermediários podem ser desconsiderados.

Ribeiro et al. (2001) propõem uma modelagem conjunta simplificada da média e variância, baseada na proposta de Box e Meyer (1986), para experimentos fatoriais fracionados sem repetição. Essa proposta modela a variância das respostas usando os resíduos do modelo de regressão para a resposta média, sem a repetição dos tratamentos. O procedimento consiste em verificar se resíduos de um nível de um fator controlável diferem significativamente dos de outro nível; em caso afirmativo, a variância da resposta é dada pelos resíduos e pode ser modelada como função desse fator. As principais diferenças entre o método proposto pelos autores e o de Box e Meyer (1986) são: (i) Box e Meyer (1986) fornecem meios para incorporar interações nos modelos de variância; entretanto, Ribeiro et al. (2001) consideram que os benefícios de considerar termos de alta ordem são dúbios, pois, na prática, geralmente efeitos de alta ordem não são significativos e tornam o modelo mais complexo, além de demandarem muitos dados, não disponíveis no caso de experimentos fracionados; (ii) Box e Meyer (1986) determinam a significância dos termos a serem incluídos no modelo através de análise visual, diferente do método em Ribeiro et al. (2001); e (iii) o método em Box e Meyer (1986) é restrito a projetos fatoriais fracionados do tipo 2k.

Segundo McGrath e Lin (2001), é necessário utilizar repetições para fazer a modelagem conjunta de média e variância quando se utilizam dados de projetos fatoriais fracionados. Isso ocorre porque, se o modelo para a média não incluir todos os termos significativos, tais termos podem erroneamente aparecer como significativos na modelagem da variância se o procedimento de Box e Meyer (1986) for adotado. Em outras palavras, os efeitos de localização devem ser estudados e incorporados ao modelo da média antes do estudo da variância, pois a identificação do efeito da variância é sensível ao modelo ajustado para a média. Em McGrath e Lin (2001), assim como em Box e Meyer (1986), recomenda-se que os efeitos de localização sejam primeiramente identificados e, posteriormente, que sejam utilizados os resíduos do modelo da média para identificar os efeitos de dispersão. McGrath e Lin (2001) também apresentam um detalhamento da análise em Box e Meyer (1986) e derivam uma relação explícita entre os efeitos de localização e dispersão. Estudos preliminares dos autores mostram que o efeito de dispersão produz correlação entre um par de efeitos de localização. A análise dessa correlação pode ajudar a remover o confundimento entre efeitos da média e da variância. Wolfinger e Tobias (1998) propõem a modelagem conjunta dos efeitos aleatórios, de localização e de dispersão utilizando modelos mistos e assumindo normalidade dos resíduos.

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Modelos mistos são usualmente utilizados quando os dados envolvem alguma estrutura de blocos que afeta a covariância entre as observações (ou seja, existe uma variável que distingue dois grupos). Além da desvantagem do pressuposto de normalidade dos residuos, modelos mistos não permitem detectar pequenos efeitos de localização na presença de grandes efeitos de dispersão. Por fim, um modelo misto complexo não pode, em alguns casos, ser ajustado a um conjunto pequeno de dados extremamente fracionados. Nelder e Lee (1998), analisando os objetivos da metodologia de Taguchi, propuseram a modelagem conjunta da média e da variância utilizando os modelos lineares generalizados. Em sua proposta, os autores utilizavam-se de dois GLMs interligados, um para média e um para a variância. A estrutura de interligação desses modelos vem ilustrada na Tabela 2. Na tabela observa-se que o componente de desvio do modelo para a média se torna a resposta do modelo para a variância, e que o inverso dos valores ajustados no modelo para a variância fornecem os pesos a priori para o modelo da média.

Componente Modelo para média Modelo para a Variância Resposta Y d

Média µ φ

Variância ( )Vφ µ 22φ

Função de Ligação ( )gη µ= logζ φ=

Preditor Linear j jxη β=∑ k kzζ γ=∑

Componente do Desvio ( ) ( )2 /y

d y u V u duµ

= −∫ ( ) ( ){ }2 log /d dφ φ φ− + −

Peso a priori 1 φ 1

Fonte: Nelder e Lee (1998)

Tabela 2: Componentes do Modelo Conjunto da Média e Variância

O algoritmo de modelagem conjunta da média e variância proposto por Nelder e Lee (1998) pode ser resumido da seguinte forma: 1. Identificação da função da variância ( ) ( )Var Y Vφ µ= : observa-se que a variância se

divide em duas partes, φ que é chamado de parâmetro de dispersão (o qual é independente da média) e ( )V µ , que é uma função de variância, que descreve a variância como função da média. 2. Modelagem conjunta da média e variância: deve-se escolher a função de ligação apropriada juntamente com as covariáveis no preditor linear para ajustar um modelo saturado, pelo método da máxima verossimilhança estendida. Pinto e Leon (2003) sugerem o gráfico proposto por Box (1988) como ferramenta exploratória para determinar a função de ligação. 3. Verificação do Modelo: A otimização dos parâmetros dos modelos para a média e variância é conduzida através do método dos mínimos quadrados reponderados iterativamente (IRWLS – iteratively reweighted least squares). Se o modelo for considerado não adequado, deve-se voltar ao passo 1.

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Após a definição do modelo, deve-se obter os níveis ótimos para os parâmetros. Primeiramente deve-se minimizar a variabilidade, encontrando os conjuntos ótimos de fatores controlados, depois ajusta-se a média próxima ao valor alvo. A aplicação do GLM apresenta uma série de vantagens, segundo Nelder e Lee (1998). O GLM utiliza toda a informação dos dados; assim, a análise da variância resulta em uma resposta para cada observação, assim como a da média. Qualquer tipo de dados (com distribuição pertencente à família exponencial), pode ser usado na modelagem via GLM não havendo a necessidade de fazer transformação dos dados para estes aderirem a distribuição Normal. 4. Exemplo Numérico de Modelagem Conjunta de Média e Variância utilizando GLM O exemplo apresentado a seguir ilustra a modelagem conjunta da média e variância utilizando GLM, segundo a proposta de Nelder e Lee (1998), tendo sido originalmente apresentado em Pinto e Leon (2003). Os dados, apresentados na Tabela 3, se referem a uma mistura para bolo a ser lançada no mercado. O produto precisa ser robusto a condições inadequadas de cozimento, representadas pelos fatores de processo temperatura do forno (x4) e tempo de forneamento (x5). Os fatores controlados no experimento são quantidade de farinha (x1), quantidade de açúcar (x2) e quantidade de ovos (x3). O planejamento experimental consiste em um fatorial 23, com um ponto central, para os fatores controláveis, cruzado com um fatorial 22, mais um ponto central para os fatores de processo. Os níveis zero dos fatores correspondem as condições ideais de cozimento sugeridas pelo fabricante. A variável de resposta medida é o índice de predileção (uma característica do tipo maior-é-melhor).

Pode-se observar, analisando o conjunto de dados, que os ensaios 7 e 9 produzem misturas menos suscetíveis a variações nos fatores de processo; entretanto, o ensaio 7 tem a média mais alta de predileção sendo, assim, a melhor mistura para lançamento no mercado. Aparentemente, essa análise informal é suficiente para extrair informações importantes; contudo, em experimentos mais complexos, uma análise mais sofisticada se faz necessária.

Para este exemplo, Pinto e Leon (2003) seguiram o mesmo procedimento descrito em Engel e

Huele (1996), ou seja, consideraram ( )1,..., nY y y ′= como sendo o vetor contendo observações da variável de resposta; 1,..., kx x como sendo os k fatores controláveis e 1,..., qr r

como q fatores de processo. Seja ( )if x′ a i-ésima linha da matriz de planejamento 1,...,i n= . A matriz de planejamento pode conter efeitos lineares, quadráticos e interações. Os níveis dos fatores de processo na linha i são denotados por ri.

Fatores controláveis Fatores de processo

x 4 0 -1 1 -1 1 N° Ensaio x1 x 2 x 3 x 5 0 -1 -1 1 1

1 0 0 0 6,7 3,4 5,4 4,1 3,8 2 -1 -1 -1 3,1 1,1 5,7 6,4 1,3 3 1 -1 -1 3,2 3,8 4,9 4,3 2,1 4 -1 1 -1 5,3 3,7 5,1 6,7 2,9 5 1 1 -1 4,1 4,5 6,4 5,8 5,2 6 -1 -1 1 5,9 4,2 6,8 6,5 3,5 7 1 -1 1 6,9 5,0 6,0 5,9 5,7 8 -1 1 1 3,0 3,1 6,3 6,4 3,0 9 1 1 1 4,5 3,9 5,5 5,0 5,4

Fonte: Pinto e Leon (2003)

Tabela 3: Dados do exemplo de mistura para bolo

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O objetivo é obter um modelo para ( )E Y , a média, e para ( )Var Y , a variância associada à variável de resposta. Durante o experimento, o vetor Y é observado condicionalmente aos níveis dos fatores de processo. Assim, primeiramente deve-se definir ( )i i iE y rµ = e

( )2i i iVar y rσ = . O modelo de regressão proposto para o problema é: i i iy µ ε= + , onde

( )2~ 0,i iNε σ .

A média condicional iµ é linear nos conjuntos de fatores de processo na linha i, onde

( ) ( )0T T

i i i i ig x r g x rµ β= + + +β δ Λ , sendo 0β uma constante, β e δ vetores dos parâmetros e Λ a matriz que contém os coeficientes de regressão das interações entre os fatores controlados e de processo. A variância condicional é modelada como ( )2 exp T

i iuσ γ= .

Como ( )i i iE y rµ = , tem-se o valor esperado da resposta condicionado aos fatores de

processo. Da mesma forma, a função de variância ( )2i i iVar y rσ = é uma resposta para a

variância também condicionada aos fatores de processo. Pode-se encontrar ( )iE y e ( )iVar y

da seguinte forma: ( ) ( )i i ìE y E E y r = e ( ) ( ) ( )i i i i iVar y Var E y r E Var y r = + .

Essa modelagem foi realizada supondo uma distribuição Normal e utilizando a função de ligação identidade para o modelo da média, e distribuição Gamma e função de ligação logarítmica para o modelo da variância.

Pinto e Leon (2003) implementaram o algoritmo de modelagem conjunta proposto por Nelder e Lee (1998) utilizando a linguagem de programação FORTRAN. A matriz de planejamento com as colunas: 1 2 3 4 5 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 51, , , , , , , , , , , ,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x , foi utilizada para modelar a média e a variância. O programa convergiu após 6 iterações, obtendo os seguintes modelos para a média e variância, respectivamente: 3 2 3ˆ 4,699 0,456 0,629x x xµ = + − e

( )21ˆ exp 0,744xσ = − . Sendo assim, ( )ˆ ˆE Y µ= e ( ) 2ˆ ˆVar Y σ= , pois nenhuma interação com

fatores de processo foi significativa em ambos modelos.

Assim, para que a variância seja mínima, 1 1x = . Para que a média seja a mais alta possível,

2 1x = − e 3 1x = . Logo, a melhor combinação possível dos fatores controláveis é 1, -1 e 1, correspondendo exatamente ao ensaio número 7 (ver Tabela 3).

5. Considerações Finais A aplicação dos modelos de regressão tradicionais utiliza o método dos Mínimos Quadrados Ordinários e Máxima Verossimilhança para estimação de seus parâmetros. Tais metodologias pressupõem variância constante e esta suposição está diretamente relacionada com a suposição de normalidade das respostas. Entretanto, sabe-se que tais suposições são frequentemente violadas na prática, já que nem todos os fenômenos podem ser bem modelados supondo distribuição Normal. Foi demonstrado neste artigo que o GLM pode ser uma alternativa para tais situações, pois permite modelar dados oriundos de distribuições de probabilidade pertencentes a família exponencial, a qual engloba distribuições discretas, assimétricas e binomiais, entre outras.

Nos últimos anos foram desenvolvidos diversos procedimentos de modelagem conjunta de média e variância com o intuito de aperfeiçoar os métodos desenvolvidos por Taguchi.

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Diversos autores consideram que os métodos de Taguchi nem sempre são claros e eficientes, e apresentam alternativas de modelagem conjunta, dentre elas a utilização do GLM e de projetos fatoriais fracionados.

A modelagem utilizando GLM foi ilustrada através de um exemplo numérico utilizando uma rotina computacional em FORTRAN. A fim de facilitar a compreensão das modelagens citadas e desenvolvidas na literatura, o trabalho apresentou uma revisão bibliográfica sobre projetos fatoriais fracionados e GLM. Uma linha futura de investigação seria propor uma heurística que permita a aplicação da modelagem conjunta da média e variância utilizando GLM através de um software estatístico, tal como o GLIM.

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