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Sistemas Lineares-

- -Métodos Iterativos

Sistemas Lineares-

- -Métodos Iterativos

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Métodos Iterativos

Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de iterações, na forma algébrica:

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Métodos Iterativos

Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de iterações, na forma matricial:

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

𝒙𝒌+𝟏=(𝑵 ¿¿−𝟏)𝒃+(𝑵 ¿¿−𝟏𝑷 )𝒙𝒌 ¿¿

𝑨=𝑵 −𝑷

N

(com diagonal zero)

Métodos Iterativos

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

. =

Métodos Iterativos

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

2º) Calcula os Cofatores;3º) Trabalha a regra dos sinais dos cofatores;4º) Multiplica pelo inverso do det;5º) Acha .

Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

• Segundo esse critério, um determinado sistema irá convergir pelo método de Gauss-Seidel, se:

ii

n

ijj

ij aa 1

, para i=1, 2, 3, ..., n.

7

Distância entre duas iterações

d(k) = max xi(k) - xi

(k-1)

Critério de parada

dr(k) = d(k)/ (max xi

(k) ) <

Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares

Métodos Iterativos - Critério de Parada

8

EXEMPLO

Seja o sistema 10 x1 + 2x2 + 3x3 = -7

x1 + 5x2 + x3 = -8

2x1 + 3x2 + 10x3 = -6

Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares

Métodos Iterativos - Critério de Parada

9

Com x0 = 0,7

-1,6

0,6

e = 0,05

Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares

Métodos Iterativos - Critério de Parada

10

obtemos x(1) =

-0,56

-1,86

-0,26

= 0,05

|x1(1) – x1

(0)| = 1,26

|x2(1) – x2

(0)| = 0,26

|x3(1) – x3

(0)| = 0,86

dr(1) = 1,26/ (max xi(1) )

= 0,677 >

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Métodos Iterativos - Critério de Parada

11

x(2) =-0,25

-1,44

0,07

= 0,05

dr(2) = 0,42/ 1,44 = 0,29 >

x(3) =-0,43

-1,56

-0,11

dr(3) = 0,18/ 1,56 = 0,12 >

Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares

Métodos Iterativos - Critério de Parada

12

x(4) =-0,35

-1,49

-0,04

= 0,05

dr(4) = 0,08/ 1,49 = 0,054 >

x(5) =-0,39

-1,52

-0,08

dr(5) = 0,04/ 1,52 = 0,03 <

Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares

Métodos Iterativos - Critério de Parada

13

SOLUÇÃO10 x1 + 2x2 + 3x3 = -7

x1 + 5x2 + x3 = -8

2x1 + 3x2 + 10x3 = -6

x* =

-0,39

-1,52

-0,08

Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares

Métodos Iterativos - Critério de Parada

Exemplos

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,

tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

3) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.

6x + y + 2z = 10

x – 3y + 0,5z = 2,80,75x + 3y – 10z = -6,9

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4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,

tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,04.

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Exercícios

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7

x1 + 5x2 + x3 = -8

2x1 + 3x2 + 10x3 = 6

4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,

tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.

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Inversão de Matrizes e Cálculo de

Determinantes

Inversão de Matrizes e Cálculo de

Determinantes

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Praticar e relembrarPraticar e relembrar

Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo:

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𝑁=2 −15 3

Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo:

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

𝑁= 0 1−4 −3

Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo:

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

𝑁=−3 04 1

Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo:

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

𝑁=−1 0

014

Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo:

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

𝑁=2 1 1−1 5 2−3 6 7

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo:

𝑁=4 1 11 6 12 1 8

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo:

𝑁=

−7 0 0

013

0

0 0 1

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo:

𝑁=1 1 22 −3 21 2 1

Equações Algébricase

Transcendentes

Equações Algébricase

Transcendentes

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Zero Reais de Funções ReaisZero Reais de Funções Reais

Zeros de Funções Reais

1. Introdução

Nas mais diversas áreas das ciências exatas ocorrem, frequentemente, situações que envolvem a resolução de uma equação do tipo f(x)=0. Consideremos, por exemplo, o seguinte circuito:

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Kirchoff’s Law

Zeros de Funções Reais

1. Introdução

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Estruturas Isostáticas

Zeros de Funções Reais

1. Introdução

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Zeros de Funções Reais

1. Introdução

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Zeros de Funções Reais

1. Introdução

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Zeros de Funções Reais

1. Introdução

Serão analisados os casos dos Zeros Reais da função f(x)=0.

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Zeros de Funções Reais

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Como obter raízes reais de uma equação qualquer?

Zeros de Funções Reais

1. Introdução

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Sabemos que, para algumas equações, como por exemplo às

equações polinomiais do segundo grau, existem fórmulas explicitas

que nos mostram as raízes em função dos coeficientes (Bháskara,

por exemplo).

No entanto, no caso de polinômios de grau mais elevado e no

caso de funções mais complicadas, é praticamente impossível se

achar zeros exatamente.

Zeros de Funções Reais

1. Introdução

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Por isso, temos que dos contentar em encontrar apenas

aproximações para esses zeros (soluções numéricas); mas isto não é

uma limitação muito séria, pois, com os métodos que veremos,

vamos conseguir encontrar os zeros de uma função com qualquer

precisão prefixada.

Zeros de Funções Reais

1. Introdução

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

A ideia central destes métodos numéricos é partir

de uma aproximação inicial para a raiz (um intervalo onde

imaginamos a raiz estar contida) e em seguida refinar essa

aproximação através de um processo iterativo.

Zeros de Funções Reais

1. Introdução

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Zeros de Funções Reais

1. Introdução

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Para se calcular uma raiz de uma equação algébrica ou

transcendente, algumas etapas devem ser seguidas:

1) Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [ a ; b ], o

menor possível, que contenha a raiz;

2) Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até

o grau de exatidão requerido pelo problema.

Alguns livros, trazem essas etapas de forma análoga, da

seguinte maneira:

3) Utilizar programas que traçam gráficos de funções

disponíveis em algumas calculadoras ou softwares

matemáticos.

Zeros de Funções Reais

1. Introdução

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Zeros de Funções Reais

Fase I: Isolamento das Raízes

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função

f(x). É importante ressaltar que o sucesso da fase II depende

fortemente da precisão desta análise. Na analise teórica,

usamos frequentemente o Teorema de Bolzano:

Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a, b] e assume valores de sinais opostos nos extremos deste intervalo, isto é, f ( a ) . f ( b ) < 0, então existe pelo menos uma raiz real de f(x), (x = ), no intervalo [ a ; b ].

Pois (+)×(+) → (+), (-)×(-) → (+); (+)×(-) ou (-)×(+) → (-)

Zeros de Funções Reais

Fase I: Isolamento das Raízes

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Graficamente, temos:

Zeros de Funções Reais

Fase I: Isolamento das Raízes

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Graficamente, temos:

Zeros de Funções Reais

Fase I: Isolamento das Raízes

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Se f(a) x f(b) > 0, pode-se ter outras situações no intervalo

estudado, como as mostradas abaixo:

Zeros de Funções Reais

Fase I: Isolamento das Raízes

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Observação:

Sob as hipóteses do Teorema de Bolzano, se f’(x)

existir, preservando sinal dentro de (a, b), então este

intervalo contém um único zero de f(x).

Graficamente, temos:

Zeros de Funções Reais

Fase I: Isolamento das Raízes

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Zeros de Funções Reais

Fase I: Isolamento das Raízes

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Uma forma de se isolar as raízes de f(x) usando resultados

anteriores é tabelar f(x) para vários valores de x e analisar

as mudanças de sinal de f(x) e o sinal da derivada nos

intervalos em que f(x) mudou de sinal.

Zeros de Funções Reais

Fase I: Isolamento das Raízes

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são

e estão as raízes da função: 𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³−9𝑥+3

Primeira análise: Construindo uma tabela de valores

para f(x) e considerando apenas os sinais, temos:

𝜉1 𝜉2 𝜉3

Zeros de Funções Reais

Fase I: Isolamento das Raízes

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são

e estão as raízes da função: 𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³−9𝑥+3

Assim, f(x) é contínua para .

= [-5, -3]

= [0, 1]

= [2, 3]

Zeros de Funções Reais

Fase I: Isolamento das Raízes

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são

e estão as raízes da função: 𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³−9𝑥+3

Como f(x) é um polinômio de 3º grau, podemos afirmar

que cada intervalo contém um único zero de f(x); assim,

localizamos todas as raízes de f(x)=0.

Uma segunda análise da função, por meio do sinal da sua

derivada, não se faz necessário, neste exemplo, tendo em vista

sua trivialidade. Veja:

Zeros de Funções Reais

Fase I: Análise Gráfica

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Pode-se utilizar um dos seguintes processos:

Zeros de Funções Reais

Fase I: Isolamento das Raízes

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Exemplo 2: Determinar quantas e em quais intervalos são

e estão as raízes da função:

𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³−9𝑥+3

Zeros de Funções Reais

Fase I: Isolamento das Raízes. Método (i):

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³−9𝑥+3

Zeros de Funções Reais

Fase I: Isolamento das Raízes. Método (ii):

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³−9𝑥+3

Zeros de Funções Reais

Fase I: Isolamento das Raízes. Método (ii):

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³−9𝑥+3

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