1 introduÇÃo · 2015-09-22 · iterativos de gauss-jacobi e gauss-seidel. no capítulo 3,...
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1 INTRODUÇÃO
Na matemática ocidental antiga são poucas as aparições de sistemas de equações lineares.No Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior. Com seu gosto especial por dia-gramas, os chineses representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritoscom barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim acabaram descobrindo ométodo de resolução por eliminação, que consiste em anular coeficientes por meio de oper-ações elementares. Exemplos desse procedimento encontram-se nos Nove capítulos sobre aarte da matemática, um texto que data provavelmente do século 111 a.C. Segundo Boyer (1974,p. 144) "O capítulo 8 do nove capítulos é significativo por conter a solução de problemas sobreequações lineares, usando tanto números positivos quanto negativos".
Essa abordagem de resolução de sistemas lineares veio se consolidar através de Gauss,que entre outras áreas de seu interesse estava a astronomia, onde desenvolveu inúmeros trabal-hos e que o levaram a descobrirno primeiro dia do século dezenove um novo planeta ou asteroide, mas semanas depois o pe-queno corpo celeste foi perdido de vista. Então Gauss aceitou um desafio que era calcular apartir de poucas observações do planeta a orbita em que ele se movia. De acordo com Boyer(1974, p. 373)
Para a tarefa de calcular orbita a partir de um numero limitado de observações eleinventou um processo, chamado método de Gauss, que ainda é usado para acom-panhar satélites. O resultado foi um sucesso estrondoso o planeta sendo descobertono fim do ano quase na posição indicada por seus cálculos.
Segundo Lipschutz (1977, p. 21)
A teoria das equações desempenha papel importante e motivador no campo da ál-gebra linear. Na verdade, muitos problemas da álgebra linear são equivalentes aoestudo de um sistema de equações lineares, por exemplo, a procura do núcleo deuma transformação linear e a caracterização do subespaço gerado por um conjuntode vetores.
Para Burden e Faires (2008, p. 331):
Os sistemas de equações lineares estão associados a muitos problemas no campoda engenharia e da ciência, bem como com aplicações da matemática às ciênciassociais e aos estudos quantitativos nos problemas de administração e economia.
1.1 JUSTIFICATIVA
Diante disso, fica evidente a importância de se estudar métodos para a resolução de sis-temas de equações lineares pois, além de seu interesse teórico inerente, possui uma vasta apli-cação prática em inúmeras áreas correlatas.
1.2 OBJETIVOS
Levando-se em consideração todos os comentários e preceitos estabelecidos acima, opresente trabalho foi desenvolvido visando alcançar os seguintes objetivos.
1.2.1 Objetivo geral
De forma geral, o presente trabalho tem por objetivo geral fazer uma revisão bibliográficasobre alguns métodos diretos e iterativos para a resolução de sistemas de equações lineares,utilizando a sua formulação tradicional.
1.2.2 Objetivos específicos
• Analisar aspectos teóricos e práticos referentes aos métodos diretos de eliminação deGauss e Fatoração LU em sua formulação tradicional.
• Analisar os aspectos teóricos e práticos referentes aos métodos iterativos de Gauss-Jacobie Gauss-Seidel em sua formulação tradicional.
• Fazer um comparativo analítico dos métodos na solução em alguns problemas de teste depequeno porte.
1.2.3 Metodologia
De acordo com Severino (2002); "O saber constitui-se pela capacidade de reflaxão nointerior de determinada área do conhecimento. A reflexão exige o domínio de uma série deinformações."Partindo desse pressuposto, o presente trabalho foi desenvolvido considerandouma pesquisa temática que, segundo o mesmo autor, visa coletar elementos relevantes para oestudo em geral, sempre dentro de determinada área, complementada por uma documentaçãobibliográfica. Tais procedimentos são complementares, na visão do autor. Como o presentetrabalho objetiva realizar uma revisão bibliográfica sobre métodos numéricos já consolidados naliteratura acadêmica, bem como ilustrar o funcionamento e aplicações dos mesmos, utilizamosessa abordagem no desenvolvimento da pesquisa realizada.
Dessa forma, o presente trabalho está organizado de acordo com a seguinte formação. Nocapítulo 1, temos a organização metodológica, justificativas e objetivos do estudo. No capítulo2, apresentaremos a fundamentação teórica matemática que dará suporte aos métodos estudadose descrevemos o funcionamento dos métodos diretos de Gauss e Fatoração LU, e dos métodositerativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. No capítulo 3, ilustramos o funcionamento e a apli-cação numérica dos métodos estudados através de exemplos e apresentamos também situaçõesem que a aplicação dos métodos pode não ter o resultado esperado, ou seja, quando os métodospodem falhar. E no capítulo 4, apresentamos as conclusões do trabalho.
2 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES
2.1 EQUAÇÃO LINEAR
Uma equação e considerada linear quando seus termos envolvem apenas operações desoma ou produto entre constantes e variáveis de primeiro grau, não podendo haver produtoentre as variáveis envolvidas no processo. De acordo com Franco (2006, p. 112) "uma equaçãoé linear se cada termo conter não mais do que uma variável e cada variável aparece na primeirapotência."
Dessa forma podemos representar uma equação linear com a seguinte expressão:
a1x1 +a2x2 + · · ·+anxn = b (1)
Onde a1,a2, ...,an são chamados de coeficientes,x1,x2, ...,xn são chamadas de incógnitasou variáveis e o elemento b é chamado termo independente.
Como visto na expressão acima. uma equação linear pode aparecer com mais de uma var-iável. Esse caso ocorre com frequência no campo da matemática aplicada, mais especificamentedurante a modelagem de um fenômeno, onde as equações não-lineares podem ser reduzidas dealguma forma para uma equações lineares onde, de acordo com Oliveira (1969, p. 1105) "deum ponto de vista puramente matemático, o modelo linear apresenta um grande numero devantagens sobre outros modelos, denominados não lineares."
2.2 SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Um sistema de equações lineares é um conjunto de m equações lineares é n incógnitas.Sendo necessário a igualdade entre o numero de equações do sistema e o numero de incógnitas(m = n).
Segundo Leon (1943, pag. 1) mais de 75% dos problemas matemáticos encontrados emaplicações cientificas e industriais envolvem a resolução de um sistema linear em algum estágio.Usando métodos modernos da matemática, é frequentemente possível reduzir um problemasofisticado a um simples sistema de equações lineares.
Um sistema com m equações lineares e n incógnitas (x1,x2, ...,xn) é apresentado de formagenérica como:
a11x1 +a12x2 + · · ·+a1nxn = b1a21x1 +a22x2 + · · ·+a2nxn = b2
· · · = · · ·am1x1 +am2x2 + · · ·+amnxn = bm
(2)
Em que, ai j e bi são numeros reais e i, j ≥ 1.
Usando notação matricial, o sistema linear pode ser representado da seguinte forma;
Ax = b (3)
onde,
A =
a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n
.
.
.am1 am2 ... amn
(4)
é a matriz dos coeficientes,
x =
x1x2...xn
(5)
é o vetor das variaveis, e
b =
b1b2...bn
(6)
é o vetor constante.
Chamaremos de x∗ o vetor solução e de x uma solução aproximada do sistema linearAx=b.
2.3 CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS LINEARES
Uma n-upla u = (k1,k2, ...,kn) de números reais é uma solução se satisfaz cada uma dasequações do sistema.
Em outras palavras, a resolução de um sistema linear consiste em calcular os valores dexi, caso eles existam, de forma que satisfaçam as m equações simultaneamente.
Segundo Franco (2006, p. 109) "A classificação de um sistema linear e feita em funçãodo numero de soluções que ela admite, da seguinte maneira:
1. Sistema possível ou consistente: É todo sistema que possui pelo menos uma solução. Umsistema linear possível é:
(a) determinado se admite uma única solução, e.
(b) indeterminado se permite mais de uma solução.
2. Sistema impossível ou inconsistente: É todo sistema que não admite solução."
De acordo com Gavala (p. 42) podemos classificar os sistemas de equações quanto ao seutamanho devido ao erro de arredondamento da seguinte forma:
• Pequenos: quando n≤ 300, onde n representa o numero de equações do sistema.
• Grandes: quando n > 300, onde n também representa o numero de equações do sistema.
Para Ferreira (2009, p. 47) "os métodos diretos são aplicados na resolução de sistemasde equações densos de porte pequeno e médio. Por sistemas de pequeno porte entende-se umaordem de até 30, para médio porte, sistemas de ordem até 50. A partir dai tem-se, em geral,sistemas de grandes portes."
Os sistemas de equações lineares podem também ser classificados quanto ao métodonumérico para sua resolução. Esses métodas são divididos em dois grupos:
1. Diretos: Métodos em que há menos erros de arredondamento, e cuja solução do sistema(caso exista) é obtida através de um numero finito de passos pré-determinados.
2. Iterativos: Geram uma sequencia de vetores x(k) a partir de uma solução inicial x(0)
em que, sob certas condições, tal sequencia nos levará à solução do sistema x∗, caso elaexista.
É importante salientar que, para que o sistema de equações lineares tenha solução pos-sível, a matriz A deve ser não singular, ou seja, det(A) = 0. Dessa forma, os métodos queveremos a seguir são aplicáveis apenas a sistemas que possuam solução única.
2.4 MÉTODOS DIRETOS
Existe dois tipos de métodos diretos: Eliminação de Gauss e da Fatoração LU. Estesmétodo são geralmente usados para resolver sistemas de equações lineares considerados pe-quenos.
O objetivo deste método é transformar a matriz A em duas matrizes triangulares quepossuam soluções equivalentes. Essas matrizes (ou sistemas) possuem a seguinte classificação:
1. Superior: Uma matriz A(n×n) é dita triangular superior se os elementos abaixo da diago-nal principal forem todos nulos. Logo, um sistema triangular superior pode ser represen-tado da seguinte forma:
A =
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a22x2 + · · · + a2nxn = b2
...an−1,n−1xn−1 + an−1,nxn = bn−1
annxn = bn
(7)
2. Inferior: Uma matriz B(n×n) é dita triangular inferior se os elementos acima da diagonalprincipal forem todos nulos. Com isso um sistema triangular inferior pode ser represen-tado da seguinte forma:
B =
a11x1 = b1a21x1 + a22x2 = b2
...an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn
(8)
2.4.1 Retrosubstituição
A solução de um sistema triangular superior é obtida através de substituições sucessivasde variáveis. Dessa forma, da ultima equação de A, temos que:
xn =bn
ann(9)
Substituindo xn na penúltima equação, temos:
xn−1 =bn−1−an−1,nxn
an−1,n−1(10)
E assim sucessivamente até obter:
x1 =(b1−a12x2)−a13x3−·· ·−a1nxn
a11(11)
Ou seja, a fórmula geral para o cálculo de xi usando retrosubstituição é dada por:
xi =
bi−n∑
j=i+1ai jx j
aii(12)
2.4.2 Método da Eliminação de Gauss
A resolução de um sistema de equação linear do tipo Ax = b através do método de Gauss,é realizado em duas etapas distintas, onde a primeira é chamada de Fase de Eliminação, e asegunda é chamada de Fase de Substituição.
Na Fase de Eliminação são realizadas transformações elementares sobre as linhas da ma-triz aumentada representada por [A|b], de forma a transforma-la em um sistema triangular su-perior. A partir daí entramos na Fase de Substituição, onde o sistema é resolvido por meio desubstituições retroativas, conforme descrito anteriormente.
Este método consiste em transformar convenientemente o sistema linear original de formaa obter um sistema linear equivalente com matriz dos coeficientes linear superior. Para talocorrência devemos proceder de acordo com a fase em que estamos trabalhando. (então umamatriz n×n terá (n−1) fases no procedimento da primeira etapa ou fase de eliminação)
A k-ésima fase consiste em tomar como elemento pivô o elemento da diagonal principalreferente à coluna em que se está operando, ou seja, o pivô é sempre aquele elemento que estáacima dos termos que pretendemos eliminar. Assim o pivô pode ser representado da seguinteforma:
pivo = akk, k = 1,2, ...,n (13)
De posse desse elemento, as linhas abaixo dele deverão ter seus respectivos multipli-cadores representado por mik, onde são calculados de acordo com a seguinte fórmula:
mik =aik
akk, ∀ i > k (14)
Após a determinação desses elementos, cada linha abaixo da linha do elemento pivôdeverá ser atualizada a partir de transformações elementares de acordo com a seguinte fórmula:
Li← Li−mik×Lpivo (15)
Em que Li é a linha a ser atualizada e Lpivo é a linha a qual o pivô considerado pertence.
Este processo segue até obtermos um sistema triangular superior chegando ao fim daprimeira fase. A parti dai entramos na segunda fase, onde obtemos a solução do sistema fazendoo processo de retrosubstituição.
2.4.3 Fatoração LU
Segundo Ferreira (2009, p. 16) "existem inúmeras situações, em que é desejável resolvervários sistemas de equações lineares do tipo Ax = b, onde estes possuem em comum a mesmamatriz dos coeficientes, e cujos termos independentes são diferentes."Tal sistema pode ser rep-resentado da seguinte maneira:
Ax = bi, i = 1,2, ...,n. (16)
nessas situações, é mais propicio resolver esses sistemas lineares por meio de uma técnicade fatoração da matriz A. Tal técnica, visa decompor a matriz A em um produto de dois ou maisfatores. Em seguida, resolve-se uma sequencia de sistemas de equações lineares que conduziráa solução do sistema original.
Uma vantagem da utilização da técnica de fatoração é resolver qualquer sistema de equaçõeslineares que tenha os termos de A como matriz dos coeficientes. Quando os termos indepen-dentes de b forem alterados, a resolução do novo sistema será também alterada de maneira quaseque imediata.
Dentre as técnicas de fatoração que são utilizadas para a resolução de sistemas de equaçõeslineares, destaca-se a de decomposição LU . Através desta técnica a matriz A dos coeficientes édecomposta de maneira única em um produto de duas matrizes, onde a primeira é chamada deL e a segunda de U como representado a seguir.
A = LU (17)
O teorema que dá suporte a esté método e dado a seguir:
Teorema 2.1. Considere A = ai j i, j = 1, ...,n. Se os menores principais de A, ∆i =0, i =1,2, ...,n− 1, então A se decompõe, de maneira única, no produto de uma matriz triangularinferior L = li j, com lii = 1, por uma matriz triangular superior U = (ui j). Além disso, det(A) =
det(U) =n∏i=1
uii.
Sendo L uma matriz triangular inferior, em que sua diagonal principal é composta porelementos unitários e o restante dos termos são representados pelos respectivos multiplicadorescalculados durante a fase de eliminação do método de Gauss, e U é uma matriz triangularsuperior idêntica a matriz da ultima etapa da fase de eliminação do processo de eliminação deGauss, pode-se especificar as matrizes L e U como:
L =
1 0 0 ... 0m21 1 0 · · · 0m31 m32 1 · · · 0
...mn1 mn2 mn3 · · · 1
(18)
U =
a(0)11 a(0)12 a(0)13 · · · a(0)1n
0 a(1)22 a(1)23 · · · a(0)2n
0 0 a(2)33 · · · a(2)3n...
0 0 0 · · · a(n−1)nn
(19)
Dessa forma, dado o sistema linear Ax = b e a fatoração da matriz A = LU , temos que:
Ax = b ⇐⇒ (LU)x = b (20)
Seja y=Ux, a solução do sistema linear pode ser obtida através da resolução dos sistemaslineares triangulares.
Ly = b (21)
Ux = y (22)
2.4.4 Estratégias de pivoteamento
Conforme descrito, na resolução de sistemas de equações lineares através dos método daEliminação de Gauss e Fatoração LU, é necessário determinar os multiplicadores mik, i > 1 ek ≥ 1 das respectivas linhas em que estamos operando. Como o multiplicador de cada linha écalculado por
aik
akk, (i> k) é preciso que a condição akk = 0 seja satisfeita. Se ocorrer que akk = 0,
antes de dar inicio ao método deve-se utilizar estratégias de pivoteamento que consistem natroca de linhas ou colunas da matriz A. Logo, de acordo com a definição dos multiplicadoresmik teriamos que:
mik =aik
akk=
aik
0= @ (23)
Segundo Ruggiero (1996, p. 127) "Trabalhar com um pivô próximo de zero pode con-duzir a resultados totalmente imprecisos."Dessa forma os multiplicadores terão um modulo bemmaior do que os outros elementos do sistema, com isso, é provável que ocorra uma propagaçãode erros de arredondamento durante a resolução do sistema. Para Franco (2006, p. 146) "Apropagação de erros ocorre principalmente quando multiplicamos um numero muito grande poroutro que já contem erro de arredondamento."
Por exemplo, se tivéssemos um número qualquer η , onde este contenha um erro dearredondamento ξ . Podemos representar este número da seguinte forma: η = η + ξ . Se efet-uarmos um produto deste numero por um outro elemento κ , teremos a seguinte representação:κη = κη +κξ , com isso o erro de arredondamento passa a ser κξ . Dessa forma se o elementoκ for um numero de ordem de natureza grande , o erro cometido será bem maior que o original.
Com base nesses problemas Sperandio(2003, p. 86) relata que as estratégias de pivotea-mento visam assegurar a estabilidade numérica do método da eliminação de Gauss, e podemosacrescentar também o método da fatoração LU, onde deve-se a cada passo procurar levar para ak-ésima linha e k-ésima coluna para ser o pivô da operação o elemento de maior valor absoluto.Este procedimento se faz por meio de duas estratégias: Estratégia de pivoteamento parcial ecompleto.
Estratégia de Pivoteamento Parcial:
Tal estratégia consiste nos seguintes passos:
1. No inicio da etapa k da fase de eliminação, escolher para o pivô o elemento de maiormodulo entre os coeficientes ak−1
ik , i = k,k+1, ...,n.
2. Trocar as linhas k e i se for necessário.
Estratégia de Pivoteamento Completo
Nesta estratégia, no inicio da etapa k é escolhido para pivô, o elemento de maior moduloentre todos os elementos que ainda atuam no processo de eliminação.
max|a(k−1)i j |= |a(k−1)
rs |=⇒ pivo = a(k−1)rs (24)
Essa estratégia não é muito empregada, pois exige um maior esforço computacional doque o pivoteamento parcial, em decorrencia das muitas comparações realizadas.
2.4.5 Condicionamento de matrizes
Na resolução de sistemas de equações lineares se faz necessário verificar alguns aspectos, taiscomo:
1. Verificar se o sistema tem solução;
2. Encontrar um modo eficiente de resolver as equações do sistema,
3. Verificar se a solução das equações é muito sensível a pequenas mudanças nos coefi-cientes.
Este último ponto ocorre devido a um fenômeno chamado mal condicionamento que estádiretamente ligado ao fato da matriz A ter seu determinante próximo de zero, ou seja, devido aofato da matriz ser próxima de uma matriz singular.
Um sistema é considerado bem condicionado, quando a solução obtida for razoavelmenteprecisa, ou seja, quando o vetor resíduo, que é a diferença entre a solução exata do sistemae a solução aproximada, for próximo do vetor nulo. Mas essa afirmação não é verdadeiraem alguns casos, onde percebemos asse aspecto quando realizamos pequenas mudanças noselementos do sistema, e através dessas pequenas mudanças é gerado um vetor resíduo. Portanto,a menos que os coeficientes das matrizes do sistema sejam dados com uma certa precisão, éperigoso fazer algum comentário sobrer a solução de um sistema. Lembrando que não é todasolução aproximada de equação mal condicionada que gera resíduo, e sim algumas soluçõesaproximadas de equações mal condicionadas que fornecem resíduos pequenos.
O efeito dessas perturbações é analisado usando as definições de norma de uma matriz,onde, a partir deste conceito seremos capazes de definir as noções de limites de uma sequenciade matrizes, onde este conceito é muito útil no estudo de convergência dos métodos iterativos desolução de sistemas de equações lineares e também dos problemas de erros de arredondamentoque ocorrem nos processos de cálculo onde intervêm matrizes.
Então, para a definição de norma de uma matriz consideramos um conjunto de matrizesn×n, com as operações de soma de matrizes e produto por um escalar que formam um espaçovetorial E de dimensão n2. Logo, chamamos de norma de uma matriz A, representado por ||A||,uma função qualquer definida no espaço vetorial das matrizes n× n com valores em R, queatendam as seguintes condições:
1. ||A|| ≥ 0 e ||A||= 0 ⇐⇒ A = 0 (Matriz Nula),
2. ||λA||= |λ |× ||A|| para todo escalar λ ,
3. ||A+B|| ≤ ||A||+ ||B|| (Desigualdade Triangular).
Com isso podemos então falar em norma de uma matriz A ∈ E.
Existem três normas de matrizes: norma linha, norma coluna e a norma euclidiana. Paraa definição dos tipos de norma consideramos que A e uma matriz n×n, de modo que:
1. ||A||∞= max1≤i≤n
n∑j=1|ai j| (Norma Linha);
2. ||A||1= max1≤ j≤n
n∑
i=1|ai j| (Norma Coluna);
3. ||A||E=
√n∑
i, j=1|a2
i j| (Norma Euclidiana).
Para Campos (1955, p. 41) Uma norma matricial ||A|| é considerada consistente comuma norma vetorial ||x|| se, para qualquer matriz A(m×n) e vetor x(n×1), tem-se que ||Ax|| ≤||A||×||x||. Uma norma matricial consistente ||A|| é dita subordinada a uma norma vetorial ||y||se para qualquer matriz A(m×n) existe um vetor y(n×1), y = 0, tal que ||Ay||= ||A||×||y||. Sea norma for subordinada, então ||Ab|| ≤ ||A||× ||b||. As normas matriciais da linha e da colunasão consistentes e subordinadas às respectivas normas vetoriais.
Note que, associamos a matriz com um escalar não negativo que de alguma forma irámedir suas grandezas. Nesse ponto, considere a condição de um sistema linear não singulardado por Ax = b. Sabendo que A é não singular, então a solução do sistema pode ser vistada seguinte forma: x = A−1b. Como os dados estão expostos a pequenas perturbações e x é asolução do sistema Ax = b, considere uma pequena perturbação no vetor b da forma b+ δb,onde δ é uma pequena variação no vetor b e seja a matriz A conhecida e exata. Com isso, asolução x também será perturbada, da seguinte forma x+δx, então temos:
A(x+δx) = b+δb (25)
(x+δx) = A−1(b+δb) (26)
A partir daí temos que relacionar δx com δb, ou seja, saber o quanto uma perturbação emδx afeta numa perturbação em δb. Com isso, adotamos o seguinte procedimento:
Ax+Aδx = b+δb =⇒ Aδx = δb, (27)
Sendo a matriz A não singular, então:
δx = A−1δb. (28)
Agora, aplicando normas consistentes em ambos os membros, teremos:
||δx|| ≤ ||A−1||× ||δb||. (29)
De maneira semelhante com Ax = b, obtemos:
||b|| ≤ ||A||× ||x||. (30)
Realizando uma multiplicação membro a membro entre as duas ultimas equações, tere-mos:
||δx||× ||b|| ≤ ||A||× ||A−1||× ||δb||× ||x||. (31)
Agrupando os termos, temos:
||δx||||x||
≤ ||A||× ||A−1|| ||δb||||b||
. (32)
Dessa forma uma perturbação em x está relacionada com uma perturbação em b pelaconstante multiplicativa
||A||× ||A−1||. (33)
Assim definimos o numero de condição de A, como sendo:
cond(A) = ||A||× ||A−1||. (34)
Dessa forma, temos:
||δx||||x||
≤ cond(A)||δb||||b||
. (35)
De acordo com Franco (2006, p. 142) Algumas observações são necessarias para o nu-mero de condição A, como:
1. cond(A)≥ 1. De fato:
cond(A) = ||A||× ||A−1|| ≥ ||AA−1||= ||I||= 1. (36)
2.||δb||||b||
pode ser compreendido como um erro relativo em b, e o erro ocorrido em||δb||||b||
dependerá do valor do numero de condição, que no qual é maior ou igual a 1.
3. Se cond(A) é muito grande, então pequenas perturbações relativas em b, causará grandesperturbações relativas em x, e assim o problema de resolver Ax = b é dado como malcondicionado.
4. O cond(A) será considerada como grande, quando seu valor for por volta de 104 ou maior.
2.5 MÉTODOS ITERATIVOS
Segundo Ferreira (2009, p. 29) "...uma das ideias fundamentais em calculo numérico é daiteração ou aproximação sucessiva da solução do sistema". Nesse ponto, considerando um sis-tema linear da forma Ax= b, onde A= ai j, i, j = 1,2, ...,n e det(A) = 0, um método para calculara solução deste sistema é dito iterativo quando fornece uma sequencia de soluções aproximadas,em que cada solução é obtida da anterior pela aplicação de um mesmo procedimento.
A ideia central dos métodos iterativos é generalizar o método numérico do ponto fixoaplicado na busca de raízes de funções, ou seja, repetir um determinado procedimento variasvezes obtendo a cada repetição (iteração), um resultado mais aproximado do que o obtido naiteração anterior. Dessa forma, iremos tratar apenas das classes dos métodos iterativos esta-cionários, onde um método iterativo para ser considerado estacionário deve ter uma função deiteração que seja a mesma durante todo o processo, logo visto que, nessa classe, os resultadosobtidos em cada iteração é uma função somente do resultado da iteração anterior. Com isso, osistema é convertido de alguma forma em um sistema x =Cx+g, onde C e uma matriz nn×ne g é um vetor n× 1. Dessa forma, φ(x) = Cx+ g é uma função de iteração dada na formamatricial.
Conforme dito, cada iteração é proveniente do resultado da iteração anterior, então, paraque o processo iterativo tenha inicio é necessário uma estimativa inicial x0do sistema. Aobtenção desses valores pode ser feita de diversas formas conforme o problema a ser resolvido.Contudo, caso o sistema obedeça alguns critérios, que veremos adiante, o processo convergirá,independente dos valores adotados para a solução inicial. Dessa forma, iremos tratar apenas desistemas que atendam seus respectivos critérios de convergência, onde geralmente estimamosos valores de x(0) pelo quociente entre os elementos do vetor b e os respectivos elementos da
diagonal principal do sistema, ou seja, x(0) =bi
aii.
Partindo do vetor de aproximação inicial x(0), o esquema iterativo é construído obtendoos seguintes vetores consecutivamente, até chegarmos a aproximação x(k+1).
x(1) =Cx(0)+g (37)
x(2) =Cx(1)+g (38)...
x(k+1) =Cx(k)+g (39)
Assim, para obtermos a solução x do sistema linear Ax = b, é necessário determinar umasequencia de vetores x(1),x(2), · · · ,x(k) que seja convergente para a solução x, isto é:
limk→∞
x(k) = x (40)
2.5.1 Critérios de parada para os métodos iterativos
Os processos iterativos não possuem sempre a garantia de convergência para a solução.O que pode acarretar na repetição do processo de forma infinita. Outro aspecto que devemosobservar é se a solução encontrada já é próxima o suficiente da precisão adotada. Nesse ponto,é necessário adotar critérios de parada para podermos finalizar o processo iterativo quando esteconvergir para solução x do sistema, ou para saber quando o processo esta divergino.
Podemos adotar dois tipos de critérios de parada: Por distância relativa e por numero deiterações. O primeiro envolve uma precisão desejada ε considerada, e o processo é repetido atéque o vetor x(k+1) esteja suficientemente próximo do vetor x(k). Para obtermos esse parâmetro,calculamos inicialmente o módulo da distância absoluta máxima entre os componentes de duassoluções consecutivas, d(k+1) dado por:
d(k+1) = max1≤i≤n
|x(k+1)i − x(k)i | (41)
Em seguida efetuamos uma divisão entre d(k) e o máximo valor em módulo de x(k+1) queé o máximo valor da solução atual. O resultado dessa divisão, é a distância relativa representadapor d(k+1)
r , seu valor deve ser menor que a precisão ε . De forma geral, esse critério de parada edado da seguinte forma:
d(k+1)r =
d(k+1)
max1≤i≤n
|x(k+1)i |
< ε (42)
O segundo critério de parada adotado é o de número máximo de iterações. Nesse critério,ao atingir um determinado numero de iterações o sistema para , com isso, se o sistema divergir,não continuará a executar o processo infinitamente.
2.5.2 Métodos iterativos de Gauss-Jacobi
Seja o sistema genérico abaixo:a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
(43)
Supondo que aii =0, i = 1,2, · · · ,n. Isolamos o vetor x mediante a separação pela diago-nal, com a finalidade de estabelecer um esquema iterativo da seguinte forma:
x1 =1
a11(b1−a12x2−a13x3−·· ·−a1nxn)
x2 =1
a22(b2−a21x1−a23x3−·· ·−a2nxn)
...
xn =1
an−1(bn−an1x1−an2x2−·· ·−an,n−1xn−1)
(44)
Logo, temos x =Cx+g sendo:
C =
0−a12
a11
−a13
a11· · · −a1n
a11
−a21
a220
−a23
a22· · · −a2n
a22
......
......
...
−an1
ann
−an2
ann
−an3
ann· · · 0
(45)
g =
b1
a11
b2
a22
...
bn
ann
(46)
O método de Gauss-Jacobi consiste em, dado x(0), obter x(1), · · · ,x(k) através da relaçãorecursiva x(k+1)=Cx(k)+g.
x(k+1)1 =
1a11
(b1−a12x(k)2 −a13x(k)3 −·· ·−a1nx(k)n )
x(k+1)2 =
1a22
(b2−a21x(k)1 −a23x(k)3 −·· ·−a2nx(k)n )
...
x(k+1)n =
1ann
(bn−an1x(k)1 −an2x(k)2 −·· ·−an,n−1x(k)n−1)
(47)
2.5.3 Métodos iterativos de Gauss-Seidel
Nesse método, o processo iterativo consiste em, dado x(0), calcular uma sequência con-vergente x(1),x(2), · · · ,x(k) definida por:
x(k+1)1 =
1a11
(b1−a12x(k)2 −a13x(k)3 −·· ·−a1nx(k)n )
x(k+1)2 =
1a22
(b2−a21x(k+1)1 −a23x(k)3 −·· ·−a2nx(k)n )
x(k+1)3 =
1a33
(b3−a31x(k+1)1 −a32x(k+1)
2 −·· ·−a3nx(k)n )
...
x(k+1)n =
1ann
(bn−an1x(k+1)1 −an2x(k+1)
2 −·· ·−an,n−1x(k)n−1)
(48)
Portanto, no processo iterativo de Gauss-Seidel, no momento de se calcular xk+1j , usamos
todos os valores xk+11 , · · · ,xk+1
j−1 que já foram calculados e os valores x(k)j+1, · · · ,x(k)n restantes.
2.5.4 Condições de convergência para métodos iterativos
Matriz Diagonalmente Dominante
Dizemos que uma matriz A(n×n) e diagonalmente dominante quando os elementos dadiagonal principal forem maior que o somatório dos outros elementos da linha, ou seja, quandoa seguinte condição for satisfeita;
|akk|>n
∑k=1, j =1
|ak j|, k, j = 1,2, ...,n (49)
Considerando um sistema linear do tipo Ax = b, se A é uma matriz diagonalmente dom-inante, então a sequência de iteracões para o método de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel convergepara a solucão do sistema.
Critério das Linhas
Seja o sistema linear Ax = b, então uma condição suficiente para a convergência dessesistema através dos métodos iterativos é que;
αk =
n∑
i=1i=kak j
|akk|, k, j = 1,2, ...,n. (50)
Se α = max1≤k≤n
αk < 1, então os métodos iterativos geram uma sequência x(k) convergente
para a solução do sistema dado, independente da escolha da aproximação inicial x(0). Quantomais aproximada de zero estiver αk ,mais rápido será a convergência para a solução do sistema.
Critério das Colunas
O critério das colunas é outra condição suficiente para que os métodos iterativos geremuma sequencia x(k) convergente para a solução do sistema, independente da solução inicial x(0).Esse critério é satisfeito quando:
|akk|>n
∑j=1 j =k
ak j, k, j = 1,2, ...,n. (51)
quanto mais aproximada de zero estiver a relação
n∑
j=1 j =kak j
|akk|, mais rápida será a con-
vergência para a solução do sistema.
Critério de Sassenfeld
O critério de Sassenfeld nos garante que o método de Gauss-Seidel gera uma sequênciaconvergente.
β1 =|a12|+ |a13|+ · · ·+ |a1n|
|a11|
e
β j =|a j1|β1 + |a j2|β2 + · · ·+ |a j j−1|β j−1 + |a j j+1|β j+1 + · · ·+ |a jn|
|a j j|.
Seja β = max1≤ j≤n
β j, se β < 1, o método de Gauss-Seidel gera uma sequência convergente, qual-
quer que seja x(0).
3 RESULTADOS E DISCURÇÕES3.1 EXEMPLOS
3.1.1 Eliminação de Gauss
Considere o sistema linear a ser resolvido:3x1 +2x2 +4x3 = 1
x1 + x2 +2x3 = 24x1 +3x2−2x3 = 3
Nesse caso, a matriz aumentada [A0|b0] pode ser representada por:
[A0|b0] =
a(0)11 a(0)12 a(0)13 | b(0)1
a(0)21 a(0)22 a(0)23 | b(0)2
a(0)31 a(0)32 a(0)33 | b(0)3
=
3 2 4 | 11 1 2 | 24 3 −2 | 3
,
Para melhor interpretação do procedimento da Eliminação de Gauss chamaremos de L1 aprimeira linha, L2 a segunda é L3 a terceira linha. A partir daí, segue-se os seguintes passos:
Passo 1
Escolhemos o elemento a(0)11 como pivô, de forma a eliminar aqueles que estão abaixodele, ou seja, o primeiro passo é eliminar os elementos a21 e a31 das linhas L2 e L3, respectiva-mente. Diante disso, deve-se:
(i) Determinar o elemento pivô é obter os multiplicadores das respectivas linhas:
pivo : a(0)11 = 3 m21 =a(0)21
a(0)11
=13
e m31 =a(0)31
a(0)11
=43
(ii) Realizar as transformações equivalentes sobre as linhas:
L(1)2 = L2−m21L1
L(1)3 = L3−m31L1
Dessa forma teremos uma matriz do tipo [A(1)|b(1)] que é equivalente a matriz [A|b],representada a seguir:
[A(1)|b(1)] =
a(0)11 a(0)12 a(0)13 | b(0)1
0 a(1)22 a(1)23 | b(1)2
0 a(1)32 a(1)33 | b(1)3
=
3 2 4 | 1
013
23
| 53
013−22
3| 5
3
,
Passo 2
Agora temos que escolher um novo pivô para o sistema, tal pivô será o elemento a(1)22 , poisnossa finalidade agora é eliminar o elemento a(1)32 da linha L1
3 para assim transformar o sistemaem um sistema triangular superior equivalente ao original. Diante disso, temos que:
(i) Escolher o multiplicador da linha L(1)3 que será dado por:
m32 =a(1)32
a(1)22
=
1313
= 1
(ii) Realizar as transformações equivalentes sobre a linha L3 da seguinte forma:
L(2)3 = L(1)
3 −m32L(1)2
Com isso temos uma matriz do tipo [A(2)|b(2)] equivalente a matriz [A|b], representada aseguir:
[A(2)|b(2)] =
a(0)11 a(0)12 a(0)13 | b(0)1
0 a(1)22 a(1)23 | b(1)2
0 0 a(2)33 | b(2)3
=
3 2 4 | 1
013
23| 5
3
0 0 −8 | 0
,
A partir daí, o sistema triangular superior [A(2)|b(2)] ficará da seguinte forma:
Ax = b ⇐⇒
a(0)11 x1 +a(0)12 x2 +a(0)13 xn = b(0)1
a(1)22 x2 +a(1)23 x3 = b(1)2
a(2)33 x3 = b(2)3
⇐⇒
3x1 +2x2 +4x3 = 1
13
x2 +23
x3 =53
−8x3 = 0
Passo 3
Para encontrar a solução deste sistema, realizamos o procedimento de substituições retroa-tivas:
(i) Isolamos o x3 da linha L3 de modo a obter seu valor como segue.
x3 =b2
3
a233
=⇒ x3 =0−8
=⇒ x3 = 0
(ii) Substituímos o valor de x3 na linha L2 para encontrar o valor de x2.
x2 =b1
2−a123x3
a22=⇒ x2 =
53− 2
3×0
13
=⇒ x2 = 5
(iii) Substituímos os resultados de x2 é x3 na linha L1, para encontramos o resultado dex1.
x1 =b1−a12x2−a13x3
a11=⇒ x1 =
1−2×5−4×03
=⇒ x1 =−3
Obtendo como solução desse sistema o vetor x =
−350
3.1.2 Fatoração LU
Resolvendo o mesmo sistema apresentado, e utilizando o método da Fatoração LU , ondesabemos que a matriz A é decomposta em um produto de dois fatores, e que o processo deeliminação das variáveis é igual ao utilizado na Eliminação de Gauss. Podemos iniciar partindoda última etapa da fase de eliminação do método de Gauss. Com isso os fatores L e U sãorepresentados da seguinte forma:
L =
1 0 0m21 1 0m31 m32 1
e U =
a(0)11 a(0)12 a(0)13
0 a(1)22 a(1)23
0 0 a(2)33
Agregando os valores utilizados no exemplo anterior, temos a seguinte representação da
decomposição da matriz A nos fatores L e U respectivamente.
A = LU =⇒
3 2 41 1 24 3 −2
=
1 0 0
13
1 0
43
1 1
3 2 4
013
23
0 0 −8
A partir daí, para chegamos a solução do sistema temos que realizar os seguintes passos:
Passo 1
Encontramos os valores do vetor y do sistema triangular inferior Ly = b representado aseguir:
Ly = b =⇒
y1 = b1m21y1 + y2 = b2m31y1 +m32y2 + y3 = b3
=⇒
y1 = 1
13
y1 + y2 = 2
43
y1 + y2 + y3 = 3
(i) Pela primeira equação encontramos o valor de y1.
y1 = b1 =⇒ y1 = 1
(ii) Substituímos o valor de y1 na segunda equação de modo a obter o resultado de y2.
y2 = b2−m21y1 =⇒ y2 = 2− 13×1 =⇒ y2 =
53
(iii) Agora substituímos y1 é y2 na terceira equação para obtermos o valor de y3.
y3 = b3−m31y1−m32y2 =⇒ y3 = 3− 43×1− 5
3=⇒ y3 = 0
Encontrando para y o seguinte resultado: y =
15/3
0
Passo 2
Encontrado o vetor y, substituímos seus valores no sistema triangular superior Ux = yrepresentado a seguir, para podemos determina a solução x do sistema.
Ax = b =⇒
a11x1 +a12x2 +a13x3 = y1
a122x2 +a23x3 = y2
a233x3 = y3
=⇒
3x1 +2x2 +4x3 = 1
13
x2 +23
x3 = 5/3
−8x3 = 0
(i) Pela equação da terceira linha determinemos o valor de x3.
x3 =y3
a233
=⇒ x3 =0−8
=⇒ x3 = 0
(ii) Em seguida, substituímos o valor de x3 na segunda equação para obtermos o valor de x2.
x2 =y2−a23x3
a122
=⇒ x2 =
53− 2
3×0
13
=⇒ x2 = 5
(iii) Por fim, substituímos x2 e x3 na primeira equação de modo a obtermos o valor de x1.
x1 =y1−a12x2−a13x3
a11=⇒ x1 =
1−2×5−4×03
=⇒ x1 =−3
Tendo como solução para o sistema o vetor x =
−350
Logo, percebemos que para um dado sistema linear do tipo Ax = b onde a matriz A seja
não singular, ao utilizarmos os métodos diretos para determinar a solução deste sistema o resul-tado encontrado será sempre o mesmo, independente se utilizarmos o método da Eliminação deGauss ou Fatoração LU.
3.1.3 Gauss-Jacobi
Aplicar o método de Gauss-Jacobi, com uma aproximação inicial x(0) =bi
aiie uma pre-
cisão desejável ε = 0.05 para resolver o seguinte sistema linear:10x1 +2x2 + x3 = 7x1 +5x2 + x3 =−8
2x1 +3x2−10x3 = 6
O primeiro passo na resolução de sistemas lineares através dos métodos iterativos é ver-ificar se o sistema tem garantia de convergência para a solução x do sistema. Por este motivo,usaremos para o método de Gauss-Jacobi o critério das linhas, como segue adiante:
α1 =|a12|+ |a13||a11|
=⇒ α1 =2+1
10=⇒ α1 = 0.3
α2 =|a21|+ |a23||a22|
=⇒ α2 =1+1
5=⇒ α2 = 0.2
α3 =|a31|+ |a32||a33|
=⇒ α3 =2+3
10=⇒ α3 = 0.5
Como maxαk = 0.5 < 1, logo temos garantia de convergência do sistema através do métodode Gauss-Jacobi.
A partir daí, determinamos a função de iteração mediante a separação de xk da diagonalprincipal:
x(k+1)1 =
1a11
(b1−a12x(k)2 −a13x(k)3 )
x(k+1)2 =
1a22
(b2−a21x(k)1 −a23x(k)3 )
x(k+1)3 =
1a33
(b3−a31x(k)1 −a32x(k)2 )
=⇒
x(k+1)1 =
110
(7−2x(k)2 − x(k)3 )
x(k+1)2 =
15(−8− x(k)1 − x(k)3 )
x(k+1)3 =
110
(6−2x(k)1 −3x(k)2 )
Como dado no inicio da questão, a aproximação inicial é:
x(0) =
b1
a11
b2
a22
b3
a33
=⇒ x(0) =
0.7−1.60.6
Com isso, damos inicio as iterações do método de Gauss-Jacobi, onde a partir de x(0)
encontramos x(1) da etapa k = 0 da seguinte forma:
x(1)1 =1
10(7−2× (−1.6)−0.6) = 0.96
x(1)2 =15(−8−0.7−0.6) =−1.86
x(1)3 =1
10(6−2×0.7−3× (−1.6)) = 0.94
Logo:
x(1) =
0.96−1.86
0.94
Verificando o critério de parada, calculamos a distância relativa d(1) entre os vetores x(0)
e x(1), temos:|x(1)1 − x(0)1 |= |0.96−0.7|= 0.26
|x(1)2 − x(0)2 |= |−1.86− (−1.6)|= 0.26
|x(1)3 − x(0)3 |= |0.94−0.6|= 0.34
E, portanto temos que:
d(1)r =
d(1)
max1≤i≤n
|x(1)i |=
0.341.86
= 0.1828 > ε
Como não obedeceu ou atingiu o critério de parada, temos que prosseguir com o método.
Agora, na etapa k = 1, substituindo os valores do vetor x(1) na função de iteração de modoa encontrar um novo vetor x(2).
x(2)1 =1
10(7−2× (−1.86)−0.94) = 0.978
x(2)2 =15(−8−0.96−0.94) =−1.980
x(2)3 =1
10(6−2×0.96−3× (−1.86)) = 0.966
logo,
x(2) =
0.978−1.980
0.966
Verificando o critério de parada, calculamos a distância relativa d(2) entre os vetores x(1)
é x(2), então temos:
|x(2)1 − x(1)1 |= |0.978−0.96|= 0.018
|x(2)2 − x(1)2 |= |−1.980− (−1.86)|= 0.12
|x(2)3 − x(1)3 |= |0.966−0.94|= 0.026
Portanto temos:
d(2)r =
d(2)
max1≤i≤n
|x(2)i |=
0.121.980
= 0.0606 > ε
Como, não obedeceu ao critério de parada. Partimos para a etapa k = 2, onde substituire-mos os valores do vetor x(2) na função de iteração para encontrar x(3):
x(3)1 =1
10(7−2× (−1.98)−0.966) = 0.9994
x(3)2 =15(−8−0.978−0.966) =−1.9888
x(3)3 =1
10(6−2×0.978−3× (−1.98)) = 0.9984
Logo:
x(3) =
0.9994−1.9888
0.9984
Novamente verificamos o critério de parada calculando a distância relativa d(3) entre os
vetores x(2) é x(3), então temos que:
|x(3)1 − x(2)1 |= |0.9994−0.978|= 0.0214
|x(3)2 − x(2)2 |= |−1.9888− (−1.980)|= 0.0088
|x(3)3 − x(2)3 |= |0.9984−0.966|= 0.0324
Com isso temos que:
d(3)r =
d(3)
max1≤i≤n
|x(3)i |=
0.03241.9888
= 0.0163 < ε
Atingido o critério de parada, a solução x do sistema linear com erro menor que 0.05,obtida pelo método de Gauss-Jacobi é:
x = x(3) =
0.9994−1.9888
0.9984
3.1.4 Gauss-Seidel
Aplicar o método de Gauss-Seidel com a aproximação inicial x(0) =
000
e uma pre-
cisão ε = 0.05, para obter a solução do sistema linear dado a seguir:5x1 + x2 + x3 = 5
3x1 +4x2 + x3 = 63x1 +3x2 +6x3 = 0
Determinamos, primeiramente, se o sistema tem uma garantia de convergência para asolução do sistema. Então, para o método de Gauss-Seidel utilizamos o critério de Sassenfeld,como mostrado a seguir:
β1 =|a12|+ |a13||a11|
=1+1
5= 0.4
β2 =|a21|(β1)+ |a23|
|a22|=
3× (0.4)+14
= 0.55
β3 =|a31|(β1)+ |a32|(β2)
|a33|=
3× (0.4)+3× (0.55)6
= 0.475
Como max1≤ j≤n
β j = 0.55 < 1, o critério de Sassenfeld é satisfeito, com isso podemos garan-
tir que o processo de Gauss-Saidel irá convergi para solução do sistema.
De forma análoga ao método de Gauss-Jacobi, determinamos a função de iteração medi-ante a separação de xk da diagonal principal:
x(k+1)1 =
1a11
(b1−a12x(k)2 −a13x(k)3 )
x(k+1)2 =
1a22
(b2−a21x(k+1)1 −a23x(k)3 )
x(k+1)3 =
1a33
(b3−a31x(k+1)1 −a32x(k+1)
2 )
=⇒
x(k+1)1 =
15(5− x(k)2 − x(k)3 )
x(k+1)2 =
14(6−3x(k+1)
1 − x(k)3 )
x(k+1)3 =
16(0−3x(k+1)
1 −3x(k+1)2 )
A partir da aproximação inicial x(0) determinamos o vetor x(1) na etapa k = 0.
x(1)1 =15(5−1×0−1×0) = 1
x(1)2 =14(6−3×1−1×0) = 0.75
x(1)3 =16(0−3×1−3×0.75) =−0.875
Logo:
x(1) =
10.75−0.875
Verificando o critério de parada, calculamos a distância relativa d(1) entre os vetores x(0)
e x(1):
|x(1)1 − x(0)1 |= |1−0|= 1
|x(1)2 − x(0)2 |= |0.75−0|= 0.75
|x(1)3 − x(0)3 |= |−0.875−0|= 0.875
Logo temos que:
d(1)r =
d(1)
max1≤i≤n
|x(1)i |=
11= 1 > ε
Como o processo não convergiu na primeira iteração, temos que prosseguir com o métodona etapa k = 1.
Substituindo os valores do vetor x(1) na função de iteração de modo a obter x(2):
x(2)1 =15(5−1×0.75−1× (−0.875) = 1.025
x(2)2 =14(6−3×1.025−1× (−0.875) = 0.95
x(2)3 =16(0−3×1.025−3×0.95) =−0.9875
Logo:
x(1) =
1.0250.95−0.9875
Novamente verificamos o critério de parada, agora calculando a distância relativa d(2)
entre os vetores x(1) é x(2).
|x(2)1 − x(1)1 |= |1.025−1|= 0.025
|x(2)2 − x(1)2 |= |0.95−0.75)|= 0.2
|x(2)3 − x(1)3 |= |−0.9875− (−0.875)|= 0.1125
E para d(2)r , tem-se que:
d(2)r =
d(2)
max1≤i≤n
|x(2)i |=
0.21.025
= 0.1951 > ε
como o processo não convergiu para a solução do sistema na segunda iteração, partimospara a terceira iteração.
Nesta etapa k = 2 e utilizamos os valores do vetor x(2) para obtermos x(3).
x(3)1 =15(5−1×0.95−1× (−0.9875) = 1.0075
x(3)2 =14(6−3×1.0075−1× (−0.9875) = 0.9912
x(3)3 =16(0−3×1.0075−3×0.9912) =−0.9993
Logo,
x(3) =
1.00750.9912−0.9993
Agora, determinamos d(3) dos vetores x(2) e x(3).
|x(3)1 − x(2)1 |= |1.0075−1.025|= 0.0175
|x(3)2 − x(2)2 |= |0.9912−0.95|= 0.0412
|x(3)3 − x(2)3 |= |−0.9993− (−0.9875)|= 0.0118
E, portanto, d(3)r é:
d(3)r =
d(3)
max1≤i≤n
|x(3)i |=
0.04121.0075
= 0.0409 < ε
Assim, dado que o critério de parada foi atingido, segue que a solução do sistema linearcom ε < 0.05 para o método de Gauss-Seidel é:
x = x(3) =
1.00750.9912−0.9993
3.2 CONTRA-EXEMPLOS
3.2.1 Eliminação de Gauss com pivô próximo de zero
Considere o sistema linear a seguir.{0.0002x1 + 2x2 = 5
2x1 + 2x2 = 6
Primeiramente iremos resolver o sistema sem utilizar os artifícios da estratégia de pivotea-mento e vamos supor que temos que trabalhar com aritmética de três dígitos. Então, podemosrepresentar o sistema da seguinte forma:{
0.2×10−3x1 + 0.2×101x2 = 0.5×101
0.2×101x1 + 0.2×101x2 = 0.6×101
Então, a matriz aumentada do sistema é dada a seguir:
[A(0)|b(0)] =[
0.2×10−3 0.2×101 | 0.5×101
0.2×101 0.2×101 | 0.6×101
]Determinamos o pivô e o multiplicador m21.
pivo : a11 = 0.2×10−3, m21 =0.2×101
0.2×10−3 = 0.1×105
Agora efetuamos as transformações elementares na segunda linha.
a(1)21 = a(0)21 −m21×a(0)11 = 0.2×101− (0.1×105)× (0.2×101) = 0
a(1)22 = a(0)22 −m21×a(0)12 = 0.2×101− (0.1×105)× (0.1×101) =−0.2×105
b(1)2 = b(0)2 −m21×b(0)1 = 0.6×101− (0.1×105)× (0.5×101) =−0.5×105
Logo, temos que:
[A(1)|b(1)] =[
0.2×10−3 0.2×101 | 0.5×101
0 −0.2×105 | −0.5×105
]
Efetuando as substituições do sistema A(1)x = b(1), determinamos que:
−0.2×105x2 =−0.5×105 =⇒ x2 =−0.5×105
−0.2×105 =⇒ x2 = 0.25×101 =⇒ x2 = 2.5
0.2×10−3x1+(0.2×101)×(0.25×101)= 0.5×101 =⇒ x1 =0.5×101−0.05×102
0.2×10−3 =⇒ x1 = 0
Portanto, x = (0,2.5)T .
Contudo, percebemos que x não satisfaz a segunda equação do sistema, pois
2×0+2×2.5 = 5 = 6
Agora, utilizando estratégia de pivoteamento parcial para o mesmo exemplo, ainda comaritmética de três dígitos, temos a seguinte matriz aumentada:
[A(0)|b(0)] =[
0.2×101 0.2×101 | 0.6×101
0.2×10−3 0.2×101 | 0.5×101
]Agora, o elemento pivô e o multiplicador m21 serão:
pivo : a11 = 0.2×101, m21 =0.2×10−3
0.2×101 = 0.1×10−3
Efetuando as transformações de forma análoga ao que foi feito anteriormente, obtemos anova matriz aumentada equivalente a [A(0)|b(0)].
[A(1)|b(1)] =[
0.2×101 0.2×101 | 0.6×101
0 0.2×101 | 0.5×101
]Realizando as substituições cabíveis, temos:
0.2×101x2 = 0.5×101 =⇒ x2 =0.5×101
0.2×101 =⇒ x2 = 0.25×101 =⇒ x2 = 2.5
0.2×101x1+(0.2×101)×(0.25×101)= 0.6×101 =⇒ x1 =0.6×101−0.05×102
0.2×101 =⇒ x1 = 0.5
Logo, temos como vetor solução x = (0.5,2.5)T que satisfaz simultaneamente as duasequações do sistema como segue.
0.2×101×0.5+0.2×101×0.25×101 = 5
0.2×101×0.5+0.2×101×0.25×101 = 6.
Lembramos que ao resolvermos esse mesmo sistema através do método da fatoração LU,iremos nos deparar com os mesmos problemas quanto aos erros de arredondamento. Conse-quentemente, tem-se a necessidade de utilizar as técnicas de pivoteamento de forma semelhantea usada no método da eliminação de Gauss, pois tanto as técnicas de pivoteamento quanto oserros de arredondamento, tem o mesmo significado em ambos os métodos.
3.2.2 Condicionamento de matrizes
Entende-se por matriz mal condicionada a matriz cujo determinante é muito pequenoquando comparado com a ordem de grandeza de seus elementos ou analisando o produto entrea norma da matriz com a sua inversa. São matrizes que, quando envolvidas na solução desistemas lineares, tornam os resultados poucos confiáveis, pois pequenos arredondamentos noscomponentes da matriz, ou em resultados intermediários, alteram profundamente o calculo finaldas raízes do sistema.
Tendo num sistema linear uma matriz mal condicionada, os cálculos deverão ser feitoscom a maior precisão possível, procurando minimizar a propagação desses erros, que são críti-cos nesse caso. Diante disso,a analise da matriz a seguir por um método iterativo (com critériode parada e = 10−2 ou um limite de dez iterações), considerando o truncamento com três, cincoe dez casas decimais e compare as soluções encontradas, em relação a cada método, analisandose todas as soluções encontradas satisfazem o sistema. 303 301 302
304 302,5 303303 301,5 302
x1x2x3
=
147
0,02
Verificamos primeiramente o condicionamento da matriz a partir do determinante, então
temos que:det(A) = 82.995.186−82.995.186,05 =⇒ det(A) =−0,05
Comparando os valores de cada elemento da matriz A com o resultado do determinante, percebe-se que a ordem de grandeza dos elementos da matriz é bem maior que o resultado do determi-nante, demostrando que a matriz é mal condicionada.
Outra forma de analisar o condicionamento de uma matriz é através do produto entre asnormas de A e A−1. Com o auxilio do SCILAB determinamos a matriz inversa de A, represen-tada por A−1 como dado aseguir:
A−1 =
−1 −302 304−2 0 2
3 303 −307
Usando norma da linha em ambas as matrizes, temos:
||A||∞ = max1≤i≤n
n
∑j=1|ai j|=⇒ ||A||∞ = 304+302,5+303 =⇒ ||A||∞ = 909,5
||A−1||∞ = max1≤i≤n
n
∑j=1|ai j|=⇒ ||A−1||∞ = 3+303+307 =⇒ ||A−1||∞ = 613
e, portanto, para o numero de condição de A tem-se:
cond(A) = ||A||∞||A−1||∞ =⇒ cond(A) = 909,5×613 =⇒ cond(A)≃ 5.6×105
Logo, temos que a ordem de grandeza de cond(A)= 105 > 104 comprovando que a matrizA é mal condicionada.
3.2.3 Critérios de Convêrgencia
Utilize um método direto e um iterativo (com critério de parada ε = 10−2 ou um limitede 10 iterações), para calcular a solução do sistema abaixo, considerando truncamento com trêscasas decimas após a virgula. Antes verifique se os sistemas atendem aos critérios de existênciade solução no caso do método direto, ou de convergência, no caso do método iterativo.
−7x1 +2x2 + x3 =−52x2−3x3 = 0
−7x1−3x3 =−5
Solução:
Primeiramente verificamos se o sistema admite solução para os métodos diretos, para issochamaremos de A a matriz dos coeficientes do sistema, sendo que a solução só e garantida, sea matriz dos coeficientes A for uma matriz não singular, ou seja, se o determinante de A fordiferente de zero.
A =
−7 2 10 2 −3−7 0 −3
Calculando o determinante da matriz A, temos que:
det(A) = 42+42+0+0+14+0 =⇒ det(A) = 98 = 0
Logo, temos garantia de convergência para o sistema através dos métodos diretos.
Utilizando o método da eliminação de Gauss de forma análoga ao exemplo 4.1, obtemoscomo solução do sistema o seguinte vetor:
x =
5700
Agora, verificamos se o sistema admite solução para os métodos iterativos. Onde, asolução só é garantida se o sistema atender algum dos critérios de convergência. Então verifi-camos se o sistema atende ao critério das linhas, como mostrado a seguir:
α1 =|a12|+ |a13||a11|
=⇒ α1 =2+1
7=⇒ α1 = 0.42
α2 =|a21|+ |a23||a22|
=⇒ α2 =0+3
2=⇒ α2 = 1.50
α3 =|a31|+ |a32||a33|
=⇒ α3 =7+0
3=⇒ α3 = 2.33
Como maxαk = 2.33 > 1, logo pelo critério das linhas não temos garantia de convergência parasistema.
Aplicando o método de Gauss-Jacobi com solução inicial x(0) =bi
aiiobtemos, os seguintes
resultados para o sistema:
Tabela 1 - Método de Gauss-Jacobi com x(0) =bi
aii.
Iteração x1 x2 x3 d dr Critério0 0,71 0,00 1,67 - - -1 0,95 2,50 0,00 2,499 1 Continua2 1,43 0,00 -0,55 2,499 1,75 Continua3 0,64 -0,83 -1,66 1,11 0,6686 Continua4 0,24 -2,49 0,18 1,84 0,7389 Continua5 0,03 0,27 1,10 2,76 2,5090 Continua6 0,95 1,65 1,60 1,38 0,8363 Continua7 1,41 2,40 -0,54 2,14 0,8916 Continua8 1,32 -0,81 -1,63 3,21 1,9693 Continua9 0,25 -2,45 -1,41 1,635 0,6687 Continua10 -0,19 -2,12 1,08 2,49 1,1773 Continua
Fonte - autoria própria (2011)
Logo, o sistema não convergiu após as 10 iterações para o método de Gauss-Jacobi com
solução inicial x(0) =bi
aii. Onde, percebemos que está ocorrendo uma divergência entre os
valores de x1, x2 e x3 e consequentemente nos resultados de dr.
Com os mesmos dados do sistema anterior, aplicamos o método de Gauss-Seidel também
com solução inicial x(0) =bi
aii. E obtemos os seguintes resultados:
Tabela 2 - Método de Gauss-Seidel com x(0) =bi
aii.
Iteração x1 x2 x3 d dr Critério0 0,71 0,00 1,67 - - -1 0,95 2,50 -0,55 2,5 1 Continua2 1,35 -0,83 -1,48 3,325 2,2466 Continua3 0,27 -2,22 1,04 2,52 1,1351 Continua4 0,23 1,56 1,13 3,78 2,4230 Continua5 1,32 1,70 -1,41 2,54 1,4985 Continua6 1,00 -2,12 -0,65 3,85 1,8014 Continua7 0,02 -0,98 1,62 2,27 1,4012 Continua8 0,67 2,43 0,11 3,405 1,4012 Continua9 1,42 0,17 -1,65 2,265 1,3727 Continua10 0,53 -2,48 0,43 2,64 1,0666 Continua
Fonte - autoria própria (2011)
De forma semelhante ao ocorrido no método de Gauss-Jacobi, o sistema não convergiupara o método de Gauss-Seidel com o limite de 10 iterações.
Agora, utilizando como solução inicial x(0) = (0,0,0)T para o método d Gauss-Jacobi,obtemos os seguintes resultados:
Tabela 3 - Método de Gauss-Jacobi com x(0) = (0,0,0)T .Iteração x1 x2 x3 d dr Critério0 0,00 0,00 0,00 - - -1 0,71 0,00 1,66 1,66 1 Continua2 0,95 2,49 0,00 2,49 1 Continua3 1,43 0,00 -0,55 2,49 1,7473 Continua4 0,64 -0,83 -1,65 1,1 0,6666 Continua5 0,24 -2,48 0,18 1,83 0,7393 Continua6 0,03 0,27 1,10 2,745 2,4954 Continua7 0,95 1,65 1,59 1,38 0,8363 Continua8 1,41 2,39 -0,54 2,13 0,8930 Continua9 1,32 -0,81 -1,62 3,195 1,9722 Continua10 0,25 -2,43 -1,40 1,62 0,6666 Continua
Fonte - autoria própria (2011)
logo, o sistema não convergiu após 10 iterações para o método de Gauss-Jacobi comsolução inicial x(0) = (0,0,0)T .
Agora, utilizando x(0) = (0,0,0)T para o método de Gauss-Seidel, o sistema converge na2o iteração, como representado na tabela a seguir:
Tabela 4 - Método de Gauss-Seidel com x(0) = (0,0,0)T .Iteração x1 x2 x3 d dr Critério0 0,00 0,00 0,00 - - -1 0,71 0,00 0,00 0,7143 1 Continua2 0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 Convergiu
Fonte - autoria própria (2011)
Este exemplo é muito importante, pois ilustra que mesmo não obedecendo aos critériosde convergência os métodos iterativos pode convergir para a solução do sistema em algu-mas circunstâncias, o que ressalta que os critérios de convergência são suficientes, porém nãonecessários, ou seja, um sistema pode convergir para a solução do sistema, mesmo que nãoatenda aos critérios iniciais de garantia de convergência.
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Os métodos diretos e iterativos usados na resolução de sistemas de equações linearesdiferem em vários aspectos quanto numero de iterações, convergência, erro de arredondamento,entre outros. Em contra partida, possuem em comum o mesmo objetivo, que no qual é encontrarum vetor solução que satisfaça todas as equações do sistema simultaneamente, embora commétodos diferentes.
Dentre outros aspectos podemos dizer que os métodos diretos possuem uma pequenavantagem em relação aos métodos iterativos por poder ser utilizado na resolução de qualquertipo de sistema de equações lineares, desde que possua a matriz dos coeficientes não singular,ou seja, que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero. Enquanto nosmétodos iterativos a convergência só é garantida sob a forma de determinadas condições, ouseja, é necessário que a matriz dos coeficientes atenda algum dos critérios de convergência paratermos a certeza que o método irá gerar uma sequencia de vetores convergente para a soluçãodo sistema.
Através dos métodos diretos é impossível chegarmos a solução do sistema quando tra-balhado com pivô nulo, e quando trabalhado com pivô próximo de zero este método apresentaproblemas com erros de arredondamento que afetam a solução final do sistema. Uma maneirade conter estes fatores e a utilização das técnicas de pivoteamento. Já para os métodos iterativosos erros de arredondamento não afetam de forma significativa a solução final e não levam adivergência do processo quanto a solução, assim como também a convergência para outro vetorque não seja a solução do sistema.
Os métodos diretos geralmente são usados para resolver sistemas de equações densos deporte pequeno, enquanto métodos iterativos são usados principalmente na resolução de sistemasde porte grande. De modo geral é raro o uso dos métodos iterativos para resolver sistemas deporte pequeno, pois o tempo requerido para obter um mínimo de precisão ultrapassa o requeridopelos métodos diretos.
Podemos citar uma vantagem dos métodos iterativos em relação aos métodos diretos,quanto a preservação da esparsidade da matriz dos coeficientes, onde este é um fator muito im-portante quando se trata de resolver um sistema de equações lineares, pois a grande quantidadede elementos nulos influência diretamente na escolha do método para resolver o sistema. Já nosmétodos diretos basicamente são realizadas transformações elementares sobre as linhas da ma-triz eliminando com a esparsidade da mesma, em contra partida ocorre um aumento no espaçonecessário para o armazenamento da matriz e também no esforço computacional realizado paraa resolução numérica do sistema.
Com tudo, ao resolver um sistema de equações lineares se faz necessário primeiramenteconhecer a natureza do problema para que em seguida possamos escolher qual o método quedeve ser utilizado para resolver o problema e obter dessa forma um resultado mais preciso esatisfatório.
Dessa forma, apresentamos uma tabela com um comparativo entre os métodos diretos eiterativos na abordagem de cinco aspectos diferentes.
Tabela 5 - Comparativo Entre os Métodos Diretos e IterativosAspecto Métodos Diretos Métodos IterativosConvergência A solução do sistema e sempre de-
terminada, desde que a matriz doscoeficientes seja não singular.
A solução do sistema só é encon-trada se a matriz dos coeficientesatender algum dos critérios de con-vergência.
Numero de oper-ações
Pode-se determinar no inicio da res-olução, o numero de passos parachegar a solução do sistema
Não é possível determinar de formaalguma a complexidade das oper-ações deste método.
Erros deArredondamento
Quando o pivô tiver uma ordem degrandeza pequena em relação aosoutros elementos da matriz, ocorreuma ampliação dos erros durante oprocesso. Este problema pode sercorrigido através de técnicas de piv-oteamento.
Os erros de arredondamento nãoafetam de forma significativa asolução obtida em cada iteração.Apenas a solução final contem er-ros de arredondamento.
Aplicações Usado na resolução de sistemas deequações densos de porte pequeno.
Usado na resolução de sistemas deequações de porte grande.
Fonte - autoria própria (2011)