mestrado integrado em engenharia...
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Slide 1 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Slide 1 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias
Análise e Processamento de Bio-Sinais Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica
Sinais e Sistemas Licenciatura em Engenharia Física
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Universidade de Coimbra
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Sobre Modelos para SLIT’s
Introdução
Métodos de descrever a relação entre sinais de entrada e de saída de um sistema para Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo – SLIT
Descrição por modelos que poderão ajudar na análise e predição do comportamento de SLITs
Caracterização em termos de:
• Resposta a um impulso (aplicada em t=0 ou n=0) (caracterização como uma combinação de sinais deslocados no tempo)
• Equação diferencial linear e de coeficientes constantes ou equação de diferenças
• Interligação de módulos elementares de sistemas
• Descrição por variáveis de estado
As formas de representação e seus respectivos modelos são equivalentes no sentido em que resultam em respostas no sinal de saída iguais para os mesmos sinais de entrada
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
A Soma de Convolução
A Soma de Convolução para sinais discretos
Um sinal pode ser expresso por uma sobreposição de impulsos deslocados no tempo.
Considerando
Pode ser expresso como uma soma pesada de impulsos deslocados no tempo
Pode ser expresso por
δ
δ
δ
δ
δ
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
A Soma de Convolução
Se H representar o operador do sistema
Sendo o sistema invariante no tempo qualquer deslocamento temporal da entrada provoca um deslocamento temporal da saída
onde h[n] é a resposta impulsional do SLIT com operador H. A resposta do sistema
Designado somatório de convolução
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
A Soma de Convolução
A Soma de Convolução
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
A Soma de Convolução
A Soma de Convolução
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Procedimento de Cálculo
Exemplo: Comunicação Multi-Canal: Calculo da Soma de Convolução
Considere um SLIT discreto e representando um canal de comunicação com duas vias (uma via directa e uma via indirecta). A amplitude do sinal pela via indirecta vem atenuado de 50% resultando num sinal
O canal foi ensaiado com o que permitiu determinar a seguinte resposta impulsional
Determinar a resposta do sistema quando é aplicada a entrada
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Procedimento de Cálculo
Exemplo: Comunicação Multi-Canal: Calculo da Soma de Convolução
Solução O sinal de entrada pode ser expresso por uma soma pesada de impulsos
deslocados no tempo
Notar que entrada é nula para n<0 e n>2 sendo a saída y[n] calculada através de
Adicionando as respostas impulsionais obtemos a resposta
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Para sistemas discretos com resposta a impulso com equações mais extensas é possível estabelecer um procedimento sistemático para o cálculo do Somatório de Convolução
Definindo o sinal intermédio
Como nesta definição consideramos k como variável e tratamos o n como uma constante e redefinimos o Somatório de Convolução como
Notar que , que corresponde a uma reflexão de , seguido de um deslocamento -n
Procedimento de Cálculo
Somatório de vários valores do sinal de entrada, pesados pelos valores da resposta a impulso
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Integral de Convolução:
O Integral de Convolução A resposta de um sistema contínuo, linear e invariante no tempo também pode ser
descrita pela sua resposta impulsional composto com o sinal de entrada.
Representando o sinal de entrada por uma sobreposição (aqui um integral) de sinais de impulso deslocados no tempo
e por H o sistema ao qual a entrada x(t) foi aplicada
Sendo o sistema invariante no tempo
Correspondendo ao Integral de Convolução
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Integral de Convolução:
Resposta a Impulso de um SLIT
ENTRADA:: Impulso atrasado SAÍDA:: Resposta a impulso TAMBÉM atrasada
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Procedimento de Cálculo:
É possível estabelecer um procedimento para o cálculo do Integral de Convolução
Definindo o sinal intermédio
Como nesta definição consideramos τ como variável e tratamos o tempo t como uma constante podemos redefinir o Integral de Convolução como
Notar que corresponde a uma reflexão de e de seguida um deslocamento
Composição do sinal de entrada, após ser pesado pelos valores da resposta a impulso
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Procedimento de Cálculo:
Exemplo: Calcular o integral de convolução de um sistema com uma entrada
e resposta a impulso
Solução:
τ
τ
τ
h(t-τ)
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Procedimento de Cálculo:
τ τ
τ
τ
τ
τ
t
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Procedimento de Cálculo:
τ τ
τ
τ
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τ
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Procedimento de Cálculo:
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Procedimento de Cálculo:
Exemplo: Suponha que a distância a um objecto é determinada por determinação do tempo
de propagação dum pulso de radiofrequência (RF) que é emitido segundo a expressão
A resposta a impulso do canal de propagação é medida através de emissão de um impulso de RF. A resposta foi um impulso atenuado e atrasado no tempo com a seguinte representação
Solução:
Atraso Atenuação
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Procedimento de Cálculo:
Nota: Sinal é atenuado e atrasado no tempo
β β
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Interligações de SLIT
Se um sistema é interligado por diferentes componentes cujas respostas impulsionais são conhecidas então é possível determinar a resposta impulsional final de todo o sistema.
As interligações consideradas são:
Paralela
Série ou Cascata
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Interligações de SLIT
Configuração Paralela
Sistema contínuo
Sistema discreto
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Interligações de SLIT
Configuração Série
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Interligações de SLIT
Configuração Série
Propriedade Associativa
Propriedade Comutativa
Sistema contínuo
Sistema discreto
Sistema contínuo
Sistema discreto
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Interligações de SLIT
Exemplo: Sistema com 4 interligações
Considere o sistema da figura cujos
Módulos têm a seguinte resposta
Impulsional:
Determinar a resposta impulsional do sistema.
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Interligações de SLIT
Exemplo: Sistema com 4 interligações
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Propriedades de um SLIT
A resposta impulsional caracteriza completamente o comportamento entrada/saída de um SLIT.
As propriedades de um sistema podem ser relacionadas com a resposta a impulso.
Podemos obter relações para propriedades tais como Memória de um Sistema
Sistema Causal
Estabilidade do Sistema
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Propriedades de um SLIT
Memória de um SLIT
Um SLIT não tem memória se a sua resposta no instante t depende unicamente do valor de entrada no instante t.
Para um sistema sem memória:
Condição é:
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Propriedades de um SLIT
Condição para SLIT sem memória de um SLIT
Para o caso discreto.
Para caso contínuo:
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Propriedades de um SLIT
SLIT Causal Um SLIT é causal se depender só dos valores presentes e passados do
sinal de entrada.
Para um sistema discreto é equivalente a
Para um sistema contínuo no tempo
Presente
Passado
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Propriedades de um SLIT
SLIT Estável
Sendo o SLIT estável para uma entrada
então o correspondente sinal de saída será estável e obedecerá à restrição
A resposta impulsional de um SLIT discreto e estável deverá obedecer à restrição
No caso contínuo a
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Propriedades de um SLIT
Invertível
O sistema será invertível se a entrada do sistema pode ser recuperada a partir da saída a menos de um factor de escala.
O processo de recuperar x(t) a partir de h(t)*x(t) é o inverso de uma convolução (“deconvolução”).
Para sistemas contínuos
Para sistemas discretos
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Propriedades de um SLIT
Propriedade Contínuo Discreto
Sem Memória
Causal
Estabilidade
Invertível
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Resposta Degrau:
A aplicação de um sinal degrau poderá ser utilizado para caracterizar a resposta de um SLIT
Caso discreto
Caso contínuo
Resposta impulso
Resposta do SLIT
Sinal de entrada - degrau
Somatório da resposta impulso
Resposta impulso Resposta do SLIT
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Resposta Degrau:
Notar que as relações anteriores podem ser invertidas de forma a obter a resposta a impulso:
Desta forma a resposta a impulso fica caracterizada.
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Resposta Degrau:
Exemplo: Circuito RC: Resposta a Degrau Considerando que a resposta impulsional do circuito
em anexo é
Determine a resposta a degrau. A partir do instante t=0 é aplicada uma tensão constante na fonte e o
condensador carrega até atingir a tensão da fonte.
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Resposta Degrau:
Exemplo: Circuito RC: Resposta a Degrau
Resposta a degrau de um circuito RC para RC = 1.
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Representações para SLITs :
Equações Diferenciais e de Diferenças
Equações diferenciais e equações lineares de coeficientes constantes são uma forma de representar SLITs.
As equações de diferenças são utilizadas para representações de sistemas discretos
As equações de diferencias são utilizadas para representações de sistemas contínuos
A ordem de uma equação de diferenças ou diferencial corresponde ao de dispositivos de memória/armazenamento de energia do sistema.
Muitas vezes e então a ordem é só descrita por
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Equações Diferenciais:
Exemplo: Equação Diferencial
Considerando a saída y(t) correspondente à corrente que circula no circuito RLC da figura e função da tensão de entrada x(t):
Esta expressão é de ordem N=2 (tem dois dispositivos de armazenamento de energia).
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Equações Diferenças:
o Exemplo: Equação Diferenças
Um exemplo de uma equação de diferenças de ordem N=2 é
que representa a relação entre a entrada e a saída de sinais de um sistema que processa os dados em computador.
A ordem indica o número de unidades de memória necessárias.
o As equações de diferenças podem ser reorganizadas de forma a dar uma igualdade que expressa a saída expressa de forma recorrente:
Nesta expressão é possível obter y[n] em função dos valores passados da entrada e da saída.
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Equações Diferenças:
o Exemplo: Equação Diferenças
Considerando a equação de diferenças
Podemos reescrever esta equação da forma
Que permite calcular y[n] em função dos valores passados da entrada e da saída.
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Equações Diferenças:
o Exemplo: Equação Diferenças
O calculo anterior exige valores para e .
Estas valores são as condições iniciais do sistema.
O número de valores para as condições iniciais do sistema é igual à memória do sistema.
Para uma equação de diferenças de ordem N os valores a determinar são
Para um equação diferencial de ordem N os valores a determinar são
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Equações Diferenças:
o Exemplo: Equação Diferenças
Determine os dois primeiros valores da saída para o sistema descrito por
Assuma que a entrada é dada por
e as condições iniciais são
Os valores iniciais são:
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Solução das Equações :
A saída de um sistema descrito por uma equação de diferenças ou uma equação diferencial pode ser expressa pela adição de duas componentes:
Solução homogénea (solução da equação diferencial ou de diferenças)
Solução particular (uma qualquer outra solução da equação original)
A solução completa é
Solução Homogénea
A forma homogénea de uma equação diferencial ou de diferenças é obtida igualando a zero todos os termos que envolvam a entrada.
Para um sistema contínuo
Solução homogénea
Equação homogénea
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Solução das Equações :
Solução Homogénea
Para um sistema contínuo
Em que são as N raízes da equação característica
No caso de raízes repetidas p vezes então os termos envolvendo essas raízes tomam a forma
Solução homogénea
Equação homogénea
Slide 43 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Solução das Equações :
Solução Homogénea
Para um sistema discreto
Em que são as N raízes da equação característica do sistema discreto
No caso de raízes repetidas p vezes então os termos envolvendo essas raízes tomam a forma
Solução homogénea
Equação homogénea
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Solução das Equações :
Exemplo: Circuito RC: Solução Homogénea
A relação entre a tensão na fonte e os terminais do condensador do circuito RC da figura pode ser descrito por
A sua equação homogénea é
Utilizando para N=1 obtemos a solução
Em que é a raiz é solução da equação característica
com
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Solução das Equações :
Exemplo: Sistema Recorrente de Primeira Ordem : Solução Homogénea
A equação homogénea do sistema recorrente de primeira ordem (N=1) descrito pela equação de diferenças
A sua correspondente equação homogénea é
Utilizando para N=1 obtemos a solução
Em que é a raiz é solução da equação característica
com
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Solução das Equações :
Exemplo: Sistema Recorrente de Primeira Ordem : Solução Particular
Determinar a solução particular para o sistema recorrente de primeira ordem (N=1) descrito pela equação de diferenças
quando se aplica a entrada .
Assumindo uma solução
Sendo obtemos a solução
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Solução das Equações :
Exemplo: Circuito RC: Solução Particular
Considerando o circuito RC da figura, determine a solução particular quando este sistema é sujeito à entrada
A equação diferencial do sistema é
Assumindo a solução particular da forma
Igualando os termos em e obtemos
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Solução das Equações :
Solução Completa
A solução completa é obtida por adição da solução homogénea com uma solução particular:
Para obter a expressão final determinam-se os coeficientes desconhecidos na expressão utilizando condições iniciais.
1º - Determinar a solução a partir das raízes da equação característica.
2º - Determinar a solução assumindo que é forma idêntica que a entrada mas com termos independentes da solução homogénea.
3º - Determinar os coeficientes da solução homogénea
de forma que satisfaça as condições iniciais do sistema.
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Solução das Equações :
Exemplo: Circuito RC: Solução Completa
Considerando o exemplo do circuito RC da figura, determine a solução completa quando e este sistema é sujeito
à entrada
A solução homogénea é
A solução particular é
Colocando obtemos a solução completa
em que pois o sinal de entrada não introduz impulsos na parte direita da equação
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Características dos Sistemas
Por vezes é bastante informativo exprimir a resposta de um sistema em função da soma de duas componentes:
• Componente associada só às condições iniciais – resposta natural
• Componente associada só ao sinal de entrada – resposta forçada
Neste caso a solução completa é
Resposta Natural
A resposta natural corresponde à saída do sistema para uma entrada de sinal nula e dessa forma permite descrever como o sistema dissipa a sua energia ou memória do passado e representada pelas condições iniciais.
Resposta Forçada
A resposta forçada corresponde à saída do sistema a um sinal na entrada mas assumindo condições iniciais nulas. Nessa situação assumimos que o sistema está em repouso e não existe energia armazenada no sistema ou a sua memória está vazia.
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Solução das Equações :
Exemplo: Circuito RC: Resposta Natural
O circuito RC da figura pode ser descrito por
Mas pretende-se obter a sua resposta natural assumindo que
Sendo a solução homogénea
Se for a constante for calculada de forma a satisfazer a condição inicial
Então e resposta natural do sistema é
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Solução das Equações :
Exemplo: Circuito RC: Resposta Forçada
Considerando o exemplo do circuito RC da figura, determine a sua resposta forçada assumindo que
e a entrada é
Sabendo que a resposta completa é
A resposta forçada é determinada escolhendo c quando o sistema está em repouso, ou seja quando:
Nesse caso e a resposta forçada é dada por
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Características dos Sistemas
Resposta a Impulso
Sendo conhecida a resposta a degrau podemos determinar a resposta a impulso através da relação matemática entre as duas respostas.
Por definição a resposta a degrau assume que o sistema está em repouso ou seja, com condições iniciais nulas.
Para um sistema contínuo a resposta a impulso relaciona-se com a resposta a degrau através de
Para um sistema discreto a resposta a impulso relaciona-se com a resposta a degrau através de
Resposta a degrau Resposta a impulso
Resposta a degrau Resposta a impulso
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Características dos Sistemas
Linear e Invariante
A resposta forçada de um sistema SLIT pode ser obtida por combinação linear das entradas.
De forma semelhante a resposta natural de um sistema SLIT pode ser obtida por combinação linear das condições iniciais.
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Características dos Sistemas
Equação Característica – As suas raízes
A resposta forçada depende do sinal de entrada e das raízes da equação característica.
A resposta natural depende das raízes da equação característica.
Daqui podemos concluir que as raízes da equação característica têm um papel fundamental no comportamento do sistema.
A estabilidade de um sistema está relacionada com as raízes equação característica.
A condição de estabilidade BIBO (entrada limitada, saída limitada) implica que a resposta natural seja limitada:
Caso discreto
Caso contínuo
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Diagramas de Blocos
Representações por Diagramas de Blocos
Um diagrama de blocos é uma representação para as operações elementares que são realizadas num sistema.
Um sistema com uma determinada característica entrada/saída pode ser representada por diferentes diagramas de blocos.
As três operações elementares nos sinais são:
Multiplicação Escalar
Adição
Integração
(para sistemas contínuos)
Deslocamento temporal
(para sistemas discretos)
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Diagramas de Blocos
Representações por Diagramas de Blocos
Equação diferenças de ordem 2
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Diagramas de Blocos
Representações por Diagramas de Blocos
Para SLITs não existe uma única descrição por diagrama de blocos.
Assumindo que o sistema ao lado
é um SLIT composto por 2 sub-sistemas
em série, é possível trocar a ordem
dos elementos sem alterar a sua relação
entrada/saída.
Definindo f[n] como a saída do novo
sistema intermédio
f[n] será a entrada para o subsistema
seguinte
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Diagramas de Blocos
Representações por Diagramas de Blocos
Forma Directa I.
Forma Directa II
A forma directa II utiliza a memória de forma mais eficiente.
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Diagramas de Blocos
Exemplo: Diagramas de Blocos: Forma Directa I e Forma Directa II
Desenhe o diagrama de blocos correspondente ao sistema
Forma directa I.
Forma directa II.
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Variáveis de Estado
Descrições por Variáveis de Estado
Uma descrição por variáveis de estado de um SLIT consiste num conjunto de equações de diferença ou diferenciais que descrevem o estado do sistema e como evolui, assim como uma equação que relaciona a saída do sistema função das variáveis de estado e da entrada.
As equações são representadas de forma matricial.
Podemos analisar ou projectar o comportamento do sistema recorrendo à álgebra de matrizes.
O estado do sistema corresponde a um conjunto mínimo de sinais que permitem representar toda a memória passada do sistema:
• Conhecido estado do sistema num instante ni (ou ti) e as entradas para n>= ni (ou t>= ti) podemos determinar a saída para todos instantes n>= ni (ou t>= ti).
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Variáveis de Estado
Descrições por Variáveis de Estado
Considere a descrição da figura na Forma Directa II
Defina as variáveis de estado
(q1[n] , q2[n]) à saída das unidades
de memória
O próximo valor do estado (q1[n+1] , q2[n+1])
corresponde às entradas das unidades de
memória e pode ser determinado por
A saída do sistema pode expressa por
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Variáveis de Estado
Descrições por Variáveis de Estado
Descrevendo
Na forma matricial
Vector de estado
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Variáveis de Estado
Descrições por Variáveis de Estado
Na forma matricial
Com
Se o sistema é de ordem N então
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Variáveis de Estado Descrições por Variáveis de Estado
Na descrição de um sistema contínuo por variáveis de estado a forma matricial é análoga com a excepção da expressão para a equação do estado que expressa em termos da derivada do vector de estado.
Exemplo: Descrição por Variáveis de Estado a Partir de um Diagrama
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Variáveis de Estado
Transformações do Estado
Não existe uma única representação por espaço de estado (ou variáveis de estado) o que implica que deverá existir uma transformação T que permite transformar um espaço de estado noutro espaço de estado.
Essa transforma T é uma matriz (NxN) sendo q(Nx1).
A matriz deverá ser não-singular (permitir inversa) para que seja possível uma relação 1 para 1 entre os dois espaço de estado:
As relações para as equações de estado serão:
De forma similar
Então
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Cap. 2- Rep. no Domínio do Tempo para SLITs
Sumário
o Convolução
o O Integral de Convolução
o Interligações de SLIT - Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
o Propriedades de SLIT Resposta a Impulso Resposta a Degrau
o Equações Diferenciais e de Diferenças para SLIT
o Soluções para Equações Diferenciais e de Diferenças
o Características dos Sistemas
o Representação por Diagramas de Blocos
o Descrições de SLIT por Variáveis de Estado
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