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Sobreposição modal 1MEC114 Métodos Comput. em DinâmicaDEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Objetivos:
• Conhecer o método de sobreposição modal para análise dinâmica com elementos finitos
SOBREPOSIÇÃO MODAL
Sobreposição modal 2MEC114 Métodos Comput. em DinâmicaDEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Desprezando as operações dos cálculos iniciais nos métodos implícitos, temos um número total de nmKs operações necessárias para a integração.
Introdução
: função das características das matrizesn: ordem da matriz de rigidezmK: metade da largura de bandas: número de passos do tempo
Assim a integração direta implícita é efetiva para respostas de curta duração.
Contudo, se a integração deve ser efetuada para muitos passos no tempo, é melhor transformar primeiro as equações de equilíbrio de forma que a solução passo a passo custe menos.
O número de operações por passo de integração é menor no método explícito.
Como o número de operações é proporcional à metade da largura de banda mK da matriz K, uma redução em mK reduz o custo da solução passo a passo.
A topologia da malha de elementos finitos determina a ordem e a largura de banda das matrizes do sistema.
Para reduzir a largura de banda das matrizes do sistema, reordena-se a numeração nodal; mas existe um limite na largura de banda a ser obtida dessa maneira, sendo necessário seguir um procedimento alternativo.
Sobreposição modal 3MEC114 Métodos Comput. em DinâmicaDEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Mudança de base para deslocamentos generalizados modais
As equações de equilíbrio utilizam uma transformação nos deslocamentos U dos pontos nodais dos n elementos finitos.
P: matriz de transformação, não é f(t)X(t): vetor deslocamentos generalizados
)1()()1()()(
nxnxnnxtt XPU
Substituindo na equação de equilíbrio e pré-multiplicando por PT.
RPRKPPKCPPCMPPM
RXKXCXMTTTT
tttt
~
;~
;~
;~
)(~
)(~
)(~
)(~
As novas matrizes de massa, amortecimento e rigidez apresentam uma menor largura de banda.
P deve ser não singular (rank n) para que exista uma relação única entre U e X.
Na prática, uma matriz de transformação efetiva é estabelecida usando as soluções de deslocamento das eqs. de equilíbrio para vibração livre sem amortecimento,
0KUUM
onde a solução é assumida como,
)(sen 0tt U
: vetor de ordem nt0: tempo constante: freqüência de vibração do vetor (rad/s)
obtendo-se o autoproblema generalizado, a partir do qual e são calculados.
MK 2O autoproblema gera n autosoluções (2
n,n), onde os autovetores são M-ortonormalizados:
222
210
;0
;1
n
jTι ji
ji
M
(i)
Sobreposição modal 4MEC114 Métodos Comput. em DinâmicaDEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Mudança de base para deslocamentos generalizados modais
i: vetor do perfil do i-ésimo modoi: i-ésima freqüência de vibração (rad/s)
Definindo a matriz de autovetores e a matriz diagonal 2 de autovalores:
2
22
21
221 ;,,
n
n
ΩΦ
as n soluções são escritas como:2MΦΦK
Como os autovetores são M-ortonormais,
ΦMΦΦKΦ TT 2
Assim, a matriz pode ser uma adequada matriz de transformação P:
)()( tt XΦU
obtendo-se as equações de equilíbrio nos deslocamentos generalizados modais:
)()()()( 2 tttt TT RΦXΩXCΦΦX
As condições iniciais em X(t) para t=0 são obtidas como:
)()(
)()(00
00
UMΦX
UMΦX
XMΦΦMUΦ
XΦU T
T
TT tt
tt
Se a matriz de amortecimento não está inclusa na análise, as equações de equilíbrio de elementos finitos são desacopladas se usados os modos de vibração livre na matriz de transformação.
Sobreposição modal 5MEC114 Métodos Comput. em DinâmicaDEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Exemplo
Calcule a matriz de transformação e as equações de equilíbrio desacopladas na base dos vetores modais do sistema:
10
0 ;
10
02 ;
42
26RMK
O autoproblema generalizado é:
10
02
42
26 2
e as soluções são:
3
23
2
2
1
;5 ;
3
13
1
;2 2221
21
Para as equações de equilíbrio de vibração livre do sistema,
0UU
)(
42
26)(
10
02tt
as duas soluções seguintes são possíveis:
202
101 5sen
3
23
2
2
1
)( ;2sen
3
13
1
)( tttttt
UU
A solução às equações é da forma:
20
10 5sen
3
23
2
2
1
2sen
3
13
1
)( ttttt
U
onde , e os tempos são calculados a partir das condições iniciais em U e Ů. Impondo valores só a ou o sistema vibra num modo e freqüência respectiva.
As equações de equilíbrio na base dos autovetores são:
10
0
3
2
3
2
2
13
1
3
1
)(50
02)( tt XX
Sobreposição modal 6MEC114 Métodos Comput. em DinâmicaDEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Análise com amortecimento desprezível
A equação de equilíbrio sem os efeitos de amortecimento se reduz a:
)()()( 2 ttt T RΦXΩX
ou seja n equações desacopladas da forma de um sistema de um grau de liberdade com massa unitária e rigidez i
2:
UMUM
R
0
0
0
0
2
e :C.I.
,...,2,1 )()(
)()()(
Titi
Titi
Tii
iiii
xx
nittr
trtxtx
a ser resolvida com os algoritmos de integração ou com a integral de Duhamel:
ttdtrtx iiiii
t
ii
i
cossen)(sen)(1
)(0
onde i e i são calculados com as C.I.
Os deslocamentos nodais são obtidos por sobreposição da resposta em cada modo.
n
iii txt
1
)()( U
A resposta por sobreposição modal requer:i. solução de autovetores e autovaloresii. resolver eqs. de equilíbrio desacopladasiii. sobrepor a resposta dos autovetores
A escolha entre análise de sobreposição modal e integração direta é por eficácia numérica, ao ser as respostas idênticas dentro dos erros numéricos dos esquemas de integração no tempo.
(ii)
(iii)
Sobreposição modal 7MEC114 Métodos Comput. em DinâmicaDEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Exemplo
Utilize sobreposição modal para calcular a resposta por deslocamento do sistema:
10
0 ;
10
02 ;
42
26RMK
• Para calcular a resposta exata integra-se as eqs. de equilíbrio desacopladas:
3
2105 ;
3
102 2211 xxxx
0U0U 00 ,
0202
001
0
0
tt
tit
xx
xx
e usando as C.I.
Usando os autovetores, calculados com anterioridade, calcula-se U.
obtém-se:
)5cos1(3
22 );2cos1(
3
521 txtx
t
ttt
5cos13
22
2cos13
5
3
2
3
13
22
1
3
1
)()( XΦU
Para t=0,28, avalia-se em 12 passos:
Tempo t t t t . t
tU0,003 0,038 0,176 0,486 . 1,157
0,382 1,41 2,78 4,09 . 2,489
Sobreposição modal 8MEC114 Métodos Comput. em DinâmicaDEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Análise com amortecimento desprezível (cont.)
UMUM
R
0
0
0
0
2
e :C.I.
,...,2,1 )()(
)()()(
Titi
Titi
Tii
iiii
xx
nittr
trtxtx
(ii)
Considerando as equações desacopladas,
e se ri(t)=0, i=1,2,...,n e ainda 0U e 0Ů são múltiplos só de j, logo só xj(t) é diferente de zero e a estrutura vibra só nesse modo.Na prática a resposta transiente decresce devido ao amortecimento e o efeito da carga externa é mais importante.
O conteúdo da freqüência da carga determina se a i-ésima equação contribui ou não à resposta.
A resposta xi(t) é relativamente grande se a freqüência de excitação contida em ri fica próxima de i.
Para o sistema de 1GDL dado por:
1 ,0 :C.I.
ˆ)()(
00
2
ttxx
tsenRtxtx
a resposta pode ser escrita como,
tR
tR
D
xxDtx transest
sen
/ˆ1
/ˆ1ˆsen
)(
22
3
2
e)(transient (estático)
onde D é o fator de carga dinâmica, indicando ressonância se ŵ=
Na análise de um sistema nGDL, a resposta é obtida como a sobreposição da resposta em cada GDL modal. Também, a carga pode ser apresentada como em uma decomposição de Fourier, ou seja como a sobreposição de senos e cos. harmônicos.
22 /ˆ11
D
Sobreposição modal 9MEC114 Métodos Comput. em DinâmicaDEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Análise com amortecimento desprezível (cont.)
Com uma pequena fração do número total de equações desacopladas (p≤n), a solução de sobreposição modal consegue uma boa aproximação à solução exata.
Assim, precisa-se obter unicamente os menores autovalores e autovetores, e somar a resposta nos primeiros p modos:
UU
p
iii
p txt1
)()(
A eficácia da sobreposição modal depende do número de modos considerados. Em geral, o tipo de estrutura e sua distribuição espacial mais o conteúdo de freqüência da carga determina o número de modos a serem utilizados.
Para cargas de terremotos, em alguns casos é suficiente os 10 primeiros modos. Para choques p=2n/3.
Para análise de vibração, as freqüências intermédias devem ser excitadas, aquelas entre os limites inferior e superior.
Denominando UP a resposta predita por sobreposição de p modos, a exatidão da análise em qualquer tempo t é obtida calculando uma mensuração do erro:
2
2
)(
)()()()(
t
tttt
PP
P
R
KUUMR
Os erros na análise de sobreposição modal, para p<n, são devidos ao fato que modos não suficientes foram usados. Os erros na análise de integração direta ocorre devido ao passo de tempo grande.
Sobreposição modal 10MEC114 Métodos Comput. em DinâmicaDEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Análise com amortecimentoA sobreposição modal é eficaz quando assumido o amortecimento proporcional, onde os autovetores são C-ortogonais:
ijiijTi 2 C
i: parâmetro de amortecimento modalij: delta de Kronecker, 1 (i=j), 0 (ij)
Logo as equações de movimento se reduzem a n equações de equilíbrio do movimento de sistemas de 1 GDL :
UMUM
R
0
0
0
0
2
e :C.I.
21 2
Titi
Titi
Tii
iiiiiii
xx
n,...,,i)t()t(r
)t(r)t(x)t(x)t(x
a serem resolvidas com os algoritmos de integração ou com a integral de Duhamel:
2
0
1 onde
cossen
sen1
iii
iiiit
itt
ii
i
tte
d)t(e)(r)t(x
ii
ii
onde i e i são calculados com as C.I.
O amortecimento total na estrutura é a soma dos amortecimentos modais.
O amortecimento em um modo pode ser observado, por exemplo, impondo C.I. a esse modo (0U=i para o modo i) e medindo o decremento de amplitude durante a vibração amortecida livre.
Para r=2, o amortecimento de Rayleigh pode ser usado, o qual pode ser da forma:
KMC
onde e são constantes a serem calculadas desde duas razoes de amortecimento dadas que correspondem a duas freqüências de vibração desiguais.
(1)
Sobreposição modal 11MEC114 Métodos Comput. em DinâmicaDEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Assuma que para um sistema de 2 GDL, 1=2 e 2=3, precisando 2% e 10% de amortecimento crítico, 1=0,02 e 2=0,10.
Estabeleça as constantes e do amortecimento de Rayleigh para a integração direta passo a passo.
Exemplo
iii
iijTi
iijTi
α
α
αC
2
2
onde 2
2
KΜ
KΜC
Usando esta relação para 1,1 e 2,2 permite obter duas equações para e
6009
0804
,α
,α
cuja solução é:
1040
3360
,
,α
A matriz de amortecimento a ser usada é:
KMC 10403360 ,,
Com a matriz de amortecimento, podemos estabelecer a relação de amortecimento para qualquer valor de i. quando a matriz de amortecimento de Rayleigh é usada.
i
ii
,,
2
10403360 2
Caso as relações de amortecimento sejam conhecidas para mais de duas freqüências, então dois valores médios de são usados para avaliar e .
Sobreposição modal 12MEC114 Métodos Comput. em DinâmicaDEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Assuma que o amortecimento aproximado para um sistema multi GDL é como segue:
Exemplo
19 1400
15 1000
7 4000
3 3000
2 0020
55
44
33
22
11
,
,
,
,
,
Escolha os parâmetros de
amortecimento de Rayleigh e
Considerando dois pares de espaçamento de freqüências:
17 120
4 300
22
11
,
,
Determinando e da relação:
014050 014980
084289
24016 22
,,,α
,α
,αα iii
KMC 014050014980 ,, Então:
i
ii
2
01405,001498,0 2
Mostra-se a relação de i como função de i , onde com base na eq. (1) indica-se as regiões de amortecimento “proporcional à massa” e “proporcional à rigidez”.
Sobreposição modal 13MEC114 Métodos Comput. em DinâmicaDEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Análise com amortecimento (cont.)
Pode-se utilizar uma matriz mais geral de amortecimento caso mais de 2 relações de amortecimento são usadas para obter C.
Assumindo r relações de amortecimento i, i=1,2,...,r dadas para definir C, uma matriz C que satisfaz a eq. (1) é obtida através da serie de Caughey:
1
0
1r
k
k
ka KMMC
onde os coeficientes ak, k=0,...,r-1 são calculadas das r equações simultâneas:
32
13
210 ...
21 r
iriii
i aaaa
Se r>2, então C é uma matriz cheia.
Usando os modos de vibração livre sem amortecimento como vetores base, para o caso de amortecimento não proporcional TC é uma matriz cheia.
Assim, na base dos vetores modais, as equações de equilíbrio não estão mais desacopladas.
Pode ser assumido que a resposta primária do sistema ainda está contida no subespaço formado por 1,..., p.
Assumindo que o acoplamento na matriz de amortecimento TC entre xi (i=1,..,p) e xi (i=p+1,...,n) pode ser desprezada, as primeiras p equações desacoplam das p+1 a n equações, e podem ser resolvidas por integração direta.
Sobreposição modal 14MEC114 Métodos Comput. em DinâmicaDEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Considere as equações de equilíbrio:
Exemplo
)(
210
141
012
5,0
0
1,0
21
121
tRUUU
Os modos de vibração livre sem amortecimento e freqüências são:
6
4
2
;
2
11
2
12
10
2
12
11
2
1
2Ω
Transforme as equações de equilíbrio em relações na base modal
Usando U=X obtém-se as relações de equilíbrio:
)()(
6
4
2
)(
3,022,03,0
22,06,022,0
3,022,03,0
)( tttt TRXXX
Se fosse conhecido que devido a certa carga aplicada, a resposta primária fica unicamente no primeiro modo, poderia se obter uma resposta aproximada via:
)(2
1
2
1
2
1)(2)(3,0)( 111 ttxtxtx R
e logo calcula-se
)(
2
12
12
1
)( 1 txt
U
Mas, observa-se que como TC é cheia, a solução de x1(t) não da a resposta real no primeiro modo ao ter sido omitido o acoplamento do amortecimento.
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