matemática (amarela)
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UFSCMatemática (Amarela)
Resposta: 26
01. Incorreta. 100% – 23% = 77% Logo, V = 0,77 . V0
02. Correta. f(x) = |x + 1| – 3 Para x > –1: f(x) = x + 1 – 3 f(x) = x – 2 (crescente)
04. Incorreta. 4x – 2x + 3 = 27
(2x)2 – 2x . 23 = 128 2x = a a2 – 8a – 128 = 0 a1 = 16 2x = 16 x = 4 a2 = –8 2x = –8 (não convém) S = {4}
08. Correta.
log (x + 2) log (x + 2) = 1
log (x + 2) log (x + 2) =5 25
5 52
log 5
log (x + 2) 1
log (x + 2) = log 5
log (x + 2) lo
5
5 5 5
5
2
gg (x + 2) = log 5
log(x + 2)
(x + 2)
= log 5
log (x
5 5
5
1
5
5
12
12
++ 2) = log 5
(x + 2) = 5
(x + 2) = 5
5
2
2
12
12
12
x + 2 = 25 x = 23 (número primo)
16. Correta. f(x) = 2x
g(x) = 2log2 x
( )( )fog x log x= 2 2
(fog)(x) = x (fog)(5) = 5
Obs: a composta de uma função inversa sempre será a função identidade y = x, logo (fog)(x) = x.
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Resposta: 03
01. Correta. A = {z ∈ C; |z – 1| = 2} z = a + bi |a + bi – 1| = 2
( )a b 1 22 2
(a – 1)2 + b2 = 22 (equação reduzida da circunfe-rência)
Centro (1; 0) e raio 2
02. Correta. x3 + ax + b = 0
Relações de Girard: –1 + (–1) + x = 0 x = 2 (–1) . (–1) + (–1) . 2 + (–1) . 2 = a a = –3 (–1) . (–1) . 2 = –b b = –2 logo: a . b = 6
04. Incorreta. p(x) = x2 + 2x – 3
q(x) = [p(x)]2 + 2p(x) – 3 q(x) = [x2 + 2x – 3]2 + 2(x2 + 2x – 3) – 3 q(x) = x4 + 4x3 – 2x2 – 12x + 9 + 2x2 + 4x – 6 – 3 q(x) = x4 + 4x3 – 8x
A soma das raízes é – 4 .
08. Incorreta. f(x) = 5 . f(x – 1) e f(1) = 3
Para x = 2:
f(2) = 5 . f(2 – 1) f(2) = 5 . f(1) f(2) = 5 . 3 f(2) = 15
Para x = 3:
f(3) = 5 . f(3 – 1) f(3) = 5 . f(2) f(3) = 5 . 15 f(3) = 75
16. Incorreta.
f(x) =
xx −1
Estudo dos sinais
Dm = {x ∈ R/x ≤ 0 ou x > 1}
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Resposta: 33
01. Correta. A . B = B . A
2 3 4
4 16
2 2 12
16
m n m n m n
m n
m = 4 n = 0
m + n = 4
02. Incorreta.
det M = 4 . (–1)3 + 2 .
1 1 1
4 3 2
2 0 4
det M = 4 . (–1) . (12 + 4 – 6 – 16) det M = 4 . (–1) . (–6) det M = 24
det M–1 = 1
24
04. Incorreta. (A + B) . (A – B) = A2 – AB + BA – B2
08. Incorreta. det B = det A
16. Incorreta. O sistema é impossível e não tem solução.
32. Correta. Propriedade da matriz triangular.
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Resposta: 13
01. Correta. Podemos verificar que a alternativa é verdadeira por geometria, imaginando a e b como partes de um diâmetro (a + b) de uma circunferência.
Observe que o triângulo ABC está inscrito numa semicircunferência. Logo, ABC é um triângulo retângulo com altura h. Das relações métricas no triângulo retângulo, temos que h2 = a . b, ou seja, h = a . b .
Como foi dito que a < b, então o segmento CH terá média sempre menor que o raio da circunferência, logo:
h < raio → a . b < a + b
2
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02. Incorreta. O oitavo termo de qualquer sequência é igual à soma dos oito primeiros termos da sequência menos a soma dos sete primeiros termos da sequência:
a8 = S8 – S7
a8 = (82 – 3 . 8) – (72 – 3 . 7) = 40 – 28 = 12
04. Correta.
x2
3 5
90
2
x
x
Sejam N(x) = x2 – 3x + 5 e D(x) = 9 – x2. Estudando os sinais dessas funções, temos:
Logo, N xD x
( )( )
será positivo ou igual a zero no intervalo aberto e limitado –3 < x < 3.
08. Correta. Já que a circunferência dada é trigonométrica, seu raio mede QO = 1.
Por trigonometria no triângulo retângulo, PQO temos:
tg 60 = o CO
CAx
x 31
3
cos 60 = o CA
Hip yy 1
21
2
Logo, o perímetro de PQO será: 2p = x + y + 1 = 3 + 2 + 1 = 3 + 3 u.c.
16. Incorreta.
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Resposta: 10 01. Incorreta. Volume total da piscina: V = (500 dm) . (250 dm) . (30 dm) = 3 750 000 dm3 ou litros. Logo, faltam 100 000 litros para completar a piscina.
02. Correta. V = a3
216 = a3
a = 6 dm
Área lateral = 4 . a2 = 4 . 62 = 144 dm2
04. Incorreta. A altura, o apótema da base e o apótema da pirâmide formam um triângulo retângulo, logo:
(x + 3)2 = (x + 2)2 + (x – 5)2
x2 + 6x + 9 = x2 + 4x + 4 + x2 – 10x + 25 x2 – 12x + 20 = 0
x = 2 não pode, pois o apótema da base seria negativo
x = 10 OK
08. Correta.
V = πR2 . H Área lateral = A = 2πR . H = 2πR . V
Rπ 2
H = V
Rπ 2 A = 2VR
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Resposta: 14
01. Incorreta. Seja o conjunto dos estados das Misses Brasil M = {C; G; P; R; S} . Como no primeiro sorteio foi sorteada do estado da Paraíba, temos um novo espaço amostral para o 2o sor-
teio: M' = {C; G; R; S}.
Como queremos a probabilidade de ser da Região Sul do Brasil, os casos favoráveis são: Rio Grande do Sul ou Santa Catarina, portanto:
P A( ) , %= = = =2
412
0 5 50
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02. Correta. Usando apenas os algarismos A = {2; 3; 5} é possível formar números de três algarismos, dois al-garismos ou ainda um único algarismo (note que devem ser números distintos menores que 1000, não que os algarismos devam ser distintos!). Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos:
Números com três algarismos: 3 . 3 . 3 = 27 Números com dois algarismos: 3 . 3 = 9 Números com um algarismo: 3 = 3 Total de números 27 + 9 + 3 = 39.
04. Correta. Comissões formadas com políticos do partido A (sem separá-los): 3! = 6. Comissões formadas com políticos do partido B: 1! = 1. Comissões formadas com políticos do partido C (sem separá-los): 2! = 2.
Dispondo os seis políticos em 3 blocos indissolúveis (A, B e C, nessa ordem): 6
. 1
. 2
= 12A B C
. Podemos
ainda trocar a ordem dos partidos (mantendo agrupados os de mesmo partido) de 3! = 6 formas distintas.
Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem 6 . 12 = 72.
08. Correta. Os pontos A e B são os dois primeiros zeros que a função f(x) = 2 sen(x) – 1 possui. Então: 0 = 2 sen(x) – 1 2 sen(x) = 1
sen(x) =
12
Logo, x
x
’
"
656
. Assim, os pontos A e B têm coordenadas A6
; 0
e B56
; 0
, o que define o comprimen-
to do segmento AB 56 6
46
23
u.c.
16. Incorreta. Se x é racional e y é irracional, queremos mostrar que (x + 1) . y não é racional.
Tomemos o contraexemplo: x
y
1
2, então:
(x + 1) . y = (1 + 1) . 2
(x + 1) . y = 2 2 que não é racional.
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Resposta: 44
01. Incorreta. 9x2 – 36x + 25y2 + 50 y = 164 9(x2 – 4x + 4) + 25(y2 + 2y + 1) = 164 + 36 + 25 9(x2 – 2) + 25(y + 1)2 = 225
( ) ( )x y 225
19
12 2
Centro (2, 1) → (2)2 + (–1)2 – 4 . 2 + 2 . (–1) + 4 ≠ 0 4 + 1 – 8 – 2 + 4 ≠ 0 –1 ≠ 0
02. Incorreta. y = x + 2
y
xm m
3 6
m = 3
3259
3
3259
19
36
6
2( )
possui 4 divisores naturais
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04. Correta.
yx
y x
y x
212
3 2 0
2 3
. ( )
xx
x x
x
x
212
2 3
1 4 6
5 5
1
y = 1
a
a
02
1
2
b
b
32
1
1
08. Correta. (x – 1)2 + (–x + n)2 = 2 x2 – 2x + 1 + x2 – 2nx + n2 – 2 = 0 2x2 + (–2 – 2n)x + (n2 – 1) = 0 ∆ = 0
(–2 – 2n)2 – 4 . 2 (n2 – 1) = 0 4 + 8n + 4n2 – 8n2 + 8 = 0 –4n2 + 8n + 12 = 0 n2 – 2n – 3 = 0 n' = 3 n" = –1
16. Incorreta.
Não há como calcular a área.
32. Correta. x2 = 4y y2 = 2(x – 1) F(0, 1) V = (1, 0) P(–2, 3)
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Resposta: 09
01. Correta. MT = M1 + M2 + M3
MT = 1000 (1 + i)2 + 1000(1 + i) + 1000 MT = 1000 . [(1 + i)2 + (1 + i) + 1] (i)
Por outro lado, temos: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) (1 + i)3 – 13 = (1 + i – 1) [(1 + i)2 + (1 + i) . 1 + 12] (1 + i)3 – 1 = i . [(1 + i)2 + (1 + i) + 1]
(1 + i) 13 −i
= (1 + i)2 + (1 + i) + 1 (ii)
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Substituindo (ii) em (i): M = 1000 . (1 + i) 1
T
3
i
02. Incorreta.
O Montante gerado pelo Capital no sistema de Juros Simples é mais vantajoso quando n < 1, em que:
MJ. simples > MJ. composto
04. Incorreta. Sejam A não nulo e B = C = ∅ subconjuntos do universo U, temos: A ∪ (B – C) = (A ∪ B) – (A ∪ C) A ∪ (∅ – ∅) = (A ∪ ∅) – (A ∪ ∅) A ∪ ∅ = A – A A = ∅
Absurdo, pois A é não vazio.
08. Correta. Receita = (Qte. de tubos) . (Valor por tubo) R(x) = (1000 + 100x) . (50 – 3x) R(x) = –300x2 + 2000x + 50000
em que x corresponde à quantidade de R$3,00 concedida no desconto.
xba
x
x
V
V
V
22000600
103
Então, como o valor por tubo é dado pela expressão (50 – 3x), temos:
Valor por tubo = 50 – 3 . 103
Valor por tubo = 50 – 10 = 40
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Resposta: 56
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Resposta: 12 01. Incorreta. f(x) = sen(5x) . cos x – cos(5x) . sen x f(x) = sen(5x – x) f(x) = sen(4x) f(x) =
IM = [a – Amp, a + Amp] = [0 – 1, 0 + 1] = [–1, 1]
Falsa, pois o valor mínimo de f(x) é –1.
02. Incorreta. Existem valores de x que anulam os denominadores de cosec x = 1
sen x e de sec x =
1cos x
. Logo, não vale para todos os reais.
04. Correta. Total = 234 + 82 + 320 + 72 + 12 = 720
Ângulo do setor = 320720
. 360o = 160o
08. Correta. M1 = moda = 5 A = {1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7}
M2 = mediana = 4 5
2+
= 4,5
M3 = média = 1 2 2 3 4 5 5 5 6 7
10+ + + + + + + + +
= 4
16. Incorreta.
{ ]2 6
86
43
2
33 4
4 4 8
4
. 3 = . 3 = . 3 = . 36 6 6 6 = 2 . 38 2
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