matemÁtica - comunidades.net · 2019. 4. 1. · matemÁtica, 9º ano pontos no plano...

MATEMÁTICA 1º ANO

ANÁLISE COMBINATÓRIA

PROBABILIDADE - INTRODUÇÃO

PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA

E.E. Dona Antônia Valadares

http://donaantoniavaladares.comunidades.net

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados

Prof: Alexsandro de Sousa

TEORIA DAS PROBABILIDADES

A teoria das probabilidades busca estimar as chances de ocorrer um determinado acontecimento. É um ramo da matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.

Embora o seu nascimento esteja ligado ao jogo, as Probabilidades

têm, nos nossos dias, aplicações em muitas outras ciências,

nomeadamente, na Economia, na Psicologia, na Medicina e até na

Física e na Química. Uma área onde a Teoria das Probabilidades é

muito utilizada é a dos seguros. Hoje, quando fazemos um contrato

com uma companhia de seguros (seja esse contrato um seguro de

vida, um seguro de incêndios, um seguro automóvel ou qualquer

outro), o “prémio” a pagar à companhia foi determinado em função

da maior ou menor probabilidade de se verificar um acidente. Por

exemplo, num seguro automóvel, o valor que se paga:

É mais caro para carros com mais de 5 anos, já que a

probabilidade de se ter um desastre com um carro já com

algum desgaste é maior do que com um carro novo;

Há até companhias de seguros que fazem descontos para as

mulheres condutoras!...

É mais caro se o condutor tiver habilitação de condução há

menos de dois anos (a sua inexperiência torna maior a

probabilidade do acidente).

Para o cálculo do valor do seguro é levado em conta também

o modelo do automóvel, a região que esse veículo circula, a

idade do condutor...

Há muitos experimentos que mesmo repetidos em condições

idênticas apresentam resultados diferentes.

Pode-se dizer que o resultado de cada um desses eventos é

imprevisível.

EXEMPLOS

Ao lançarmos um dado não viciado, não

é possível prever qual dos números 1, 2,

3, 4, 5 ou 6 poderá ser obtido.

O lançamento de uma moeda tem

como resultados imprevisíveis

cara ou coroa.

As dezenas da Mega-Sena, da

Lotofácil, da Dupla Sena, da

Quina, e de outras loterias

também não podem ser

previstas antes do sorteio.

Quando a roleta é girada não

é possível prever em qual

número “a bolinha” vai parar.

Fenômenos desse tipo, cujos resultados dependem do acaso, são

chamados de fenômenos aleatórios.

Pelo fato de não sabermos antecipadamente os resultados de

fenômenos aleatórios, é importante aprendermos calcular as

chances de um resultado ocorrer.

ESPAÇO AMOSTRAL (ou de probabilidades)

O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento

aleatório é o espaço amostral (S)

Jogar uma moeda

S = {cara, coroa}

Sortear um número inteiro de um a cem

S = {1,2,...,100}

Lançar um dado

S = {1,2,3,4,5,6}

EVENTO

Evento é qualquer subconjunto do espaço

amostral

E = {cara} (sortear cara)

E = {25, 27, 26} (sortear no. entre 24 e 28)

E = {3, 5, 1} (lançar no. impar no dado)

Obs.: Dizemos que um espaço amostral é equiprovável quando seus

elementos têm a mesma chance de ocorrer

EVENTO CERTO E EVENTO IMPOSSÍVEL

Evento certo: Ocorre quando um evento coincide com o

espaço amostral.

Evento impossível: Ocorre quando um evento é vazio.

Exemplos:

1 - Lançar um dado e registrar os resultados:

Espaço amostral: S = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Evento A: Ocorrência de um número menor que 7 e

maior que zero.

A = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Portanto A = S , logo o evento é certo.

Evento B: Ocorrência de um número maior que 6.

Não existe número maior que 6 no dado, portanto

o evento é impossível.

Evento C: Ocorrência de um número par.

Evento D: Ocorrência de múltiplo de 3.

Evento E: Ocorrência de número par ou número múltiplo de 3.

E = C D E = 2, 4, 6 3, 6

E = 2, 3, 4, 6 - União de eventos

Evento F: Ocorrência de número par e múltiplo de 3.

F = C D F = 2, 4, 6 3, 6 F = 6

Intersecção de eventos

C = 2, 4, 6

D = 3, 6

PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO

)()()(

de elementos de número

Ade elementos de número

P = _____(o que você quer)_______

(total de possibilidades)

Exemplos 1 – Consideremos o experimento Aleatório do lançamento de

um moeda perfeita. Calcule a probabilidade de sair cara.

Espaço amostral: S = cara, coroa n(S) = 2

Evento A: A = cara n(A) = 1

50% 0,50 ou temos Como

)()( AP

2 – No lançamento de um dado perfeito, qual é a

probabilidade de sair número maior do que 4?

Espaço amostral: = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n(S) = 6

Evento A: A = 5, 6 n(A) = 2

)()( APAP

3 – No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitas

distinguíveis, qual é a probabilidade de serem obtidas:

a) Evento A : Pelo menos 2 caras?

b) Evento B: Exatamente 2 caras?

C = cara K = coroa

S = CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK n(S) = 8

a) A = CCC, CCK, CKC, KCC n(A) = 4

b) B = CCK, CKC, KCC n(B) = 3

)()( APAP

)()( BP

4 – Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e

leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música

e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de

música; 9 gostam somente de esporte e 5 gostam somente de

leitura. CALCULE a probabilidade de escolher, ao acaso, um

desses jovens:

a) Ele gostar de música;

b) Ele não gostar de nenhuma dessas atividades.

n(S) = 75

gostam de música: 6 + 8 + 16 + 14 = 44

não gostam de nenhuma dessas atividades:

75 – (6 + 9 + 5 + 8 + 6 + 14 + 16) = 75 – 64 = 11

a) a probabilidade de gostar de música:

b) probabilidade de não gostar de nenhuma

dessas atividades:

5 – Caixa com Sorteio:

Uma caixa contém 16 bolas. Destas, 10 são azuis, 4 são pretas e 2 são amarelas.

Qual a probabilidade de:

a) Tirar uma bola sem olhar e ela ser azul?

b) Tirar uma e ela ser amarela?

c) Tirar duas azuis seguidas?

d) Tirar uma preta e depois uma azul?

e) Tirar uma só, e ela ser azul ou amarela?

f) Tirar uma e ela não ser preta?

g) Tirar uma bola vermelha?

Total:16 bolas 10 azuis , 4 pretas e 2 são amarelas .

Tirar uma bola sem olhar e ela ser azul? P = 10/16 = 5/8 Tirar uma e ela ser amarela? P = 2/16 = 1/8 Tirar duas azuis seguidas? (AZUL e AZUL) P = (10/16) . (9/15) = 90/240 = 9/24 Tirar uma preta e depois uma azul? (PRETA e AZUL) P = (4/16).(10/15) = 40/240 = 4/24

Tirar uma só, e ela ser azul ou amarela? P = 12/16 = ¾ (75%) Tirar uma e ela não ser preta? P = 12/16 = ¾ (veja que é a mesma que a pergunta de cima!!) Tirar uma bola vermelha? P = 0/16 = 0 (impossível)!

6 – Ao lançar um dado duas vezes, qual é a probabilidade de se obter soma 5?

Eventos probabilísticos estão na base da propagação de

características físicas genéticas e doenças, ao combinar genes

dos pais.

O estudo da Probabilidade permite o trabalho nesse campo da

ciência.

Questões

a) Qual a chance de ter um só filho e ser homem?

b) Ter três homens?

c) Ter três filhos todos do mesmo sexo?

d) Qual a chance deles terem três meninas?

e) E de ter uma menina e dois meninos?

P = 1/8

a) Qual a chance de ter um só filho e ser homem? P = ½ (50%)

b) Ter três homens?

Mapa: HHH MMM HHM HMH MHH MMH HMM MHM

P = 2/8 = ¼ (25%) c) Ter três filhos todos do mesmo sexo?

d) Qual a chance deles terem três meninas? P = 1/8 = 0,125 = 12,5%

e) E de ter uma menina e dois meninos? P = 3/8 = 0,375 = 37,5%

A cor dos olhos é uma característica transmitida geneticamente.

Ela é comandada pela combinação de dois genes, que vêm um da

mãe e outro do pai.

O gene dominante é A e o recessivo é a

Nesse caso, quando aparece na combinação o gene dominante A a

pessoa terá a característica marcada por esse gene.

Para cor dos olhos, o gene A determina olhos castanhos, então para

ter olhos azuis a pessoa deve ter genótipo aa

Um casal tem o homem com genótipo aa e a

mulher é Aa.

Qual a probabilidade do filho ter olhos azuis?

Veja as combinações possíveis para cor dos olhos:

Aa = olhos castanhos

aA = olhos castanhos

AA = olhos castanhos

Aa = olhos azuis

a aA aa

%505,02

Aa Mulher

aa Homem

EXERCÍCIOS

1 – Um casal de olhos castanhos tem quatro filhos, três

deles de olhos azuis.

a) Qual o genótipo do casal?

b) Qual a probabilidade deles terem um quinto filho de

olhos azuis?

2 – Um baralho comum tem 52 cartas, sendo 13 (A, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K) de cada um dos naipes, que são paus,

ouros, copas e espadas. Ao escolhermos aleatoriamente uma

das 52 cartas, qual a probabilidade de que ela seja:

a) O valete de ouros?

b) Um valete vermelho, isto é, copas ou ouros?

c) Um valete?

d) Uma carta de naipe vermelho, isto é, copas ou ouros?

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